對無結構性網格而言，只有局部網格面上之兩個相鄰網格可以被直接 引用，因此最方便的面上差分方式就是上風差分或中央差分法，本文則使 用中央差分/上風差分混合法，在第三章式(3.7)對流通量離散式中之
α
φ為固 定式混合因子，其值介於0 與 1 之間(0=UDS；1=CDS)，即流場中梯度變化 不論是在平滑或劇烈之區域均使用相同的對流項差分準確度，往往在流場 中有震波存在時，為了維持計算過程的穩定性及抑制數值振盪，必須大幅 調降混合因子，結果則造成整體的準確度連帶降低。若能依流場梯度變化 情形來自動調整混合因子，在梯度變化平緩之區域使用高階準確差分；而 只有在梯度變化劇烈或陡峭區域回歸至一階準確差分，使其既能產生高階 準確又能具有解的界限性，如此就能獲得高準確度、高穩定性及界限性的 對流項離散模式。現在將式(3.7)中固定式混合因子
α
φ改寫為隨流場梯度變化之限制函數 )ψ(r ，表示如下：
( )( )
UDS CDS UDS
f f rf f f
φ =φ +ψ φ −φ (4.1)
為了說明方便，則假設流動方向為由局部網格P 流向下游格點 D(如圖 4-1 所示)，所以
UDS
f P
φ =φ (4.2a)
2
CDS P D
f
φ φ
φ = + (4.2b)
將式(4.2)代入式(4.1)展開後可以得到面上對流項的高階限制差分式為：
( )( ) 2
D P
f P rf φ φ
φ =φ ψ+ − (4.3)
式(4.3)中劃底線項相當於上風差分法之反擴散項(anti-diffusion term)，其中 φP與φD分別表示相對於 f 面之上游格點 P 與下游格點 D 之值，ψ(r)則表示 隨梯度比r 而變化之通量限制函數(flux limiter function)，其值界於 0 與 2 之 間，當ψ( )r = 0、1 及 2 時分別代表上風差分(UDS)、中央差分(CDS)及下風 差分法(DDS)，由式(4.3)可知所有的高階法均可以表示為 CDS、UDS 及 DDS 之混合式。
參照Roe [29]所提出之 TVD 方法，面上之差分值可以寫成一階上風差 分之擴散項(diffusion term)與一個反擴散項(anti-diffusion term)之和，而此反 擴散項為高階差分與一階上風差分之差再乘上一非線性之通量限制函數
)
ψ(r ，即所謂的高階對流通量限制差分法，其中r 之計算方式採用上風型 式之連續梯度(consecutive gradient)比(如圖 4-2(a)所示)：
P U
( )(1 ) 2
P
f P rf φ
φ =φ ψ+ − (4.7)
1
P f
P
r φ
= φ
− (4.8)
由式(4.7)顯示，網格面上的正規化變數值φf 恰僅為其上游網格φP之函數。
從正規化變數圖(NVD)上可以很清楚地顯示 Gaskell 與 Lau [56]所提出之對 流界限準則(CBC)區域(如圖 4-3(a)所示)及滿足 Harten [30]的 TVD 限制條件 之範圍(如圖 4-3(b)所示)，因此若高階非線性差分法之限制函數在圖 4-3(a) 所示之陰影區域內時，只表示具有界限性，但不完全滿足TVD 之限制，必 須再將其範圍縮小為圖4-3(b)所示之陰影區域才具有 TVD 性質。
Sweby [54]亦證明藉由在一階上風通量差分法附加一受限制之反擴散 通量，可獲得無數值振盪之二階準確差分法，推導出要滿足下列TVD 條件 之限制函數範圍：
0 ( ( )r , ( )) 2 r r
ψ ψ
≤ ≤ (4.9)
其用二維座標圖標示出局部守恆梯度比r 與限制函數ψ(r)之關係，可清楚 研判所採用之任何限制函數是否具有TVD 特性，這種圖示即通稱為 Sweby 的TVD 關係圖(如圖 4-5 所示)。
透過式(4.7)及(4.8)可以很容易地將各種限制函數ψ( )r 對映到NVD 上的 正規化變數函數，常用的NV 與 TVD 型式之線性差分法綜整如表 4-1 及非 線性之限制函數則綜整如表4-2 所示，而其表示在 NVD 或 Sweby 的 TVD 關係圖上之函數分佈，則分別如圖4-5 到圖 4-22 所示。由表 4-2 中可明顯 的看出，使用TVD 型式的限制函數在程式的建構上變的容易許多且更有效 率，而在使用正規化變數建構程式時的IF 敘述結構就顯的有些多餘且耗時。
以高階對流項差分式(4.7)而言，必須先計算局部網格面上之梯度比方 能代入限制函數得到限制子(limiter)，而梯度比在結構性網格系統可直接由 式(4.4)或式(4.8)求得，然而在無結構性網格系統因為無法直接找到上上游網
φ
虛構一上游格點U，其位於距離局部網格 P 之−δP D 處(如圖 4-1 所示)，其 與2 之間(0=UDS；1=CDS；2=DDS)，雖然密度之差分準確階數會隨流場梯
度變化而自動調整，因為在疊代過程中密度的變化是非常劇烈的，當密度