高中學生對『複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理

棣美弗定理、複數的n 次方根及複數的 n 次方根之 幾何意義』學習的主要錯誤類型及其原因之分析報導 以下是『複數瞭解情形』開放性問卷試題，統整106 位高三學生從問題第 12 大題到第 16 大題之各小題作答結果之統計表，本研究將從這份問卷中，整理、

分析、研判學生的錯誤概念與錯誤類型，呈現每一小題的答錯率報導，研究者並 針對每一小題提出產生錯誤概念的可能原因，以及訪談、相關論文做佐證；以下 將逐題報導學生作答情形之統計結果並列表，詳細分析如下：

本報導將採用：一個問題搭配統計結果之百分比來呈現，因為每一個錯誤類 型常出現在不只一個選項，因此本研究將規範：若一個學生有選其中50 ﹪以上

（含50%）的錯誤選項類別，我們就認定該生有犯此種錯誤類型。而當一個 錯誤類型的答錯率有超過15 ﹪(不含 15 ﹪) 的受測學生時，我們就把此錯誤類 型認定為主要的錯誤類型。

一、請確認下列關於複數的乘除運算是否正確？如果正確，請在該等號上 方的空格中打，如果不正確，請打 × ﹒

(A) 2(cos5°＋isin5°)×3(cos7°＋isin7°) ＝ 6(cos35°＋isin35°) ﹒

(B) 2(cos5°＋isin5°)×3(cos7°＋isin7°) ＝ 6(cos12°＋isin12°) ﹒

(C) 2(sin5°＋icos5°)×3(sin7°＋icos7°) ＝ 6(sin12°＋icos12°) ﹒

(D) 2(cos9°－isin9°)×3(cos7°－isin7°) ＝ 6(cos63°－isin63°) ﹒

◎問題 12 這一大題是有關複數的乘除運算﹒

□

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□

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(E) 2(cos6 sin6 )

(H) 2(cos5°＋isin5°)×3(cos6°－isin6°)×4(cos7°＋isin7°)＝24(cos18°＋isin18°) ﹒ 二、上述(A)到(H)中，有哪些是複數的極式運算？

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有二：

(1) 對複數極式的定義不瞭解。

(2) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

問卷 第 12 題：第一小題之(B) 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 27 8 0 25

女生人數 61 20 0 81

合計人數 78 28 0 106

男生百分比 68.0﹪ 32.0﹪ 0.0﹪

女生百分比 75.3﹪ 24.7﹪ 0.0﹪

全體百分比 73.6﹪ 26.4﹪ 0.0﹪

答錯率 26.4 ﹪

本小題全體受測學生的答錯率為26.4 ﹪，達到納入錯誤類型，從學生問卷 作答中發現：這些學生會認為2(cos5°＋isin5°)×3(cos7°＋isin7°)＝6(cos12°＋

isin12°)錯誤，顯然是與(A)選項作答的學生機幾乎是同一批學生，但是答錯率比 (A)選項還高一些，就是因為這些學生腦海中認定 2(cos5°＋isin5°)×3(cos7°＋

isin7°)＝6(cos35°＋isin35°)，因此在本小題就答錯，這還是表示學生對於複數的

極式乘法就是有一些錯誤的概念存在，因此我們研判學生誤認為極式的乘法是輻 角相乘，這些學生不瞭解極式的乘、除運算。

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有二：

(1) 對複數極式的定義不瞭解。

(2) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

根據 Maurer（1987）的研究指出：在數學學習中，若存有迷思概念，則在 演算時，將會產生有系統的錯誤演算規則，此種錯誤的演算規則並非由於學生粗 心大意的結果，而是因為不瞭解才產生的。因此這些論點顯示，學生不瞭解複數 極式的定義。而本研究問卷調查之研判結果與上述見解相吻合。

^ × 空 白 合 計

問卷 第 12 題：第一小題之(C) 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 9 16 0 25

女生人數 27 54 0 81

合計人數 36 70 0 106

男生百分比 36.0﹪ 64.0﹪ 0.0﹪

女生百分比 33.3﹪ 66.7﹪ 0.0﹪

全體百分比 34.0﹪ 66.0﹪ 0.0﹪

答錯率 34.0 ﹪

本小題全體受測學生的答錯率為34.0 ﹪，達到納入錯誤類型，從學生問卷 作答中發現：這些學生會認為2(sin5°＋icos5°)×3(sin7°＋icos7°)＝6(sin12°＋

icos12°)是正確的，顯示這些學生是瞭解：向徑要相乘，而輻角要相加，但是卻

不清楚極式本身的寫法，而產生了認知錯誤，而且比例佔三分之一，顯示這個問 題是算得上困擾學生的，因為學生自以為這樣運算就是真正的極式乘法意義，卻 顧此失彼，陰錯陽差忽略了必須是cos 在前而 sin 在後，最後作答還是錯，這還 是表示學生對於複數的極式乘法就是有一些錯誤的概念存在，因此我們研判學 生：不清楚極式的形式，這些學生不清楚如何將複數a＋bi ( a , bR )正確化成極 式的形式。

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有四：

(1) 複數坐標與複數平面無法連結，導致不知道 a²b² 就是指距離的 意思，因此無法跨出第一步，也不知道輻角是在哪一象限。

(2) 廣義角三角函數知識不足，導致無法正確找出輻角。

(3) 對複數極式的定義不瞭解，不知到輻角該複數與原點連線的方向角 ，因此產生前後兩個不同的輻角。

(4) 對複數極式的定義不瞭解，不知道 cos 在前，sin 在後，中間是相加。

根據黃見益(2004)在探討高二學生學習複數極式後，其概念之發展情形 與錯誤類型，並分析其錯誤之原因，其中有一項就是：複數極式的引入更無法接 受，完全不能理解所代表的意義。

 ×^ 空 白 合 計

問卷 第 12 題：第一小題之(D) 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 7 18 0 25

女生人數 19 62 0 81

合計人數 26 80 0 106

男生百分比 28.0﹪ 72.0﹪ 0.0﹪

女生百分比 23.5﹪ 76.5﹪ 0.0﹪

全體百分比 24.5﹪ 75.5﹪ 0.0﹪

答錯率 24.5 ﹪

本小題全體受測學生的答錯率為 24.5 ﹪，達到納入錯誤類型，從學生問卷 作答中發現：這些學生會認為2(cos9°－isin9°)×3(cos7˚－isin7°)＝6(cos63°－

isin63°)，就是將 9×7＝63 相乘的想法，表示學生對於複數的乘法仍是有一些錯 誤的概念存在，雖然這兩個不是極式寫法，但運算方式是一樣的模式，r1 ( cos1

－i sin1 ) × r2 ( cos2－i sin2 ) ＝r1 × r2 ×【cos( 1×2 )－i sin( 1×2 )】﹒ (把角度 也用相乘來運算的錯誤概念)﹒因此我們研判學生誤認為極式的乘法是輻角相 乘，這些學生不瞭解極式的乘、除運算。

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有二：

(1) 對複數極式的定義不瞭解。

(2) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

問卷 第 12 題：第一小題之(E) 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 5 20 0 25

女生人數 18 63 0 81

合計人數 23 83 0 106

男生百分比 20.0﹪ 80.0﹪ 0.0﹪

女生百分比 22.2﹪ 77.3﹪ 0.0﹪

全體百分比 21.7﹪ 78.3﹪ 0.0﹪

答錯率 21.7 ﹪

 ×^ 空 白 合 計

 ×^ 空 白 合 計

本小題全體受測學生的答錯率為 21.7 ^﹪，達到納入錯誤類型，從學生問卷

份不知道複數的相除但看起來又不像極式，如何變成極式再來作“極式的除法運

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因是：

(1) 對複數極式的定義不瞭解，不知道 cos 在前，sin 在後，中間是相加。

(2) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

問卷 第 12 題：第一小題之(H) 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 5 19 1 25

女生人數 27 52 2 81

合計人數 32 71 3 106

男生百分比 20.0﹪ 76.0﹪ 4.0﹪

女生百分比 33.3﹪ 64.2﹪ 2.5﹪

全體百分比 30.2﹪ 67.0﹪ 2.8﹪

答錯率 33.0 ﹪

本小題全體受測學生的答錯率為33.0 ﹪，達到納入錯誤類型，從學生問卷 作答中發現：這些學生會認為2(cos5°＋isin5°)×3(cos6°－isin6°)×4(cos7°＋isin7°)

＝24(cos18°＋isin18°) 是對的，顯然有一部份學生直接把看到的三個角度直接相 加得到18°，而前面三個數相乘的結果是 24，經與學生晤談後顯示這些學生有的 是知道三個角度相加得到5°＋6°＋7°＝18° ，這一部份的學生是有掌握“複數極 式除乘法概念運算”，但是不知道其中有的根本不是“複數的極式”，因為中間必 須是“＋＂號，故產生了錯誤的概念與想法，還有另一部份學生認為：角度要相 乘變為210°才對，可見這兩類學生都不清楚複數極式的定義與複數極式的運算。

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因是：

(1) 對複數極式的定義不瞭解，不知道 cos 在前，sin 在後，中間是相加。

(2) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

根據Maurer（1987）的研究指出：在數學學習中，若存有迷思概念，則在演算 時，將會產生有系統的錯誤演算規則，此種錯誤的演算規則並非由於學生粗心大 意的結果，而是因為不瞭解才產生的。顯示學生不瞭解複數極式的乘除運算。

 ×^ 空 白 合 計

問卷 第 12 題：第一小題 (A)～(H) 全部答對情形 統計總表 選 項

人 數

男生人數 1 24 25

女生人數 11 70 81

合計人數 12 94 106

男生百分比 4.0﹪ 96.0﹪

女生百分比 13.6﹪ 86.4﹪

全體百分比 11.3﹪ 88.7﹪

答錯率 88.7 ﹪

本大題全體受測學生的答錯率高達為88.7 ﹪，達到納入錯誤類型，表示學 生對於本大題複數的乘除運算中，有些是極式有些不是極式，學生從這些類型問 題中似乎不易完全掌握是不是極式的形式的乘、除法運算，綜合前面(A)～(H)學 生問卷作答中發現：學生的確不清楚複數極式的定義與複數極式乘除的運算。

本研究認為學生會產生這個錯誤概念的可能原因有三：

(1) 對複數極式的定義不瞭解，不知到輻角該複數與原點連線的方向角 ，因此產生前後兩個不同的輻角。

(2) 對複數極式的定義不瞭解，不知道 cos 在前，sin 在後，中間是相加。

(3) 對複數極式乘除運算知識不足，因此不知道如何作乘除運算。

問卷 第 12 題：第二小題 選項判別分類 統計總表 選 項

人 數

男生人數 1 24 25

女生人數 3 78 81

合計人數 4 102 106

男生百分比 4.0﹪ 96.0﹪

女生百分比 2.8﹪ 97.2﹪

全體百分比 3.8﹪ 96.2﹪

答錯率 96.2 ﹪

本小題全體受測學生的答錯率高達為96.2 ﹪，本題是問：(A)～(H)哪些是 完全正確(B)^ 沒有完全正確 合 計

全部答對 沒有全部答對 合 計

極式的正確運算過程，顯示有高達96.2 ^﹪的學生無法正確判斷何者是正確的？

(H) 2(cos5°＋isin5°)×3(cos6°－isin6°)×4(cos7°＋isin7°) ＝ 24(cos18°＋isin18°) ﹒

學生：

(H) 2(cos5°＋isin5°)×3(cos6°－isin6°)×4(cos7°＋isin7°) ＝ 24(cos18°＋isin18°) ﹒

你對複數乘除法有多瞭解呢？下圖是一個複數平面，

問卷 第 13 題之(1) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題之(2) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題之(3) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題之(4) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題之(5) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題之(6) 選項判別分類 統計總表

問卷 第 13 題：(1)～(6) 全部答對情形 統計總表

而且無法判斷新的複數的位置在哪裡？以及不清楚一個複數的極式表示法在複

看你好像挑一個特殊角代入去嘗試找出位置為(－ ¹⁸

2 ＋i ¹⁸ 2 )

＝－9 2＋9 2i ，這樣湊答案的方式是不正確的，不是正統學習方式 ，改過來對你會更好，知道嗎。

學生：好，我知道！

老師：第(2)題Z2×Z3 ＝6(cos80°+i sin80°)也算出來，但是你挑錯點，

很可惜，答案是C 點，以後要注意(學生點頭！)，第(3)題 Z3×Z4＝ 8(cos190°+i sin190°)你會算，可是位置也錯，而且你的算式很奇特：

( 8× ³

2

 ＋i 8×－¹

2)＝－4 3－4i ，顯然你又是抓一個角度代入 測試，正確答案是K 點，不是 M 點，同樣道理，第(4)題雖然答對，

解法仍是非合理解法，第(5)題雖然答對，解法也都不恰當的解法，

這表示你的“極式運算＂會算，但幾何意義要求更標準的學習方式來 學比較好，就依照老師剛剛說的方法來挑選最號結果的位置，加油囉！

學生：好，謝謝老師！

學生：好，謝謝老師！

在文檔中 高中學生複數概念學習之錯誤類型分析與研究 (頁 157-0)