概念 、 概念學習及數學概念的探討

近幾年來，國內、外的教育專家及數學教育學者針對概念及數學概念給了一 些定義，並提出關於概念學習的層級，以及概念學習的研究，特於此說明如下：

《一》、概念(concept)及數學概念(Mathematical concept)：

1. 概念(concept)：

Merrill & Wood(1974)兩個人指出：概念是一群擁有共同屬性而被歸類在一 起的物體、符號、事件所組成的集合，而數個概念通常可以由某一概念名詞類推。

Klausmeier 等(1974)也認為概念的定義為可以使任何一個或一個以上特定 的事物和其他事物分別開來，且又可以和其他事物或其他類群事物找到關聯性的

有關一個或一個以上事物(指物體、事件、過程等)所條理歸類的資料。

Henderson(1970)更把數學概念細分成具體概念 (concrete concept) 及抽象概 念(abstract concept)兩種。其中他說：具體概念為具有物理上實質的例子，例如：

代數書、幾何板、尺；抽象概念為不具上述具有物理實質例子，例如：數學上的 會遇到的分數、複數、極限、線段、多項式、機率等均為抽象概念。

另外，近20年中，在國內的一些數學教育研究學者也提出他們的研究論點：

陳忠志(2000)指出概念是「代表具有共同屬性的一類事物(或事件)全體的一 個概括的名稱或符號」。並認為概念其屬性為具有可辨認的特徵，概念中所包含 的屬性越少，其限制也越少，而概括的範圍就越大；若概念的含意越抽象，其層 級也越高。

鄭麗玉(1993)的研究指出概念是包含主要屬性(attribution)或特徵(features)的 同類事物之總名稱。一個概念是一個象徵的建構(symbolic construction)，它用來 代表外界事物或事件的共同性，概念之所以形成，源自於我們能夠對外界的事物 進行歸類(categorization)(鄭昭明，1997)，這樣的解釋相當貼切。

黃台珠(1984)在其研究中也指出：概念是學習的「基本單位」。並認為概念 具有以下三個特性：

(1) 第一個特性：共同性(Regularity)，一個概念在物體、事件或其他概念之中 有其共同性，因此了解一個概念是指知道其分類的規則，能分辨出何者屬於 此概念範圍，何者為非，同時能找出此一概念與其它概念之關係及其差異性。

(2) 第二個特性：符號化，其命名是為了人類之間的溝通以及個人認知結構中 概念之使用。

(3) 第三個特性：其使用者，世界並非依概念之分類而塑造，而是概念依據文化 的方式來表達真理，以方便人類之溝通與使用。

可見，概念是存在每一個人對於事物屬性或特徵的認知，經過歸類後，

儲存在腦海裡的一種知識，如果概念產生偏差，那麼對於後來的學習將造成 更大的傷害，教師們對這一點不可不慎！

2. 數學概念：

國內學者針對數學概念提出一個能被較多數人接受的看法，指出數學概念是 操作事項的活動或運思，經過抽象之後，所得到的數、量、形的性質。

依據Henderson(1970)所作的的分類，他指出數學概念大部分是抽象概念。學 生對數學的學習發展情形是由具體觀察、確認、分類、生產，最後達到形式化。

本研究所要探討的複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其 幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的 n次方根及複數的n次方根之幾何意義』是學生在課堂教學後，先觀察虛數的定 義，並根據實例判斷及運算之後，再將所學的知識訊息加以分類，甚麼情況要怎 麼處理問題，再將複數概念加以統合、吸收，以達到形式化的抽象概念。

3. 數學概念學習：

喻平、馬再鳴兩位教授共同指出：

概念，被通常用於在哲學、心理學、邏輯學、語言學等學科方面的作為研究 對象。可是在學習心理學方面，概念學習一直是研究的熱門課題，截至目前為止，

已出現了各種不同的派別且觀點不同的各種理論。本文在國、內外研究成果的基 礎上，結合數學概念的特殊性，探討數學概念學習的心理過程及其本質特徵。

( 註：喻平任教於南京師範大學數學系，及廣西師範大學數學教育研究所, 馬再鳴任教於西昌高等師範專科學校 )

《二》、概念學習研究的一般理論：

E. Fishbein 的研究指出：起先，人們傾向於借用心理學的問題、概念、

理論和方法。聯想主義、行為主義、新行為主義、Gestalt主義、Piaget 學派—所 有這些觀點都對數學教育的理論和研究有著潛在的或是明顯的影響。可是，在實 際的成效影響確很微小，追就其原因可能是心理學並不是一個演繹體系。一般原 理僅僅應用到特殊領域中通常不會引出重要的發現。事實上，縱觀心理學、教育 心理學關於概念及概念學習的有關理論 , 我們可以發現這些理論很難涵蓋數學 概念學習過程的全帽，心理學家對概念的分類進行了大量的研究，其中有四種分

類對概念的研究與教學有重要意義，值得我們數學教育研究者學習與參考之用。

特將此四種分類敘述如下：

(1) 日常概念與科學概念(L. Vygotsky)。

(2) 難下定義的概念與易下定義的概念(C.L. Hull)。

(3) 初級概念與二級概念(D. P.Ausubel)。

(4) 具體概念與定義性概念(R.M. Gagne)。

我們可以很明顯看出來，這四種分類所要強調的側面現象是不同的，有的強 調概念的來源，有的就著重在闡述概念的本質，有的則從概念的結構方面去進行 描述、探究，總而言之，若從概念學習的角度來看，這四種分類就有各自的教學 涵義。將概念進行分類，其教學意義在於可以根據不同類別概念的特性，選擇不 同的學習方式或教學策略。然而對照數學概念而言，上述有關對概念的分類恐怕 很難達到這個目標，因為對於數學概念來說，這些分類顯得過於籠統而模糊不 清，實在不易從其中來對數學概念的特徵作出比較精確的闡述，這是我們感到比 較可惜的地方，不過最起碼給概念學習方面開啟一個有效的研究開端。

另外，根據 Ausubel 的分類方法，數學概念(特別是高等數學中的概念) 多 是二級概念，因此對許多的數學概念而言，這種分類方法根本就失去了意義。事 實上，作為二級概念的數學概念在抽象程度、定義形式以及結構等方面都是有明 顯差異的，因而對這些概念的學習及其訊息加工的方式也就不同，倉促地採用二 級概念去給它作歸類，我們覺得反而失去了對於教學上、學習策略制定上的可操 作性，可見，如何將數學概念做適當的分類，乃是數學概念學習理論方面所迫切 要解決的一個關鍵起點。

至於在概念結構上，認知心理學對於概念結構的研究區分有兩個重要的理 論，第一個是特徵表說，第二個是原型說，其中，特徵表說的論點是主張從一類 個體具有的共同特徵來說明概念，認為概念或概念的表徵是由兩個因素所構成：

即(1) 概念的定義性特徵，即一類個體具有的共同的有關屬性；

(2) 諸定義特徵之間的關係，即整合這些特徵的規則,用式子表示為：

C = R(X , Y, .……)其中C為概念，R為整合個體特徵X，Y，的規則。對於R，

研究的焦點集中在合取、析取、否定等邏輯運算方面。而原型說與特徵表說 兩者的論點是對立的，原型說的觀點者指出概念主要是以原型即它的最佳實 例表徵出來的，概念也是由兩個因素構成：

 原型或最佳實例。

 範疇成員代表性的程度。

我們觀察出這兩種理論的差別表現有幾個面向，特將其敘述說明如下：特徵 表說著重在概念的定義性特徵，它具有分析性的本質，原型說則是強調最佳實例 或原型，這種說法帶有整體性的本質。特徵表說指出特徵是經由語義表達的，而 原型說則是在設想原型是以表象來編碼的，顯然這兩種觀點是完全不一樣的。

由以上的兩種論點敘述來作觀察，一方面，若從單一數學概念的結構方面來 描述，特徵表說就比原型說更具有合理性，因為很多數學概念還是要透過符號表 徵來呈現。若從概念域的形成方面來看，那麼原型說就會比特徵表說更能提供出 合理的解釋。另一方面，由於特徵表說起始於人工概念的研究，原型說的重點則 是對自然概念的描述，兩種學說都有其本質的因素，因而對複雜的數學概念就很 難做到全面性描述。例如：高中數學中的極限、無窮級數的概念，它是一個高度 抽象的概念，對於絕大多數的高中生來說是很難在短期的學習中接受它的概念 的，反而使用定義來表述極限、無窮級數概念的話，學生反而會懂，它不僅與諸 多概念有關連性，而且反映出來的是一種點坐標的移動變化趨勢或過程，所以這 兩種論點是各具特色的。

而在概念學習的形式方面，行為主義者指出概念是有機體對相似的刺激物作 出共同反應的能力，其中概念的獲得是個體經過多次的刺激反應後發生的。

顯然，這一派的說法是無法解釋抽象的現象與複雜概念的學習。然而認知學 派對概念學習的研究則從個體的內部因素著手，他們認為概念形成與概念同化是 概念獲得的兩種基本形式。對於概念形成的研究，一些心理學家得到了一些很有 意義的成果，特別是在人工概念的形成方面有他們的獨到見解。

J.S. Bruner 等幾位學者於1956年提出了概念形成的“假設考驗說”，他們一 致認為概念形成是刺激與個體假設庫中的假設進行匹配的過程，並提出了四個概 念形成的策略。而Ausubel 的觀點則是從另外一個角度來認識這一問題，他指 出：學生在教學條件下學習概念，完全不同於人們在自然條件下形成概念或科學 家發明與創造概念，不同於在人為條件下形成人工概念，而概念同化才是概念獲 得的最基本方式。對於數學概念學習而言，概念形成與概念同化是獲得概念的兩 種基本形式，這也是高中生透過課堂上課對所學到的知識之後，先對知識產生了 概念，然後再將概念理解、統合並吸收，但我們認為以下兩點還是值得思考：

J.S. Bruner 等幾位學者於1956年提出了概念形成的“假設考驗說”，他們一 致認為概念形成是刺激與個體假設庫中的假設進行匹配的過程，並提出了四個概 念形成的策略。而Ausubel 的觀點則是從另外一個角度來認識這一問題，他指 出：學生在教學條件下學習概念，完全不同於人們在自然條件下形成概念或科學 家發明與創造概念，不同於在人為條件下形成人工概念，而概念同化才是概念獲 得的最基本方式。對於數學概念學習而言，概念形成與概念同化是獲得概念的兩 種基本形式，這也是高中生透過課堂上課對所學到的知識之後，先對知識產生了 概念，然後再將概念理解、統合並吸收，但我們認為以下兩點還是值得思考：