簡介

由於近年來電腦硬體科技的快速發展，快速且高記憶體容量之資料處 理能力，使得計算流體力學的發展有長足的進步，由簡單的幾何形狀進步 到複雜外形之流場模擬計算，進而包含邊界層紊流之模擬計算，並針對不 同之雷諾數與馬赫數之流場發展適用之數值計算方法，致力於提昇流場計 算準確度及效率的研究均有顯著的成效。

在實際應用上除了馬赫數小於 0.3 之低速流場採用不可壓縮流解子 (incompressible flow solver)外，餘均必須使用可壓縮流解子(compressible flow solver)，然而在可壓縮流場中往往都包含了次音速(subsonic)、穿音速 (transonic)及超音速(supersonic)等單獨或交互存在之複雜流場，由於次音速 之統御方程為橢圓型式(elliptical type)與超音速之雙曲線型式(hyperbolic type)流場特性不同，故可壓縮流解子必須具備自動偵測流場特性進而調整 統御方程型式之能力，另對於震波之模擬除要獲得精確的位置及強度外，

亦要避免在梯度變化劇烈、陡峭之區域或震波前後之數值振盪產生，方能 獲得準確的流場解析。

大部份發展用於求解可壓縮流場的數值計算方法大致可分為兩類：密 度基底法(density based)及壓力基底法(pressure based)，不同基底法的使用均 有其特定的馬赫速範圍，前者常用於解高馬赫速流場；後者則常用於解低 馬赫速流場，然而若要發展全速流(all speeds flow)的求解方法，使其有能力 完全處理不同的雷諾數或馬赫速流場範圍問題之模擬計算，則必須瞭解不 同基底算則設計架構上之困難點，尤其是壓力在可壓縮流場中所扮演的角 色。密度基底法傳統上都使用非穩態形式之Navier-Stokes 或 Euler 方程式，

這些方法皆使用密度作為主要變數，以連續方程式作為求解密度之傳輸方 程式，其壓力則藉由狀態方程式來求得，通常應用在解高速可壓縮流場

[1-2]，然此方法用於解不可壓縮流或低馬赫數流場時，因為密度的變量非 常小或幾近於常數，則其與速度之偶合關聯性會變得相當薄弱，因而連續 方程式無法成為求解密度之傳輸方程式且會抑制速度場，因此必須設計一 種機制能透過壓力場將連續方程與動量方程偶合起來，解決的方法為虛構 狀態方程式或在連續方程式中加入人工可壓縮因子[3-8]；壓力修正法是將 由動量方程式導出的壓力變量與速度變量的關係式代入連續方程式中，推 導得到壓力修正方程式進而解出壓力場，其密度則藉由狀態方程式來求 得，對於高速可壓縮流場而言，其速度的變量遠小於速度值本身，而密度 的變化則非常大，此時壓力的變量主要來自於密度變量，故必須將密度變 量轉變為壓力變量代入壓力修正方程式中，方能求解可壓縮流場。

由以上的討論可以知道，任何數值方法要有能力同時處理不可壓縮流 及可壓縮流流場不同特性之統御方程型式，壓力則扮演著相當重要的角 色，其影響速度與密度來滿足連續方程式，總之，經由使用所謂的虛擬或 人工可壓縮因子之技巧，已有多種密度基底法可模擬全速流流場之發展被 提出[3-4,8]，這些方法遭遇到的困難為如何避免艱難的矩陣求解效率而降低 了收歛率，為了克服這些問題及確保在整個全速流場範圍內均能收歛，則 致力於預先處理艱難矩陣的求解方法研究[4,8-12]。在另一研究領域許多學 者則進行壓力基底法延伸至高馬赫數可壓縮流之研究，由於壓力基底法之 壓力修正方程式本質上為橢圓型式之特性，故不適用於超音速或穿音速流 場之雙曲線型式或混合系統之特性，如果沒有修正而企圖直接應用將造成 計算過程不穩定或甚至發散現象，已有不少學者採用壓力基底法進行可壓 縮流計算，配合使用交錯網格(staggered grid)法[13-14]、重置變數(collocated variables)法[15-20]或多重網格法等已有不同程度的貢獻與成就。壓力法不 論在低速不可壓縮流或高速可壓縮流皆保有速度與壓力很強的偶合關聯 性，經過最近數十年的發展已被廣泛用於工業界設計與分析[21]，對使用者 而 言 ， 在 面 對 複 雜 流 場 分 析 之 工 具 需 求 為 簡 便(friendness)與功能強大 (robustness)，壓力基底法已受到關注並被期待致力於計算方法的持續發展，

俾利成為更有用的工程設計分析工具。

壓力法在流場計算之數值方法建構方式，依求解變數型式可分為三 類，一為以原始變數(primitive variables)求解穩態(steady state)或非穩態 (unsteady state)之統御方程式，為 Issa 及 Lockwood 等人 [22]所提出，其延 用求解不可壓縮流之方式，以連續方程式推導壓力修正方程式並作部份修 訂，將密度的變量轉換為壓力變量，在求面上質量通量(mass flux)時係將密 度及速度分別處理，此為壓力法解可壓縮流場之標準方式。一般對於面上 密度之計算均採用一階上風差分法來近似，雖較穩定但其對震波之解析較 模糊，為了得到較佳之震波解析，亦有人使用中央差分近似法[15-17]，但 易造成計算過程不穩定甚至發散；而 Karki 等人[14]及 Demirdzic 等人[16]

使用中央差分混合一階上風差分近似法，其混合因子則介於 0 與 1 之間，

主要的目的無非是要兼顧增加解的精確度及疊代過程的穩定性；Moukalled 與 Darwish[23]則使用與對流變數相同之 SMART 高階限制函數差分法來處 理面上密度。第二種為以守恆變數(conserved variables)求解非穩態之統御方 程式，其求解方式與不可壓縮流類似，唯在求解動量方程式時，使用遲滯 密度或遲滯壓力作為人工消散項代入係數中，藉以穩定此計算方法，McGuir 與Page[24]及 Lien 等人[15]分別引用 Wornom 等人[25]提出之”遲滯壓力”及”

遲滯密度”概念，結合 SIMPLE 壓力修正法，成功地應用於可壓縮流計算。

第三種為特徵變數(characteristic variables)，基本上仍是以原始變數求解穩態 或非穩態之統御方程式，只是運用 ENO 或 TVD 的技巧使用特徵變數並結 合Riemann 解子(solver)來計算面上的通量[26-27,48]，後續衍生性的研究在 文獻報告中並不多。

在處理包含對流(convection)與擴散(diffusion)性質的流場模擬計算問 題時，對於擴散項而言，採用二階準確之中央差分法幾乎是無異議的選擇，

然而對於對流項而言，則有各種不同的處理策略，而其最重要的考量因素 就是要能夠具有界限性(bounded)、精確性及穩定性的模擬方法。若從物理 上而言，當對流項使用界限性差分法離散時，則其近似值絕不會超越局部

解的極大或極小值，即可抑制非物理性或過與不及的數值振盪現象。以一 般流體問題純量性質的傳輸方程式為例，如多相流比率、紊流動能、質量 比率等，其界限性的重要性就非常清楚，如果在К-ε 紊流模式計算時產生負 的紊流消散值，則會導致負的紊流黏滯係數，通常會造成災害性的影響。

自從發展一階上風差分法用來離散對流通量之後，由於不能滿足應用 上的需求，故研究學者開始進行高階準確法之發展，由於「精確度」恰與

「穩定及界限性」相互矛盾及抗衡，可謂魚與熊掌不可兼得，必須在兩者 之間作適當地折衷，然而為了要成功地解決精確度的問題，則被迫必須面 臨數值穩定及物理界限性之困難議題。為了克服這些源自於準確度、穩定 性及界限性等三方面需求相互矛盾的問題，為了維持相當的準確度且抑制 振盪現象，不同的高階界限差分法組合程序被提出，最熱門的兩支家族為 全變量消減(TVD)法[28-34]及正規化變數(NV)法 [35-39]，這些方法均使用 已知之局部剖面解及不同的限制函數來調整對流項離散之差分法，其所使 用之限制函數型式係由一維解的局部分佈剖面分析所推導得到，通常參照 到的網格除了網格面相鄰之網格外，尚需一更上游之網格。許多研究者持 續致力於發展可準確模擬對流佔優流場之高階準確解析法，此類之方法大 概 可 分 為 通 量 混 合 法(flux blending method) 及 組 合 式 通 量 限 制 函 數 法 (composite flux limiter method)兩種類型，這兩種方法均企圖能在不影響準確 度之情況下，獲得抑制數值振盪之流場預測解。

通量限制函數之發展從1985 年由 Van Leer [40]首先提出，係以守恆變 數作為通量限制函數計算之關係變數，即通量限制函數為正規化守恆變數 之函數。後來亦有學者[18,37-38,41-46]以原始變數或特徵變數作為通量限制 函數計算之關係變數，發展高階單調之對流項差分方法，期獲得高精確且 無數值振盪之模擬計算法，大部份均以密度基底法求解。使用特徵變數作 為通量限制函數計算之關係變數在壓力基底法則不多見，例如 Kobayashi 與 Pereira [26] 以特徵變數內插方式代入 Roe 的 Riemann 近似解子用以計 算對流通量，其依循類似SIMPLE 之預測-修正方式來處理動量方程與連續

方程之偶合；而在Issa 與 Javareshkian [27]的研究中，對流通量則使用與 Yee 等人[47]相同的方式並使用具 TVD 之 MINMOD 通量限制函數。Shyy 與 Thakur [48]則明確指出 TVD 差分法通常不完全適用於壓力基底法，其原因 有二：首先因為壓力基底法為動量方程與連續方程(壓力修正方程)分別求解 之順序疊代(sequential-iteration)求解法，其動量方程式中之壓力梯度係以顯 項來處理並將其置於源項中，不像密度基底法是將變數之梯度視為通量 (flux vector)的一部份，偶合連續方程、動量方程與能量方程同時求解統御 方程；第二個原因為缺乏作為TVD 限制函數法通量限制子(flux limiter)計算 基礎的流場局部特徵值之定義。雖然如此，仍有不少學者嚐試以壓力基底 法建構各種對流差分方法與機制，期能獲的類似密度基底法TVD 之精確解。

使用壓力基底法在建構限制函數時，一般均採用守恆或原始變數來計

使用壓力基底法在建構限制函數時，一般均採用守恆或原始變數來計