數與數概念的本質

一、有關數或數概念定義的文獻

對於數或數概念加以定義的國內外文獻有許多，現引述於下：(引自寧自 強，1998)

1.高斯(Gauss, 1980\1929)對於「數」，給了下列定義：

數是一個指標，此指標是為了獲得與一被界定量相等的量，一個單位量，

或是此單位的一個被等分割部份，所需被重複累積的次數；這個次數則被用來 指示被界定量。

即人們如果想要獲得一被界定量，心中必先存有一個單位量，使用它來重 複累積以達到被界定量，而其中重複累積的次數即是「數」，例如「三顆糖果」

是由單位量「一顆糖果」重複累積 3 次而成，重複累積的次數 3 即是「數」。

但根據甯自強(1997)的說明，高斯使用「次數」來界定「數」不免陷入循環界 定的問題：「次數」也是「數」。

2.羅素(Russell, 1919)給基數的定義

The cardinal number of a given class is the set of all those classes that are similar to the given class. (一個給定類別的基數乃是與此給定類別相似的所有類 別之集合)

羅素認為數不過是相似的類所成的類(class of classes)。甯自強(1997)解釋 羅素的主張為：「3」是由所有等價類，如「三個人」、「三顆蘋果」、「三塊餅乾」……

等所抽象而成。

3.皮亞傑(Piaget, 1965)

經由對兒童的觀察指出，基數概念與序數概念是同時產生的。也就是說數 概念一形成，一方面是序數，另一方面是基數。雖然皮亞傑對羅素的基數定義 有所批評，但仍以其定義為基礎加以修正使符合正整數的基數與序數兩概念，

顯見其對羅素的基數定義仍持贊同。

4.Davydov(1982)對數概念的定義是：

數概念是指某量，及該量中用作測量單位的一部份，經由測量活動所建立 的一組多重的關係。Davydov 與高斯都強調數是用來界定某量與一單位量間的

「次數」關係，只是 Davydov 認為此關係的建立是經由實測所達成。

5.歐基里得(Euclid , 1926)提及：

所謂的單位是指存有而被稱為「1」的事物，而數則是由單位所構成的多 數。此觀點與高斯、Davydov 類似，可以說數是由個別的單位「1」所組成的 全體。

6.Steffe 等人(1993)認為「『1』是內蘊化的數數動作，而數則為由集合『1』所 構成的集聚單位(composite unit)」。數數活動是在離散量中確認集合的數值的 測量活動，因此 Steffe 等人的論點與 Davydov 相似。

7.劉秋木(1996)根據「人們要經過數數的過程才能確定一個集合(或一堆物件) 有多少元素(總量)」，稱「數是一個計算事物的系統(計數系統)」。

8.甯自強(1997)認為，由心理學的觀點來看，數概念是由「1」概念的聯合再加 以聚合而成的集聚單位；而「1」概念則由測量活動中的行為，或是數數動作 的蘊化所得的。另外數概念用在實際中，是單位量與被界定量的關係；此一 關係多半發生在測量活動中，此一關係建立在單位量(部份)與被界定量(全體) 的可重複累積的多重關係上。

綜合以上對數概念本質和單位量的探討的意義，多數學者所謂的「數」是 整數概念為主，可說：數是由個別的單位「1」所組成的全體，不論是整數、

分數或是小數，都是單位量累積的結果，差別只在於分數或小數是以較小的單 位量進行累積。透過這些探討，能在研究學童有理數的概念理解與形式程序的 學習過程，對確認學童如何運思有所助益。

二、兒童數概念運思方式

以下依據甯自強(1992a、1992b、1992c)的論述，將兒童數概念運思方式做

一說明：

(一)序列性合成運思

序列性的合成運思是指兒童依數詞將指示的量依序全盤表現出，以進行量 的分解與合成，並將分解或是合成的結果重新合成加以數值化。在這種運思時 期，每一個數詞所代表的數都是獨立的。

(二)累進性合成運思

累進性的合成運思是指兒童將數詞指示的量當成基礎出發點，而不需加以 全盤表現出，以進行量的分解與合成，並且一邊進行分解或合成的活動，一邊 將累進的結果予以數值化。在這種運思期，較小的數是內嵌於較大的數內，而 內嵌的關係則源自於合成運思的心智活動。

(三)部分－全體運思

所謂部分－全體運思，是累進性合成運思的重組，它以累進性合成運思所 製成的集聚單位為圖像型的素材，將原來內嵌於集聚單位中的元素複製後加以 脫嵌，再行置回原集聚單位中，並同時保持原有的全體不變。由部分－全體運 思所孤立出的部分不會影響原來的全體，而由累進性合成運思所建構出的部 分，一經孤立則使原有的全體不復存在。

(四)測量運思

測量運思是兩個部分－全體運思的遞迴運用，在重複的運用部分－全體運 思以重組同基數的次階集聚單位後，把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單 位都當成部分，加以複製後予以脫嵌外提，再行置回原處，並且同時保留原有 的最高階集聚單位與「一」的部分－全體關係。

由上列的敘述可知，數概念發展的每一個運思期旨在探討一集聚單位量與 單位量「1」之間的關係。在序列性合成運思期的兒童具有起始數概念，類同 於皮亞傑提出的基數和序數概念，如有「7」個花片，學童能指出「7」是全部 的花片數，「7」是由 7 個「1」合成的新集聚單位。在累進性合成運思期的兒 童具有內嵌數概念，能以新的集聚單位為起點，進一步累加另一物件以形成另

一新的集聚單位，如以「7」為起點，再往上累積 3 個「1」，將形成 10。在部 分－全體運思期和測量運思期的兒童具有合成巢狀數概念，此時集聚單位可由 1 和其它的高階單位聯合而成，如「17」代表 1 個「10」和 7 個「1」所合成的，

此概念層次的兒童具有位值概念。在測量運思期的兒童具有測量單位數概念，

一數可由多種單位構成，其總和不會因調整內部結構而有所變化。

學童約在一年級下學期開始發展累進性合成運思，而約在三年級下學期開 始發展部份全體運思(甯自強，1994)，且由於運思及數概念品質不同，使得學 童能操作的大小整數有別(蔣治邦等人，2000)。在本研究中，研究對象為已修 畢國小三年級課程，將升上四年級的學童，正發展至部分全體運思，已具有合 成巢狀數概念層次，也正逐次發展到測量運思期，測量單位數概念正在形成中。

三、國小數學課程教材分析

數與量在數學課程中佔有重要地位，其主要概念的形成與演算能力的培養 均奠基於國小階段(教育部，2003)。在小學階段，數與量可分為「整數」、「量 與實測」、「有理數」及「估算」等四部份。根據教育部(2003)九年一貫課程綱 要數學學習領域，研究者彙整有關數與量之相關內容，敘述說明如下：

(一) 整數

在國小階段，整數指的是自然數和 0，處理有關離散量的計數與計算。整 數教學是國小數學課程的核心之ㄧ，教師在課程安排時應著重在學生既有的基 礎上適當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算更是所有有關數學學習的基 礎。學童透過在教學中的活動、情境掌握計算的意義，藉由各種例子體驗計算 的規則與策略。

甯自強(1992a、1992b、1995)指出正整數解決表示個體數量及個體次序位 置的問題，亦即利用正整數解決基數與序數的問題。正整數數概念是計數事物 經驗的累積，且掌握事務的第一步不外乎是直接接觸，序列中的數詞或不同數 詞是日後兒童用來溝通有關正整數數概念的必需工具及區分不同而又等價單 位的計數物。因此，正整數概念的啟蒙之兩大工具為「具體物的計數物」與「標

準數詞序列」。且整數詞的概念發展可區分為上述提及的：合成運思期、累進 性合成運思期、部份全體運思期、測量運思期等四階段；其中前三階段與低年 級數與計算教材設計有關。

(二) 有理數

有理數(rational number)是數學家發明了無理數後，將其他數與無理數區別 而產生的術語(劉秋木，1996)。此譯名源自希臘的「ratio-nal number」，意思是

「成比的數」，其意義基本上已包含著整數的意義與比的意義，與之相對，而

「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數。

有理數的意義非常豐富，且各家說法不盡相同，甚至與分數用語相通互 用，沒有區分有理數與分數。例如：數學家認為分數(或有理數)是一種關係，

Russell 定義分數

mn為當xn＝ym時存在於 x 與 y 之間的關係，在m與n不為 0 的情況下，

mn是一對一的關係(劉秋木，1996)。

而小學數學教育中，92 年數學領域課程綱要指出小學的有理數教學應包含 平分、測量、比例、部份-全體的意涵，有理數教學有分數、小數等兩種不同 的表現形式(教育部，2003)。

1. 分數

(1) 分數多重意義的文獻

許多學者都主張分數的多重意義，例如民國七十年出版的數學科教學研究 一書(國立編譯館，1981)指出分數的第一個由來，就是用來表示將物件等分為 若干分後，取其幾分的結果。而第二個由來，是表示實測的結果。其次為兩數 除法的商，及兩數的比值。

Ohlsson(1988，引自劉秋木，1996；吳昭容，1996)認為從數學的建構來看，

分數有四種建構：商的函數，有理數、二元向量及合成函數等，每一種數學建 構又有幾種應用。Kieren 提出分數概念的五種建構：部分-全體關係、比、商、

測量及運算元等(楊瑞智，1998)。

另外，教育部國立編譯館依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引 也有如下的說明：當使用分數數詞(字)來描述有理數時(以³₅為例)，至少可以 從下列六種角度，來討論分數數詞(字)的意義：(1)部分與全體的比較：全體為 5 時，3 是 5 的部分；(2)除法的活動：3 除以 5 活動的另一種記法；(3)算子：

對於物件 1，進行一個運作，將 1 等分割成 5 份，再取出其中的 3 份；(4)小數 的另一種記法；(5)比的意義：表示兩數量的相對關係(3：5)；(6)測量：用來測 量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值化 (比值)(國立編譯館，2001)。

(2) 分數的原始意義和學習的起點

分數的原始意義：把一個或多個基準單位量(例如一盒糖果、一塊蛋糕、

一條繩子等等)透過實作或心理的等分割活動成為n等分，而再合成其m分，命 名為n分之m，記為

mn (周筱亭和黃敏晃，2001)。由於作為基準單位量的物 品其計數性質不同，因而對學童產生活動的差異，例如選取一條繩子當基準單

mn (周筱亭和黃敏晃，2001)。由於作為基準單位量的物 品其計數性質不同，因而對學童產生活動的差異，例如選取一條繩子當基準單