第二章 LTPP 資料庫與鋪面反算理論
2.2 最佳化理論
本研究將使用 LTPP 試驗路段之 FWD 試驗資料進行鋪面參數的反算，包 含材料性質與鋪面厚度，以確定反算程式的合理性。而所使用的鋪面反算程 式，將結合最佳化的方法，使反算分析程式能有效地進行分析運算，並將所 得結果與統計概念結合後作為鋪面分析之用，以下對最佳化之方法及本研究 所使用之方法做一介紹。
2.2.1 最佳化方法
於工程設計時，有時無法符合規範需求或設計過度保守，導致材料的浪 費並間接增加工程成本，致使業主不堪負荷，往往造成工程進度延宕。因而 工程師利用最佳化(Optimization)方法來解決問題，此方法橫跨數學、應用科 學、經濟學、統計學、甚至於醫學等領域。就工程上而言，最佳化方法的目 的在於尋求具物理意義之數學式的最佳答案，同時此組答案必須符合工程所 需的限定準則，亦可有效解決工程相關問題與決策判斷。發展至今，已漸漸 深入工程各個層面【43-46】，扮演著舉足輕重的角色，並能提供工程師進行 決策與管理。
一般來說，隨著數學模式的不同，將有其不同適用的最佳化方法。常見 的最佳化方法可區分為傳統數值最佳化方法及人工智慧技術最佳化方法兩大 類。其中傳統數值最佳化方法亦可分為求解單變數函數以及多變數函數最佳 化，如圖2-9所示。另一方面，以人工智慧技術為基礎之新型啟發式演算法，
常見應用工程有下列三種方法：
1. 類神經網路（ANN , Artificial Neural Network）
2. 基因演算法（GA , Genetic Algorithm）
3. 粒子群最佳化演算法（PSO , Particle Swarm Optimization）
圖 2-9 傳統數值最佳化方法 (Exhaust Search) 二分法
(Bisection Method) 黃金搜尋法 (Golden Search)
二階內插法
(Quadratic Interpolation) 三階內插法
(Cubic Interpolation) 牛頓法
(Newton's Method) 準牛頓法
(Quasi-Newton Method) 正割法
(Secant Method)
格點搜尋法 (Lattice Search) 隨機搜尋法 (Random Search) 單變數搜尋法 (Univariate Search) 圖形尋覓法 (Pattern Search) 虎克和傑夫搜尋法 (Hooke and Jeeve's Method)
波爾法
(Powell's Method) 單行法
(Simplex Method)
柯西法
(Cauchy Method) 符略策-瑞富司法 (Fletcher-Reeves) 牛頓法
(Newton's Method) 馬可渥得特法 (Marquardt Method) 準牛頓法
(Quasi-Newton Method) DFP 法
(Davidon-Fletcher-Powell Method) BFGS 法
(Broydon-Fletcher- Goldfarb-Shanno
隨意搜尋法 (Random Search) 複合法
(Complex Method)
懲罰法
(Penalty Method) 擴張拉格朗基法 (Augmented Lagrange Multiplier Method)
當最佳化問題中之目的函數為簡單的函數時可使用數學的方法求出函數 極值時所相對應之值，然而當最佳化之問題若含有較多的設計變數或目的函 數本身受到拘束或非線性時，則使用上述數學方法即變為非常困難，尤其許 多工程問題本身的目的函數更是不易表示成一函數(Implicit Function)，故使用 數值方法進行最佳化分析即變得非常重要。
最佳化分析常於 m 組變數 x (其中 x 為向量)中藉著疊代的過程(iteration procedure)找出使目的函數 f(x)為最小時所相對應的 x，其疊代的過程可用下式 表示：
x(k+1)=x(k)+αkdk (2-1) 上式中 k 代表疊代次數，x(k)及 x(k+1)為一向量 x 於第 k 次及 k+1 次疊代過程中 之值， αk為第 k 次疊代過程中的步幅，而 dk則為第 k 次疊代的尋找方向(search direction)。當尋找方向的模根(norm)小於收斂參數時，即停止其疊代過程，而 此時所得之 x 值即為最佳化之值，其目的函數亦為最小。
目前最佳化方法已廣泛應用於工程設計上，無論在施工估價、結構輕量 化、營建流程控制、數據預測、結構破壞辨識、液化評估、可靠度設計等相 關課題。透過分析系統之目的函數與限制函數建立，各影響參數率定後，進 行分析運算並有效處理參數之不確定性，求得最佳結果來輔助進行工程規劃 管理。本研究亦將最佳化的方法與鋪面正算程式結合發展鋪面反算程式，並 用此程式探討鋪面材料與厚度的變異性。
2.2.2 圖形尋覓法之介紹
本研究所採用之最佳化方法為 Hooke 及 Jeeves 所提出的圖形尋覓法因其 易於程式化，又不須使用導數，故易於收斂。此圖形尋覓法的基本概念與流 程敘述如下，它是假設目的函數為單模態下尋找多變數未拘束的最小化，其 目的函數可表示如下：
目的函數= f (x1,x2,…xn) (2-4) 上述中 x1,x2,…xn共有 n 個變數，其運算的過程如下。首先找一方便的基點(舊 基點)，然後探查沿各獨立變數方向的一個已知增量時其目的函數的改變，當 目的函數已獲得改進時(即變小)，則建立一個新的暫時基點，當完成所有獨立 變數的分析後，即以獲得改進的基點為新基點，然後將圖形移動(pattern move)。
此圖形之移動包含沿新基點與舊基點的直線作外插。移動之距離最好超過新 舊基點間的距離。在數學上，此新的暫時基點可外插表示如下：
xi,0(k+1)=xi(k+1)+α(xi(k+1)-xi(k)) (2-5)
xi,0(k+1)為移動至新位置的暫時基點，而 i 是指標變數，k 是疊代次數，α 是加
速因子，其值可大於 1 或等於 1。當找到新的暫時基點，再探查以此點為基點 是否有新的暫時基點。由於加速因子的性質，每個連續圖形外插將變成越來 越陡直到山峰(即最小值)，當在此點時，在回頭對前一疊代的最好基點，使局 部探查的步幅尺寸減少在開始圖形建立過程，一旦步幅尺寸降到預測之值時，
仍無法明顯改變目的函數，則此過程即停止，此方法在遇到超越表面(hyper surface)具有深谷時，尋找極值特別成功，而其它梯度法則不理想。
最佳化(Optimization)是在限制條件下尋找決策變數之值，使目標函數達 到最佳化；即目標函數值達到最大或最小。以下將 Hook 及 Jeeves 所提之圖 形尋覓方法以找出圓方程式之圓心做一說明，首先假設一圓方程式如下所 示：
(2-6)
上述方程式之圓心座標在(a，b)處，半徑為 c，今假設圓心座標之初始位置為 (𝑎̅，𝑏̅)，並欲利用上述方法進行正確圓心之尋找。首先選定目的函數 W 其定 義如下：
(2-7)
2 2
2 ( )
)
(x a y b nc
W
n
2 2
2 ( )
)
(xa yb c
上述方程式中 xi及 yi為在圓周上 i 點的座標，而 n 為所選擇圓周上之點數。
其目的函數則為圓周上所有選定點其與圓心距離平方減去半徑平方之和，而 初始之圓心座標為(𝑎̅，𝑏̅)，而真正圓心座標(a，b)，若當尋找到之圓心為(a，
b)時其目的函數將為零(最小之目的函數)。現假設其初始圓心位置於 t0 點(其 初始座標(𝑎̅，𝑏̅)，而真正之圓心為 tZ點如圖 2-10 所示，利用最佳化之方法尋 找真正圓心之步驟說明如下。首先假設一起始點 t0，然後將 t0沿 x 方向移至 t0A，此處之目的函數較 t0為小故為較佳之位置。然而於 t0A處向上移至 t0B時 因其目的函數增加，故捨棄此方向而往下移至 t0’點而得更小之目的函數，此 t0’點在此移動過程中為一最佳之位置。為加速其移動之過程，故由 t0點在 t0t0’
方向上移動 1 倍 t0t0’之距離至 t1點。接著再由 t1點進行第二次移動，如同前述 往 x 方向移至 t1A，其目的函數變小故為較佳之位置，因由 t1A移至 t1’較移至 t1B為佳，故其移動以 t1t1’方向且以 2 倍 t1t1’之距離移至 t2。接著由 t2點繼續尋 找更佳之圓心位置，因由 t2往 t2A或 t2B移動後所得之目的函數都較 t2為大且 因 t2’較 t2C為佳，故將其移動至 t2’點，並以此點加速移至 t3點。因 t3B點之目 的函數較 t3A為小，故將移動方向修正偏左。以同樣之步驟由 t3移至 t4點，但 在 t4點所得目的函數已較前增加，故移回 t3B點並以此點作為開始移動之依據。
當 t3B點向左移動時，即找到目的函數為最小之 tZ點，此時無論再往那一方向 移動都將使其目的函數增加，故此為最佳之點。本研究將使用上述之原理求 得最佳化之參數。
最佳化之概念常被用於工程之設計或分析，如在工程實務上常需求出某 一函數之最大或最小值，又如在工程設計上常需求出最佳的斷面、最小的材 料、最小的工程花費或在資料分析時如何找出模式的參數使得預測值與實驗 值最為接近，故如何改變設計變數使得函數值為最小的觀念即為最佳化。本 研究將使用最佳化之觀念尋找最佳的鋪面參數，如材料性質與鋪面厚度，使 預測撓度與實測之撓度最為接近，目前已有不少方法被提出作為鋪面反算分 析之邏輯，但仍以最佳化之方法較為簡單，且較易與有限元素程式結合。
圖 2-10、最佳化圖形尋覓示意圖