國立臺中教育大學教育測驗統計研究所
教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文
指導教授：楊志堅 博士
國小學童乘除文字題解題能力之研究
研究生：林碧珊 撰
中華民國 九十九 年 八 月
國小學童乘除文字題解題能力之研究
中文摘要
本研究探討國小學童乘除文字題的解題能力及錯誤類型，並分析不同背景因 素的學童在解題表現與錯誤類型的差異情形。所使用的研究工具為自編的「乘除 文字題測驗」，並以彰化縣與臺中市四所國小 231 位的四年級學童為施測對象。 研究結果發現：不同未知數的位置會影響學童解題，「未知數在等號後」題型表 現最佳，而「未知數在運算符號前」題型表現最差。在本測驗中，題目關鍵字會 影響學童對算式運算符號的選擇；另外，題目數字次序也會影響學童對算式數字 次序的選擇。最後在背景因素方面，母親學歷、數學態度不同的學童，在文字題 解題表現及「大數÷小數」錯誤類型上皆有顯著差異。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：關鍵字、數字次序、錯誤類型The Study of Elementary Students
’Solving Ability
on Multiplication and Division Word Problems
Abstract
The main purpose of this study was to investigate the problem-solving ability and the error patterns of multiplication-division word problems for the elementary school students. The study tries to analyze the students of different backgrounds making discrepancy in the problem-solving ability and the error patterns. This study tool “Multiplication – Division Word Problems” was designed by the researcher. This research contains 231 fourth-graders from four different elementary schools located in Changhua county and Taichung city. The results were as follows:
First, the places of the unknown number were affected the students’ solving ability. The students had best performance on the items “Unknown number is behind the equal sign”, but they had the worse performance on the items “Unknown number is in front of computational sign”.
Second, the key words of the problems were affected student’s choice of the computational sign in the test. Besides, the digital order of the problems was affected student’s digital order of the equations .
Finally, the study also found that the performance and affitude students forward math depended on the educational level of the mother and math attitude especially when it comes to the word problems and error patterns.
目錄
第一章 緒論 ...1 第一節 研究動機 ...1 第二節 研究目的 ...2 第三節 名詞定義 ...3 第二章 文獻探討 ...4 第一節 數學解題 ...4 第二節 乘除類型 ...7 第三節 背景因素 ...10 第三章 研究方法 ...13 第一節 研究架構 ...13 第二節 研究對象 ...14 第三節 研究工具 ...15 第四節 研究流程 ...19 第五節 資料處理與統計分析...20 第四章 分析與討論 ...21 第一節 試題分析 ...21 第二節 學童在乘除文字題的相關表現 ...23 第三節 不同背景因素學童之能力表現及差異分析 ...28 第四節 錯誤類型 ...31 第五章 結論與建議 ...39 第一節 研究結論 ...39 第二節 研究限制 ...41 第三節 研究建議 ...42 參考文獻...44 中文部分...44 英文部分...47 附錄 乘除文字題測驗 ...48表目錄
表 2-1-1 數學解題歷程及知識類型...5 表 3-2-1 研究樣本人數分配表 ...14 表 3-3-1 未知數在等號後的乘法文字題之例題 ...16 表 3-3-2 雙向細目表...17 表 3-3-3 預試試題難度、鑑別度一覽表...18 表 4-1-1 試題難度一覽表 ...22 表 4-1-2 試題鑑別度一覽表 ...22 表 4-2-1 學童在不同未知數位置題型之解題能力結果統計表...23 表 4-2-2 學童在不同未知數位置題型之解題能力差異之檢定...24 表 4-2-3 學童在不同關鍵字及數字次序題型的解題能力結果統計表 ...25 表 4-2-4 學童在不同關鍵字及數字次序題型的解題能力差異之檢定 ...25 表 4-2-5 關鍵字題型與運算符號之檢定 ...26 表 4-2-6 題目數字次序與算式數字次序之檢定...27 表 4-3-1 不同性別的學童在乘除文字題解題表現上之檢定...28 表 4-3-2 學童雙親學歷在文字題理解能力之變異數摘要表...29 表 4-3-3 校外數學補習的學童在乘除文字題解題表現上之檢定 ...30 表 4-3-4 學童的數學態度在乘除文字題解題表現上之檢定...30 表 4-4-1 試題 2、16 的錯誤類型分析...31 表 4-4-2 試題 4、22 錯誤類型分析...32 表 4-4-3 試題 17、20、21、23 的錯誤類型分析 ...33 表 4-4-4 不同性別學童在錯誤類型表現上之分析表 ...34 表 4-4-5 父親學歷在錯誤類型表現上之分析表 ...35 表 4-4-6 母親學歷在錯誤類型表現上之分析表 ...36 表 4-4-7 學童參加校外數學補習在錯誤類型表現上之分析表 ...37 表 4-4-8 學童的數學態度在錯誤類型表現上之分析表...38圖目錄
圖 3-1-1 研究架構圖...13 圖 3-4-1 研究流程圖...19
第一章 緒論
本研究主題為國小四年級學童乘除文字題解題能力之相關研究。本章將說明 本研究的研究動機和目的，探討研究者編製本測驗工具的緣由，並將本研究中所 需之特定名詞加以解釋。第一節 研究動機
乘除文字題在國小階段的學習上占了相當重要的份量，也一直是許多研究探 討的課題，研究的範圍有：不同問題結構的難度（丁春蘭，2003；林碧珍，1991）、 不同數系、數值的解題表現（邱裕淵，2000）、算式表徵轉換為文字表徵的擬題 能力（邱瑤瑢，2006；許淑萍，2002）或文字題的解題策略（陳鵬全，2002；吳 雅琪，2004），上述的研究卻無探討文字題中「關鍵字」和「題目數字出現次序」 對學童解題的影響。因此，本研究以Greer（1992）提出的等分組(equal groups) 為測驗題型，將「關鍵字」和「題目數字出現次序」可能影響學童解題的因素編 入試題，探討四年級學童的解題表現 影響學童在解題策略的因素繁多，王雪瑜（2006）發現學童在擬定解題計畫 時，可能只選擇想要了解的文字當問題，而忽略部分語句，導致迷失於關鍵字中， 看到「共」就用加法，「不夠」就減法，因此，部分學童在解文字題時，會依關 鍵字來判斷運算符號的運用。另外，蔣治邦、謝堅、陳竹村、吳淑娟與林昭珍（2000） 指出在最初教導學童乘法算式時，選擇使用「倍」的語言引入「乘法算式」，主 要的理由為：學童通常習慣按照數字出現之次序來進行記錄活動，例如：「8的7 倍是56」記成「8×7=56」。根據上述文獻為基礎，編製一份測驗，探討「關鍵字」 及「題目數字次序」對學童解題造成的影響。 學生在解文字題的表現上，不能只重視答案是否正確，解題過程更是關鍵。 Mayer（1992）將數學解題歷程及涉及的知識做了分析，解題歷程分為兩階段，其中包含了四個步驟，並將解題時所涉及的知識分成五種類型。其中第二個步驟 「問題整合」是學童運用「基模知識」，亦即學童能辨認解題所需要的資訊，將 問題中的陳述經整合後成為連貫的表徵。而在國小中年級的課程中，會先呈現一 個情境式文字題，描述已知量與未知量的關係，要求解題者將文字所表達的已知 量與未知量的關係，用算式填充題的形式表徵出來（梅文慧，2003），便是運用 上述的基模知識。綜合上述所言，本研究將以了解四年級學童在解題的問題整合 步驟中，能否運用「基模知識」，依據試題所提供的資料，選擇正確的算式選項 來記錄問題，並分析答題時的錯誤類型。 基於以上因素，研究者將編製出一份適合國小四年級學童的乘除文字題測 驗，希望藉此測驗了解國小學童文字題的解題表現及錯誤類型，並探討學童解題 能力及錯誤類型在不同背景因素中，是否會有差異的存在。
第二節 研究目的
學童在學習數學文字題時，有部分人會重複的練習同樣題型，直到精熟為 止，就認為學會了，但對題意是否真的了解，就值得商榷。蔣治邦（1993）探討 中年級學童在文字題之解題能力，發現三、四年級學童在解題時，皆會受到多餘 資訊的干擾，例如：數值型態、數字大小、問題結構、字句陳述等。而相關文獻 （王雪瑜，2006；陳依涵，2008；楊美伶、蔣治邦，1992；楊招謨，2008；蔣治 邦等人，2000）指出「關鍵字」及「數字出現次序」是影響解題的重要因素。因 此，本研究將探討此兩個因素對於國小四年級學童的乘除文字題解題能力及錯誤 類型的影響。欲達成研究目的如下： 壹、編製一份適用於國小四年級學童的乘除文字題測驗。 貳、探討國小四年級學童在不同類型乘除文字題解題能力的表現情形。 參、探討國小四年級學童在不同背景因素，乘除文字題解題能力之差異情形。 肆、分析學童解題結果之錯誤類型，及探討學童在不同背景因素下的錯誤類型之 差異情形。第三節 名詞定義
壹、國小四年級學童
研究施測對象為國小四年級學童，施測時間為九十七學年度第二學期，故本 研究之國小四年級學童是指就讀四年級的學生，以下簡稱學童。貳、關鍵字(key words
) 研究中所謂的關鍵字，是指文字題中會影響學童解題的字詞，研究者在自編 的測驗中，將「總共」、「平分」等字詞加入題目中，主要是測知題目中這些字 詞對學童的解題表現有何影響。參、數學態度
研究學童的背景因素中有一項數學態度，在此是指學童對於數學科目的好 惡，在問卷中分為「喜歡」和「討厭」兩個選項。第二章 文獻探討
本章旨在探討與本研究相關的理論基礎及研究。全章共分為三節，第一節為 數學解題之相關研究；第二節介紹乘除類型的理論；第三節為探討背景因素與學 童解題能力之相關研究。第一節 數學解題
壹、數學解題歷程理論
本研究的數學解題歷程是以 Mayer（1992）的觀點作為依據，其結合認知心 理學及訊息處理觀點，將數學解題歷程分為兩階段、四個步驟及五種知識類型， 詳述如下（引自王翠鈴，2005；陳淑琳，2002）： 一、問題表徵(problem representation)：指解題者需將問題的陳述轉換成內在的心 理表徵。又包含兩個步驟： （一）問題轉譯(problem translation)：解題者運用「語言知識」及「事實知識」 了解問題的意義及解題目標，將問題轉譯為內在的心理表徵。 （二）問題整合(problem integration)：解題者運用「基模知識」，辨認解題 所需要或不需要的資料，將問題中的陳述組合成連貫的表徵。 二、問題解決(problem solving)：將問題的陳述轉譯成心理表徵後，接續的解題工 作，便是進行最後的尋找答案過程。又包含兩個步驟：（一）解題計畫及監控(solution planning and monitoring)：解題者就對問題的 理解，將問題分解成較小的次目標，提出解題的計畫，並能監控自己 的解題過程。
依據Mayer的解題理論，乘法文字題的解題歷程、知識類型與解題知識界定 如表2-1-1： 表 2-1-1 數學解題歷程及知識類型 解題歷程 知識類型 解題知識界定 語文知識 認識及讀出題目中的字詞的能力 問題轉譯 語意知識 辨認問題的已知條件和解題目標 問題整合 基模知識 依問題結構分類，如加、減、乘、除的分類，如 以算式填充題記錄問題 解題計畫及 監控 策略性知識 使用已知條件來計劃和檢視問題解答的技能，及 如何執行的方法 解題執行 程序性知識 執行計劃、運算的實施程序 許多研究（王瑋樺，2001；陳淑琳，2002）皆是以Mayer的解題理論作為基 礎。王瑋樺（2001）以四位三年級學童為研究對象，探討其數學學習障礙學生加 法文字題解題歷程，研究中將每一試題依五種知識類型再分成五個小題，測驗後 並進行訪談以分析學生之解題歷程紀錄，之後再進行補救教學。而陳淑琳（2002） 則以國小二年級學童為研究對象，以自編的乘法文字題測驗為工具探討學童的解 題歷程，每一試題分成四個解題歷程並分別給分，筆試後抽取六名學童進行個別 晤談。 由上述文獻可發現，這些研究在探討學童的解題歷程時，每一試題依四個解 題歷程或五種知識類型再分成小題，施測完成後再進行訪談。而本研究主要在探 討四年級學童解題歷程的「問題整合」步驟，學童將文字題轉譯成算式表徵，這 需要運用到既有的基模知識，選擇最適當的算式填充題選項來記錄問題。
貳、乘除文字題解題之相關研究
一、解題之相關研究 學童解題時，無法選擇合適的解題策略，並將學習的解題策略運用至相似題 目，或是過度類化解題規則於不同情境，可能會迷失於關鍵字中，只知尋找關鍵 字，依關鍵字作答，看到「共」就用加法，「不夠」就減法（王雪瑜，2006；陳 依涵，2008）。而楊美伶、蔣治邦（1992）在分析國小數學科加減法教材中，發 現因為教材中有很高的比例是用關鍵字來解題，無法讓學童針對題目作充分的思 考，形成學童習慣利用關鍵字來解題，且發現某些學生之所以使用關鍵字是來自 老師或家人的教導，因此，一旦擴大至乘除運算時，容易產生學習上的障礙。楊 招謨（2008）以Mayer之解題理論為基礎，探討數學低成就學生除法文字題之解 題歷程中發現：學童在問題的整合方面，其錯誤類型有以下四種：（一）已知條 件與解題目標整合的困難；（二）缺乏除法與分的基模；（三）缺乏陣列型、減除 與加除二步驟問題基模；（四）以關鍵字解題。 綜合上述可得知，關鍵字是影響學童解題的因素之一，而學童最常以關鍵字 來解題，當看到「總共」就用加法或乘法、「剩下」就用減法、「平分」就用除 法。因此，本研究以「總共」與「平分」等關鍵字設計乘除文字題，以探討學童 選擇算式時，是否會以「關鍵字」作為判斷運算符號的依據。 二、錯誤類型 一般教師對於學生的答案，通常只用「對」與「錯」二分法來處理，但經由 學生作答反應的錯誤分析，可提供學童學習乘除概念的訊息，這些訊息可幫助學 童的數學發展，也可以作為診斷的工具，因此，探討學童解題的錯誤類型是有必 要的（許淑萍，2002）。 丁春蘭（2003）以國小六年級學生為研究對象，採用自編的「數學解題能力 測驗」為研究工具，探討學生解決乘除文字題的能力。測驗進行時，要求受試者 針對乘除文字題先列出適當算式，再寫出計算過程及結果。分析後發現學生對乘 除文字題的解題表現，各題最主要的錯誤解題類型為「受多餘資訊干擾」。而謝旻虔（2009）以Mayer的解題理論及Greer的乘除情境分類，探討67位四年級學童 解單步驟乘除文字題時產生的錯誤類型，從結果中發現：學童在解題時主要有以 下四種錯誤類型：（一）依據題目中兩個數字的大小來表徵，亦即把大的數字當 被除數或積。（二）不了解題目中乘除運算關鍵字「平均」、「每個」、「搭配」、「配 對」及「基準量和比較量」的真正意涵。（三）誤用關鍵字。（四）空白類型，表 示學童缺乏該題型的基模知識。 邱瑤瑢（2006）採用自編的「數學擬題測驗」為研究工具，探討國小四年級 學生將除法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力及其錯誤類型，其中以 「運算符號錯誤」佔所有擬題錯誤類型的比例最高。而許淑萍（2002）探討學生 將算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力中發現，在單步驟題型中，主要的錯 誤類型為「擬出加減之題目」及「將未知數當作已知數加以擬題」。 綜合上述文獻發現，研究中主要可分成兩類，（一）給問題，立算式：要求 學生針對文字問題，選擇適當算式，再計算出正確的答案；（二）給算式，來擬 題：要求學生編一個合理的題目滿足此算式，再依學童的作答反應歸納出學童的 錯誤類型。本研究則以選擇題的方式來呈現，學童依據文字題來選擇最適合的算 式選項，透過作答反應來做錯誤分析，提供學童學習乘除概念的訊息，及教師教 學上之參考。
第二節 乘除類型
壹、乘除問題的結構分析
文字題可用情境、運算、語意結構三個分類方式來詮釋，依「情境」分類， 即問題情境會影響學生的解題表現，學生在熟悉的情境與生活經驗結合的題型中 ，會有較高的解題能力（陳瓊瑜，2002）。 Greer（1992）將整數乘除文字題的問題情境分為等分組(equal groups)、乘法 比較(multiplicative comparison)、叉積(cartesian product)與矩形面積(rectangulararea)（引自吳雅琪，2004）。 一、等分組：算出內含有相同個數之物體的集合總數的問題，或從集合總數 算出內含有相同個數之物體的個數。 例題：乘法情境 ─ 每個小朋友有4個橘子，有3個小朋友，共有多少個橘子？ 除法情境 ─ 把12個橘子平分給3個小朋友，每個小朋友可以得到幾個橘 子？ 二、乘法比較：一種常被以〝n倍是多少？〞來敘述的情境。此種問題牽涉 到基準量與比較量，需要利用基準量來求比較量，或是利用比較量來求基準量。 例題：乘法情境 ─ 小美有4顆蘋果，小明的蘋果是小美的3倍，那麼小明有幾顆 蘋果？ 除法情境 ─ 小明有12顆蘋果，小美有4顆蘋果，那麼小明的蘋果是小美的 幾倍？ 三、叉積：描述一種有序對關係，每一個有序對都是由一個集合的每一個元 素與另一個集合的所有元素有順序的結合而成。 例題：乘法情境 ─ 小明有3件不同的上衣和4條不同的褲子，那麼小明可以搭配 成幾套外出服？ 除法情境 ─ 小明有3件不同的上衣，想要搭配成12套外出服，那麼小明需 要幾件不同的褲子？ 四、矩形面積：將長方形任一邊和相鄰一邊的長度相乘。 例題：乘法情境 ─ 長方形長5公分，寬4公分，面積為多少平方公分？ 除法情境 ─ 長方形面積為20平方公分，如果長為5公分，那麼寬為多少公 分？ 透過上述乘除法文字題的分類與探討，不同結構的難度亦是不同（林碧珍， 1991），也是影響解題表現的重要原因之一。由於本研究重點在於學童解題時， 題目中「關鍵字」及「題目數字出現次序」對學童的解題影響，因此，在解題步 驟方面採用單步驟文字題；問題情境方面，在目前國小的課程教材中，以等分組
問題佔絕大部分（許美華，2000；謝旻虔，2009），因此試題以採用整數等分組 乘除文字題來進行研究，以減少干擾因素。
貳、未知數位置
把文字問題以數的運算問題的形式加以表達的活動就是「列式」，換言之「列 式」就是把文字題中已知與未知間的關係表徵出來（陳鵬全，2002） 林碧珍（1991）將乘除法應用問題分成四種類型來探討五、六年級學童的認 知結構，結果發現：在比較型及叉積型問題結構中，學童不因未知數位置的不同 而影響解題；但在量數同構型和多重比例型則會受到未知數位置的影響。丁春蘭 （2003）在探討國小六年級學生對乘除文字題解題能力的影響中發現：學生在各 乘除類型之不同未知數位置的解題表現有差異，因此認為未知數的位置是影響解 題表現的因素之一。而鐘世帆（2004）將乘除應用問題分為比較型、叉積型、量 數同構型及多重比例型四種，用來探討六年級學童的解題表現，結果發現學生在 乘除概念測驗的解題能力因試題未知數位置的不同而有所差異。另外，許淑萍 （2002）讓國小六年級學童用自己的數學知識和生活經驗把已知條件的「數字」 和「符號」組織起來，並擬出一個數學題目，研究發現：學生在單步驟題型的擬 題表現以「未知數位於等號後」的題目表現最好，當「未知數位於運算符號前後」 的題目則表現較差。 綜合以上論述，不管是研究「給問題，立算式」或「給算式，編故事題」， 只要未知數位置不同，皆會影響學童解題能力。因此，本研究將文字題的未知數 位置分成：「未知數在運算符號前」、「未知數在運算符號後」、「未知數在等號後」 三類，探討未知數位置在本研究中對學童解題的影響。第三節 背景因素
可能影響數學解題能力的背景因素，已經有相當多的研究探討（例如：林枝 旺，2005；陳世杰，2005；黃雪萍；2002），這些文獻提供了本研究進行相關分 析的理論基礎。以下將分別探討性別、雙親學歷、校外數學補習、數學喜愛程度 等對學童解題表現的影響。 許多研究（曹宗萍，1988；陳湘琪，1999；陳世杰，2005；陳金章，2007； 黃俊仁，2003）都曾研究性別差異對數學解題結果的影響，但是發現性別對國小 數學解題而言，研究結果並不見得有一致性的發現。有研究發現性別在數學文字 題解題表現上是有顯著差異存在，如。陳世杰（2005）以六年級學童為研究對象 發現，女生的數學文字題解題表現較男生為佳。但亦有研究發現性別差異在數學 文字題解題表現上並無顯著差異，如：曹宗萍（1988）研究發現性別與數學成就 無顯著相關。陳湘琪（1999）研究國小六年級學生，發現在數學解題表現方面， 不同性別的學生在「數學算則理解表現」、「數學解題歷程表現」與「數學解題整 體表現」，均無顯著差異。而黃俊仁（2003）研究國小五年級學生解傳統數學文 字題和有情境的數學文字題解題能力表現，發現男、女學生在解文字題能力表現 上無顯著差異。另外，陳金章（2007）研究擬題活動融入國小五年級數學學習對 數學解題表現中發現，不同性別的學生，在數學解題表現、非文字題、文字題解 題表現沒有顯著差異。綜上所述，性別與數學文字題解題表現之關係尚未定論， 因此，本研究嘗試以國小四年級學童為研究對象，進一步探討學童在數學文字題 解題表現是否因性別的不同而有差異。 一般相信，父母教育程度較高者，會較重視子女的教育，且擁有較高的職業， 收入也較高，因此能提供子女較佳的讀書環境（林枝旺，2005）。Kalmijn（1994） 的研究指出，母親的教育對子女整個就學過程影響很大，而母親教育的影響也逐 漸提高到甚至超過父親教育的重要性，因為母親與子女有較長的相處時間，所以 母親的教育顯得相當重要。黃毅志（1995）的研究也發現，隨著時代變遷，母親 教育程度對子女教育成就的影響越來越大。黃怡瑛（2009）探討家長背景因素對國小學生數學學習成效的影響，研究發現：家長教育程度對國小學生數學學習成 效有影響，家長教育程度國中以下者，數學成績相較顯著低於家長教育程度高中 以上者，國小學生。因此，本研究欲進一步驗證，雙親不同的學歷對於學童文字 題解題能力是否具有差異性。 黃雪萍（2002）在教學現場中，發現國小學童參加數學補習之狀況非常普遍， 以臺東市市區及市郊二所國小高年級學童為研究對象，探討學童參加校外數學補 習之背後因素與對數學學習影響。研究發現：在教學方面，補習班教學以大量練 習為主，參與補習的學童中大部分受訪者認為數學成績進步，經比對學童在校的 數學成績，發現參加補習學童的數學成績大多維持穩定及進步，少有大幅退步 者。洪茂原（2009）研究校外數學補習對屏東縣國小高年級學童數學態度與數學 學習策略影響中發現：參加校外數學補習的國小高年級學生，其數學態度與數學 學習策略皆顯著優於未參加補習者。另外，吳登坤（2008）研究嘉義縣市九年級 學生校外數學補習經驗中發現：參加校外補習的九年級學生，其學習方法、學習 計畫、學習習慣與學習慾望皆顯著優於未參加補習者；且在數學學習策略及數學 學業成就表現，有參加校外補習的九年級學生皆顯著優於未參加補習者。綜合以 上各學者之研究，顯示校外補習對學童的學業成就皆有正面的影響。因此，本研 究主要探討參加校外數學補習之學童在文字題解題之表現與未參加之學童是否 有差異。 學生的學習態度會影響學習的過程與結果，若學生能養成積極向上的學習態 度，必能達成學習目標。在數學的教與學中，影響學生學業成就的因素相當多， 數學學習態度為其中非常重要的一項因素（周冠男，2003）。魏麗敏（1989）認 為數學學習態度是個人對於數學的一般看法，喜歡或厭惡的程度，也是個人對數 學所持有的一種具有持久而又一致的行為傾向，並針對國小學童之數學學習態度 與數學成就間關係進行探討，發現高數學態度之學生，其數學成就顯著高於數學 態度較低之學生。有關數學學習態度與數學成就之研究，皆發現對數學具有正向 態度者具有較高的數學成就，亦即數學成就高的人比數學成就低的人，持有更正
向的數學學習態度，也較喜歡數學（吳泓泰，2006；葛建志，2004；臧俊維，2000）。 綜合以上各學者之研究，可發現學習態度正向者其學業成就越高。因此，本研究 擬探討不同數學態度的學童在乘除文字題之表現是否有所差異。
第三章 研究方法
本研究以研究者自編之「乘除文字題測驗」為施測工具，探討國小學童文字 題解題之相關情形。本章共分為五節，依次說明研究架構、研究對象、研究工具、 研究流程、資料分析等。第一節 研究架構
本研究根據研究動機、目的及相關文獻，提出本研究之架構，如圖 3-1-1 所 示： 圖 3-1-1 研究架構圖 背景因素 背景因素 背景因素 背景因素：：：： 1.性別 2.雙親學歷 3.校外數學補習 4.數學態度 乘除文字題測驗 乘除文字題測驗乘除文字題測驗 乘除文字題測驗 題目類型 題目類型題目類型 題目類型：：：： 未知數的位置 關鍵字 題目數字出現次序 錯 錯 錯 錯 誤 誤誤誤 類類 類類 型型型型第二節 研究對象
本研究以國民小學四年級學童為對象，囿於時間、人力及經費等因素，採立 意取樣，樣本維持原來班級進行研究，並請導師預先排除特殊的學童，如：智能 障礙或學習障礙等，藉由事先的篩選程序，以排除其他因素之干擾。壹、預試樣本
本研究於九十七學年度第一學期進行預試，施測對象為彰化縣某國小四年級 學童，27 位學童中，男生有 13 位，女生有 14 人位，採團體施測。貳、正式施測樣本
本測驗於九十七學年度第二學期進行正式施測，其人數的分部情形如表 3-2-1。以臺中市及彰化縣四所學校的四年級學童為對象，每所學校各取兩個班 級，合計共八班，分別實施「乘除文字題測驗」，刪除不完整的樣本後，接受施 測的學童為男生114位與女生117位，共231位。 表 3-2-1 研究樣本人數分配表 縣市 班級 男生（人） 女生（人） 小計（人） 合計（人） 班級一 13 12 25 臺中市 甲校 班級二 14 15 29 54 班級三 13 17 30 臺中市 乙校 班級四 15 14 29 59 班級五 12 14 26 彰化縣 丙校 班級六 12 15 27 53 班級七 18 14 32 彰化縣 丁校 班級八 17 16 33 65 合計 114 117 231第三節 研究工具
本研究使用的工具為研究者自編之國小四年級學童「乘除文字題測驗」，以下 分別說明試題編製與預試情形。壹、試題編製
一、理論依據 本研究中的「乘除文字題測驗」主要是要了解學童解題能力及錯誤類型。研 究者依據 Mayer（1992）解題歷程理論的「問題整合」步驟及 Greer（1992）所提 出的等分組問題作為基礎，編製成這份團體測驗的測驗工具。 二、試題內容設計 本測驗採選擇題形式。首先呈現一個情境文字題，要求學童由四個選項當中 選出最適當的算式選項。試題會依未知數位置的不同來設計，分別將乘除文字題 各分成三種題型：（一）未知數在運算符號前；（二）未知數在運算符號後；（三） 未知數在等號後。 每題型內再分成四種類型的題目，分別為：（一）題目中出現關鍵字：一共、 總共等；（二）題目中出現關鍵字：分給、分成、平均等；（三）題目數字次序和 正確算式相同；（四）題目數字次序和正確算式相反。依據上述的分類，本測驗 共計 24 題，每題 1 分，總分為 24 分。 為使學童作答時避免過多變項的干擾，編製測驗時有以下幾項原則：（一） 皆為單步驟題型；（二）數值以三位數乘/除以二位數為主，以符合四年級學童之 能力；（三）算式中之數字皆能整除。根據上述之編製原則，舉例如下：表 3-3-1 未知數在等號後的乘法文字題之例題 題目形式 例 題 關鍵字─總共 老師請每人吃 3 塊餅乾，全班有 27 人，總共需要多少塊餅乾？ 關鍵字─分 五年甲班每人分得 3 塊餅乾，班上有 27 人，需要多少塊餅乾？ 數字按順序 老師請每人吃 3 塊餅乾，全班有 27 人，需要多少塊餅乾？ 數字順序相反 五年甲班有 27 人，老師請每人吃 3 塊餅乾，需要多少塊餅乾？ 正確算式： 3 × 27 ＝ ( ) 錯誤算式：○1 27 ÷ 3 ＝ ( ) ○2 27 ÷ ( ) ＝ 3 ○3 3 × ( ) ＝ 27
貳、預試
以自編之「乘除文字題測驗」為研究工具，彰化縣某國小四年級學童 27 位學 童為施測對象，在九十七學年度第一學期（97 年 10 月）進行預試，請學生依照 說明作答，先看例題及作答說明，再開始正式作答，施測時間為 40 分鐘。預試 資料經統計分析後，結果如下： 一、預試的信度(reliability)分析 一般而言，一份優良的教育測驗至少應該具有.80以上的信度係數值，才比較 具有使用的教育價值(Camines & Zeller，1979）。而本測驗採取Cronbach α係數， 來求得測驗題目內部一致性，測驗預試之Cronbach α係數為 .87，顯示本測驗具 有良好的信度。 二、預試的效度(validity)分析 本測驗編製完稿後，由三位具有 6 年以上教學經驗的國小現職教師，共同檢 視試題內容，具有專家效度。另外，根據表 3-3-2 測驗內容之架構分布，可檢查 測驗內容之適切性表 3-3-2 雙向細目表 題型 未知數位置 題目形式 題號 正確算式 關鍵字（共） 1 關鍵字（分） 17 數字按順序 7 運算符號前 數字順序相反 22 ( )×b=c 關鍵字（一共） 8 關鍵字（分給） 20 數字按順序 3 運算符號後 數字順序相反 15 a×( )=c 關鍵字（總共） 5 關鍵字（分成） 13 數字按順序 24 乘 法 文 字 題 等號後 數字順序相反 11 a×b＝( ) 關鍵字（總共） 21 關鍵字（平分） 2 數字按順序 16 運算符號前 數字順序相反 23 ( )÷b=c 關鍵字（共） 18 關鍵字（平均） 9 數字按順序 14 運算符號後 數字順序相反 4 a÷( )=c 關鍵字（一共） 12 關鍵字（分成） 6 數字按順序 10 除 法 文 字 題 等號後 數字順序相反 19 a÷b=( )
三、預試試題的難度及鑑別度分析
本研究將總人數取高分組和低分組各 27 %，並分別求出每個試題的答對率， 再來計算試題的難度(item difficult index)和鑑別度(item discrimination index)。根據 試題選擇的標準，難度指數介於.40 ~ .80 者為選擇之標準；鑑別度則是越高越好， 美國測驗學者伊博（Ebel, 1979）曾提出鑑別度的評鑑標準，達.40 以上為非常優 良的試題，若在.19 以下則需淘汰或修改，所以本測驗鑑別度的選擇標準為.19 以 上（郭生玉，1988，頁 271）。 由表 3-3-3 可知，本測驗的鑑別度指數介於.22 ~ .78 之間，平均鑑別度為.50， 具有良好的鑑別度；難度指數介於.17 ~ .89 之間，平均難度為.60，雖然試題 2、4、 5、6、12、16、21 未達最佳試題難度標準，但這些題目都具有良好的鑑別度，因 此將予以保留。 表 3-3-3 預試試題難度、鑑別度一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 難度 .61 .17 .67 .39 .89 .83 .50 .61 鑑別度 .33 .33 .22 .56 .22 .33 .78 .78 題號 9 10 11 12 13 14 15 16 難度 .78 .61 .67 .83 .61 .78 .55 .33 鑑別度 .22 .56 .44 .33 .33 .44 .78 .67 題號 17 18 19 20 21 22 23 24 難度 .50 .61 .67 .56 .39 .44 .56 .72 鑑別度 .56 .56 .67 .67 .56 .67 .67 .33
第四節 研究流程
本研究經擬定計劃、提出研究問題與假設，預試自編工具後，開始進行正式 施測，本研究的研究程序如下圖 3-4-1： 圖 3-4-1 研究流程圖 文獻探討 確定研究題目、研究目的 確定研究架構 編製乘除法文字題測驗 測驗工具之審查與修正 預試 預試資料分析並確定正式測驗試題 正式施測 施測結果分析 資料分析 撰寫研究報告第五節 資料處理與統計分析
壹、資料處理
本研究資料除了受試者乘除文字題測驗的得分，另外還有施測學童的背景資 料。資料回收後，先刪除不完整資料後，再將有效資料編碼，然後輸入電腦進行 建檔，以進行計分和統計分析。貳、統計分析
一、測驗工具之分析 以 Cronbach α 係數進行內部一致性分析，並以難度、鑑別度進行試題分析， 作為篩選之依據。 二、描述統計 依自編「乘除文字題測驗」中未知數位置、關鍵字、數字出現次序等變項， 求得平均數(average)和標準差(standard deviation)，以作為對樣本資料的初步了解。 三、推論統計 （一）以成對樣本ｔ檢定(paired-samples t test)，探討學童在不同題型間的解 題能力是否有差異。 （二）利用獨立樣本ｔ檢定(independent-samples t test)和單因子變異數分析 (one-way analysis of variance, ANOVA)探討不同背景學童與解題表現是否有差異。（三）以卡方檢定(Chi-square test)，探討關鍵字與運算符號、題目數字次序 與算式數字次序、背景因素與錯誤類型是否有差異。
第四章 分析與討論
本研究係探討學童在乘除文字題理解表現情形，進而探討錯誤類型與不同的 背景因素在其表現上是否有顯著差異。茲將研究結果分四節加以討論。第一節為 試題分析：第二節為學童在乘除文字題上的相關表現；第三節為乘除文字題與背 景因素之相關；第四節為錯誤類型。第一節 試題分析
本研究之「乘除文字題測驗」，在九十七學年第二學期（98 年 4 月）進行正 式施測，茲將施測後結果，進行試題分析：壹、信度分析
本測驗採取 Cronbach α 係數進行試題的可靠性及內部一致性檢驗，正式施 測的 Cronbach α 數為 .87，而一份優良的測驗至少應該具有.80 以上的信度係數 值（Camines & Zeller, 1979），顯示本測驗具有良好的內部一致性，信度頗佳。貳、效度分析
效度方面，本測驗在編製試題過程中，依據理論編製雙向細目表以確認試題 內容具有代表性，且試題編製經由有具豐富教學經驗的教師共同審核，故具備有 良好的內容效度及專家效度。參、難度分析
將全體受試者取高分組和低分組各 27 %，並分別求出每個試題的答對率，來 計算試題的難度。根據測驗試題的評鑑標準，試題難度指數介於.40 ~ .80 者為最 佳試題（郭生玉，1988）。由表 4-1-1 可知，本測驗之試題難度介於.47 ~ .94 之間， 平均為.68，顯示本測驗題型偏易。試題 5、6、11、12、19 難度偏易，但皆屬於「未知數在等號後」的題型，學童對此類題型較為熟悉，因此，不管學童答對率 普遍較高，但題目有其存在的必要。 表 4-1-1 試題難度一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 難度 .68 .47 .70 .57 .89 .94 .57 .61 題號 9 10 11 12 13 14 15 16 難度 .76 .80 .83 .88 .78 .75 .60 .53 題號 17 18 19 20 21 22 23 24 難度 .54 .70 .82 .54 .49 .49 .53 .79
肆、鑑別度分析
本測驗試題鑑別度的評鑑標準，鑑別度指數在.19 以上為選擇標準（Ebel, 1979）。由表 4-1-2 可知，本測驗之試題鑑別度介於.12~.88 之間，平均鑑別度為.55。 試題 6 鑑別度偏低，未達.19 以上，這題屬於「未知數在等號後」除法文字題， 高低分組學童答對率皆高，使得題目無法具有高鑑別度，但並不影響整體試題之 鑑別力。另外，在各題與總分的相關係數方面，每一題皆達顯著水準（p＜.01）， 與總分為高相關，顯示試題具一致性，由以上之分析結果可知本測驗具鑑別力。 表 4-1-2 試題鑑別度一覽表 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 鑑別度 .60 .49 .56 .61 .21 .12 .79 .74 與總分 相關係數 .51 ** .37** .52** .49** .28** .24** .62** .58** 題 號 9 10 11 12 13 14 15 16 鑑別度 .40 .40 .33 .25 .42 .47 .77 .81 與總分 相關係數 .41 ** .46** .37** .42** .44** .49** .57** .62** 題 號 17 18 19 20 21 22 23 24 鑑別度 .79 .46 .30 .72 .84 .74 .88 .39 與總分 相關係數 .60** .46** .42** .60** .61** .54** .64** .45** * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001第二節 學童在乘除文字題的相關表現
壹、學童在不同題型乘除文字題的表現
一、不同未知數位置 將乘除文字題依未知數的位置分成六種題型，每種題型各有 4 個題目，每題 1 分，每種題型最高分為 4 分。研究者於評分後，分別計算出六種題型的平均數 及標準差。 由表 4-2-1 顯示：這六種題型的平均數為 1.79 ~ 3.62，其中「未知數在等號後」 除法文字題，學童的平均得分最高，平均數為 3.62；在「未知數在運算符號前」 除法文字題，學童的平均得分最低，平均數為 1.79。另外，學童在「未知數在等 號後」題型的表現最佳，其次為「未知數在運算符號後」題型，而「未知數在運 算符號前」題型的表現最差。 表 4-2-1 學童在不同未知數位置題型之解題能力結果統計表 未知數位置 平均數 標準差 a÷b=( ) 3.62 .80 a×b=( ) 3.41 .88 a÷( ) =c 2.98 1.12 a×( ) =c 2.51 1.36 ( )×b=c 2.31 1.40 ( )÷b=c 1.79 1.46 為比較不同未知數位置的六種題型間是否有差異，進行成對樣本 t 檢定。表 4-2-2 顯示：學童在乘法文字題中未知數位置在「運算符號前」及「運算符號後」 解題表現有顯著差異（p＜.01）。其餘各題型之間亦皆達顯著水準（p＜.001），意 即學童在不同未知數位置文字題型之解題能力具有差異存在，而解題能力之高低 依次為「未知數在等號後的除法文字題」、「未知數在等號後的乘法文字題」、「未知數在運算符號後的除法文字題」、「未知數在運算符號後的乘法文字題」、「未知 數在運算符號前的乘法文字題」、「未知數在運算符號前的除法文字題」。
表 4-2-2 學童在不同未知數位置題型之解題能力差異之檢定
未知數位置 ( )×b=c a×( )=c a×b=( ) ( )÷b=c a÷( )=c ( )×b=c --- a×( ) =c -2.59** --- a×b=( ) -11.74*** -10.22*** --- ( )÷b=c 6.01*** 7.68*** 17.67*** --- a÷( )=c -7.47*** -5.58*** 5.70*** -12.62*** --- a÷b=( ) -14.05*** -12.53*** -4.07*** -18.59*** -9.14*** * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001 二、試題中「關鍵字」及「數字出現次序」對學生解題之表現 乘除法文字題依未知數的位置分成六種題型，每種題型再依「關鍵字（總 共）」、「關鍵字（總共）」、「題目數字次序和正確算式相同」和「題目數字次序和 正確算式相反」來命題，各有 6 題，每題 1 分，最高分為 6 分。研究者於評分後， 分別計算出這四類試題的平均數及標準差，其結果如表 4-2-3。 由表 4-2-3 顯示：這四類試題的平均數為 3.90 ~ 4.43，其中關鍵字為總共等 字的文字題，學童的平均得分最高，平均數為 4.43；「題目數字次序和正確算式 數字相反」文字題，學童的平均得分最低，平均數為 3.90。
表 4-2-3 學童在不同關鍵字及數字次序題型的解題能力結果統計表 試題 平均數 標準差 關鍵字（總共） 4.43 1.35 題目數字次序和 正確算式相同 4.37 1.52 關鍵字（平分） 3.94 1.42 題目數字次序和 正確算式相反 3.90 1.60 再進行成對樣本 t 檢定，比較這四種題型間是否有差異存在。由表 4-2-4 發 現：學童在「關鍵字─總共」和「題目數字次序和正確算式相同」、「關鍵字─平 分」和「題目數字次序和正確算式相反」的解題表現未達顯著差異，顯示學童在 「關鍵字─總共」和「題目數字次序和正確算式相同」的題型表現最佳，「關鍵字 ─平分」和「題目數字次序和正確算式相反」的題型表現最差。 表 4-2-4 學童在不同關鍵字及數字次序題型的解題能力差異之檢定 試題 （總共） 關鍵字 （平分） 關鍵字 題目數字次序和 正確算式相同 題目數字次序和 正確算式相反 關鍵字（總共） --- 關鍵字（平分） 5.88*** --- 題目數字次序和 正確算式相同 .79 -5.43*** --- 題目數字次序和 正確算式相反 7.32*** .53 5.35*** --- * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
貳、關鍵字與運算符號之表現情形
在許多研究（王雪瑜，2006；陳依涵，2008；楊招謨，2008）顯示，學童會 在題目尋找關鍵字，再依關鍵字作答，如：看到「總共」就用乘號，「平分」就 用除號。本研究依題目出現的關鍵字，再進行百分比同質性的 χ2考驗，學童選擇 運算符號的作答選項百分比是否有顯著差異。 在乘除文字題中關鍵字為「總共」及「平分」的試題各為三題，分別將此三 題的作答反應合併後，再來進行考驗，在計算 χ2的過程中，當 2×2 列聯表中理論次數小於 5 時，將進行耶茲氏校正(Yate`s correction for continuity)（林清山，1992）。 由表 4-2-5 可知：在乘法文字題中，當關鍵字為總共等字時，選擇正確運算 符號的學童百分比為 80.4％，選擇錯誤運算符號的學童百分比為 19.6％；而當關 鍵字為平分等字時，選擇正確運算符號的學童百分比下降至為 63.2％，選擇錯運 算符號的學童百分比則上升到 36.8％。在除法文字題中，當關鍵字為平分等字時， 選擇錯誤運算符號的學童百分比為 4.0％，選擇正確運算符號者百分比為 96.0％； 而當關鍵字為總共等字時，選擇錯誤運算符號的學童百分比上升至為 14.3％，選 擇正確運算符號的學童百分比則下降到 85.7％。由統計結果可知，學童在不同關 鍵字題型中，運算符號作答反應的百分比達顯著水準，表示題目關鍵字會影響學 童對運算符號的選擇。 表 4-2-5 關鍵字題型與運算符號之檢定 正確運算符號 錯誤運算符號 題型 N % N % χ 2 關鍵字 (總共) 557 80.4 136 19.6 乘 法 文 字 題 關鍵字 (平分) 438 63.2 255 36.8 69.25*** 關鍵字 (總共) 594 85.7 99 14.3 除 法 文 字 題 關鍵字 (平分) 665 96.0 28 4.0 21.96*** * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
參、題目數字次序與算式數字的關係
蔣治邦等人（2000）認為學童通常習慣按照數字出現之次序來記錄活動，因 此，研究中將題目的數字出現的次序分成兩種：一種為題目數字與正確算式數字 相同，另一種則為題目數字與正確算式數字相反，以下依據學童的作答情形來進 行 χ2 考驗。 由表 4-2-6 可知：在乘法文字題中，當題目數字出現的次序和正確算式相同 時，則選擇「正確算式數字次序」的百分比為 92.5％，選擇「錯誤算式數字次序」 的百分比為 7.5％；當題目數字出現的次序和正確算式相反時，則選擇「正確算 式數字次序」的百分比降為 81.5％，選擇「錯誤算式數字次序」的百分比則為 18.5 ％。在除法文字題中，當題目數字出現的次序和正確算式相同時，則選擇「正確 算式數字次序」的百分比為 89.0％，選擇「錯誤算式數字次序」的百分比為 11.0 ％；當題目數字出現的次序和正確算式相反時，則選擇「正確算式數字次序」的 百分比僅有 83.8％，選擇「錯誤算式數字次序」的百分比則為 16.2％。由統計結 果可知，學童在不同題目數字次序的題型中，算式數字次序作答反應的百分比達 顯著水準，表示題目數字次序會影響學童對算式數字次序的選擇。 表 4-2-6 題目數字次序與算式數字次序之檢定 正確算式數字次序 錯誤算式數字次序 題型 N % N % χ2 題目數字 按次序 641 92.5 52 7.5 乘 法 文 字 題 題目數字 次序相反 565 81.5 128 18.5 9.73** 題目數字 按次序 617 89.0 76 11.0 除 法 文 字 題 題目數字 次序相反 581 83.8 112 16.2 4.92* * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001第三節 不同背景因素學童之能力表現及差異分析
從文獻探討中可得知：性別、雙親學歷、校外數學補習、數學態度等因素， 都會影響學童解題能力；因此，本研究以獨立樣本 t 檢定、單因子變異數分析等 方法進行考驗，探討不同背景因素學童，在乘除文字題的解題能力是否有差異存 在，其結果分以下幾點加以說明：壹、性別
本研究總樣本為 231 人，其中男生為 114 位，女生為 117 位。為比較男、女生 在本測驗中解題能力的差異情形，以獨立樣本ｔ檢定法來探討男、女生在測驗的 表現情形，以及得分是否有顯著差異。 由表 4-3-1 可知：男生在測驗的平均數為 16.34，女生則為 16.90，由此可看 出女生的平均得分優於男生，但再以 t 檢定進一步加以考驗，檢定結果未達統計 上的顯著水準，顯示男、女生解題的表現雖不一致，但並沒有顯著的差異。 表 4-3-1 不同性別的學童在乘除文字題解題表現上之檢定 性別 個數 平均數 標準差 ｔ值 p 值 男 114 16.34 5.16 女 117 16.90 5.01 -.83 .41 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001貳、雙親學歷
為了解雙親學歷對學童解題能力的影響，對學童家長的教育程度加以調查， 結果發現：231 份問卷中，未填答的人數，父親有 4 位，母親有 3 位。根據調查 結果，研究者以單因子變異數分析進行考驗。 由表 4-3-2 顯示：父親教育程度不同之學童，父親高中職學歷的學童平均得 分最高，父親國中小以下學歷的學童平均得分則是最低，不過，進一步加以考驗並沒有達到顯著的差異。母親教育程度不同之學童，母親高中職學歷的學童平均 得分最高，母親國中小以下學歷的學童平均得分則是最低，進一步加以考驗，結 果達統計上的顯著水準（p＜.01），再以 Scheffé 法進行事後比較，發現母親教育 程度為高中職之學童，其表現皆顯著優於母親教育程度為國中小以下，以及專科 大學以上之學童。 綜合上述，雖然雙親學歷之樣本數分配不相等，使研究結果在推論上受到限 制，但從學童解題能力表現來看，母親的學歷背景與學童在本研究之解題能力的 表現具有顯著差異。 表 4-3-2 學童雙親學歷在文字題理解能力之變異數摘要表 雙 親 學 歷 個數 平均數 標準差 F 值 Scheffé 法 國中小以下（1） 35 16.26 5.14 高 中 職 （2） 102 17.02 4.88 父 親 專科大學以上（3） 90 16.41 5.38 0.47 國中小以下（1） 46 15.11 5.63 高 中 職 （2） 94 17.97 4.82 母 親 專科大學以上（3） 88 16.09 4.82 6.02** 2＞1 2＞3 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
參、校外數學補習
為比較學童是否參加校外數學補習在本測驗中解題能力的差異情形，以獨立 樣本ｔ檢定法來做分析。 由表 4-3-3 可知：有參加校外數學補習的學童，測驗的平均分數為 17.24 分， 而沒有參加的學童，其平均分數為 16.11 分，在本研究的解題表現上，有參加校 外補習學童的平均分數優於沒有參加者，但再以 t 檢定進一步加以考驗，檢定結 果未達統計上的顯著水準，顯示是否參加校外數學補習在乘除文字題解題的表現 雖不一致，但並沒有顯著的差異。表 4-3-3 校外數學補習的學童在乘除文字題解題表現上之檢定 校外數學補習 個數 平均數 標準差 t 值 p 值 有參加 105 17.24 4.84 沒參加 126 16.11 5.24 1.67 .093 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
肆、數學態度
探討學童對數學的態度是否會影響學童解題的表現，因學童對數學態度程度 上的拿捏不一定很準，因此只將數學態度分為「喜歡」和「討厭」兩選項，並以 獨立樣本 t 檢定來進行考驗。 由表 4-3-4 可知：喜歡數學的學童，測驗平均分數為 17.27 分，而討厭數學 的學童，其平均分數為 15.88 分，在文字題解題的表現上，喜愛數學學童的平均 分數優於討厭者，再以 t 檢定進一步加以考驗，檢定結果達統計上的顯著水準（p ＜.05），顯示喜愛數學的學童在本研究的測驗中表現明顯優於討厭數學者。 表 4-3-4 學童的數學態度在乘除文字題解題表現上之檢定 數學態度 個數 平均數 標準差 t 值 p 值 喜歡 124 17.27 5.04 討厭 107 15.88 5.05 2.08 .038* * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001第四節 錯誤類型
壹、錯誤類型分析
在分析學童解題結果時，發現學童錯誤類型有許多雷同之處，以往之文獻 中，大部分針對學童解題時，探討計算方面的錯誤類型，或擬題錯誤類型之分析， 較少分析文字題以算式填充題表徵的錯誤類型，因此本節將就試題分析結果，挑 出學童選擇的同一錯誤選項達50人以上之試題，以進行錯誤類型分析，試題錯誤 類型相同者，將合併一起討論。本研究將學童的錯誤類型分為三大類，並分析錯 誤類型與學童的背景因素是否有差異存在。 一、大數÷小數 由表4-4-1發現：試題2、16皆為未知數在運算符號前的除法文字題「( )÷b＝ c」，學童作答反應最多的錯誤算式為「b÷c＝( )」將未知數置於等號後。試題2 有79位學童選擇錯誤算式，佔答錯人數61.24％，佔全部人數34.12％；試題16則 有55位學童選擇錯誤算式，佔答錯人數42.97％，佔全部人數23.81％。 表4-4-1 試題2、16的錯誤類型分析 題 號 題 目 正確算式 錯誤算式 人 數 佔答錯 人數百 分比 佔全部 人數百 分比 2 果 凍 工 廠 將 生 產 的 果 凍，每 840 個裝 成一 箱，剛好平分成 42 箱， 工廠生產了幾個果凍？ ( )÷840＝42 840÷42＝( ) 79 61.24 34.12 16 科學博物館的太空劇場 一個場次可以容納 616 人，一星期有 28 場，有 多少人可以看太空劇場 ？ ( )÷616＝28 616÷28＝( ) 55 42.97 23.81二、選擇與題目數字次序相同的算式 由表 4-4-2 發現：試題 4 有 53 位學童選擇錯誤算式，佔答錯人數 57.61％， 佔全部人數 22.94 ％；試題 22 有 61 位學童選擇算式，佔答錯人數 48.03 ％，佔 全部人數 26.41％。顯示部分學童解題時會受題目中數字影響，會依題目中數字 出現的次序來選擇算式。 表 4-4-2 試題 4、22 錯誤類型分析 題 號 題 目 正確算式 錯誤算式 人 數 佔答錯 人數百 分比 佔全部 人數百 分比 4 我要在 31 天內織完一 條圍巾，每天織一樣的 長度，一天要織多長， 才能完成 248 公分的圍 巾？ 248÷( )＝31 ( )÷31＝248 53 57.61 22.94 22 超市舉辦特賣會，每瓶 飲料價錢都一樣，媽媽 花 848 元買了 53 瓶飲 料 ， 每 瓶 飲 料 賣 多 少 錢？ ( )×53＝848 ( )÷848＝53 61 48.03 26.41 三、運算符號錯誤 在研究中造成使用運算符號錯誤的原因，歸納為兩點：一為受關鍵字影響； 另為不了解題意。 （一）受關鍵字影響 表 4-4-3 發現：學童易從試題 17、20、21 題目上的表面線索來進行解題，一旦題 目中有誤導之關鍵字出現，可能會影響到解題判斷。試題 17 有 62 位學童選擇錯 誤算式，佔答錯人數 53.91％，佔全部人數 26.84％；試題 20 有 71 位學童選擇錯 誤算式，佔答錯人數 57.72％，佔全部人數 30.74％；試題 21 有 76 位學童選擇錯 誤算式，佔答錯人數 58.02％，佔全部人數 32.90％。由表可知有一部分學童在解 題時受題目關鍵字的影響，試題 17、20 題目中有「分給」等關鍵字，以致學童 會選擇除法的運算符號；試題 21 題目中則有「總共」，使得學童會選擇乘法運 算符號。
（二）不了解題意 試題 23 有 80 位學童選擇錯誤算式，佔答錯人數 65.04％，全部人數 34.63％。 學童從題目中的「牛肉每公斤 255 元，買了 85 公斤，要付多少錢？」來做判斷， 因教材中的乘法文字題大多以此種問題型態為主，當學童不了解題意時，容易傾 向選擇有乘號算式的選項。 表 4-4-3 試題 17、20、21、23 的錯誤類型分析 題 號 題 目 正確算式 錯誤算式 人 數 佔答錯 人數百 分比 佔全部 人數百 分比 17 老師給每個人一樣多的 糖果，班上 32 個人，老 師全部分了 512 顆，每 人可以得到幾顆糖果？ ( )×32＝512 ( )÷32＝512 62 53.91 26.84 20 佳佳帶一桶糖果請同學 吃，她分給每人 22 顆 糖，一桶糖果 352 顆剛 好都分完，她分給幾個 人？ 22×( )＝352 ( )÷22＝352 71 57.72 30.74 21 王老闆經營春天茶館， 昨天進貨 36 公斤的茶 葉，一公斤的茶葉 936 元，王老闆總共要付多 錢？ ( )÷36＝936 ( )×36＝936 76 58.02 32.90 23 新鮮批發市場今天進貨 一批牛肉，牛肉每公斤 255 元，買了 85 公斤， 要付多少錢？ ( )÷85＝255 ( )×85＝255 80 65.04 34.63
貳、錯誤類型與背景因素之差異分析
本研究將錯誤類型歸納成三大類：第一錯誤類型「大數÷小數」中有試題 2、6， 共二題；第二錯誤類型「選擇與題目數字次序相同的算式」中有試題 4、22，共 二題；第三錯誤類型「受關鍵字影響，運算符號錯誤」中有試題 17、20、21，共 三題，雖然 23 題的錯誤類型也是運算符號錯誤，但造成的原因不同，所以，不 放在第二錯誤類型中與背景因素做分析。 本研究欲探討的是將歸納出來的錯誤類型分別與學童背景因素做卡方檢定， 分析之間是否有差異存在。在不同背景因素中，依學童在這三類錯誤類型中答錯題數的百分比進行考驗，在計算 χ2的過程中，當 2×2 列聯表中理論次數小於 5 時， 將進行耶茲氏校正。而在雙親學歷變項中，當理論次數小於 5 時，則將數格予以 合併來進行考驗（林清山，1992）。 一、性別 為了解四年級學童男女生在本測驗錯誤類型的表現情形，以卡方檢定方法來 探討不同性別學童在錯誤類型之表現情形是否有顯著差異。 由表4-4-4發現：經卡方檢驗後不同性別的學童在這三類錯誤類型題數的分配 情形皆未達顯著差異，表示在本測驗中，男、女生在錯誤類型的作答反應並無差 異存在。 表 4-4-4 不同性別學童在錯誤類型表現上之分析表 題 數 0 1 2 3 錯誤類型 n % n % n % n % χ2 男 58 25.1 44 19.0 12 5.2 (一)大數÷小數 女 62 26.8 44 19.0 11 4.8 .14 男 66 28.6 36 15.6 12 5.2 (二)選擇與題 目 數 字 順序 相 同的算式 女 69 29.9 42 18.2 6 2.6 2.49 男 50 21.6 35 15.2 22 9.5 7 3.0 (三)關鍵字影 響 ， 運 算符 號 錯誤 女 46 19.9 41 17.7 22 9.5 8 3.5 .67 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
二、雙親學歷 研究者將分別父母親學歷與錯誤類型的差異，因父母親教育程度人數分佈不 均，導致有些細格內的理論次數小於5，因此，將進行合併後再進行考驗。第一、 二錯誤類型分別經合併後，學童的作答反應變項題數為0題及1 ~ 2題；第三錯誤 類型經合併後，作答反應變項題數為0題及1題、2 ~ 3題。 由表4-4-5發現，父親學歷與學童錯誤類型的作答反應經檢驗後並未達顯著差 異。而從表4-4-6中顯示，在母親學歷方面，在「大數÷小數」錯誤類型經卡定檢 定達統計著水準（p＜.05），顯示母親學歷與這項錯誤類型達顯著差異，從學童 作答反應題數的所佔人數及百分比來看，母親學歷為專科大學以上的學童，選擇 這項錯誤類型的人數比較高。 表 4-4-5 父親學歷在錯誤類型表現上之分析表 題 數 0 1~2 題 錯誤類型 n % n % χ 2 國中小以下 18 7.9 17 7.5 高中職 56 24.7 46 20.3 （一） 大數÷小數 專科大學以上 44 19.4 46 20.3 .70 國中小以下 20 8.8 15 6.6 高中職 62 27.3 40 17.6 （二 ）選擇 與題 目數字 順序 相同的 算式 專科大學以上 52 22.9 38 16.7 .24 題 數 0 1 題 2~3 題 n % n % n % χ 2 國中小以下 13 5.7 13 5.7 9 4.0 高中職 45 19.8 33 14.5 24 10.6 （ 三 ） 關 鍵 字 影 響 ， 運 算符號錯誤 專科大學以上 37 16.3 28 12.3 25 11.0 .95 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
表 4-4-6 母親學歷在錯誤類型表現上之分析表 題 數 0 1~2 題 錯誤類型 n % n % χ 2 國中小以下 19 8.3 27 11.8 高中職 59 25.9 35 15.4 （一） 大數÷小數 專科大學以上 40 17.5 48 21.1 7.98* 國中小以下 25 11.0 21 9.2 高中職 64 28.1 30 10.1 （二 ）選擇 與題 目數字 順序 相同的 算式 專科大學以上 46 20.2 42 14.5 5.27 題 數 0 1 題 2~3 題 n % n % n % χ 2 國中小以下 18 7.9 16 7.0 12 5.3 高中職 46 20.2 29 12.7 19 8.3 （ 三 ） 關 鍵 字 影 響 ， 運 算符號錯誤 專科大學以上 31 13.6 30 13.2 27 11.8 4.31 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001 三、校外數學補習 以卡方檢定的考驗方法來探討參加校外數學補習的學童，其在作答的錯誤類 型上是否會有差異的存在。 由表4-4-7現：不管是否有參加校外數學補習的學童其在錯誤類型題數的分配 情形皆未達顯著差異，表示即這三種錯誤類型並不與是否參加校外數學補習的學 童而有差異存在。
表 4-4-7 學童參加校外數學補習在錯誤類型表現上之分析表 題數 0 1 2 3 錯誤類型 n % n % n % n % χ 2 有 59 25.5 33 14.3 13 5.6 (一)大數÷小數 沒有 61 26.4 55 23.8 10 4.3 4.05 有 59 25.5 38 16.5 8 3.5 (二)選擇與題 目數 字順序相 同的算式 沒有 76 32.9 40 17.3 10 4.3 .51 有 45 19.5 36 15.6 18 7.8 6 2.6 (三)關鍵字影 響， 運算符號 錯誤 沒有 51 22.1 40 17.3 26 11.3 9 3.9 .74 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001 四、數學態度 在許多文獻（臧俊維，20022；葛建志，2004）中可發現數學態度是影響學童 解題表現的重要因素之一，在此亦要探討數學態度是否也會和錯誤類型也差異存 在。 表 4-4-8 顯示：在不同數學態度變項，第一錯誤類型「大數÷小數」中的卡方 檢驗結果達顯著（p＜.05），顯示討厭數學的學童容易選擇此種錯誤類型，推測因 學童對數學較無學習興趣，當遇到無法了解題意的文字題時，並不會去加以思 考，而是直接選擇熟悉的算式選項。第二、三錯誤類型的卡方檢驗結果皆無顯著 差異，顯示這兩種錯誤類型並不因學童的態度而有差異。
表 4-4-8 學童的數學態度在錯誤類型表現上之分析表 題數 0 1 2 3 錯誤類型 n % n % n % n % χ 2 喜歡 73 31.6 44 19.0 7 3.0 (一)大數÷小數 討厭 47 20.3 44 19.0 16 6.9 7.95* 喜歡 71 30.7 42 18.2 11 4.8 (二 )選 擇與題 目 數 字 順 序 相 同的算式 討厭 64 27.7 36 15.6 7 3.0 .47 喜歡 54 23.4 35 15.2 28 12.1 7 3.0 (三 )關 鍵字影 響，運算符號錯 誤 討厭 42 18.2 41 17.7 16 6.9 8 3.5 4.08 * p＜.05 **p＜.01 ***p＜.001
第五章 結論與建議
本章將針對本研究的結果加以整合，依據研究目的做整體性的敘述，並就研 究結果提出建議，進一步說明本研究之限制，以提供未來相關研究之參考。第一 節為研究結論，第二節為研究限制，第三節為研究建議。第一節 研究結論
壹、測驗工具分析
本研究主要目的在編製適用於國小四年學童施測的乘除文字題理解能力測 驗。經分析後，試題難度為.68，鑑別度為.55，且各題與總分的相關皆達顯著水 準，與總分為高相關，顯示試題具一致性。Cronbach α 信度係數為.87，顯示試題 的內部一致性高，是一份具有良好信度的測驗工具。此外，本研究的測驗工具， 依據雙向細目表編製，並經由具備實際教學經驗的教師加以審核，因此，試題具 有良好的內容效度和專家效度。 本研究之試題在難度、鑑別度、信度與效度上皆具良好試題特徵，顯示「乘 除文字題測驗」對國小四年級大多數學童具有良好的適用性。貳、學童在乘除文字題解題能力的表現情形及差異分析
分析學童作答未知數位置不同的文字題反應發現：學童在「未知數在等號後」 表現最佳，其次為「未知數在運算符號後」，而「未知數在運算符號前」表現最 差，此研究結果與許淑萍（2002）的結果一致。由此推論，在上述三種類型中， 學童最早接觸未知數在等號後的文字題，對於這題型較為熟練；但當遇到未知數 在運算符號前，學生因習慣是順向思考，而影響到答題情形。當依題目中的「關 鍵字」與「數字出現次序」來分類時，學童在「關鍵字─總共」和「題目數字順 序與正確算式相同」的題型表現最佳，「關鍵字─平分」和「題目數字順序與正確算式相反」表現最差。 在不同關鍵字中，學童對運算符號作答反應的差異情形，分別在乘除文字題 中達顯著水準，表示在本研究中關鍵字會影響學童對運算符號的選擇，此結果與 王雪瑜（2006）等人一致，以此推論學童習慣利用關鍵字來解題，所以對運算符 號造成錯誤的使用。在不同的題目數字次序中，學童對算式數字次序選擇的作答 反應差異情形，分別在乘除文字題中皆達顯著水準，表示學童會依題目數字出現 的次序來列式，此結果與蔣治邦等人（2000）一致。
參、不同背景因素學童之表現情形及差異分析
在一般的觀念中在，女生在語文方面表現較佳，而男生則是在數理方面表現 較優秀。但在本研究的文字題解題表現上，男女生在乘除文字題解題表現上並沒 有顯著差異。此研究結果與國內學者曹宗萍（1988）、陳湘琪（1999）、黃俊仁（2003） 等人研究結果一致。在雙親學歷的變項方面，父親學歷與學童文字題解題表現未 達顯著差異，但母親學歷為高中職的學童表現顯著優於母親學歷為國中以下、專 科大學以上的學童，由結果可發現母親的教育程度對子女教育成就的影響大於父 親的教育程度。此研究結果與黃毅志（1995）等人的研究結果一致。 究竟補習對成績是否有所影響，並沒有相當明確的答案，而在本研究結果發 現，是否參與校外數學補習在本測驗的文字題解題表現上並沒有顯著差異，此研 究結果與黃雪萍（2002）等人的研究結果並不一致。研究者推論，補習教育注重 精熟學習，同樣的題型讓學童反覆的練習已達到熟練，但學童對數學概念可能並 不清楚，因本測驗的試題與平時練習題目有所不同，所以，有參加校外補習的學 童解題表現與沒有參加補習者並沒有顯著差異。 另外，從結果可發現學童的數學態度與解題表現達顯著差異，喜愛數學的學 童在本研究的測驗中表現優於討厭數學者。此研究結果與吳泓泰（2006）等人研 究結果一致。肆、錯誤類型分析
本研究依學童的作答反應及試題錯誤人數的多寡，將錯誤類型歸納為主要三 種：（一）大數÷小數；（二）運算符號錯誤；（三）選擇與題目數字順序相同的 算式。 依分析錯誤類型與背景因素之間的差異情形，結果顯示男、女學童在這三種 錯誤類型的表現皆無顯著差異，表示此階段學童的錯誤類型並不因性別的不同而 有所差異。雙親學歷方面，學童錯誤類型的表現與父親學歷並無顯著差異。但母 親學歷為專科、大學以上的學童選擇「大數÷小數」錯誤類型的人數較多。參加 校外數學補習部分，結果顯示不論是學童有沒有數學補習在這三種錯誤類型的表 現並沒有顯著的差異，表示學童在本測驗中的錯誤類型作答反應，並不因是否參 與補習而有所差異。學童的數學態度方面，討厭數學的學童較易選擇「大數÷小 數」錯誤類型，研究者推測：學童對數學較無興趣，因而影響作答的態度，當不 了解題意時，便會選擇最熟悉的算式。第二節 研究限制
本節針對本研究設計上的限制，提出以下說明：壹、研究變項
本研究目的之一為探討學童的背景因素與解題表現、錯誤類型之差異情形， 本研究只就性別、雙親學歷、校外數學補習、數學態度來探討，但這四項變項並 無法準確做推論，如母親學歷在本研究中對學童解題有顯著差異，但是若能調查 母親職業、教育方式等變項，更利於推測關於母親的變項對學童解題的影響。因 此在推論上較為保守，不宜過度推論。貳、研究工具
在乘除法的相關研究中，探討乘除法問題有不同的呈現方式，本研究為探討等分組問題且只研究整數部分，因此其他結構的文字題並不包括在本研究的範圍 內，無法推論學童在其他結構文字題的表現。另外，本研究主要是透過自編之「乘 除文字題解題測驗」，為選擇題的題型，每一題皆為四個選項，選項中數字、未 知數、運算符號的排列組合皆為固定，學童的作答反應不只這四種反應，因此限 制了學生作答的範圍，
