有一位打算购买美国空路公司债券的投资者，他可以对此项投资的三种可能结果赋予 相应的概率，如表 2 - 2所示。这些概率的含义可解释为：这些债券在其寿命期内不会推迟 支付利息，而且到期能偿还的可能性为 3 0％；在寿命期内推迟支付利息的可能性为 6 5％；
到期不能偿还的可能性为 5％。此例不可能再出现其他结果。
不管是用客观方法还是主观方法，决策者都可为可能的结果提出一个概率分布。表 2 - 3 所列为某两项样本投资的净现金流量的概率分布，对两项投资的年净现金流量（ N C F） 的最低估计值— 投资Ⅰ为 2 0 0美元，投资Ⅱ为 1 0 0美元— 代表了对投资绩效的悲观预 测；中间值—3 0 0美元和3 0 0美元—可视为正常的绩效水平；最高值—4 0 0美元和 5 0 0 美元—是乐观估计。
表2-2 投资于美国航空债券的可能结果
结果 概率
没有推迟支付利息、到期偿还 0 . 3 0
一次或多次推迟支付利息 0 . 6 5
没有推迟支付利息，但到期没有偿还 0 . 0 5
1 . 0 0
实例
[6] We b s t e r’s Third New International Dictionary, s. v.“r i s k”(Chicago: Encyclopedia Brittanica, Inc., 1981).
[7] 注意这里讨论风险时研究的是货币收益，忽略了诸如购买力损失等其他因素。此外，它假定一直持有证券 直至到期。并非总是这种情况，有时会因利率水平的变化，必须在到期之前以低于票面的价值卖出证券。
表2-3 两项投资的年净现金流量（N C F）的概率分析
投资Ⅰ 投资Ⅱ
可能的N C F /美元 概率 可能的N C F /美元 概率
2 0 0 0 . 2 1 0 0 0 . 2
3 0 0 0 . 6 3 0 0 0 . 6
4 0 0 0 . 2 5 0 0 0 . 2
1 . 0 1 . 0
w w w. . .
在下列网址中可找到美国空路公司的年报：
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2.3.3 期望值
根据上述信息，可以计算每种决策方案的期望值。期望值的定义是可能结果的加权平均数，
就是如果决策（如一项投资）被重复多次后预期出现的平均值。
用代数式表示，期望值可定义为
（2 - 3）
式中的 ˆr 为期望值；rj为第j种情况的结果，有 n种可能结果； pj为第j个结果发生的概率。使用公 式2 - 3在表2 - 4中计算投资 I和投资 I I的期望现金流量，此例中两项投资的年净现金流量的期望值 都等于3 0 0美元。
表2-4 两次投资期望收益的计算
投资Ⅰ 投资Ⅱ
rj /美元 pj rj×pj /美元 rj /美元 pj rj×pj /美元
2 0 0 0 . 2 4 0 1 0 0 0 . 2 2 0
3 0 0 0 . 6 1 8 0 3 0 0 0 . 6 1 8 0
4 0 0 0 . 2 8 0 4 0 0 0 . 2 1 0 0
期望值 ˆrⅠ= 300美元 期望值 ˆrⅡ= 300美元
2.3.4 标准差：风险的绝对衡量指标
标准差是一个统计指标，它衡量的是一个变量对其平均数的离散程度，它的定义是每个结 果与平均数之差的平方经加权平均之后的平方根：
（2 - 4）
式中的 为标准差。
标准差可用来衡量一种决策方案的变化程度，所以它对方案中包含的风险提供了一个说明。
标准差越大，可能的结果变化越大，决策方案的风险越大。标准差为零说明不存在变化，因而 没有风险。
表2 - 5所示为投资Ⅰ和投资Ⅱ的标准差的计算。这个计算结果说明投资Ⅱ比投资Ⅰ的风险更 σ = (rj −r )ˆ 2pj
j=1
∑
nr ˆ = rjpj
f=1
∑
n表2-5 两个投资方案的标准差的计算
j rj /美元 ˆr/美元 rj- ˆr/美元 (rj- ˆr)2/美元 p (rj- ˆr)2pj /美元
投资Ⅰ 1 2 0 0 3 0 0 -1 0 0 10 000 0 . 2 2 000
2 3 0 0 3 0 0 0 0 0 . 6 0
3 4 0 0 3 0 0 1 0 0 10 000 0 . 2 2 000
美元
美元
投资Ⅱ 1 1 0 0 3 0 0 - 2 0 0 40 000 0 . 2 8 000
2 3 0 0 3 0 0 0 0 0 . 6 0
3 5 0 0 3 0 0 2 0 0 40 000 0 . 2 8 000
美元
美元
此例计算的是每个投资方案结果（净现金流量）的离散概率分布，即只列出有限数量的可 能结果并赋予其概率。但在现实中，每种投资决策都可能存在多种不同结果，从每年亏损到年 净现金流量超过 4 0 0美元和 5 0 0美元的乐观估计值。为了表明所有可能结果的概率，有必要构建 一个连续概率分布。从理论上讲，这就需要对每一种可能结果设置概率，所有可能结果的概率 之和总共等于1 . 0（见图2 - 2）。此图表明投资 I具有一个较窄的概率分布和更小的标准差，说明收 益的变化程度更低。投资I I具有一个较宽的概率分布和更大的标准差，说明收益的变化程度更高，
风险更大。
图2-2 两项投资的连续概率分布
= ( rj−ˆ r )2pj j=1
∑
n = 1 6 0 0 0=126.49(rj−ˆ r )2pj=1 6 0 0 0
j=1
∑
3= ( rj−ˆ r )2pj
j=1
∑
n = 4 000=63.25(rj−ˆ r )2pj=4 0 0 0
j=1
∑
3投资Ⅰ
= 63.25美元
投资Ⅱ
= 126.49美元
（年净现金流量/美元）
2.3.5 正态概率分布
在对很多决策结果进行估计时，可假设它们遵循正态的概率分布。这种假设常常是正确的 或接近正确的，同时使分析大大简化。正态概率分布的特点表现为一条对称的钟型曲线。如果 可能结果的预期连续概率分布接近于常态，那么就可以使用标准正态概率函数表（本书末尾附 录B中的表B 1）来计算任一特定结果出现的概率。比如，从这个表中很明显地看出实际结果应该 在+ 1和-1标准差区间内的概率为 6 8 . 2 6％；[ 8 ]在+ 2和-2标准差区间的概率为9 5 . 4 4％；在+ 3和-3标 准差区间的概率为 9 9 . 7 4％（见图2 - 3）。
图2-3 正态概率分布曲线下不同面积说明 某一特定值r背离平均数 ^r 的标准差z的计算公式为
（2 - 5）
可以使用表 1和式（ 2 - 5）计算出投资 I的年净现金流量小于某个数值 r(如2 0 5美元 )的概率。首 先，必须算出 2 0 5美元背离平均数的标准差。把表 2 - 4和2 - 5中的平均数和标准差代入式（ 2 - 5），
得到
换言之，年净现金流量为 2 0 5美元会低于平均数 1 . 5个标准差。从表 1中1 . 5那一行给出的数 值为0.066 8或6 . 6 8％。因此，投资 I将具有年净现金流量小于 2 0 5美元的存在概率为 6 . 6 8％。反过 来，该投资具有净现金流量大于 2 0 5美元的概率为9 3 . 3 2％( 1-0.066 8)。
2.3.6 一个估算标准差的实用方法
大多数企业决策的结果都可以用一个可能结果的连续概率分布很准确地表示出来，而不是 z= $205−$300
$63.25 = −1.50 z=r−r ˆ
标准差
[8] 例如，表1表明：一个大于平均数 + 1 的数值的概率为 0.158 7,一个小于平均数- 1 的数值的概率也是 0.158 7 ， 因此，一个处于 + 1 和- 1 之间的数值的概率为 6 8 . 2 6 %，即1.00 - ( 2×0.158 7)。
能结果的标准差。假定可能结果的分布近似于正态分布，那么信息的建立就可以采用一种有助 于必要计算的形式。
例如，某人负责对一项决策（如一个投资项目或一种新产品定价）的预期收益和风险进行 估计，就可以要求此人提供以下信息：
1. 估计最乐观的结果。最乐观的结果就是不会超过 5％（或其他任何具体的百分比）区间的 结果。
2. 估计最悲观的结果。最悲观的结果就是预期不会比大于 5％区间更坏的结果。
3. 在正态分布条件下，预期值将处于最乐观结果估计值与最悲观估计值的中间。
4. 根据附录B中的表B 1来计算标准差的值。