第四章 研究結果與討論
第一節 學童的數概念詮釋結構圖分析比較
研究者根據九年一貫數學領域能力指標及分年細目，所選用之他編測驗包 含的八個概念如表 4-1-1 所示，概念 1 包含在 N-1-01 的能力指標中，是最先學 習的概念，應位於概念階層結構的下層，為學習之前置概念；而概念 8 包含在 在 N-1-10 的能力指標中，是三年級學童較晚才學習到的概念，於學童概念詮 釋結構圖中應置於上層；而概念 2、概念 3、概念 4、概念 5、概念 6 和概念 7 包含在 N-1-2 與 N-1-9 中，應位於概念詮釋結構圖的中間層。
表 4-1-1
數測驗之能力指標與概念表
對照能力指標 分年細目 分年細目內容 概念
N-1-01 3-n-01 能認識 10000 以內的數及「千位」的位名，
並進行位值單位換算。 1
N-1-02
N-1-05 3-n-02 能熟練加減直式計算(四位數以內，和＜
10000，含多重借位)。 2
N-1-03
N-1-07 3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並
解決二位數乘以二位數的乘法問題。 3
N-1-04 3-n-04
能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀 錄(包括有餘數的情況)，並解決生活中的 問題。
4
(續下頁)
N-1-04
N-1-07 3-n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算。 5 N-1-08 3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減
與除，不含併式)。 6
N-1-09 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決
同分母分數的比較與加減問題。 7
N-1-10 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 8
透過認知診斷之測驗分析即時服務系統，輸入 74 位學童的作答反應矩陣 與試題屬性矩陣後，獲得八個概念的精熟度矩陣，如附錄，即可進一步繪製出 每位學童的數概念詮釋結構圖。概念詮釋結構圖的判讀方式：
1. 每個圓圈內的號碼為概念代號，而號碼下方的數字則代表學童對此概念的 精熟度，以圖 4-1-1 為例，70 號學童其概念 1 的精熟度為.57。
2. 概念詮釋結構圖呈現的階層性為學童概念發展的先後順序，最底層的概念 為學童愈精熟的概念；愈上層的概念為愈不精熟的概念，是較慢發展的概 念。圖 4-1-1，概念 1 為學童較精熟的，而概念 4 與概念 7 為最上層概念則 是較不精熟的。
3. 概念詮釋結構圖中的箭號表示兩兩概念間的從屬關係，圖 4-1-1 呈現，概念 1 為概念 2、概念 5、概念 6 和概念 8 的前置概念，是發展這四個概念的先 備條件；概念 5、概念 6 及概念 8 互為指向，表示在概念彼此間呈現「等價 關係」(equivalent relation)。
圖 4-1-1 S70 的概念詮釋結構圖
依照判讀的方式整理 74 位學童數概念詮釋結構圖，發現約 28%的學童其 前置概念為概念 1，另約有 31%的學童其前置概念為概念 1 和其它概念，顯示 約有 59%的學童而言，概念 1 是易理解的概念，是發展其它概念的先備條件，
如表 4-1-2 所示。
表 4-1-2
受試者前置概念所佔比例表
前置概念 受試者 百分比
概念 1
S1、S6、S9、S16、S28、S30、S32、S34、S37、
S40、S42、S44、S45、S51、S57、S58、S63、
S66、S67、S68、S70
28.38%
概念 1 和其它概念
S3、S13、S18、S19、S21、S22、S23、S25、
S26、S29、S36、S39、S41、S43、S47、S48、
S49、S50、S56、S61、S64、S71、S73
31.08%
概念 3 S33、S46、S69 4.05%
概念 3 和其它概念 S8、S10、S20、S53、S55、S60、S62、S72 10.81%
概念 5 S5、S15、S24、S27、S31、S38、S59、S65、
S74 12.16%
概念 5 和其它概念 S2、S11、S17 4.05%
概念 6 S12 1.35%
概念 7 S4、S54 2.70%
其它 S7、S14、S35、S52 5.41%
第二節 S-P 表分析結果與各群學童的數概念詮釋結構圖特徵
一、六大學童類型
利用認知診斷分析系統，針對受試的學童繪製出 S-P 表，根據 S-P 表分析 的結果，將學生的注意係數當作橫軸，以學生得分之百分比當作縱軸，將學生 的學習狀況分為六大類，結果如表 4-2-1 所示：
表 4-2-1 學童類型表
類型 受試者 百分比
A 類型
S3、S8、S9、S10、S13、S20、S21、S22、S23、
S29、S30、S33、S39、S41、S44、S46、S49、
S55、S56、S58 、S62、S70、S71、S72、S73
33.78%
A’類型 - 0%
B 類型 S1、S16、S17、S18、S19、S25、S26、S28、S34、
S45、S50、S61、S64、S67、S68、S69 21.62%
B’類型 S31、S40、S43、S60 5.41%
C 類型
S2、S4、S5、S6、S7、S11、S14、S15、S24、
S27、S32、S35、S36、S37、S38、S42、S47、
S51、S53、S54、S59、S63、S65、S66、S74
33.78%
C’類型 S12、S48、S52、S57 5.41%
1. 學習穩定型(A 類型)：此類學童是屬於學習良好且定性高的學童，共 25 人，
佔總人數的 33.78%。
2. 粗心大意型(A’類型)：此類學童是屬於因為粗心大意，不細心作答造成錯誤 的學童，他們在作答試題時需指導對試題的閱讀特別留意，且要反覆練習 才能降低錯誤率，共有 0 人。
3. 努力不足型(B 類型)：此類學童是屬於學習尚屬穩定，只是表現不如 A 類型 學童，努力程度較不足，需多花一些時間複習穩定其學習狀況，共有 16 人，
佔總人數的 21.62%。
4. 欠缺充分型(B’類型)：此類學童是屬於準備不充份且偶爾粗心大意，需要更
努力的學童，該類學童除了平常多複習外，老師需針對其不理解的觀念進 行課後輔導，考前也要多練習穩定學習，共有 4 人，佔總人數的 5.41%。
5. 學力不足型(C 類型)：此類學童是屬於基本學力不足且學習不充分者，由於 學習基礎不良，以致後續學習更深廣的概念時倍感吃力，因此此類學童更 要加強課後輔導，且需重新建立基模，多增加教材的練習，方能逐漸改善 學習狀況，共有 25 人，佔總人數的 33.78%。
6. 學習異常型(C’類型)：此類學童是屬於學習不穩定，對考試內容沒有充份準 備，且隨便作答或有作弊之行為，作答反應異常，因此此類學童需要培養 良好的學習習慣，方能改善學習狀況，共有 4 人，佔總人數的 5.41%。
二、不同類型學童的數概念詮釋結構圖比較
為了瞭解不同類型的學童其個別化概念之差異，應由各類型學童各選取一 位，惟在此群學童中 A’類型、B’類型與 C’類型人數極少或不具這類型，且這 三類型的學童表現多不穩定，猜題的機率較大，易導致結構圖不合邏輯，因此 僅從 A 類型、B 類型，還有 C 類型中隨機選取一位學童，即 S9、S1 和 S74，
作答反應組型如表 4-2-2 所示；以 ＝.52 為閾值，三位學童的概念詮釋結構圖 如圖 4-2-1 至圖 4-2-3 所示。
表 4-2-2
不同類型學童的作答反應組型 學童
代號
S-P 類型
成績
分數 作答反應組型
S1 B 29 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 2 1 2 4 0 0 3 2 0 1 0 1 S9 A 41 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 0 4 4 4 3 2 0 1 0 0 S74 C 14 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 (一) A 類型學童概念詮釋結構圖特徵
A 類型 9 號學童概念詮釋結構圖如圖 4-2-1 所示，其特徵如下：
1. 概念結構為四層，概念 1(10000 以內的數，位值單位換算)位於最底層，
為所有概念的前置概念；概念 2(加減直式計算)、概念 3 (三位數乘以一位 數，二位數乘以二位數)與概念 5(三位數除以一位數)都位於第二階層；概 念 4 (運用÷、＝解決問題)概念 6(兩步驟問題)以及概念 7(同分母的比較與 加減)位於第三階層；而概念 8(一位小數的比較與加減計算)位於最上層。
2. 9 號學童位於最底層的概念精熟度為.57，位於第二層的概念精熟度為.55 到.56 之間，位於第三層的概念精熟度為.52 到.54 之間，最上層的概念精 熟度為.50，每一層概念的精熟度差異不大且較平均。
3. 概念之間彼此的指向關係多，每個概念皆有連結的概念，連結關係較為 緊密。最底層的概念 1，可連結至概念 2 與概念 5，再連結至概念 4、概 念 6 與概念 7，最後指向概念 8，此學童的底層概念與其上位的中層和上 層概念有緊密的連結性，亦隨著能力指標設定之概念發展建立。
圖 4-2-1 S9 的概念詮釋結構圖
(二) B 類型學童概念詮釋結構圖特徵
B 類型 1 號學童概念詮釋結構圖如圖 4-2-2 所示，其特徵如下：
1. 概念結構為四層，概念 1 (10000 以內的數，位值單位換算)位於最底層，
為所有概念的前置概念；概念 3(三位數乘以一位數，二位數乘以二位數) 與概念 5(三位數除以一位數)都位於第二階層；概念 2(加減直式計算)、概 念 4(運用÷、＝解決問題)以及概念 7(同分母的比較與加減)位於第三階 層；而概念 6(兩步驟問題)和概念 8(一位小數的比較與加減計算)位於最上 層。
2. 1 號學童位於最底層的概念精熟度為 .57，位於第二層的概念精熟度 為.54，位於第三層的概念精熟度為.51 到.52 之間，最上層的概念精熟度 為.49 到.50 之間，每層概念的精熟度落差較大。
3. 每個概念皆有連結的概念，概念之間彼此的指向關係不同於 A 類型學 童，原應為較慢發展的概念 7(同分母的比較與加減)，卻為概念 6(兩步驟 問題)和概念 8(一位小數的比較與加減計算)的前置概念；概念 3(三位數乘 以一位數，二位數乘以二位數)和概念 5(三位數除以一位數)也成為概念 2(加減直式計算)的前置概念。
圖 4-2-2 S1 的概念詮釋結構圖
(三) C 類型學童概念詮釋結構圖特徵
C 類型 74 號學童概念詮釋結構圖如圖 4-2-3 所示，其特徵如下：
1. 概念結構為五層，概念 5(三位數除以一位數)位於最底層，為所有概念的 前置概念；概念 4(運用÷、＝解決問題)與概念 7(同分母的比較與加減)都 位於第二階層；概念 6(兩步驟問題)位於第三階層；概念 1(10000 以內的 數，位值單位換算)、概念 3(三位數乘以一位數，二位數乘以二位數)以及 概念 8(一位小數的比較與加減計算)位於第四階層；而概念 2(加減直式計 算)位於最上層。
2. 74 號學童位於最底層的概念精熟度為.54，位於第二層的概念精熟度為.51 到.52 之間，位於第三層的概念精熟度為.47，位於第四層的概念精熟度 為.45 到.46 之間，最上層的概念精熟度為.41，每一層概念的精熟度差異 很大。
3. C 類型學童概念之間的指向關係不同於 A 類型和 B 類型學童，可觀察到 概念 1 與概念 8 沒有下位概念，或概念間的指向常是唯一的，即下位概 念發展至上位概念的路徑只有一條，顯示其概念間的內部連結薄弱，而 且相較 A 類型和 B 類型學童較難精熟的概念反而成為 C 類型學童較易精 熟概念的前置概念，顯示學童可能猜測試題造成概念詮釋結構圖的紊亂。
圖 4-2-3 S74 的概念詮釋結構圖
第三節 各類型學童的數概念詮釋結構圖比較
本研究除了針對不同類型學童的概念詮釋結構圖進行分析外，在本節亦將 三類型的概念詮釋結構圖做進一步的比對，並進行量化的分析與統計上的檢 定，根據第三章資料分析步驟中提出的概念詮釋結構之相似度比較方法，將結 構圖做量化比較，分析比較不同類型學童的概念詮釋結構圖之差異性。
一、三類型學童概念詮釋結構圖之比較
分析三類型學童概念詮釋結構圖，將異同歸納如下：
1. 以概念階層而言，「A 類型」9 號學童為四層結構；「B 類型」1 號學童為四 層結構；「C 類型」74 號學童為五層結構。
2. 三類型學童概念詮釋結構圖中，可以看見最上位階層概念不盡相同。「A 類 型」跟「B 類型」學童，概念 8 皆位於概念詮釋結構圖的最上層，表示概 念 8(一位小數的比較與加減計算)是學童較難以精熟的概念。
3. 三類型學童概念詮釋結構圖中，可以發現最低階層概念差異甚大。「A 類型」
跟「B 類型」學童，概念 1 皆位於概念詮釋結構圖的最下層，表示概念 1
(10000 以內的數，位值單位換算)是學童較精熟的概念。
4. 以概念聯結而言，「A 類型」跟「B 類型」學童主要都以概念 1 與其它概念 作連結，「C 類型」學童則是以概念 5 與其它概念作連結，三群組的概念連 結不盡相同。但結合整體學童約有 59%以概念 1 為前置概念的分析結果，
表示學童在發展另外 7 個數概念前，是先發展「10000 以內的數，位值單位 換算」的概念。
5. 由三類型學童概念詮釋結構圖可知，在個別化的概念詮釋結構圖內，位於 較低階層的概念一定比位於較高階層的概念容易達到精熟，而位於最高階 層的概念則是個體最難以精熟的概念。但是不同個別的概念詮釋結構圖 間，其概念結構及階層數是不能直接拿來做比較的。例如概念 8 在「A 類 型」跟「B 類型」學童的概念詮釋結構圖皆位於最上層，但我們不可以直
5. 由三類型學童概念詮釋結構圖可知，在個別化的概念詮釋結構圖內，位於 較低階層的概念一定比位於較高階層的概念容易達到精熟，而位於最高階 層的概念則是個體最難以精熟的概念。但是不同個別的概念詮釋結構圖 間，其概念結構及階層數是不能直接拿來做比較的。例如概念 8 在「A 類 型」跟「B 類型」學童的概念詮釋結構圖皆位於最上層，但我們不可以直