國小三年級學童的數解題表現探究-概念詮釋結構與S-P表的分析

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 林原宏. 博士. 陳進春. 博士. 國小三年級學童的數解題表現探究概念詮釋結構與 S-P 表的分析. 研究生：王佳如. 撰. 中華民國一O一年六月.

(2) 摘要本研究以「國小三年級數概念試題」為研究工具，針對台中地區某國小 74 位三年級學童進行施測，應用概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive strucrural modeling, CAISM) 分析學童的解題表現，與學生問題表 (student-problem chart, S-P chart)所提供的學童注意係數(caution index)，分析學童的學習類型，透過不同類型學童的測驗資料，以數值和圖形結構來呈現個人化的概念階層結構訊息，並挑選出學童進行個別晤談，以驗證受測者在國小三年級數概念的階層順序。研究結果如下：一、概念詮釋結構模式能表徵學童在數概念上的發展，有利於研究者於認知結構上的分析。二、在分年細目「能認識 10000 以內的數及千位的位名，並進行位值單位換算」的試題上學童答題表現佳，顯示此概念最易理解。三、各類型的學童在數概念發展各有其特徵，其概念詮釋結構圖的概念連結指向皆不同。四、不同類型學童的概念詮釋結構圖之相似度存在著顯著的差異，教學者可針對結構圖不合邏輯處，實施適當的分組教學或補救。本研究的結果有助於教學者瞭解三年級學童的數概念知識結構，並提供補救教學或分組教學之資訊，以及未來研究之建議。. 關鍵字：數概念、概念詮釋結構模式、S-P 表. I.

(3) Abstract The study was to analyze the problem-solving skills by the concept advanced interpretive structural modeling(CAISM), and to classify students from the caution index provided by the student-problem chart(S-P chart)for each child. The numerical and the figure models of the individualized construction of the concept levels were built according to the test results. Two participants, from the different cluster, were selected and interviewed. This research revealed the following results: 1. The study indicated the cognitive structure could benefit from CAISM because of its demonstration of the hierarchies and linkage of the numbers concepts. 2. The students perform well in the concept “ count the numbers less than 10000, explain the thousand’s place in a number and convert the different numerical units from each other”. It indicates that the idea of this concept was the easiest to understand. 3. There existed characteristics in cognitive structure for each cluster. It also showed hierarchies and linkage among concepts different from each cluster. 4. There were discrepancies in concept structure for the students in the different cluster. The remedial instructors should will be feasible in accordance with information from concept structure structures. The result of this study help the instructors to recognize the cognitive structures in number concepts for third graders. Some suggestions and recommendation were also discussed for future research.. Keywords: number concepts, CAISM, S-P chart. II.

(4) 目次中文摘要 ..................................................................................................................... I 英文摘要 ................................................................................................................... II 目次 ........................................................................................................................III 表目次 ....................................................................................................................... V 圖目次 ...................................................................................................................... VI 第一章緒論 .............................................................................................................. 1 第一節研究動機 ............................................................................................... 1 第二節研究目的 ............................................................................................... 3 第三節名詞釋義 ............................................................................................... 3 第二章文獻探討 ...................................................................................................... 5 第一節數與數概念的本質 ............................................................................... 5 第二節概念詮釋結構模式 ............................................................................. 13 第三節 S-P 表分析理論 .................................................................................. 23 第三章研究方法 .................................................................................................... 33 第一節研究流程 ............................................................................................. 33 第二節研究對象 ............................................................................................. 35 第三節研究工具 ............................................................................................. 35 第四節資料處理分析 ..................................................................................... 40 第四章研究結果與討論 ........................................................................................ 43 第一節學童的數概念詮釋結構圖分析比較 ................................................. 43 第二節 S-P 表分析結果與各群學童的數概念階層結構圖特徵 .................. 46 第三節各類型學童的數概念詮釋結構圖比較 ............................................. 51 第四節質性個別晤談 ..................................................................................... 54 III.

(5) 第五章結論與建議 ................................................................................................ 65 第一節結論 ..................................................................................................... 65 第二節研究限制 ............................................................................................. 67 第三節建議 ..................................................................................................... 68 參考文獻 .................................................................................................................. 69 一、中文 ........................................................................................................... 69 二、日文 ........................................................................................................... 71 二、英文 ........................................................................................................... 72 附錄 .......................................................................................................................... 75 附錄一授權書 ................................................................................................. 75 附錄二數解題測驗 ......................................................................................... 76 附錄三分年細目與試題 ................................................................................. 78 附錄四試題配分表 ......................................................................................... 80 附錄五學童的精熟度矩陣 ............................................................................. 82. IV.

(6) 表目次表 2-1-1. 數解題測驗之分年細目分析表 .................................................... 12. 表 2-3-1. 學生作答原始資料表 .................................................................... 25. 表 2-3-2. 學生總分排序表 ............................................................................ 26. 表 2-3-3. 試題總分排序表 ............................................................................ 26. 表 2-3-4. 完整的 S-P 表 ................................................................................ 27. 表 3-3-1. 分年細目與試題關係表 ................................................................ 36. 表 3-3-2. 試題雙向概念表 ............................................................................ 37. 表 3-3-3. 試題概念屬性矩陣 ........................................................................ 38. 表 3-3-4. 半結構性晤談大綱 ........................................................................ 39. 表 4-1-1. 數測驗之能力指標與概念表 ........................................................ 43. 表 4-1-2. 受試者前置概念所佔比例表 ........................................................ 45. 表 4-2-1. 學童類型表 .................................................................................... 46. 表 4-2-2. 不同類型學童的作答反應組型 .................................................... 47. 表 4-3-1. 各類型學童的概念詮釋結構之相似度變異數分析摘要表 ........ 53. 表 4-3-2. 各類型學童的概念詮釋結構之相似度事後比較摘要表 ............ 54. 表 4-4-1. 晤談者的作答反應組型 ................................................................ 55. 表 4-4-2. S5 之錯誤試題 ............................................................................... 57. 表 4-4-3. S6 之錯誤試題 ............................................................................... 57. 表 4-4-4. 學童數學學習概況 ........................................................................ 58. 表 4-4-5. S5 結構圖之推論與晤談 ............................................................... 58. 表 4-4-6. S6 結構圖之推論與晤談 ............................................................... 60. V.

(7) 圖目次圖 2-2-1. ISM 圖的繪製 ................................................................................ 16. 圖 2-2-2. CAISM 圖簡化舉例 ....................................................................... 22. 圖 2-3-1. 學生類型診斷分析圖 ..................................................................... 29. 圖 2-3-2. 試題類型診斷分析圖 ..................................................................... 30. 圖 3-1-1. 研究流程圖 ..................................................................................... 34. 圖 4-1-1. S70 的概念詮釋結構圖 .................................................................. 45. 圖 4-2-1. S9 的概念詮釋結構圖 .................................................................... 48. 圖 4-2-2. S1 的概念詮釋結構圖 .................................................................... 49. 圖 4-2-3. S74 的概念詮釋結構圖 .................................................................. 51. 圖 4-2-4. 三類型學童概念詮釋結構圖之比較 ............................................. 53. 圖 4-4-1. S5 的概念詮釋結構圖 .................................................................... 55. 圖 4-4-2. S6 的概念詮釋結構圖 .................................................................... 55. VI.

(8) 第一章緒論本章共分三節，首先論述研究動機，其次闡述研究目的，最後為名詞釋義，茲分述如下。. 第一節. 研究動機. 數學是科學教育的基礎，也是國民教育的核心課程之一，其重要性不容置疑。九年一貫數學領域的課程主題中，「數與量」具有重要位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段(教育部，2003)。國小階段的數概念學習涵蓋了正整數與有理數的部分，而正整數概念是學習數學的基礎，但其應用範圍卻以有理數較為廣泛，是小學數學教育中具有挑戰性的教學主題，恰如 Behr, Harel, Post and Lesh(1992)所說的。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數；它的應用課題廣泛─平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學生較缺乏有理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤；甚至，有理數的概念理解與形式程序的學習，有時會互相干擾，然而有理數數感的建立，卻又依賴兩者在反覆應用練習中，彼此增強(教育部，2003)。於教學現場可發現分數概念的學習，對兒童而言是困難的部分(Southwell, 1985)；許多研究報告及結果顯示，學童在小數學習的表現也不理想，存在許多迷思概念(misconceptions)(艾如昀，1994；吳昭容，1996；郭孟儒，2002；梁惠珍，2003；劉曼麗，1998，1999，2002； Hiebert & Wearne, 1986)。數學學習領域第一階段(一至三年級)的教學目標是「能掌握數、量、形的概念」，而此階段的數概念：一位小數、同分母分數加減、部份-全體運思等，是國小三年級生初次學習有理數的概念，而三年級學童是否能將正整數的概念延伸至有理數概念，是一項值得探究的主題。. -1-.

(9) 再者，教師傳授知識，評量是檢驗教學效果的過程，教師應透過評量的方式來改善自己的教學(教育部，2003)。傳統的紙筆測驗只著重於成績之計算，由成績探討學童的學習成效；教學現場中，教師會發現分數相同之學童其背後隱藏的學習障礙可能不同，個人化的知識結構分析是有其必要的，透過概念結構的分析有助於評量學習者的學習狀況，並且提供教學者有關學習缺失的診斷訊息，對於學習者具有正向的補強(Bodolus, 1986)。從試題逐步分析概念路徑，才能實際了解，從試題關係中，找出上下從屬關係，藉而說明受試者的概念結構，而元素關係的系統化分析，運用詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)是一個相當重要又有效的方法(林原宏，2005)。近年來，已經有許多研究者運用 ISM 針對不同領域加以研究，可使學童概念之間的關係浮現，林原宏 (2005) 將 ISM 分析法改良為概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)分析法，應用概念詮釋結構模式設計出軟體 CAISM 程式，以便於將受試者的測驗資料經過概念向量比對與模糊理論等計算方法，得到受試者數學概念之兩兩關係矩陣，再利用詮釋結模式的階層運算法則，用圖形結構和數字呈現受試者個人化之概念階層結構(Lin, Hung & Huang, 2006)。個別的概念圖代表了這人組織訊息建構的方式，而同組的概念圖則透露了全組的思考模式。就分群的方法，佐藤隆博(Takahiro Sato)在 1970 年代所創的 S-P 表(Student-Problem Chart)，即是根據受試者作答反應組型分析知識結構，以 S-P 表所提供的學童和試題注意係數(caution index)，分析學童的學習類型和試題類型。教學者透過學童的評量做適性化分群，更有助於了解不同類型學童的學習情形，做為事後補救教學的依據，於教學現場更具價值。因此本研究旨在分析三年級學童在習得數概念後，運用概念詮釋結構模式 (CAISM)之方法分析學童作答反應，以數值和圖形結構來呈現個人化的概念階層結構訊息，再利用 S-P 表，透過學童的作答資料予以分群，以探討各群在數概念的知識結構特性，再探討學童其有理數概念是否築基於正整數概念，再找出受試者與其個別晤談，以驗證受測者在國小三年級數概念的階層順序。 -2-.

(10) 第二節. 研究目的. 一、探究學童數解題之相關概念的關連與結構。二、利用 S-P 表，透過學童的作答資料予以分群，以探討各群在數概念的知識結構特性。三、探究各類型的學童的概念詮釋結構圖之差異，提供教學者進行補救教學的參考。四、利用質性個別晤談，驗證學童概念的階層結構與其實際表現，對補救教學提供進一步資訊。. 第三節. 名詞釋義. 本節針對本研究所涉及的特定名詞說明及定義如下：一、國小三年級學童本研究之國小三年級學童係指已修畢國小三年級課程，將升上四年級的學童。二、數與量概念本研究中所稱之數概念是以國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，五大主題中數與量主題的階段能力指標下「數與計算」子題所演繹之三年級分年細目。三、概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM) Lin et al.(2006)提出概念詮釋結構模式是根據概念向量比對(concept vector matching) 和模糊理論 (fuzzy theory) 等計算方法，並利用詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1982)，將個人化概念階層結構以數值和圖形結構來呈現。 -3-.

(11) 四、多元計分概念詮釋結構模式(polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM) 多元計分概念詮釋模式是由 Lin, Hung, Huang and Li (2009)為改進二元計分概念詮釋結構模式所發展的，用以分析多元計分或混合計分模式的施測資料。且 Lin et al.(2009)應用多元計分概念詮釋結構模式設計出 PCAISM 軟體，經分析後得到個人化的概念詮釋結構圖，讓教學者更廣泛地應用在學生認知診斷，以有效進行補救教學。五、S-P 表分析(Student-Problem Chart, S-P chart) 所謂 S-P 量表，係指英文”Student(學生)”的 S，以及”Problem(問題)”的 P，是日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代所創。此表可以進行調查資料的分析處理，進行量化分析、排序比和學習程度判斷等事項(Sato, 1969)。即此表可分析與診斷學童的學習資料，利用學童針對每份試卷之「作答反應組型」，將學童學習類型分為六大類，試題品質分為四大類。六、個別晤談 (individualized interview) 本研究的個別晤談法是「半結構式晤談」，根據學童在「國小三年級數概念試題」的作答情況，進行進一步的晤談，以深入洞察學童的思考過程，用以釐清學童的解題歷程及相關的意圖，更能瞭解學童在分數及小數的數概念發展概況。. -4-.

(12) 第二章文獻探討第一節. 數與數概念的本質. 一、有關數或數概念定義的文獻對於數或數概念加以定義的國內外文獻有許多，現引述於下：(引自寧自強，1998) 1.高斯(Gauss, 1980\1929)對於「數」，給了下列定義：數是一個指標，此指標是為了獲得與一被界定量相等的量，一個單位量，或是此單位的一個被等分割部份，所需被重複累積的次數；這個次數則被用來指示被界定量。即人們如果想要獲得一被界定量，心中必先存有一個單位量，使用它來重複累積以達到被界定量，而其中重複累積的次數即是「數」，例如「三顆糖果」是由單位量「一顆糖果」重複累積 3 次而成，重複累積的次數 3 即是「數」。但根據甯自強(1997)的說明，高斯使用「次數」來界定「數」不免陷入循環界定的問題：「次數」也是「數」。 2.羅素(Russell, 1919)給基數的定義 The cardinal number of a given class is the set of all those classes that are similar to the given class. (一個給定類別的基數乃是與此給定類別相似的所有類別之集合) 羅素認為數不過是相似的類所成的類(class of classes)。甯自強(1997)解釋羅素的主張為：「3」是由所有等價類，如「三個人」、「三顆蘋果」、「三塊餅乾」…… 等所抽象而成。 3.皮亞傑(Piaget, 1965) 經由對兒童的觀察指出，基數概念與序數概念是同時產生的。也就是說數概念一形成，一方面是序數，另一方面是基數。雖然皮亞傑對羅素的基數定義有所批評，但仍以其定義為基礎加以修正使符合正整數的基數與序數兩概念， -5-.

(13) 顯見其對羅素的基數定義仍持贊同。 4.Davydov(1982)對數概念的定義是：數概念是指某量，及該量中用作測量單位的一部份，經由測量活動所建立的一組多重的關係。Davydov 與高斯都強調數是用來界定某量與一單位量間的「次數」關係，只是 Davydov 認為此關係的建立是經由實測所達成。 5.歐基里得(Euclid , 1926)提及：所謂的單位是指存有而被稱為「1」的事物，而數則是由單位所構成的多數。此觀點與高斯、Davydov 類似，可以說數是由個別的單位「1」所組成的全體。 6.Steffe 等人(1993)認為「『1』是內蘊化的數數動作，而數則為由集合『1』所構成的集聚單位(composite unit)」。數數活動是在離散量中確認集合的數值的測量活動，因此 Steffe 等人的論點與 Davydov 相似。 7.劉秋木(1996)根據「人們要經過數數的過程才能確定一個集合(或一堆物件) 有多少元素(總量)」，稱「數是一個計算事物的系統(計數系統)」。 8.甯自強(1997)認為，由心理學的觀點來看，數概念是由「1」概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位；而「1」概念則由測量活動中的行為，或是數數動作的蘊化所得的。另外數概念用在實際中，是單位量與被界定量的關係；此一關係多半發生在測量活動中，此一關係建立在單位量(部份)與被界定量(全體) 的可重複累積的多重關係上。綜合以上對數概念本質和單位量的探討的意義，多數學者所謂的「數」是整數概念為主，可說：數是由個別的單位「1」所組成的全體，不論是整數、分數或是小數，都是單位量累積的結果，差別只在於分數或小數是以較小的單位量進行累積。透過這些探討，能在研究學童有理數的概念理解與形式程序的學習過程，對確認學童如何運思有所助益。二、兒童數概念運思方式以下依據甯自強(1992a、1992b、1992c)的論述，將兒童數概念運思方式做 -6-.

(14) 一說明： (一)序列性合成運思序列性的合成運思是指兒童依數詞將指示的量依序全盤表現出，以進行量的分解與合成，並將分解或是合成的結果重新合成加以數值化。在這種運思時期，每一個數詞所代表的數都是獨立的。 (二)累進性合成運思累進性的合成運思是指兒童將數詞指示的量當成基礎出發點，而不需加以全盤表現出，以進行量的分解與合成，並且一邊進行分解或合成的活動，一邊將累進的結果予以數值化。在這種運思期，較小的數是內嵌於較大的數內，而內嵌的關係則源自於合成運思的心智活動。 (三)部分－全體運思所謂部分－全體運思，是累進性合成運思的重組，它以累進性合成運思所製成的集聚單位為圖像型的素材，將原來內嵌於集聚單位中的元素複製後加以脫嵌，再行置回原集聚單位中，並同時保持原有的全體不變。由部分－全體運思所孤立出的部分不會影響原來的全體，而由累進性合成運思所建構出的部分，一經孤立則使原有的全體不復存在。 (四)測量運思測量運思是兩個部分－全體運思的遞迴運用，在重複的運用部分－全體運思以重組同基數的次階集聚單位後，把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位都當成部分，加以複製後予以脫嵌外提，再行置回原處，並且同時保留原有的最高階集聚單位與「一」的部分－全體關係。由上列的敘述可知，數概念發展的每一個運思期旨在探討一集聚單位量與單位量「1」之間的關係。在序列性合成運思期的兒童具有起始數概念，類同於皮亞傑提出的基數和序數概念，如有「7」個花片，學童能指出「7」是全部的花片數，「7」是由 7 個「1」合成的新集聚單位。在累進性合成運思期的兒童具有內嵌數概念，能以新的集聚單位為起點，進一步累加另一物件以形成另 -7-.

(15) 一新的集聚單位，如以「7」為起點，再往上累積 3 個「1」，將形成 10。在部分－全體運思期和測量運思期的兒童具有合成巢狀數概念，此時集聚單位可由 1 和其它的高階單位聯合而成，如「17」代表 1 個「10」和 7 個「1」所合成的，此概念層次的兒童具有位值概念。在測量運思期的兒童具有測量單位數概念，一數可由多種單位構成，其總和不會因調整內部結構而有所變化。學童約在一年級下學期開始發展累進性合成運思，而約在三年級下學期開始發展部份全體運思(甯自強，1994)，且由於運思及數概念品質不同，使得學童能操作的大小整數有別(蔣治邦等人，2000)。在本研究中，研究對象為已修畢國小三年級課程，將升上四年級的學童，正發展至部分全體運思，已具有合成巢狀數概念層次，也正逐次發展到測量運思期，測量單位數概念正在形成中。三、國小數學課程教材分析數與量在數學課程中佔有重要地位，其主要概念的形成與演算能力的培養均奠基於國小階段(教育部，2003)。在小學階段，數與量可分為「整數」、「量與實測」、「有理數」及「估算」等四部份。根據教育部(2003)九年一貫課程綱要數學學習領域，研究者彙整有關數與量之相關內容，敘述說明如下： (一) 整數在國小階段，整數指的是自然數和 0，處理有關離散量的計數與計算。整數教學是國小數學課程的核心之ㄧ，教師在課程安排時應著重在學生既有的基礎上適當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算更是所有有關數學學習的基礎。學童透過在教學中的活動、情境掌握計算的意義，藉由各種例子體驗計算的規則與策略。甯自強(1992a、1992b、1995)指出正整數解決表示個體數量及個體次序位置的問題，亦即利用正整數解決基數與序數的問題。正整數數概念是計數事物經驗的累積，且掌握事務的第一步不外乎是直接接觸，序列中的數詞或不同數詞是日後兒童用來溝通有關正整數數概念的必需工具及區分不同而又等價單位的計數物。因此，正整數概念的啟蒙之兩大工具為「具體物的計數物」與「標 -8-.

(16) 準數詞序列」。且整數詞的概念發展可區分為上述提及的：合成運思期、累進性合成運思期、部份全體運思期、測量運思期等四階段；其中前三階段與低年級數與計算教材設計有關。 (二) 有理數有理數(rational number)是數學家發明了無理數後，將其他數與無理數區別而產生的術語(劉秋木，1996)。此譯名源自希臘的「ratio-nal number」，意思是「成比的數」，其意義基本上已包含著整數的意義與比的意義，與之相對，而「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數。有理數的意義非常豐富，且各家說法不盡相同，甚至與分數用語相通互用，沒有區分有理數與分數。例如：數學家認為分數(或有理數)是一種關係， Russell 定義分數 m n 為當 xn ＝ ym 時存在於 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下， m n 是一對一的關係(劉秋木，1996)。而小學數學教育中，92 年數學領域課程綱要指出小學的有理數教學應包含平分、測量、比例、部份-全體的意涵，有理數教學有分數、小數等兩種不同的表現形式(教育部，2003)。 1. 分數 (1) 分數多重意義的文獻許多學者都主張分數的多重意義，例如民國七十年出版的數學科教學研究一書(國立編譯館，1981)指出分數的第一個由來，就是用來表示將物件等分為若干分後，取其幾分的結果。而第二個由來，是表示實測的結果。其次為兩數除法的商，及兩數的比值。 Ohlsson(1988，引自劉秋木，1996；吳昭容，1996)認為從數學的建構來看，分數有四種建構：商的函數，有理數、二元向量及合成函數等，每一種數學建構又有幾種應用。Kieren 提出分數概念的五種建構：部分-全體關係、比、商、測量及運算元等(楊瑞智，1998)。 -9-.

(17) 另外，教育部國立編譯館依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引也有如下的說明：當使用分數數詞(字)來描述有理數時(以 3 5 為例)，至少可以從下列六種角度，來討論分數數詞(字)的意義：(1)部分與全體的比較：全體為 5 時，3 是 5 的部分；(2)除法的活動：3 除以 5 活動的另一種記法；(3)算子：對於物件 1，進行一個運作，將 1 等分割成 5 份，再取出其中的 3 份；(4)小數的另一種記法；(5)比的意義：表示兩數量的相對關係(3：5)；(6)測量：用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值化 (比值)(國立編譯館，2001)。 (2) 分數的原始意義和學習的起點分數的原始意義：把一個或多個基準單位量(例如一盒糖果、一塊蛋糕、一條繩子等等)透過實作或心理的等分割活動成為 n 等分，而再合成其 m 分，命名為 n 分之 m ，記為 m n (周筱亭和黃敏晃，2001)。由於作為基準單位量的物品其計數性質不同，因而對學童產生活動的差異，例如選取一條繩子當基準單位量(連續量)與選取一盒內含 6 顆糖果為基準單位量(離散量)，而要求學童進行六等分割時，對於初次接觸分數活動的學童是不同的分割活動。前者必須切割，而後者只要點數內容物即可。像這樣由於基準單位量的不同性質，有些學者就此區分為分數的不同意義，例如 Booth(1987)及楊瑞智(1998)的分數意義分類。另外，從分數的原始意義來看，分數也可以是透過等分割活動及合成活動的實施，來確定一個量與一個基準單位量(例如：4 個糖果，12 個糖果裝一包) 的數值關係的指標。由於確定同一個量與其基準單位量間的數值關係的等分割活動與合成活動並非唯一，舉例：12 個糖果中的 4 個，可以透過將 12 個糖果等分割成 12 份，再合成其中的 4 份而獲得，也可以透過將 12 個糖果等分割成 6 份，再合成其中的 2 份而獲得。因此，在單位量確定的情況下，也有一些數學家把測量同一量的不同數值指標視為相等(例如上例的 412 與 2 6 )，忽略不同 - 10 -.

(18) 數值指標的等分割份數與合成份數，而注重等分割份數與合成份數間的比值關係，並把比值當作數值指標的數，稱之為有理數(國立編譯館，2001)。綜合上述，學習分數的起點是等分割再合成其數份的活動，藉此命名單位分數、真分數及假分數等，以建立分數的數詞序列，再來就是等分割份數(分母)及再合成份數(分子)的增大而增加活動的難度，並擴大分數問題情境的類型及範圍，為達到此學習目標，學童則必須發展出測量運思，才能夠討論不同的等分割與合成活動結果的等價關係，作為發展有理數概念的基礎。 2 小數人類很早就有分數的概念，當一個不滿一個單位量的量，需要被原單位量予以測量並加以描述(數值化)時，就產生了分數的問題，並發展出分數的數概念；但是人類很晚才有小數的概念，當人們想將印度─阿拉伯記數系統由整數推廣至分數情境時，才產生小數的問題，並發展出小數的數概念。小數也可以視為不帶分母的十進位分數，以小數數字「2.34」為例，可以記成「2.34＝2＋ 3 ＋4 」，因此，有人將小數稱為十進分數，小數的出現，代表印度－阿 10 100. 拉伯記數系統，由整數範圍擴展到了分數。小數與分數及整數都有關係，以小數「0.35」為例，它和分數的意義相同，都是等分割後的結果；它的記法也和整數的記法相同，都滿足左邊位置的位值，都是相鄰右邊位置位值 10 倍的位值概念，例如個位的位值是十分位位值的十倍，十分位的位值是百分位位值的十倍(國立編譯館，民 90)。因為人們先發展出分數，再透過小數，將分數推廣至印度─阿拉伯記數系統。因此，九年一貫課程教材先引入整數及分數的教材，待學童能掌握分數的意義及整數記法的位值概念後，先透過分數概念引入小數的記法，小數 0.1 是分數 110 的另一種記法，小數 0.01 是分數 1100 的另一種記法，再幫助學童類比整數，發現小數的記法和整數的記法相同，都滿足位值概念。對於小數的意義，課程中抱持二個觀點：第一是透過分數來瞭解小數，兩 - 11 -.

(19) 者皆由等分割及合成活動製作而成，例如 0.01 是 1100 的另一種記法，而 0.38 是 38 個單位小數「0.01」合成的結果；第二是由印─阿記數系統的位值概念來瞭解小數，例如 0.38 是記錄 3 個「0.1」和 8 個「0.01」的合成結果。 (三) 九年一貫課程數學教材分析在本研究中，數解題表現是指在數學領域「數與量」主題下，關於「數與計算」子題，依據其三年級之分年細目和相關文獻而選用的「國小三年級數概念試題」，學童能對以文字、數字形式敘述的題目，運用數學知識和計算能力於各種問題情境，進一步解決問題，得到正確的答案。相關之分年細目內容，如表 2-1-1 所示：表 2-1-1 數解題測驗之分年細目分析表分年細目. 對照能. 概念主題. 力指標. 分類. 分年細目內容. 3-n-01. 能認識 10000 以內的數及「千位」的位名， N-1-01 並進行位值單位換算。. 整數概念. 3-n-02. 能熟練加減直式計算(四位數以內，和＜ 10000，含多重借位)。. N-1-02 N-1-05. 整數加減運算. 3-n-03. 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。. N-1-03 N-1-07. 整數乘法運算. 3-n-04. 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄(包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。. N-1-04. 整數除法運算. 3-n-05. 能熟練三位數除以一位數的直式計算。. N-1-04 N-1-07. 整數除法運算. 3-n-06. 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。. N-1-08. 整數四則運算 (續下頁). - 12 -.

(20) 3-n-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-1-09. 分數概念及運算. 3-n-10. 能認識一位小數，並作比較與加減計算。. N-1-10. 小數概念及運算. 第二節. 概念詮釋結構模式. 概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)其分析目的係就受試者的測驗資料，提供個人化的概念階層結構訊息。此模式根據概念向量比對(concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory) 等計算方法，並利用詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，可以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)。而多元計分概念詮釋結構模式 (polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM)為改進 CAISM 所發展而成(Lin, Hung & Huang, 2009)，能更進一層地分析多元計分或混合計分的施測資料，呈以個別化的概念結構圖。以下先就 ISM 的理論進行說明，再介紹概念詮釋結構模式分析之演算。一、ISM 基本理論詮釋結構模式(interpretive structural model，簡稱 ISM)是由 Warfield(1976) 年所提出之分析方法，是一種在社會工學中彙整訊息之建模方法。其所應用的領域甚廣，為解決複雜問題將其應用在社會與行為科學、教育等方面的研究，尤其是在確定教學或學習元素的階層結構中。ISM 分析法適用於二元資料的分析，主要是依據元素與元素間的關係矩陣，將元素階層化表示的方法。其理論基礎為離散數學和圖形理論，佐藤隆博於 1987 年提出將此方法於知結構的研究上(林原宏，2005)。假設欲分析的系統內有 K 個元素，且已知其中任意兩元素 Ai 與 A j 的二元關. - 13 -.

(21) 係，以 A  aij K K 表示。若 aij  1 ，表示 Ai 從屬於 A j ，即 Ai 為 A j 的下階元素；若 aij  0 ，表示 Ai 不為 A j 之下階元素。ISM 分析方法的要點為： 1.相鄰矩陣(adjacent matrix)的運算兩個相鄰矩陣的運算的結果定義如下： ( 2) ( 2) ( 2) a11 a12  a1K   ( 2) ( 2) ( 2)  a 21 a 22  a 2 K  A2    aij( 2) K  K        ( 2) ( 2) ( 2)  a K 1 a K 2  a KK . A2 矩陣內的元素用數學式表示如下： K. aij( 2)   aik a kj  ai1  a1 j  ai 2  a 2 j    aiK  a Kj k 1. ( 2). 上式中 a ij 的元素，是 A 矩陣的第 i 列(row)和第 j 行(column)作用的結果，其中  和  的運算，需加以定義如下。由  和  的定義可知， A2 矩陣的元素是 0 或 1；若 a i 為 a j 的先備條件， aij  1，反之，若 a i 不為 a j 的先備條件， aij  0 。 0 x y   1. else if x = 1 and y = 1. 0 x y   1. if x = 0 and y = 0 else. 2.傳遞閉包(transitive closure) 滿足 Aˆ  A  A2  A3   A P 的矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。. 3.可到達矩陣(reachability matrix) - 14 -.

(22) 根據圖形理論，定義下列運算式為： Aˆ  I  A  A2  A3   AP  I  ( A  I ) P. 上式 I 表示 K  K 階的單位矩陣。接著把如下的矩陣 R ，稱為可到達矩陣。 R  Aˆ  I  ( A  I ) P  A  A 2  A3   A P  I  ( A  I ) P 1  A  A 2  A3   A P  A P 1  I. 4.ISM 圖的繪製 ISM 分析法，即從原始資料矩陣 A ，經過運算，達成 R 矩陣為止。以 A1 至 A5 元素為例(佐籐隆博，1987)，這五個元素之關係，假設可用矩陣 A 表示；經. 過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為 R ，分別為： 0 0  A  1  0 1. 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0  0 1 0 1 0 0 0 0. 1 1  R= 1  1 1. 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1  0 1 1 1 0 0 0 1. 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如下：. A1 A2 A3 A4 A5. A1. 0 0. 0 0. A1 A2 A3 A4 A5. 0. A2. 0. 0. A2 0. 0 0. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A2 A3 A4. 0. 0 0. A3 A4 0. A4. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A2 A3 A4. 0. 0 0. A3 A4 0. A5. A1. 0 0. 0. A2 A3 A4 A5. A1. A1. A2 A3. 0 0. R( Ak )  M ( Ak ). M ( Ak ). R( Ak ). Ak. 0. 0. 0. A5. 0 0. 0 0 0. 0. A5. 上表中各矩陣意義為： R( Ak ) ：是 A 的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向. 的元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 - 15 -.

(23) M ( Ak ) ：矩陣的意義，是從 R( Ak ) 而來的， M ( Ak ) 的每一列，表示指向該元素的. 所有其它元素。 R( Ak )  M ( Ak )：是 R( Ak ) 和 M ( Ak ) 兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在. 該元素，則填出該元素；否則填上 0。製作圖 2-2-1 的 ISM 方法步驟為：【步驟 1】針對 R( Ak ) 和 R( Ak )  M ( Ak ) 的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先找到相對應的第 1 列 A1，則在 R( Ak ) 、 R( Ak )  M ( Ak ) 中 A1 所在的行(column)與列(row)全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。【步驟 2】以相同方法再找到第 5 列 A5 ，以此類推，我們再次得到 A3 、 A4 一組元素和 A2 元素。【步驟 3】將找到的元素依序列出高低層級，並依 A 中的元素關係，劃上箭頭，如圖 2-2-1 所示，圖 2-2-1 中 A3 、 A4 是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖形簡化。. A1. A1. A5. A5. A4. A3. A4. A3. A2. A2. 圖 2-2-1 ISM 圖的繪製綜合上述，ISM 分析法主要功能，是透過已知兩兩元素之間的上下位關係，建立出所有元素間的指向關係結構，即經由部分元素之間的順序，整合形成所有元素整體的關係，且其可有效地應用在教學、教材編製等方面，但其仍 - 16 -.

(24) 僅限於二元資料的分析。二、概念詮釋結構模式之實例演算以某測驗資料為例，假設此測驗有 5 位受試者參與，共測驗 5 道( m  1,2,3,4,5 ) 二元計分試題，測量了 3 個概念( a  1,2,3 )。 1. 作答反應矩陣 X：利用受試者測驗試題作答的資料建立作答反應矩陣 X，答對試題以 1 表示之，反之答錯試題則以 0 表示。 1 1  作答反應矩陣 X＝ 1  0 1. 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1  0 0 0 1 1 0 1 1 55. 2.試題屬性矩陣 Y：將每道試題所測量的概念建立試題屬性矩陣 Y，當某試題有測量到某概念時，以 1 表示之，反之未測量到則以 0 表示。 1 1  試題屬性矩陣 Y＝ 0  0 1. 1 0 0 0 1 1  1 0 0 1 53. 3.典型概念向量矩陣 Z：3 個概念構成 2 3 個典型概念向量(ideal concept vector)，此向量以 z i  ( zia )1 A  ( zi1 , zi 2 , , ziA ) 表示，其中 i  1,2,, I 且 I  2 A 。每個典型概念向量係表示某種典型受試者之概念向量。. - 17 -.

(25) 0 0  0  0 典型概念向量矩陣 Z   1  1 1  1. 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 1 0  1 0  1 0  1 83. 4.典型反應矩陣 R：每個典型概念向量 z i 在 5 個試題構成典型反應向量(ideal response vector)，此向量以 ri  (rim )1M  (ri1 , ri 2 , , riM ) 表示，其中 i  1,2,, I 且 I  2 A 。每個典型反應向量係表示在該典型概念向量下，對應於試題屬性矩. 陣所獲得的反應矩陣。 0 0  0  0 典型反應矩陣 R   0  0 1  1. 0 0 0 0. 0 0 0 1. 0 0 1 1. 1 1 1 1. 0 0 0 1. 0 0 1 1. 0 0 0  0 0  1 0  1 85. 5.近似值矩陣 C：針對受試者，計算其試題反應向量與典型反應向量 ri 的近似值矩陣 C  (cni ) N I 。. M. cni   ( xnm )  (rim ) M m 1. 1 , xnm  rim 0 , xnm  rim. ，其中 ( xnm )  (rim )  . c ni ：代對受試者 n 與典型概念向量 i 的相似程度值. M ：代表試題總數 - 18 -.

(26) x nm ：代表作答反應矩陣 X 中受試者 n 對試題 m 的作答反應. rim ：代表典型反應矩陣 R 中的典型概念向量 i 對試題 m 的作答反應. 0.6 0  C  0.2  0.8 0.2. 0.6 0.4 0.2 0.8 0.6 0.8 0.4 0 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 1  0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8  0.8 0.6 0.4 0.6 0.8 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 58. 6. 標準化近似值矩陣 SC：針對近似值矩陣 C 進行標準化動作，讓每一受試者與所有典型概念向量 i 的相似程度值 c ni 之總和為 1。經過標準化的矩陣，稱之為標準化矩陣(standardized closeness matrix, 簡稱 SC)。 SC  (scni ) N I A.根據 cni 值，若存在 cni  1 且假設有 K 個 cni 滿足 cni  1 ，則表示存在明確辨識(crisp recognition) ，則令標準化近似值 scni ： 1 / K ,  cni  1 sc ni   else  0 ,. B. 若根據 cni 值，若 cni  1 i  1,2,, I ，則表示存在模糊辨識 (fuzzy recognition)，令標準化近似值 scni 如下：. scni  cni. 由以上二式可知 0  scni  1 且. I. c i 1. I.  sc i 1. - 19 -. ni. ni.  1。.

(27) 0.14  0  標準化近似值矩陣 SC  0.06  0.18 0.06. 0.14 0.09 0.05 0.18 0.14 0.18 0.09  0 0 0 0 0 0 1  0.06 0.11 0.06 0.11 0.17 0.22 0.22  0.18 0.14 0.09 0.14 0.18 0.05 0.05 0.06 0.11 0.06 0.11 0.17 0.22 0.22 58. 7. 受試者在概念間的精熟程度矩陣 D：令 D  (d na ) N  A 表示受試者 n 在概念 a 的精熟程度之矩陣。以受試者 1 對概念一的精熟度為例，從上述可知受試者 1 對 8 個典型概念向量的相似程度分別為 0.14、0.14、0.09、0.05、0.18、0.14、 0.18、0.09，而典型受試者在概念一向量為 0、0、0、0、1、1、1、1，因此受試者 1 的精熟度為 0.14×0＋0.14×0＋0.09×0＋0.05×0＋0.18×1＋0.14×1＋ 0.18×1＋0.09×1＝0.59。所以可定義 D  (d na ) N A  (SC)(Z) ，計算如下： I. d na   ( scni )( z ia ) i 1. 0.59 1.00  受試者在概念間的精熟程度矩陣 D  0.72  0.42 0.72. 0.41 0.42  1.00 1.00  0.61 0.51  0.33 0.50 0.61 0.51 53. 8. 模糊關係矩陣 Fn ：依 Luce(1959)的選擇規則(choice rule)理論和相對適合度準則(relative goodness rule，RGR)，以及察覺的模糊邏輯模式之觀點(fuzzy logic model of perception, FLMP)，可計算屬於每位學生自己概念之間的所有從屬關係比率而構成該學生的模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) Fn  ( paa' ) A A 。對受試者 n 而言，其概念 a 為概念 a ' 的先備概念 (即概念 a 指. 向概念 a ' 的機率 ) 之關係機率 (subordination relation probability) 如下 (Massaro & Friedman, 1990)：. - 20 -.

(28) p aa'.   1 , d na  1 and d na'  1   0 , d na  0 and d na'  0  (d na )(1  d na' ) , else   (d na )(1  d na' )  (1  d na )(d na' ). p aa' ：代表概念 a 指向概念 a ' 的從屬關係比率值。 d na' ：代表受試者 n 對概念 a 的精熟程度。 d na' ：代表受試者 n 對概念 a ' 的精熟程度。 0.67 0.67   受試者一的模糊關係矩陣 Fn = 0.33  0.49 0.33 0.51   33. 9.二元關係矩陣 Fn ：經由上一個步驟得到每位受試者的模糊關係矩陣，為了簡單化，利用  截集(  -cut)，選定  值且介於 0~1 之間，對受試者的模糊關係矩陣再進行運算，即可獲得二元關係矩陣(binary relation matrix)。 1 ,   Fn  ( paa ' ) A A 且 paa '   0 ,. paa '   paa '  . ，. 其中 0    1. Fn ：代表經過  截集運算後所得到的二元關係矩陣。  p aa ' ：代表概念 a 指向概念 a ' 的從屬關係比率值經過  截集的值。. 0 1 1  取  =.60 時，受試者一的二元關係矩陣 Fn ＝ 0 0 0 0 0 0 33 . 10.進行 ISM 分析法：在上述流程，已將每位受試者對各概念的精熟度計算出來，可進行 ISM 分析繪製出屬於該受試者的概念詮釋結構圖。為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元節素 Ai 指向 A j 有多條路徑(path)，則 - 21 -.

(29) 去除直接指向並保留間接指向的路徑(林原宏，2005)。如圖 2-2-2 所示。. A3. A1 A2. A4. 簡化. A5 圖 2-2-2. A3. A1 A2. A4 A5. CAISM 圖簡化舉例. 三、詮釋結構模式與概念詮釋結構模式之相關研究 Yamashita(1997)基於詮釋結構模式分析方法，探討 103 位日本大專學生(90 位男生和 13 位女生)對於八個有關人生重大事件(心理獨立、找到工作、經濟獨立、進入全盛時期、結婚、善用空閒時間、獲得賞識的地位與預備晚年生活) 的看法，並依 ISM 方法建構此八個有關人生重大事件的階層次序，結果發現不同受試者對於其人生重大事件的規劃次序有所差異。蔡秉燁與鍾靜蓉(2003)，運用詮釋結構模式中之階層有向圖(hierarchical digraph)理論，提出具構造化及階層化的教學設計方法，稱為結構化教學設計，並以商業職業學校經濟學中「需求與供給」單元為實例建置。結構化教學設計構成之三個主要階段分別為(1)教材內容結構分析、(2)教學內容結構分析、及(3) 結構化評鑑等系統化設計步驟。張寧、汪明生與陳耀明(2008)，以港市直航對高雄總體發展影響之策略為例，說明 ISM 的操作過程與産出。研究成果獲得 12 項高雄地區因應直航趨勢的策略，經以增強結構呈現及詮釋，顯示高雄民衆期待中央賦予更多的資源並允諾高雄在兩岸直航中擔任更重要的角色。由對 ISM 建構過程與詮釋結構模式的解釋，提供對複雜事務的決策協助，是處理複雜公共事務議題的有效工具。吳玫栞、林原宏與易正明(2007)以 CAISM 方法進行四邊形概念屬性的階 - 22 -.

(30) 層結構分析，探討總分不同學童之四邊形概念知識結構特徵，及總分相同但反應組型不同學童之四邊形概念知識結構特徵。施杏芬(2008)應用模糊邏輯的詮釋結構模式，分析國小三年級學童個人化的數與量概念結構，探討其個人化的數與量概念階層結構，經由分析學童的作答反應後，圖繪出高、中、低不同能力值受試者之 ISM 圖以進行分析，並以專家之 ISM 圖為參照標準比較其特徵及差異性，最後再以模糊集群方法分群進行交叉比較。林原宏、莊惠雯與易正明(2009)提出以概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)之方法，並利用模糊集群分析將學童分群，以利進行分群補救教學。研究者以國小二年級學童的時間概念之知識結構為分析內容，探討各群學童在 10 個時間概念的知識結構特徵。林昌宏(2010)以 Lin, Hung, and Huang(2006)所提出的概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)分析方法為基礎，針對其計分法進行擴展與改良，並推導出適用於多元計分測驗資料之演算法則，以期能夠增進概念詮釋結構模式理論之應用範疇。綜合上述，詮釋結構模式與概念詮釋結構模式在認知診斷上可提供更多的訊息，可讓研究者針對不同層面作階層診斷分析，並且透過結構之呈現，可找出基本元素，若應用於教育現場上，教學者可依據學童個別化的概念詮釋結構圖，擬定補救學策略，輔助學童達適性化教學之目的。. 第三節. S-P 表分析理論. 一、S-P 表基本理論 S-P 表(student-problem chart, S-P chart)稱為學生問題表，是由佐藤隆博 (Takahiro Sato)於 1975 提出。其目的是在分析每位學生的學習診斷資料，主要是利用學生對每道試題的作答反應組型進行分析，產出四種指標：學生注意係. - 23 -.

(31) 數(student caution index)、試題注意係數(item caution index)、同質性係數 (homogeneity coefficient)以及差異性係數(disparity coefficient)，再利用圖形化分析，以供教師在診斷學生學習表現、測驗品質、教學成果的評估、改進之參考 (游森期、余民寧，2006)。這種方法適合用於小樣本數的班級人數之形成性評量(Takeya,1980；Tatsuoka, 1984)之測驗資料分析。 S-P 表假設教師蒐集到一筆 N 個學生 ( i ＝ 1,2,, N ) 在 M 個試題 ( j ＝ 1,2,, M )上的反應資料，經過評分(答對者給 1，答錯者給 0，此測驗為二元計. 分試題)之後，得到一個未經任何處理的原始得分 N × M 階矩陣資料，稱為「S-P 原始資料表」。接下來將原始資料表按下列原則排列：(1)按照每位學生總分之高低，將學生的整個反應組型及總分，由上(總分最高者排在最上面)往下(總分最低者排在最下面)依序排列；(2)按照每道試題答對學生人數之多寡，由左往右(答對人數最多的試題排在最左端)排列。最後，就可依據每位學生所得總分 (即 1 個數)，從左端往右端，數出和其總分相同的試題個數，並且在其右邊畫一條直線(分界線)，如此一來形成的階梯狀曲線，稱作「S 曲線」；S 曲線是指學生得分之累加分布曲線，它是用來區分學生答對答錯的分界線，S 曲線以左的區域，大多數的數值都是 1，因此這個區域範圍內學生的反應大多數是答對的試題。依照同樣的方法，依據每道試題之答對學生人數(即一的個數)，從上往下開始數，數出和其答對學生人數相同的學生個數，並且在其下邊畫 1 條直線(即分界線)，如此一來所形成的階梯狀曲線，稱作「P 曲線」；同理，P 曲線以上的部分，大多數的數值都是 1，因此這個區域範圍內學生的反應大多數是答對的試題(余民寧，2002)。當 S 曲線以左或 P 曲線以上全部出現為 1 時，這種情況稱為「完美量尺」的反應組型，但是在實際的作答反應組型裡，這種狀況不太可能出現，反而容易出現 S 曲線以左或 P 曲線以上的部分有學生答錯的情形，這種不完美量尺組型會呈現 S 曲線和 P 曲線分離的狀態，S 曲線和 P 曲線分離的程度，可以用差異係數(disparity index)來表示(余民寧，2002)。 - 24 -.

(32) 注意係數(CautionIndex)是異常反應組型指標，是指 S-P 表資料中的實際反應組型與完美反應組型之間的差異，占完美反應組型是最大差異的一種比值。因此，當作答為完美反應組型時，注意係數 = 0；當作答為隨機反應組型時，注意係數會接近於 1，實際的反應組型之注意係數，通常介於 0 與 1 之間。注意係數≥ .75 時，表示試題或學生異常反應組型非常嚴重； .75 > 注意係數≥ .50 時，表示試題或學生異常反應組型嚴重； .50 ≥ 注意係數 > 0 時，表示試題或學生異常反應組型不嚴重(余民寧，2002)。二、S-P 表編製令共有 N 個學生( i ＝ 1,2,, N )在 M 道二元計分試題( j ＝ 1,2,, M )上的反應資料，經過評分(答對者給 1，答錯者給 0)之後，得到一個未經任何處理的原始得分 N × M 階矩陣資料。以下為開始製作 S-P 表之步驟：. 步驟一：令矩陣 Y =. y . ij N × M. 為 N 個學生 ( i ＝ 1,2,, N ) 在 M 個試題 ( j ＝. 1,2,, M )上的反應資料矩陣，如表 2-3-1 所示。. 表 2-3-1 學生作答原始資料表學生 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 總分. 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 5. 試題 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 7. 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9. - 25 -. 4 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 6. 5 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 5. 總分 2 4 1 4 5 4 5 1 4 2 32.

(33) M. 步驟二：令 Yi =. y j 1. ij. 為第 i 位學生的總分且學生已經過排序為. Y1  Y2 … YN  ，如表 2-3-2 所示。. 表 2-3-2 學生總分排序表學生. 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 5. 005 002 004 004 006 009 001 010 003 008 總分. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9. 試題 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 7. 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6. 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 5. 總分 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 32. N. 步驟三：令 Y j =. y i 1. ij. 為第 j 個試題的答對人數且試題已經過排序為. Y1  Y2 … YM ，如表 2-3-3 所示。. 表 2-3-3 試題總分排序表學生 005 002 004 004 006 009 001 010 003 008 總分. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9. 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 7. 試題 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6 - 26 -. 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 5. 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 5. 總分 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 32.

(34) 接著，由學生總分最高分到最低分畫出相對應的分界線，再將這些分界線的下方利用直接連接，則會形成一階梯狀之曲線，此曲線稱為「S 曲線」。同理，依據每道試題的答對學生之數之總合，在其下方畫出相對應的分界線，再將些分界線的右方利用直接連接，則會形成一階梯狀之曲線，此曲線稱為「P 曲線」。這樣便為完整的 S-P 表，如表 2-3-4 所示。表 2-3-4 完整的 S-P 表試題學生. 總分 2. 3. 4. 1. 5. 005. 1. 1. 1. 1. 1. 5. 002. 1. 1. 1. 0. 1. 4. 004. 1. 1. 1. 1. 0. 4. 004. 1. 1. 1. 1. 0. 4. 006. 1. 0. 1. 1. 1. 4. 009. 1. 1. 1. 0. 1. 4. 001. 1. 1. 0. 0. 0. 2. 010. 1. 1. 0. 0. 0. 2. 003. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 008. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 總分. 9. 7. 6. 5. 5. 32. (粗線為 S 曲線，虛線為 P 曲線). 步驟四：計算學生注意係數(CS)和試題注意係數(CP)，其中 u ' = u=. 1 N. N. y i 1. i. 。. - 27 -. 1 M. M. y J 1. j. 且.

(35)  y y    y u ' M. 第 i 位學生的注意係數 CS i ＝ 1 . j. ij. j 1. i.  y    y u ' yi . j. j 1. i.  y  y   y u  N. 第 j 個試題的注意係數 CPj ＝ 1 . i. ij. i 1. j.   y   y u  y j. i. i 1. j. y i ：表示學生 i 的總分 y j ：表示試題 j 的答對人數 y ij ：表示學生 i 在第 j 試題的答題狀況. u= u' =. 1 N. N. y i 1. 1 M. i. ：表示每位學生的平均得分. M. y J 1. j. ：表示試題的平均答對人數. 則根據表 2-3-4 的資料，可計算出：每位學生的平均得分試題的平均答對人數. u= u' =. 1 N. N. y. 1 M. i 1. i. ＝. 32 ＝3.20 10. M. y J 1. j. ＝. 32 ＝6.40 5. CS 9 ＝. 55 ＝0 9  7  6  5  4 * 6.40. CP3 ＝. 42 ＝0.43 5  4  4  4  4  4  2  7 * 3.20. 三、學習類型根據 S-P 表分析的結果，我們可根據學生的注意係數當作橫軸，以學生得分之百分比當作縱軸，繪製學生診斷分析圖。學生診斷分析圖依據學生注意係數將學生的學習狀況分為六大類：學習穩定型(A 區)、粗心大意型(A'區)、努力不足型(B 區)、欠缺充分型(B'區)、學力不足型(C 區)與學習異常型(C'區)。這六種學習類型有幾項特性，如圖 2-3-1 所示(余民寧，2002)： - 28 -.

(36) 100%. 學生 75% 得分百. A. A’. 學習成就良好，穩定性高. 粗心大意或不專心造成錯誤 B’. B. 偶爾粗心且準備不充份. 學習尚稱穩定但仍需再用功. 分. 需再努力. 比 50% C. C’. 學習不夠充分需更加努力. 學習極不穩定沒有充分準備. 0. 0.50. 1.00. 學生注意係數(CS 係數) 圖 2-3-1. 學生類型診斷分析圖. (一) 學習穩定型(A 類型) 學習穩定型的學生學習狀況穩定良好，學業成績優良、能快速熟悉教材達到精熟程度。對這一類型學生，教師只需予以持續的鼓勵和勉勵，即可維持他們持續穩定的學習狀況。 (二) 粗心大意型(A'類型) 粗心大意型的學生學習狀況稍欠穩定，雖然仍是班上程度較好的學生，但是考試粗心大意，造成許多不經意的錯誤。 (三) 努力不足型(B 類型) 努力不足型的學生學習狀況尚稱良好，只是表現不如「學習穩定型」學生，這類型的學生多半屬班上中上程度的學生，他們的學習尚稱穩定，但是可能因為努力用功不足，而導致考試成績不夠理想。 (四) 欠缺充分型(B'類型). - 29 -.

(37) 此類型學生學習準備不夠充分，偶爾也會粗心犯錯，學習狀況漸趨不穩定，努力也不足。他們兼具用功不足與粗心大意兩種特性。 (五) 學力不足型(C 類型) 此類型學生基本學力不足，學習不夠充分，努力用功程度亦不足。他們的基本問題在於過去並沒有奠定良好的學習基礎和背景知識，以致在學習新知識時倍感吃力。 (六) 學習異常型(C'類型) 此類型的學生學習極不穩定，對考試內容沒有充分準備，且隨便作答、盲目猜題或有作弊之行為，導致作答組型異常。四、試題類型如圖 2-3-2 所示(余民寧，1995；Sato, 1980; Sato & Kurata, 1997)以答對試題人數百分比為縱軸，試題注意係數為橫軸，作為試題品質的分類，其分析診斷學習結果共分為四大類型(A、B、A’、B’)。 100%. A’. A. 試題答. 試題相當適當，可作為區別低試題恐含有異質成分在內，需成就者與其他學生的不同. 對人數. 要局部修正，或試題中含有拙劣的選項. 50%. B’. B. 百分比. 試題困難度高，適合作為區別試題極為拙劣，含有相當異質高成就者的好試題. 成份在內，可能資料登錄錯誤或題意含糊不清，必須加以修改 0.50. 0. 試題注意係數(CP) 圖 2-3-2. 試題類型診斷分析圖 - 30 -. 1.00 1.00.

(38) 由圖 2-3-2 可得知，試題類型診斷分析將試題品質分為四種試題屬性類型，並說明各試題屬性類型所代表的涵義。分析結果可提供教學或研究者瞭解試題品質的優劣，並找出試題中是否存在異質成份，以修正試題品質。余民寧 (1995)指出落入 A’和 B’的試題，多半與下列幾項常見的因素有關。 1. 教學法與教材欠當教學方法不適用於學生、教學目標與教材的內容不相符等。 2. 教師的教學態度欠佳工作態度是否消極、立即解決學生提問、師生互動是否良好、教師是否有掌握學生的學習狀況等。 3. 命題技巧欠當命題條件不清楚、評量觀點與教學目標不一致、試題的提示有誤導作答之用詞、以及違反各試題類型的命題原則等。. - 31 -.

(39) - 32 -.

(40) 第三章研究方法本章旨在探討研究設計與實施的方式，內容共分為五節。分別為本研究的研究流程、研究對象、研究工具與資料分析五節，以說明本研究的歷程。. 第一節. 研究流程. 本研究根據九年一貫課程綱要能力指標(教育部，2003)，蒐集數概念相關文獻，選定他編「國小三年級數概念試題」，擬採用多元計分概念詮釋結構模式進行分析，進而了解與分析國小三年級學童在數解題表現的概念結構特徵，探討不同學習類型受試者的數概念詮釋結構圖。本研究流程圖如圖 3-1-1：. - 33 -.

(41) 擬定研究方向. 蒐集相關文獻資料. 九年一貫課程綱要. 定義數與量概念範圍選定他人編製試題進行施測個別化概念詮釋結構圖分析學生類型. 訪談 C 類型學生. 分析與比較：一、探究學童數解題之相關概念的關連與結構。二、利用 S-P 表，透過學童的作答資料予以分群，以探討各群在數概念的知識結構特性。三、探究各類型的學童的概念詮釋結構圖之差異，提供教學者進行補救教學的參考。四、利用質性個別晤談，驗證學童概念的階層結構與其實際表現，對補救教學提供進一步資訊。. 討論與建議. 圖 3-1-1. 研究流程圖 - 34 -.

(42) 第二節. 研究對象. 本研究以國民小學三年級學童為研究對象，三年級學童是指已修畢國小三年級課程，將升上四年級的學童，並利用「國小三年級數概念試題」進行施測，以探討學童在數學領域第一階段(一至三年級)中，數概念解題表現之相關研究。施測對象因考慮本研究旨在分析與繪製「個人化」之概念詮釋結構圖，以期許能提供教學前線教師們瞭解本研究的實用性與便利性，故採取小樣本施測，以立意取樣方式，選取臺中市(原臺中縣)某國小之三年級學童，三個班級共 74 人為研究對象。個別晤談對象為經由 S-P 表分群後，從較低成就的 C 類型群組中選擇隸屬度較高且善於表達者為質性研究之代表性樣本 2 名。. 第三節. 研究工具. 本研究欲探討國小學童在修畢數學領域第一階段後在數概念解題表現的知識結構，所使用工具「國小三年級數概念試題」，是依據教育部(2003)所公佈九年一貫數學領域三年級之分年細目，並參考相關文獻的理論基礎進而選出，透過此測驗裡學童的解題表現，得知學童之概念詮釋結構圖，再做進一步分析。一、國小三年級數概念試題 (一)測驗範圍本研究主要測量受試者於數概念的解題能力，透過分析出學童的知識結構，進而探討學童其有理數之觀念是否築基於正整數而來，將依據教育部(2003) 所公佈九年一貫數學領域三年級之分年細目，挑選出關於「數與計算」的細目，並參考相關文獻的理論基礎而選用之測驗。此測驗是由王翠鈴(2010)編製而成，在王翠鈴正式施測資料中，本測驗以 Cronbach α 係數為信度，Cronbachα 係數介於.87 至.88，平均為.87，最高與最低相差.01，顯示測驗具有信度；測驗難易度分析結果，難易度指數介於.26 至.83，平均為.53；又以通過率加以分析，數測驗的通過率介於.25 至.85，平均為.53；顯示數測驗具有難至易的題型，整 - 35 -.

(43) 份試題難易度適中。本研究測驗進行時，要求受試者寫出計算過程及結果，作答時間不限。分年細目與試題內容關係如表 3-3-1：表 3-3-1 分年細目與試題關係表分年細目. 分年細目內容. 試題代號. 數類型. 3-n-01. 能認識 10000 以內的數及「千位」的位名，並進行位值單位換算。. 2、3.1 3.2. 整數概念. 3-n-02. 能熟練加減直式計算(四位數以內，和＜ 10000，含多重借位)。. 3.3、6 10、15.1 15.2. 整數加減運算. 3-n-03. 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。. 1.1、1.2 6、10 11、15.3. 整數乘法運算. 3-n-04. 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄 (包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。. 4、11. 整數除法運算. 3-n-05. 能熟練三位數除以一位數的直式計算。. 1.3、1.4. 整數除法運算. 3-n-06. 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。. 5、7 8、9. 整數四則運算. 3-n-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. 12. 分數概念及運算. 3-n-10. 能認識一位小數，並作比較與加減計算。. 13、14. 小數概念及運算. (二)試題配分標準為分析學童數概念結構，本研究採他編的「國小三年級數概念試題」(王翠鈴，2010)。試卷內有十五道題組，再細分為 22 題，每一題為一計分單位，計算題部分每一題皆隸屬單一的數概念，答對該題得 1 分；文字題部分，每個題目包含不同的數概念，視其所包含的數概念予以不同的配分，故此測驗以多元計分形式呈現，各題組配分詳細情形如附錄。. - 36 -.

(44) 二、試題分析 (一)擬定雙向細目表採用 Bloom 教育目標分類系之優點是此種分類系統為一般教師所熟稔，也是目前教學與評量常引用的系統，因而在說明時可減少過於艱澀難懂之缺點 (林清山，2000)。新修訂版將教育目標分類分成知識向度(knowledge dimension) 和認知歷程向度(cognitive process dimension)兩部分(Anderson et al, 2001)，前者為協助教師區分教什麼(what to teach)，後者在促進學生保留(retention)和遷移 (transfer)所習得的知識。本研究，採用 Bloom 知識向度，與九年一貫課程綱要數學學習領域中數與量主題下的「數與計算」子題之三年級分年細目所概括之數類型，來擬定雙向概念表，如表 3-3-2 所示。表 3-3-2 試題雙向概念表事實知識數類型. 3.1 3.2. 正整數. 分數小數合計. 概念知識. 0. 2. Bloom 知識向度程序知識 1.1、1.2、2、3.3 4、5、6、7 8、9、10、11 15.1、15.2、15.3 1.3、1.4、12 13、14 20. 後設認知知識. 0. Bloom 知識向度層次分為：事實知識、概念知識、程序知識、後設認知知識。就數與量領域的知識向度，歸屬於事實知識的指標偏少，指標主要著重於概念知識及程序知識，其中第一、二階段較強調程序知識，而第三四階段則較強調概念知識，而在此領域中，缺乏後設認知知識的指標(鄭蕙如、林世華， 2004)。透過試題雙向概念表，可發現本研究所選用的「國小三年級數概念試題」符合能力指標之知識向度層次。 - 37 -.

(45) (二)擬定試題概念屬性矩陣本研究據教育部(2003)所公佈九年一貫數學領域三年級之分年細目，並參考相關文獻的理論基礎而選用他編測驗。測驗包含 8 個概念總計 22 題，施測試題之概念屬性矩陣如表 3-3-3 所示，該表中，1 代表該題有測量到該概念；0 代表該題沒有測量到該概念。表 3-3-3 試題概念屬性矩陣分年 3-n-01 3-n-02 3-n-03 3-n-04 3-n-05 3-n-06 3-n-09 3-n-10 細目概念 1 2 3 4 5 6 7 8 編號. 題號. 1.1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1.2. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1.3. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1.4. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3.1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3.2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3.3. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 5. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 6. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 7. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 8. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 9. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 10. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 11. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 13. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 14. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 15.1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 15.2. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 15.3. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. (1 代表該題具備該概念；0 代表該題未具備此概念). - 38 -.

(46) 三、個別晤談本研究針對已修畢國小三年級課程的學童於數概念的解題表現，運用 S-P 表分群，探究受試者其概念詮釋結構圖，並由六大學童類型中「C 類型」的學童進行個別晤談，期望能進一步了解學童的數概念結構，並供給教師做為補救教學之方向。個別晤談是採用「半結構式晤談」的架構，於分類中「C 類型」的學童抽取，共計有 2 名受試者進行晤談。晤談時間約四十分鐘。晤談地點為較安靜的活動教室，訪談過程不易受到干擾，現場除教室內的桌椅，另架設錄音器材作為錄音之用。晤談前，將會和受試者說明晤談目的，旨在瞭解學童的想法，並不影響學童課業成績。在每次正式晤談後，研究者將針對訪談過程做出摘要記錄，並登記訪談問題分布，以作為下次訪談提問的依據，並避免提問不均的情形發生。本研究個別晤談中的訪談問題，主要針對學童學習三年級數概念後的解題情況，探討學童有理數概念是否築基於正整數概念而設計，為了避免晤談時回答不完整，所以利用半結構式的晤談方式進行，而挑選受試者的依據，亦會徵詢導師建議，以表達能力較好或較有個人想法的學童為主，而研究者事先會從測驗中瞭解各晤談者之錯誤問題，晤談時將就這些問題，進一步去詢問學童的想法和疑問，半結構性晤談的大綱如表 3-3-4 所示：表 3-3-4 半結構性晤談大綱晤談問題. 目的. 1. 你喜歡數學嗎？ 2. 你有補習數學嗎？每週約有幾小時？ 3. 如果數學有疑問，你會請教誰？ 1. 2. 3. 4.. 你知道題目的意思嗎？請你說明解題的想法。你想過其它的解法嗎？你覺得這個題目困難嗎？. 瞭解學童數學學習概況探究學童正整數概念是否延伸發展至有理數概念。 (續下頁). - 39 -.

(47) 1. 你覺得這份測驗對你而言是困難的嗎？ 2. 你喜歡這些題目嗎？. 第四節. 學童的心理因素是否影響整個解題表現。. 資料處理分析. 本研究主要透過國小三年級數概念試題，探討學童知識結構的特徵，並分析比較各類型學童知識結構圖的概念指向。在資料處理上，使用 Excel 試算表、和認知診斷之測驗分析即時服務系統(莊宗霖、林原宏，2007)進行資料處理與分析。關於其中的資料分析項目及順序如下：一、資料分析步驟 (一)數概念測驗的資料紀錄將全體受試者的試題資料以 Excel 試算表處理，編列出學童的作答反應矩陣，以及各試題之概念屬性矩陣。 (二)認知診斷之測驗分析即時服務系統之應用將受試者的作答反應矩陣和試題概念屬性矩陣輸入認知診斷之測驗分析即時服務系統，進行分析，得到 74 位樣本的概念精熟度，研究者選取  ＝.52 為閾值，繪製出個別受試者的概念詮釋結構圖，其結構圖之階層較為明顯，利於研究者判讀；亦可透過此系統的 S-P 表分析診斷學童的學習資料，得到分群的組別，利於個別晤談之挑選。 (三)不同類型學童的概念詮釋結構圖的特徵為了探討不同類型學童其概念詮釋結構圖特徵，將透過認知診斷之測驗分析即時服務系統所得到的受試者概念之精熟度資料，再進一步整理出不同類型學童的概念詮釋結構圖，探討不同類型學童在這一測驗內的概念連結關係與階層。 (四) 探討不同群組間及其與專家的概念詮釋結構之相似度 1.依據歐幾里德度量定義歐幾里德空間中，點 x ＝ x1 , x2 ,, xn  和 y ＝ - 40 -.

(48)  y1 , y2 ,, yn  之間的距離概念來列出相似度公式： (1)歐氏距離公式為 d x, y  ＝. x1  y1 2  x2  y2 2    xn  yn 2. (2)概念詮釋結構之相似度公式如下：. . 相似度＝ 1  1 n x1  y1 2  x2  y 2 2    xn  y n 2. . 其中 x ＝ x1 , x2 ,, xn  和 y ＝  y1 , y 2 ,, y n  代表不同受試者對 n 個概念的精熟度，且 0 xi 1，0 y i 1， i ＝ 1,2,, n 。 2. 以 x ＝ 1,1,,1 代表得滿分的受試者在 8 個概念的精熟度，即是專家的概念精熟度，而以 y ＝  y1 , y 2 ,, y8  代表透過認知診斷之測驗分析即時服務系統所得到的受試者概念之精熟度。利用 Excel 套裝軟體來做運算，而相似度的值介於 0 與 1 之間，值愈大表示受試者的概念詮釋結構與專家的相似度愈高，反之則否。 3. 研究者使用 SPSS 套裝統計軟體中的單因子變異數分析來比較不同類型的學童其概念詮釋結構之相似度差異性。 (五)個別晤談將分出的各組中，挑選表達能力較佳或較有個別想法的學童接受半結構性的個別晤談，並隨時將學童的相關回饋作紀錄，以作為質性研究的重要依據。二、資料的分析經由以上分析步驟，可以繪製出不同群組的受試者其個人之數概念詮釋結構圖，將分析說明如下： (一) 以整體受試者的概念詮釋結構圖特徵為首要分析，可整理出分層級數，前置概念為何，概念階層之關係與精熟度。 (二) 再者以個別受試者的個人化概念詮釋結構圖為分析，比較其數概念之連結關係與階層的異同處。 - 41 -.

(49) (三) 分析比較不同群組間與專家的概念詮釋結構圖之相似度差異是否達到統計上之顯著水準。 (四) 藉由概念詮釋結構圖之推論，佐以晤談紀錄，驗證學童之知識結構。. - 42 -.