第四章 資料研究結果之報導與分析
第一節 高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、
複數絕對值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤
類型及其原因之分析報導
以下將報導研究者對 106 位學生，針對「複數瞭解情形」問卷試題作施測
，首先探討 『高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對 值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤類型及其原因之分析』。
本報導將採用：一個問題搭配統計結果之百分比來呈現，因為每一個錯誤類 型常出現在不只一個選項，因此本研究將規範：若一個學生有選其中50 ﹪以上
（含50%）的錯誤選項類別，我們就認定該生有犯此種錯誤類型。而當一個 錯誤類型的答錯率有超過15 ﹪(不含 15 ﹪) 的受測學生時，我們就把此錯誤類
型認定為主要的錯誤類型。
以下是『複數瞭解情形』開放性問卷試題，統整 106 位高三學生從第 1 大題 到第11 大題之各小題作答結果之統計表，本研究將從這份問卷中，整理、分析、
研判學生的錯誤概念與錯誤類型，呈現每一小題的答錯率報導，研究者並針對每 一小題提出產生錯誤概念的可能原因，以及訪談、相關論文做佐證；以下將逐題 報導學生作答情形之統計結果並列表，詳細分析如下：
答案與想法：
1）□ 沒有 □ 有 ， 是 。 讓我想想看？
想法：
2）□ 沒有 □ 有 ， 是 。 想法：
問卷 第 1 題之(1) 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 2 12 3 5 3 25
女生人數 8 49 13 8 3 81
合計人數 10 61 16 13 6 106 男生百分比 8.0﹪ 48.0﹪ 12.0﹪ 20.0﹪ 12.0﹪
女生百分比 9.9﹪ 60.5﹪ 16.0﹪ 9.9﹪ 3.7﹪
全體百分比 9.4﹪ 57.5﹪ 15.1﹪ 12.3﹪ 5.7﹪
答錯率 87.7 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率高達87.7 ﹪，這個比例算是相當高，可見學 生對抽象的虛數單位i 的概念容易產生混亂不清的現象，從學生的問卷作答情形 及訪談內容顯示：這些學生是不清楚虛數單位 i 的定義，所產生的認知錯誤概 念，因此我們研判學生對“對虛部的認知概念錯誤＂，從原始施測學生中得知
沒有 有(6i) 有(10＋6i) 有(6) 有(其它) 合 計
◎問題 1 想想看下列的數有虛部嗎？如果有，是多少？
1） 3＋(6－7i)i 2） －2i＋5＋2i
57.5﹪有去做化簡的運算，而且把運算結果也算出來為 10＋6i ，但作答結果卻 寫6i ，可見這些學生在這題的運算、化簡上是沒有問題的，只是在作答時竟然 也把虛數單位i 也把它抓進來了，因而產生錯誤的概念！因此本研究認為學生會 產生這個錯誤概念的可能原因是：
不了解複數的虛部定義，不了解 i 是虛數單位，因此有看到 i 出現就 認定整個就是虛部，沒有看到 i 就認定沒有虛部。
問卷 第 1 題之(2) 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 18 3 0 2 2 25
女生人數 70 2 1 3 5 81
合計人數 88 5 1 5 7 106
男生百分比 72.0﹪ 12.0﹪ 0.0﹪ 8.0﹪ 8.0﹪
女生百分比 86.4﹪ 2.5﹪ 1.2﹪ 3.7﹪ 6.2﹪
全體百分比 83.0﹪ 4.7﹪ 0.9﹪ 4.7﹪ 6.6﹪
答錯率95.3 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率高達95.3 ﹪，這個比例更高，因此我們研判 學生也是對“對虛部的認知概念錯誤＂，從原始施測學生中得知83.0 ﹪有去做 化簡的運算，而且把運算結果也算出來為5，可見這些學生在這運算上是沒有問 題的，只是在作答時竟然跟第(1)小題的想法差很多( 因為只有 4.7﹪的學生認為 虛部是0 i )，而絕大多數學生以為 －2i＋5＋2i ＝5 ，虛數單位 i 消掉了，沒有 了，因此認為『沒有虛部』，因而產生錯誤的概念！本研究認為學生會產生這個 錯誤概念的可能原因是：
不了解複數的虛部定義，不了解 i 是虛數單位，因此有看到 i 出現就 認定整個就是虛部，沒有看到 i 就認定沒有虛部。
根據林晁熙(2008)的研究，提到學生對複數概念方面的錯誤類型中有一項就 是：不了解複數的虛部，不了解 i 是虛數的單位。
以下提出研究者與學生訪談關於這一大題學生的想法或作法情形供佐證： 沒有 有(0i) 有(5＋0i) 有(0) 有(其它) 合 計
訪談實錄： 受訪學生編號 SH001 (女) 老師：為甚麼妳認為 (1) 3＋(6－7i)i 的虛部是6i 呢？
而 (2) －2i＋5＋2i 沒有虛部呢？
學生：因為把它展開得到3＋6 i－7i 2 ＝3＋6 i＋7 ＝10＋6 i ， 所以虛部 就是 6 i 嘛！ 而 －2i＋5＋2i ＝5 ，所以沒有虛部。
老師：可是正確答案 (1) 是 6 而已 (2) 是 0 。 學生：為甚麼？(感到驚訝又好笑！)
老師：因為虛部是指 i 的係數而已， i 不算在內，所以虛部是 6 。 所以第 (2) 題 －2i＋5＋2i ＝5＋0i ， 所以虛部是0 才對。
所以妳這兩題全錯耶。(學生苦笑！)
學生：是喔，我不知道耶！謝謝老師說明，我知道了。
訪談實錄：受訪學生編號 SH004 (女) 老師：請問：3＋(6－7i) i 有沒有虛部？若有，是多少？
學生： 3＋(6－7i) i ＝3＋6i ＋7 ＝10＋6 i ，有，就是10＋6 i 老師：妳要不要再確定一下。
學生：喔！不對！應該是 6 i 而已啦。
老師：也不對啦，i 不算，只有寫 6 而已 ，要記住 。 學生：喔！
訪談實錄：受訪學生編號 SH005 (男) 老師：想想看下列的數有虛部嗎？如果有，是多少？
(1) 3＋(6－7i)i (2) －2i＋5＋2i
學生：答案與想法：
1）□ 沒有 有 ， 是 10＋6i 。 想法： 3＋(6－7i)i ＝10＋6i
2） 沒有 □ 有 ， 是 。 想法：因為虛部的數，相加為 0 。
5i 4
5i 4i
2＋5 i 2＋3i
4＋3 i 1＋3 i
問卷 第 2 題之 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 1 2 0 22 25
女生人數 1 15 0 65 81
合計人數 2 17 0 87 106
男生百分比 4.0﹪ 8.0﹪ 0.0﹪ 88.0﹪
女生百分比 1.2﹪ 18.5﹪ 0.0﹪ 80.2﹪
全體百分比 1.9﹪ 16.0﹪ 0.0﹪ 82.1﹪
答錯率 17.9 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率為17.9 ﹪，雖然不高，但也達到納入錯誤類 型，其中有16.0﹪的學生勾選 5i＜4 ，從原始問卷觀察學生錯誤概念有二：
(a) 因為 i ＝ 1 ，把它當作“負的數”，因此小於右邊的正數 4 。 (b) 因為 i 2 ＝－1 ，學生把實數不等式的運算誤用在此處如下：
兩邊各自先平方 左邊平方＝(5 i)2 ＝25 i2 ＝－25 ， 左邊平方＝42 ＝16 ，因為 －25 ＜ 16
所以原先還沒平方之前 5i＜4 。
＞ ＜ ＝ × 合 計
◎問題 2 請在下列橫線上填入「＞，＝，＜」中 恰當的符號來 比較兩數的大小，如果不能比較大小，請填入「×」
.
想法：
想法：
想法：
想法：
因此我們研判學生“對含有虛數單位i 的複數之比較大小認知概念錯誤＂。
本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有二：
(1) 將虛數單位i 解讀為“－1” 或 “某個負的數” 因為受到 i2＝－1；
或解讀為 “某個東西” ，因此東西越多就越大的類推影響。
(2) 認為複數運算像實數運算一樣，看到『比大小』、『根式』、『絕對值』等 題目時，就可以利用先比『平方』或『相減』的技巧來處理問題，但是 複數未必可行。
根據林晁熙(2008)的研究，也提到學生對複數概念方面的錯誤類型中有一項 就是：認為複數跟實數一樣可以利用『平方』技巧來解決問題。
問卷 第 2 題之 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 4 7 0 14 25
女生人數 7 14 0 60 81
合計人數 11 21 0 74 106
男生百分比 16.0﹪ 28.0﹪ 0.0﹪ 56.0﹪
女生百分比 8.6﹪ 17.3﹪ 0.0﹪ 74.1﹪
全體百分比 10.4﹪ 19.8﹪ 0.0﹪ 69.8﹪
答錯率 30.2 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率為30.2 ﹪，也達到納入錯誤類型，其中有 19.8 ﹪的學生勾選 5i＜4i ，從原始問卷觀察學生錯誤概念有三：
(a) 因為 i ＝ 1 ，把它當作“負的數”或『解讀成－1』，而右邊只有 4 i ， 也是“負的數＂，但“負的少反而比較大＂，因此認定 5i ＜4i 。 因此我們研判此類學生“對含有虛數單位i 的複數之比較大小認知概念
錯誤＂。
(b) 因為 i 2 ＝－1 ，學生把實數不等式的運算誤用在此處如下：
兩邊各自先平方 左邊平方＝(5 i)2 ＝25 i 2 ＝－25 ，
＞ ＜ ＝ × 合 計
左邊平方＝(4 i)2 ＝16 i 2 ＝－16 ， 因為 －25＜－16 ， 所以原先還沒平方之前 5i＜4 i 。
其中有10.4 ﹪的學生勾選 5i＞4i ，從原始問卷觀察學生錯誤概念是：
將虛數單位i 解讀為 “某個東西”，因此東西越多就越大的類推影響。
5 個i ＞ 4 個 i 。本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有二：
(1) 將虛數單位i 解讀為“－1”或“某個負的數” ，因為受到 i2＝－1 的影響
；或解讀為“某個東西”，因此東西越多就越大的類推影響。
(2) 認為複數運算像實數運算一樣，看到『比大小』、『根式』、『絕對值』等 題目時，就可以利用先比『平方』或『相減』的技巧來處理問題，但是 複數未必可行。
問卷 第 2 題之 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 7 4 0 14 25
女生人數 10 12 0 59 81
合計人數 17 16 0 73 106
男生百分比 28.0﹪ 16.0﹪ 0.0﹪ 56.0﹪
女生百分比 12.3﹪ 14.8﹪ 0.0﹪ 72.8﹪
全體百分比 16.0﹪ 15.1﹪ 0.0﹪ 68.9﹪
答錯率31.1 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率為31.1 ﹪，也達到納入錯誤類型，其中有 16.0 ﹪的學生勾選 2＋5 i ＞2＋3i ，而有 15.1 ﹪的學生勾選 2＋5 i ＜2＋3i 從原始問卷觀察學生錯誤概念有二：
(a) 先私自把兩邊的 2 各自消掉，而左邊還有有 5 i ，右邊有 3i，大家 都有i ，但左邊比較多個 i ，此時反而跟第小題的看法不同，反而 認定2＋5 i ＞2＋3i 。
因此我們也研判學生對“若a＋c＞b＋c ，則 a＞b 的認知概念錯誤＂。
(b) 也是先私自把兩邊的 2 各自消掉，而左邊還有有 5 i ，右邊有 3i，大家 ＞ ＜ ＝ × 合 計
都有i ，但左邊平方之後是－25 ，而右邊平方之後是－9 ，所以右邊大，
因此認定 2＋5 i ＜2＋3i 。
因此我們也研判學生有“若a 2＜b 2 ，則a＜b 的認知概念錯誤＂。
本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因是：
認為複數運算像實數運算一樣，看到『比大小』、『根式』、『絕對值』
等題目時，就可以利用先比『平方』或『相減』的技巧來處理問題，
但是複數未必可行。
問卷 第 2 題之 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 12 0 0 13 25
女生人數 34 0 0 47 81
合計人數 46 0 0 60 106
男生百分比 48.0﹪ 0.0﹪ 0.0﹪ 52.0﹪
女生百分比 42.0﹪ 0.0﹪ 0.0﹪ 58.0﹪
全體百分比 43.4﹪ 0.0﹪ 0.0﹪ 56.6﹪
答錯率 43.4 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率為43.4 ﹪，達到納入錯誤類型，從學生的實 際問卷作答發現：會認為4＋3 i ＞1＋3 i 的學生都是兩邊同時消去 3 i ， 然後剩下 4 ＞ 1 ， 因此原原來的 4＋3 i ＞1＋3 i .因此我們研判學生對
“ 若a＋c＞b＋c ，則 a＞b 的認知概念錯誤 ＂。
本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因是：
認為複數運算像實數運算一樣，看到『比大小』、『根式』、『絕對值』
等題目時，就可以利用先比『平方』或『相減』的技巧來處理問題，
但是複數未必可行。
根據林晁熙(2008)的研究，也提到學生對複數概念方面的錯誤類型中有一項 就是：認為複數跟實數一樣有大小關係。這一點與本研究之研判結果相吻合。
＞ ＜ ＝ × 合 計
以下再提出研究者與學生訪談關於這一大題學生的想法或作法情形，以供佐證： 訪談實錄： 受訪學生編號 SH001 (女)
老師：為甚麼妳問卷作答寫認為 (1) 5 i＜4 i (2) 2＋5 i＜2＋3i (3) 4＋3 i ＞1＋3 i 呢？
學生：(1) 5 i＜4 i ：想法：4 i ＝ 16，5 i ＝ 25， ∴ 5 i＜4 i ﹒ (2) 2＋5 i ＜2＋3 i ：想法：因為 3 i ＞5 i ， ∴ 2＋5 i＜2＋3i ﹒ (3) 4＋3 i ＞1＋3 i ：想法：4 ＞1， 3 i 一樣 ∴ 4＋3 i＞1＋3 i ﹒ 老師：妳知道妳的答案全錯嘛？(一臉茫然！)
學生：真的嗎？
老師：對。
學生：那正確答案呢？
老師：只要是比較大小的兩數，其中一數有i 的話，就不能比大小。
學生：喔！知道了，謝謝老師！
訪談實錄：受訪學生編號 SH007 (女)
老師：請在下列橫線上填入「＞，＝，＜」中 恰當的符號來 比較兩數的大小，如果不能比較大小，請填入「×」
.
學生：答案與想法：
5i ＜ 4 想法： i＝ 1 ，(5i)2＝－25 ， 42 ＝16 ， －25＜16
5i ＜ 4i 想法： i＝ 1 ，(5i)2＝－25
(4i)2＝－16 ，
2＋5 i ＜ 2＋3i 想法：(2＋3i )2＝6＋12i－9＝－3＋12i (2＋5 i )2 ＝4＋20i－25＝－21＋20i －3＞－21 ， 12i ＞20i
4＋3 i ＞ 1＋3 i 想法：(4＋3i )2＝16＋24i－9＝7＋24i (1＋3 i )2 ＝1＋6i－9＝－8＋6i
甲：原式＝2i ×5i＝10 i2＝10×(－1)＝－10 □正確 □不正確
乙：原式＝
4 25
＝ 100 ＝10□正確 □不正確
承上題，如果不管數學上怎麼規定，現在你有權決定怎麼算出 ×4 25
才是正確的，你會怎麼算呢？請在下面框框中寫出你的算法，並說明為什
才是正確的，你會怎麼算呢？請在下面框框中寫出你的算法，並說明為什