7.1. 以原始變數法求解
7.1.2. 黏性流之驗證測試
7.1.2.3. 雙喉部噴嘴內流場
用雙喉部噴嘴(double-throat nozzle)來作為高速黏性層流內流場的計算 驗證，由於發生在兩喉部之間的壓縮波會造成流離現象，故此物理現象恰 可用來測試流場解子對於震波/邊界層相互影響的流場解析能力，本流場問 題即為GAMM Workshop [113]作為流場解子的標準測試案例之一。
雙喉部噴嘴案例之主要設計目的在於有良好的邊界條件計算域，可產 生強烈的穩態、層流及壓縮流的流體黏性交互作用現象，首先藉由簡單的 收縮-擴散噴嘴即可產生超音速流，然後再透過凹面曲線壁形成一個收縮流 道，在此具有部份超音速流的噴嘴擴散-收縮區段，預期產生壓縮波、震波 及流體分離現象，最後流經第二個喉部後經由第二個擴散段快速的膨脹流 出。
7.1.2.3.1. 噴嘴幾何外形
此平面對稱噴嘴幾何外形如圖 7-132 所示，壁面係由 5 個區段的多項 式曲線所組成，除了在x x= 2及x x= 5兩處的斜率或曲率為不連續外，其餘均 為連續的斜率。第一個喉部位於x=0處，在x=0之喉部面積之1/2 設定為參 考長度 1，第二個喉部位於x x= 5處，喉部面積的 1/2 為 1.6。其每一壁面區 段之曲線方程式分述如后：
(1).曲線III(第一個喉部區)：
3 4, 4, 2.33 4
x ≤ ≤x x x = − x = (7.9a)
2
2 3 4
1 a (x x x 3 4), a= 0.03
y= + x − + x x x+ − (7.9b)
x x= 3及x x= 4為反曲點(y′′=0)，喉部的曲率半徑為
7.1.2.3.2. 邊界條件
z 入口：入口處邊界條件為給定停滯壓力(Po)及停滯溫度(To)，平行流入 口，y 方向垂直速度v=0，水平方向速度採用外插方式來處理，
整個入口段(曲線I)假設為非黏性流；
z 出口：流體在出口處屬於快速膨脹狀態且大部份為超音速區域，假設邊 界均受上游影響係合理的，故出口邊界條件則全部的變數均採由 內點外插至出口之方式處理；
z 壁面：在固定壁面除了入口段(曲線I)外，餘均採用無滑移邊界條件及壁 面溫度均給定為停滯溫度(To)。
7.1.2.3.3. 測試條件
雷諾數的定義Reo =a Lo ρ μo/ ，其中參考長度 L=1(第一個喉部面積的 1/2)，下標”o”表示參考到儲壓槽的條件情況。本文測試條件為Reo =100、400 與1600 三種雷諾數及浦朗特常數(Prandtl number)為 0.72。
壁磨擦係數：
1 2
2
w f
o o
C
a τ ρ
= (7.14)
其中τw為壁面剪應力；ρo為停滯點密度；ao為音速，分別表示如下：
t w
V
u u
y y n
τ =μ∂ ≈μ Δ ≈μ ′′
∂ Δ Δ (7.15)
o o
o
P
ρ = RT (7.16)
2
0
ao =γRT (7.17)
計算網格則使用315×40 四邊形無結構性網格，在靠近壁面部份作局部 加密，網格之佈置如圖 7-133 所示。參數設定如下：CFL=1000；鬆弛因子
ηu =ηv=ηT=0.5；ηp=0.1；dm=2；壓力修正次數 kpcor=2；梯度修正次數 kgcor=1(1 表示無修正)。
7.1.2.3.4. 測試結果討論
各雷諾數的計算結果，其馬赫數等值圖間隔馬赫數(ΔM)為 0.2 如圖 7-134 所示，圖中將馬赫數 1 及 2 之等值曲線作特別標示，由於本流場具有 低雷諾數，流體黏性效果特別顯著，雷諾數 100 時在出口處次音速流分佈 約佔1/4，流體從第一個喉部後方之擴散段壁面處產生流離並形成一個渦流 區，當雷諾數增加到 400 時次音速區域減少並在 x = 5 處產生一個正震波 (normal shock)，對於最大雷諾數的情況此流體分離所形成的渦流區變得較 薄而導致邊界層的厚度減少，一個較弱的斜震波在x = 3 至 x = 6 之間形成，
隨後緊接著一個由中心面反射的強震波，由於受到反射的強震波與黏性邊 界層的交互作用而可以在靠近第二個喉部處發現二次的流體分離渦流區，
如圖7-135 至圖 7-137 所示。
由三種雷諾數之計算結果可以獲得流體分離點 Xs 及再接觸點 Xr 之位 置如表7-2 所示，與 GAMM Workshop [113]之研究人員所得到的結果相當 一致。
各種方法計算所得(a)沿著壁面之壓力分佈、(b)摩擦係數(skin friction coefficient)分佈、(c)沿著對稱中心面之壓力與(d)馬赫數分佈，SUPERBEE 通量限制子之計算結果如圖7-138 所示；Van Albada 通量限制子之計算結果 如圖7-139 所示，差異並不大且其與 GAMM Workshop [113]在某些點的數 據比較亦相當吻合，顯示本文發展之解子對於黏性次音速、穿音速及超音 速且與邊界層流混雜之複雜流場具有良好的解析能力。另數值收歛情形則 如圖7-140 所示。
7.1.2.4. NACA 0012 翼型外流場
採用下述兩種參數條件來進行黏性流流經NACA 0012 翼型之測試：(i) M∞=0.8, α=10°, Re∞=500；(ii) M∞=0.50, α=0°, Re∞=5000。低雷諾數測試實例 (i)最主要的特性為在翼型上表面具有一個很大的流體分離渦流區，主要目 的在於驗證本文發展的計算解子可以精確地解析此複雜的流場特性。計算 域由翼型上/下表面各佈置 128 個 O-型四邊形網格所構成(如圖 7-113 所 示)，在翼型附近網格作局部加密。使用 SUPERBEE 限制函數來進行測試 (dm=2)，計算結果如圖 7-141 所示，在翼型上表面有一個很大的渦流，其大 小幾乎佔了翼弦長的 50%，與文獻之比較相當吻合[75]；其表面壓力 Cp分 佈情形亦與Jawahar 等人[75]用密度基底法之高階限制法之比較亦相近。
第 二 種 計 算 實 例 ， 自 由 流 馬 赫 數 M∞=0.50 、 攻 角α=0° 、 雷 諾 數 Re∞=5000，由於此雷諾數接近穩定層流的上限，故可視為一困難的測試例 子[75]。採用與第一種實例相同的網格，在此雷諾數下流體由初始的對稱於 y=0 軸之流動發展至出現輕微地不對稱現象，採用 Van Albada 限制函數 dm=0.5，計算結果如圖 7-142 所示，由流線圖可以看到在翼型尾緣處有輕 微地不對稱渦流交互地出現在 y=0 軸的兩側，其翼表面之壓力分佈則仍顯 示具有對稱性，這種現象也許是因為渦流位於遠離翼剖面的某些距離，且 其核心在尾緣之後，故不會對其上游的流體特性造成明顯的影響所致。翼 表面之壓力分佈與文獻[75]之比較則均相當一致，如圖 7-142(d)所示。