網格中心的梯度計算公式為：
∫
∫
Ω∇ Ω= Ω Ωd d
d φn
φ (3.75)
其中φ表示任一純量變數，Ω表示局部網格之面積，n表示積分路徑之法向 量，以三角形網格A 為例(參考圖 3-11 之標示)，網格中心梯度估算與其圍 線積分之路徑有關，由上式可推得：
∫
Ω Ω=Ω
∇ d
A
A φnd
φ 1 (3.76)
於求解上式時，在選擇路徑及求面積法則必須能滿足下列限制條件：
(A). 當φ 為線性變數時，則∇φA 必須為解析解。
(B). 對於任意多邊形網格，∇φA 必須能夠被定義。
Barth 與 Jespersen [60]提出三種不同積分路徑之策略並證明是否滿足限 制條件，積分路徑詳如圖3-11 所示：
(1).沿著網格 A 之邊緣路徑積分，含局部網格共使用 4 個網格，並使用相鄰 網格之中點近似法則來計算積分式即邊緣e(v1,v2) 中點之φe 值採φA及φB 的算術平均數，即
2
B A e
φ
φ =φ + (3.77)
(2).沿著網格 A 之所有相鄰網格(即 B、C 及 D)之格心連線路徑積分，含局 部網格共使用4 個網格，並使用梯形法則來計算積分式，即
2
,
C B BC e
φ
φ =φ + (3.78)
(3).沿著網格 A 所有共用格點之相鄰網格之格心連線路徑積分，含局部網格 共使用4 個以上的網格，並使用梯形法則來計算積分式。
Barth 與 Jespersen 指出策略(1)除了邊緣相鄰網格中心之連線恰中分該 邊緣時，否則不滿足限制條件(A)；策略(2)滿足限制條件(A)，但當網格 A 為扭曲網格時，即相鄰網格B、C、D 之格心連線重疊為一直線之時，則不 滿足限制條件(B)；策略(3)均滿足限制條件(A)與(B)。
本文在計算梯度採用之策略為使用策略(1)之積分路徑，並依據網格之 不同使用相鄰網格之中點近似法則(四邊形網格)或使用格點梯形法則(三邊 形網格)來計算積分式，其中局部網格之格點變數值計算，係採用共用該格 點之所有網格中心值之面積倒數平均值，故其涵括之網格數與策略(3)相同 但計算面積之效率較高，唯仍較中點近似法則需要較多的計算時間，為了 克服此問題以縮短共用該格點之網格蒐尋時間，於網格系統資料中先利用 Linked List 動態矩陣[123]之概念，於計算之初即以下列方式尋找並儲存其 關聯，後續用到時即可快速找出共點之網格編號，即Nc=NofJ(Ni)表示格點 編號Ni 之共點網格數及 Li=LofJ(Ni,i)，i=1,2,…Nc，表示格點編號 Ni 之第 i 個共點網格編號。
共點之網格數目在二維時4 邊形網格或三維之 6 面體網格約為 4 或 8，
故LofJ(Ni, Nc)之矩陣大小則為格點數乘以 4 或 8，尚不算大且數目均一致。
但當使用二維3 邊形或三維之 4 面體網格時，則此矩陣空間則變得非常不 一致且共點之網格數目數量有時可達60 個以上，若使用 Ni×60 則需要非常 大的記憶體，若使用Linked list 之動態矩陣，則可節省大量的儲存空間，例 如有10000 個格點為例，使用一般的矩陣則需 10000×60=600000 個記憶空 間；若使用Linked list 之動態矩陣則需 12000×20=240000，可節省 360000 個記憶空間，若網格愈密則差異更大。
共用格點之網格關聯尋找之概念及Fortran 程式摘要說明如下：
CALLofJ副程式流程圖
本副程式主要在處理共點之網格集合：
利用Linked List概念來儲存集合之資料，可節省大量的記憶體空間，
以下用火車之概念來說明：
1. 首先要定義有多少節車廂及每部車廂可容納多少人。
2.車廂數的設定通常取總格點數的1.2倍；而每部車廂可容納人數：
二維4邊形網格取10；3邊形則取30。三維6邊形網格取10； 4邊形 網格取40 。 DO n=1,Ncell
No
如前所述，在計算擴散項及質量流率時必須先決定各變數的梯度，而 梯度的估算方法對於解的精確性有顯著的關聯，計算梯度最簡單的方法就 是運用高斯理論(Gauss theorem)，如下所示(參考圖 3-1 所示)：
1
P fSf
φ φ
∇ =ΔΩ
∑
(3.79)其中總合係控容體所有面之面上變數與面向量乘積之總合，面上變數值可 以使用最簡單的相隣網格中心之兩點中央線性內插法來估得，即
(1 )
f w C w P
φ = φ + − φ (3.80)
其中w 為權重因子。
上述之線性內插法通常被認為在用於梯度計算時是低階準確，因為只 有含概最隣近的兩個網格，為了提高準確度則必須引入更多的隣近網格 [41,60,75]，參考 Mathur 與 Murthy [86]所用之線性重置二階準確法來獲得面 上之變數值，可平滑估計值，不致產生過於高估/低估之值，有助於程式之 穩定性：
(1) (1)
1[( ) ( )]
f 2 P P Pf C C Cf
φ = φ + ∇φ δi + φ + ∇φ δi (3.81) 其中δPf 與δCf 為距離向量分別從面心 f 指向格點 P 與 C ，梯度∇φ(1) 係使
用如式(3.80)簡單內插法所獲得之φ(1)f 值計算而得，而面心之變數值
φ
f可能沒 有界限於局部網格之相隣周圍網格之最大與最小值之中，可能會導致獲得 較周圍網格超高或超低估算之值，繼而得到異常的梯度變化值，因此，特 別加入了限制條件，如下所示：( )
min max(min{ }, ), max{ }
f C f C
φ = φ φ φ (3.82)
其中{ }φC 是含括所有局部網格之周圍相隣網格。