漸縮-漸擴噴嘴內流場

一般為了測試可壓縮流求解方式是否能準確的計算震波的強度及其位 置，最典型的範例即為一維漸縮-漸擴(C-D)噴嘴之計算，且有解析解可作正 確的比較，在以往的文獻中[24,107-108]應用不同的求解方法，均有相當準 確的結果，所以本文亦不例外循序漸進，首先進行一維漸縮-漸擴噴嘴之計 算驗證。

當出口壓力(即背壓)低於入口壓力時，流體即開始由入口向出口流動，

當流體為次音速時在漸縮段為加速，而在漸擴段為減速；當流體為超音速

流體由入口開始加速至喉部，然後再減速至出口。當背壓繼續降至某一值 恰好使流體在喉部到達音速(馬赫數 M=1)時，此現象稱為阻塞(choked)，之 後因流體未超音速，故經漸擴段減速至出口。若背壓繼續降低，則流體經 解過程較穩定，但亦相對付出精確度較低之代價，Demirdzic 等人[110]及 Karki 等人[14]則將密度比照對流項之處理，使用中央差分與上風差分混合 方式，吳[109]曾進行密度混合因子對於計算解之影響測試，當密度混合因 子愈高，愈接近解析解，若流場中無震波之區域，其密度混合因子應使用 1.0，即 CDS 之二階準確來近似面上密度，可以得到精確的計算解；當流場

中有震波之區域時，當密度混合因子愈高，愈接近解析解，唯其馬赫數之 分佈曲線於震波前後有較大的數值振盪，而當密度混合因子愈小，雖其馬 赫數之分佈曲線於震波前後趨向平滑，但相對的損失對於震波極值捕捉之 精確度，後續之計算所使用之密度差分方法則視流場狀況調整，期能獲的 穩定收歛及高準確度的計算結果。

以中央與上風(CDS/UDS)混合差分法及 18 種高階限制函數差分法等方 式，分別執行三種不同背壓之一維(網格為 100 CV)及二維(網格為 100×10 CV)漸縮-漸擴噴嘴模擬計算測試，研究分析限制函數之使用是否能獲得預 期之界限解。計算程式所使用之鬆弛因子η_u=0.4、η_v=0.4、η_p=0.2，在網格 面上之對流變數u、v 及 ρ 均使用上述差分法，若計算過程發散或無法收歛 時，則將 ρ 改使用 CDS/UDS 混合差分法，混合因子在 Pb=0.870Po 及 Pb=0.769Po 時取α_ρ=0.5；Pb=0.645Po 時取α_ρ=0.4；或視情況再將 ρ 改使用 一階上風差分法，經由以往之研究經驗得知，當降低密度之差分準確度雖 可以抑制震波後之數值振盪，唯準確度愈低則震波強度亦相對有愈大的抹 平現象。

測試結果分述如下：

差分法 計算結果綜合分析比較

一維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試：計算結果如圖 7-3 所示，當 降低 CDS/UDS 之混合因子，即降低 CDS 之權重，可以抑 制震波前後之數值振盪，唯其值愈低則震波強度亦相對有 抹平現象，不過其準確度已高於一階準確解。

(1).Pb=0.870Po 時：混合因子取α_u=0.9、α_ρ=0.5；

(2).Pb=0.769Po 時：混合因子取α_u=0.8、α_ρ=0.5；

(3).Pb=0.645Po 時：混合因子取α_u=0.7、α_ρ=0.4。

CDS/UDS 混合差分法

二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試：計算結果如圖 7-4 所示，其 結果與一維之解相當。

(1).Pb=0.870Po 時：混合因子取α =0.9、α =1.0、α =0.5；

(2).Pb=0.769Po 時：混合因子取α_u=0.8、α_v=1.0、α_ρ=0.5；

(3).Pb=0.645Po 時：混合因子取α_u=0.7、α_v=1.0、α_ρ=0.4。

SMART

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，結果 無法收歛，殘值降至某一殘值時即無法再降，計算結果如 圖7-5 所示，在震波後有振盪現象。

STOIC

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，結果 無法收歛，殘值降至某一殘值時即無法再降，計算結果如 圖7-6 所示，在震波後有振盪現象。

UMIST

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖7-7 所示，在震波後有振盪現象。

WACEB

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖7-8 所示，在震波後有振盪現象。

MUSCL

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖7-9 所示，在震波後有振盪現象。

GAMMA

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，分別 使用不同的參數bm：

(1).bm=0.25 時計算結果如圖 7-10 所示，在震波後有振盪 現象。

(2).bm=0.50 時計算結果如圖 7-11 所示，在震波後之振盪 現象較減緩。

(3).bm=0.75 時計算結果如圖 7-12 所示，在震波後之振盪 現象更小。

SUPERBEE

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖7-13 所示，在震波後有振盪現象。

MINMOD 執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對

(SOUCUP) 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-14 所示，在震波後有振盪現象。

OSHER

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-15 所示，在震波後有振盪現象。

Koren

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-16 所示，在震波後有振盪現象。

CUBISTA

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-17 所示，在震波後有振盪現象。

H- QUICK

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-18 所示，在震波後有振盪現象。

CHARM

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-19 所示，在震波後有振盪現象。

Van-Leer harmonic

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-20 所示，在震波後有振盪現象。

OSPRE

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-21 所示，在震波後有振盪現象。

Hemker &

Koren

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-22 所示，在震波後有振盪現象。

Van Albada

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算 結果如圖 7-23 所示，只有在 Pb 為 0.645Po 時於震波後有 輕微振盪現象。

CLAM (HLPA)

執行三種不同背壓之二維漸縮-漸擴噴嘴模擬測試面上對 流變數 u、v 及 ρ 之近似值均使用限制函數差分法，計算

結果如圖7-24 所示，在震波後有振盪現象。

綜合以上 19 種不同方式之對流項差分方法可以得到以下結論：

(1).CDS/UDS 混合差分法及高階限制差分法等雖均可捕捉到震波強度的及 位置，其中 CDS/UDS 混合差分法在震波前後均會產生振盪現象；其他 18 種高階限制差分法不如預期會得到 TVD 之界限解，除了 SMART 與 STOIC 無法收歛外，餘均可得到收歛解，但在震波後仍會產生振盪現 象。其中以 SUPERBEE 振盪較大；而 Van Albada 則相當平滑，故兩 者可謂是兩極化之情況，後續之測試則不再進行所有限制函數之測試，

僅以此兩種限制函數來作樣本。

(2).限制函數之使用並未能獲得預期之界限解，仍然會產生振盪現象且降低 了震波強度。

(3).當降低密度之差分準確度雖可以抑制震波後之數值振盪，唯準確度愈低 則震波強度亦相對有愈大的抹平現象。

由準一維及二維流場之計算結果顯示，不管低速或高速均與解析解相 當吻合，並對震波強度及位置之捕捉均有不錯的結果，證明本文之方法可 執行低、高速全速流場之計算。

就數值振盪而言，在震波之後大部份方法仍有振盪現象，亦或有很大 的抺平現象，Moukalled 與 Darwish [23]採用有限容積壓力修正法，使用正 規化變數及空間幾何內插公式(NVSF)並使用 SMART [56]差分法來限制對 流通量及計算面上密度之高解析法，發展可增強捕捉震波特性之計算方 法，其中亦進行漸縮-漸擴二維噴嘴之計算驗證，雖使用具界限性之對流項 SMART 差分法，結果在震波後仍有數值振盪現象產生，其稱此為所有高階 準確法計算漸縮-漸擴二維噴嘴之特性。