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高中學生複數概念學習之錯誤類型分析與研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授:. 謝 豐 瑞. 博士. 高中學生複數概念學習之錯誤類型分析與研究. 研 究 生: 郭 嘉 聲. 中 華 民 國 一 ○ ○ 年 一 月.

(2) I.

(3) II.

(4) III.

(5) 感 恩 的 心 大學畢業前夕,有感於家境不好,根本不可能讓我再精進念研究所, 因此迫不及待的想要趕快投入教師職場的行列,一方面養活自己也貼補家 用,就這樣帶著遺憾的心情工作了二十多年。在一個偶然的聚會中遇見了 鄭芳枝老師,經由老師的鼓勵之下,我第一次報考母校的數學系教學碩士 班,有幸考上,修完了三個暑期學分,打從第一個暑期課修完之後,就接 到既是大學同班同學也是我的指導教授 謝豐瑞老師的指令,9 月開學後 要開始 meeting,每個星期六都要回學校與其他博、碩班的學弟、學妹們 一起來 meeting,剛開始參加 meeting 看到有二、三十位博、碩班的夥伴在 一起討論,內心感到不可思議,沒想到 謝豐瑞老師的學生這麼多,陣容 如此龐大,頓時驚訝萬分,還好一開始參加團體的 meeting 是先看看其他 同學所提出來的論文想法或問卷題目的內容,也讓只修了一個暑期學分的 我,漸漸地瞭解論文寫作的過程與大概的架構,心中也開始盤算我自己要 選定甚麼題目?在這兩年來的 meeting 討論中,確實讓我收穫良多,先參 與一群夥伴們的論文討論,也跑了幾趟夥伴們的論文口試會場,讓我覺得 這兩年多來的辛苦沒有白費!現在我終於完成了碩士論文,內心真是興 奮、澎湃不已,心中充滿了無限的感謝與感恩之心。 首先,我要感謝我的指導教授-謝豐瑞博士,在我回母校進修碩士的 這段期間,謝老師不斷地鼓勵我,在 meeting 的過程中,經常製造機會讓 我表達對於其他夥伴們的問卷看法,無形中培養我心中對論文的輪廓,也 對製作問卷的心得精進不少,每當輪到要討論我的論文時,老師都會懇切 地對我的論文內容提供寶貴的意見,對於不恰當的敘述或問卷提目的篩 選,都會耐心地加以指正與建議,引導我正確的方向,讓我瞭解怎樣來製 作一份有效問卷,以便能真正測出我們想要測的問題,這也讓我節省了問 卷設計的時間,並且順利完成我夢寐以求的論文,這都要深深地感謝我的 IV.

(6) 良師益友-謝豐瑞老師的辛勤與用心的指導。 也要感謝口試委員 羅昭強教授與施皓耀教授,於百忙當中還要抽空 來閱讀我的論文,並且在論文口試當天提供許多中肯的寶貴意見,讓我的 論文內容更加完備、充實,在此致上誠摯的謝忱之意。 還要感謝眾博士班學弟妹:書志、佳叡、國亨、婷瑩,以及碩士班 眾學弟妹: 春男、姿玟、俊麟、晞安、宜蓁、政業、丞緯、玉惇、. 阿辛、志瑋、筱芸、桂銘、世偉、嵐婷、幸鵑、旻怡等陣容堅強的 夥伴們在 meeting 的過程中所提供諸多的意見,謝謝你(妳)們這些具有 革命情感的夥伴們相挺、陪伴與扶持,讓身為老學長的我銘感於心,感激 不盡,謝謝大家的辛苦與付出。 感謝台中市西苑高中前任校長 劉進忠校長的支持與勉勵,以及西苑 高中高中部其他同仁在我進修期間幫忙上暑期輔導的課,讓我可以放心地 在母校認真學習與成長,你們的支持與鼓勵促使我的研究得以順利進行與 完成,另外也感謝所有參與問卷填寫的 106 位高三學生們,有你(妳)們用 心、認真的詳細作答,我才能經由大家的答案結果中作出正確的分析與探 討,使得這份問卷能真正測出高中生對複數的瞭解情形,感謝西苑高中所 有人的協助與付出。 最後要特別感謝我的太太,在這三個暑期中以及每週六辛苦地照顧、 打理家中大大小小的事情,並幫忙接送老二、老三上學、放學,好讓我在 台北可以無後顧之憂地專心進修與作研究,不必兩地通車上課,免去舟車 勞頓之苦,熬過了三個暑假,現在我終於順利完成了當年未能立即念研究 所的遺憾,也算實現了多年的心願,謹以此論文獻給我的家人,以及所有 關心我的好朋友。. V.

(7) 摘. 要. 本研究目的在探討高中生學習『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複 數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗 定理、複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義』時,所出現的概念學習上 之錯誤類型,並探討錯誤概念產生的原因。 基於研究目的與研究問題的考量,本研究偏向量的研究,並以質性分析作為 研究與探討的輔助參考,研究樣本是研究者所服務的台中市某公立高中三年級學 生共 106 位同學。研究方法兼採開放性問卷調查法與半結構性晤談法兩種方法進 行,先針對 106 位高三學生作『複數瞭解情形』問卷試題作答之後,再選出適當 的 20 位學生作晤談,以瞭解高三學生在學過高中所介紹之全部的複數單元後, 到底對於複數還存有怎樣的錯誤概念?研究工具採『複數瞭解情形』問卷評量試 題來做『診斷』,先針對學生在複數單元錯誤概念情形做調查,統計每一小題的 答錯率,經整理、歸納出學生的錯誤類型,再以晤談方式進一步瞭解學生實際在 複數單元的學習狀況以及產生概念錯誤的原因。 根據本研究的結果發現,高中生在學習『複數概念、複數的四則運算、複數 平面、複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、 棣美弗定理、複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義』時所出現的錯誤概 念,歸納整理有以下八大類別: 一、不清楚虛數單位 i 的定義,所產生的認知錯誤概念;二、將實數不等式的 舊經驗運算推廣到複數的運算,所產生的錯誤概念;三、對於方根與虛數單位 i 的化簡運算之判斷能力不足;四、不太理解複數幾何表徵與絕對值的運算、幾何 意義;五、對於複數極式的形式與極式的幾何意義無法正確表達;六、在複數的 n 次方根(n≧2)定義與運算方面缺乏自信與計算能力;七、不清楚複數的 n 次方 根(n≧2)的幾何意義而產生思維紊亂現象;八、處理複數問題時,相關的先備知 識不足。. VI.

(8) 將以上八大類別,詳細分成如下 16 種主要的錯誤類型: (1)對虛部的定義不清楚或受直觀影響而產生誤解。(2)對於含有虛數單位 i 的複數 之比較大小之概念,受到實數系比較大小的運算方式作錯誤類推判斷。(3)不習 慣或不瞭解當 a<0 時,要先將 a 化簡為 ( a )  (1) = ( a ) × 1 = ( a ) × i ,導致在方根的化簡過程產生運算錯誤。(4)受到實數正平方根的乘、除法運算 的類推影響,導致運算概念混淆不清; 以為不論 a , b 的正負,都可以作 a × b = ab 與. a a = 的合併或分解運算。(5)把實數絕對值的舊經驗解法完全套 b b. 用在複數絕對值的認知概念錯誤。(6)不清楚或自行建構複數絕對值的定義而產 生的錯誤運算。(7)不清楚或不會判斷複數絕對值的幾何意義。(8)無法以正確公 式或方法處理複數的絕對值乘除問題。(9)無法將複數 a+bi ( a , bR ) 正確地化 成極式的形式。(10)對於極式的乘、除運算與幾何意義之學習感到困難。(11)對 於棣美弗定理,無法正確地使用公式與運算來解題。(12)無法正確地、有效地處 理複數的 n 次方根的相關問題。(13)不瞭解如何在複數平面上找出這 n 個根的位 置。(14)誤認為只要是一元 n 次方程式的 n 個根,在複數平面上一定可以圍成一 個正 n 邊形。(15)對複數平面上之點的位置描述不瞭解。(16)不清楚一個複數的 極式表示法在複數平面上,這個數與原點的距離以及輻角(方向角)的判別。 最後根據本研究所得到的結果加以分析、討論,並作成檢討與提出建議, 希望提供給將來的教科書編寫者、第一線的高中數學教師、以及改進評量測驗之 用,或提供給高中數學教師作為本單元的補救教學時,可以針對這幾種錯誤類型 多再加強講解與說明,期能適時糾正學生對於上述這些錯誤概念與運算,但願以 此研究的結果作為高中數學教師加強複數單元教學的參考之用,甚幸。. 關鍵字詞:複數、概念學習、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何 意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、 複數的 n 次方根、複數的 n 次方根之幾何意義、錯誤概念。 VII.

(9) 高中學生複數概念學習之錯誤類型分析與研究 目 第一章. 錄. 緒論……………………………………………………… 1. 第一節. 研究動機……………………………………………… 1. 第二節. 研究目的暨研究問題…………………………………… 7. 第三節. 名詞界定……………………………………………… 8. 第二章. 文獻探討………………………………………………… 10. 第一節. 概念、概念學習及數學概念的探討…………………… 10. 第二節. 迷思概念的意義與研究………………………………. 第三節. 兩階段評量工具的發展與應用的探討………………… 28. 第四節. 數學概念的學習與教學的探討………………………… 37. 第五節. 錯誤類型及其原因之相關研究.………………………. 第六節. 複數與其他數學概念及運算錯誤類型相關研究………… 71. 第三章. 22. 50. 研究方法………………………………………………… 76. 第一節. 研究設計與研究架構…………………………………. 76. 第二節. 研究對象……………………………………………. 79. 第三節. 研究工具……………………………………………. 80. 第四節. 研究(實施)步驟……………………………………… 83. 第五節. 研究限制……………………………………………. VIII. 86.

(10) 第四章 第一節. 資料研究結果之報導與分析……………………………88 高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、 複數絕對值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤 類型及其原因之分析報導…………………………… 88. 第二節. 高中學生對『複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理 、複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義』學習的 主要錯誤類型及其原因之分析報導……………………146. 第三節. 對 20 位高三學生實際進行晤談有關複數瞭解情形之錯誤 概念分析…………………………………………… 196. 第四節. 探討如何避免及改善學生在學習複數單元時會產生的錯誤 概念………………………………………………… 248. 第五章. 結論與建議 …………………………………………… 251. 第一節. 結論.…………………………………………………251. 第二節. 檢討與建議………………………………………… 265. 參考文獻 中文部分………………………………………………………… 276 英文部分………………………………………………………… 282. 附錄次 附錄一:「複數瞭解情形」開放性問卷試題………………………… 286 附錄二:高中數學第一冊複數單元教材教科書內容………………… 300 附錄三:高中數學第二冊複數單元教材教科書內容………………… 316 IX.

(11) 圖次 數學概念學習過程模式圖………………………………………… 20 兩階段評量診斷工具格式………………………………………… 30 圓錐形的概念模型………………………………………………. 41. 顏色概念形成的例子……………………………………………… 44 概念的階層與抽象………………………………………………. 45. 研究設計程序圖………………………………………………… 78 研究(實施)步驟流程圖…………………………………………… 83. X.

(12) 第一章. 緒論. 第一節. 研究動機. 在我教學的歷程中,當高一教到複數這個單元時,從 1 的引進,就發現學 生腦中似乎有了很多問號? 1 到底是多少? 1 到底是存不存在?如果不存 在這種數,那又為甚麼要學複數呢?它到底有何用處呢。在課堂教學中,為甚麼 3 × 5 =- 15 呢?也隨口問學生,3+4i 的虛部是多少?很多學生還是答 4i 這個答案,為甚麼|3+4i|= 32  42 =5 呢?又問:試比較:4+5 i 與 3+4 i 的大小?都還會有學生說 4+5 i 比較大,我心想,這是少數幾個學生的 特例?抑或這是很多學生共同的現象呢?究竟這些學生在學習的歷程中出現了 甚麼問題?學生在複數這個單元是怎樣來學習的?何況這只是複數的幾個基本 性質的概念而已,為何還有不少學生到現在對它的概念是如此模糊與錯誤?是受 老師的教學因素之影響?還是這個單元的教材內容比較艱難呢?還是受到其它 的因素而影響而無法作正確的學習?或這只是我個人教學時所遇見的情況,別的 老師在教學時就不會遇到呢?我心中充滿了疑惑?而男生與女生在學習複數 時,哪一類的學生會有較大的比例容易有錯誤的概念呢?這都使得我對這個疑問 產生濃厚的興趣,尤其每次在教這個單元時,我都發現學生都有一定程度的比例 會有錯誤的概念。 客觀來說,在高中數學課綱內容中, 『複數概念、複數的四則運算、複數平 面、複數絕對值』,一般是被高中數學教師歸為比較簡單的單元,比起對數、三 角函數、排列組合、圓錐曲線,複數確實簡單多了,那我挑這個主題來研究,會 不會研究不出個結果來呢?然而高中數學教師以為簡單的數學內容,為何學生的 實際表現與教師的認知卻有如此大的差異呢?因此有必要來深入探索學生在複 數的概念學習上可能會犯錯的概念思維。而引進了三角函數之後,此時發展出複 數的極式,將一個複數 z 表示成 z=r(cos+isin )的形式,以及利用複數的極式 -1-.

(13) 作乘、除運算並了解它的的幾何意義?以及求複數的 n 次方根以及這 n 個方根在 複數平面上的相關應用,而學生原本對三角函數的學習就已經很吃力了,如此又 融入複數單元學習的難度,相信學生的錯誤概念會更多,況且在教學現場中,每 個學生的先備知識都有一定的差異,因此,高中數學教師於課堂教學中,如何協 助學生作有效學習數學乃是當務之急。 我國高級中學數學課程目標在引導學生瞭解數學內容、方法與精神,並培養 學生用數學方法思考問題的素養與能力,以增進學生的基本數學能力,奠定學習 相關學科的基礎,提供學生在實際生活與未來生涯規劃所需的數學知能,培養學 生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。因此,數學概念的正確學習將 是達成這個數學課程目標所不可或缺的因素。 以下提出研究者於課堂教授複數的相關單元時,與學生作互動教學的一些 實例,研究者將其提出來作為本研究的序幕: 《教學現場實例一》: 老 師:請問什麼數的平方後等於-1 呢? 學 生 A:我不知道什麼數的平方後是-1!我找不到! 老 師:假設某數為 x,現在要求 x 2=-1 ,直接開根號取正負得 x=± 1 ,在國中時我們說此方程式無實數解,數學家為了讓這 個方程式變成有解,就定義 1 =i ,它叫做“虛數單位"。 學 生 B:根號內怎麼會有負數? 學 生 C: 1 到底是多少? 此類學生不了解根號內為何有負數,不了解虛數單位 i 的定義。 《教學現場實例二》: 老 師:比較 3+2i. 與 1+2i 哪個數比較大?. 學 生 D:因為同時消去 2i 之後,又 3 比 1 大,所以 3+2i >1+2i。 學 生 E:因為左減右兩個相減之後,( 3+2i )-(1+2i )=2>0, -2-.

(14) 因此 ( 3+2i )-(1+2i )>0 ,再移項之後 3+2i > 1+2i。 此類學生將實數不等式的舊經驗錯誤運算推廣到複數的運算。 《教學現場實例三》: 老 師:請問: 3+( 6-7i )i 的虛部是多少? 學 生 F:就是 6-7i 嘛,啊不對,應該是 -7 才對 。 學 生 G:應該要先化簡之為 3+6 i+7=10+6 i 嘛,虛部是 6 i 。 此類學生不清楚虛數單位 i 的定義,所產生的迷思概念。 《教學現場實例四》: 老 師:請問: |-6i |=-(-6i ) 正確嗎? 學 生 H:對,因為負號去絕對值時要在前面多一個負號。 《教學現場實例五》: 老 師:那請問: |4+3i|=4+3i 正確嗎? 學 生 I:對,因為前面是正號,所以直接就去掉絕對值。 學 生 J:不對,應該是代公式 42  (3i )2 。 學 生 K:不對,應該是 42+32 。 此類學生不了解複數絕對值該如何運算,不了解複數實部與虛部的意義, 或是將實數絕對值過度推廣到複數絕對值的迷思概念。 《教學現場實例六》: 老 師:請問:-2+2 3 i 要如何寫成極式的形式? 1 2. 學 生 L: -2+2 3 i =-2(1- 3 i )=-2×2( - =-4(cos.  3. -isin.  3. 3 i) 2. ). 學 生 M: -2+2 3 i =4(cos240°+isin240°) 此類學生不了解複數極式定義或運算或受到三角函數廣義角認知不足的影響。. -3-.

(15) 《教學現場實例七》: 老 師:請問:3(cos5°+isin5°)×4(cos7°+isin7°)=? 學 生 N: 答案直接算應該是 12(cos35°+isin35°) 吧。 學 生 O: 我也是這個答案吧。 此類學生不了解複數極式的乘法運算所產生的錯誤概念。 《教學現場實例八》: 老 師:請問:3(sin5°+icos5°)×4(sin7°+icos7°)=? 學 生 P: 前面相乘,角度相加就是 12(sin12°+icos12°)。 此類學生不了解複數極式的定義與乘法運算所產生的錯誤概念。 《教學現場實例九》: 老 師:請問: 3  cos5  i sin 5   =? 2. 學 生 Q: 9(cos25°+isin25°)。 1. 老 師:請問: 8  cos15  i sin15   3 =? 1.  . 1 3. 1 3.  . 學 生 R: 簡單,直接代棣美弗定理來算就等於 8 3 cos(  15)  i sin(  15)  =2(cos5°+isin5°) 了。 此類學生不了解或誤解複數極式棣美弗定理公式的使用產生的錯誤概念。 《教學現場實例十》: 老 師:請問:方程式 z 5  z 4  z 3  z 2  z  1 =0 的五個根在複數平面上 必會圍成一個正五邊形﹒ 學 生 S: 應該會吧。 學 生 T: 以前老師教過好像類似題目都是可圍成正多邊形。 學 生 U: 我印象中也覺得是這樣沒錯。 學 生 V: 這根本不能求啊,又不能因式分解。 此類學生不了解複數的 n 次方根的幾何意義與不能與複數平面作一對一的 對應而產生的錯誤概念。 -4-.

(16) 對於上述研究者於教學現場提問學生中,所親身經歷對學生在複數某些單元 方面的認知情形,雖然只是提問一些大觀念問題,比較深入的運算都尚未提出來 問學生,學生就出現這樣的認知錯誤現象,這真的是讓研究者感概:是不是全國 的高中生普遍對抽象的複數單元都有這樣的錯誤概念,還是只有研究者所服務的 這所學校的學生而已呢?這可是一件大工程的研究與分析的工作耶! 其實,教過這麼多屆的這些高中學生,尤其到現在都已經是高三學生了,歷 經課堂老師的複習,以及大大小小區域性的模擬考、學校段考這麼多次,到現在 我還是感覺大多數的高中生仍然有著很多關於複數單元的錯誤概念,這些學生會 犯錯的原因可能與國中所學過平方根的概念有很大的關聯,而且還包含了根號符 號的運算法則,學生會將過去所學的既有概念、想法直接套用或延伸推廣到目前 所學的抽象的複數新概念中,往往忽略了此處應有的規範與定義或運算規則,這 些學生從第一冊開始接觸“虛數單位 i "的引入,開始有“複數概念",然後介 紹複數的四則運算,複數平面與複數的絕對值定義及其乘、除運算,到了第二冊 學過了廣義角三角函數後,引進複數的極式、複數的極式的乘、除運算,複數的 極式乘、除之幾何意義,棣美弗定理公式、複數的 n 次方根求解運算、複數的 n 次方根之幾何意義,學完這一連串的複數整體知識後,學生在解各種複數題型的 題目時,作答情形可以說是千奇百怪,令人啼笑皆非,更不知所云且錯誤連連, 真不知道學生把複數學到哪裡去了,每一屆都真的會有多數的學生學不好複數, 比例也很高,想想這真的是有必要來好好研究、分析的課題。 到底我們的教科書(或教材)編寫者要怎樣來編一套有效的教材、高中數學教 師上課時要怎樣引入複數,好讓學生從國三到高一作很好的銜接,我始終相信, 這其中至少有一個環節沒有做好(因為教師沒有認為學生笨的理由),否則不會連 中上程度的學生都學不好(程度中等以下者可能錯誤現象會更多),今天若沒有好 好瞭解箇中原因以幫助所有學生的話,明天內心將會過意不去,因此,面對此一 艱鉅的課題,更加強我想研究有關「複數概念」的教與學的動機。. -5-.

(17) 複數的極式運算可以幫忙處理“圖形旋轉"、“坐標軸旋轉"等問題,取代 了高三(甲)的轉軸問題,它是透過將『直角坐標平面』先轉換成『複數平面』, 利用『複數極式的乘除法運算』,將一個點、一個圖形變換到另一個點、另一個 圖形,變換之後再將複數坐標切換成直角坐標,之前教學都還要使用高三所學之 『轉軸』概念來講解,所以這是高中數學所學到的複數之高明之處。 不但如此,其實,複數在更高深的科學中也佔有一席之地,在處理高深物理 複雜的計算,都會利用到複數概念來處理,例如:物理學家愛因斯坦提出狹義相 對論中的「虛數時間」,他利用虛數的概念讓四維空間中的虛數時間符合畢氏定 理;我們認為這是很了不起的發明,物理學家薛丁格所提出的「薛丁格方程式」 (i.     2  2   U  x   ) ,發現,這個方程式一開始就出現虛數單位 i, 2 t  2m x . 而此方程式可以求出電子在空間的機率密度,對於量子力學的發展提供重大的貢 獻;物理學家暨天文學家霍金博士主張只要假設「虛數時間」,就可以在一般相 對論的框架中,說明宇宙的開端,這也是了不起的創舉假設。 虛數單位 i 的運算竟然可以使得一個偉大的物理式子得以長久存在且完備, 顯得對未來想唸理工科系的學生來說就更為重要,而高中所學的所有複數概念, 包括:『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何意義、複 數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的 n 次方根及複 數的 n 次方根之幾何意義』等,又是高深科學的基礎知識,要想讓我國科學教育 的發展更上一層樓,跟得上國際水準,就必須要在學生剛開始進入高一時,第一 線的高中數學教師就必須要能夠將學生引入正確的方向(因為老師不能說學生學 不會),所以這算是件很有意義而且有價值的研究課題,若能研究、探討出學生 在高中複數各單元方面出現的關鍵問題所在,並加以克服、解決,提出應興應革 策略,那將是對我國的數學教育、科學界有很好的貢獻,這更堅定了我想研究高 中生在複數之概念學習的動機,並力求盡善、盡美。. -6-.

(18) 第二節. 研究目的暨研究問題. 本研究的主要目的在探討高中學生學習『複數概念、複數的四則運算、複數 平面、複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、 棣美弗定理、複數的n次方根及複數的n次方根之幾何意義』後,存在那些錯誤概 念,並分析學生的複數錯誤概念的類型與形成錯誤概念的原因。 研究首先針對中部地區高三學生在複數單元的概念學習上得錯誤概念進行 調查,並進一步探討形成錯誤概念的原因,再將所得的資料加以整理及統計分 析,由研究結果提出教學方面的建議,以提供數學教師作為教學上的參考。. 研究目的: 1. 探討高中學生在學習『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值 及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、 複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義』之主要的錯誤類型有哪些? 2. 探討高中學生在學習複數單元後,會產生錯誤類型的原因? 3. 提供未來新教科書的編寫者與第一線高中數學教師,在編書與教學方面的參 考與建議,幫助學生釐清複數概念,並提供教師做補救教學參考之用。. 研究(待答)問題: 1. 高中學生在學完複數單元後,在概念學習上會出現哪些錯誤類型? 2. 分析這些錯誤類型會產生的原因? 3. 如何加強高中學生在複數單元的概念學習,減少(避免)學生再犯這些錯誤的 概念?. -7-.

(19) 第三節. 名詞界定. 1. 複數(complex number): 本研究所要探討的複數,係指:虛數單位 i 的定義、複數的四則運算、複數 平面、複數絕對值的運算與幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何 意義、棣美弗定理、複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義等概念。 2. 迷思概念( misconception ): 迷思概念又稱為錯誤概念也叫做另有概念(alternative conception),而本研 究所指的迷思概念是在學習:複數的定義、複數的概念、複數的四則運算、複數 平面、複數絕對值的運算與幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法運算及其 幾何意義、棣美弗定理、複數的 n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義時與科學 界所公認的數學概念相矛盾的部份。 3. 錯誤類型(mistake. types):. 在數學計算式中產生錯誤答案的步驟,依據其犯錯的關鍵處,可分成幾種的 型態,稱為錯誤類型(Kathleen 1987)。 本研究所要討論的錯誤類型,是研究者參考專家、學者所發表的相關錯誤類 型分析的文獻、以及近幾年國內、外諸位碩士班先進所發表針對數學上某單元概 念學習上的錯誤類型分析的論文研究之外,再加上本研究透過問卷調查與晤談學 生的複數概念瞭解情形之後,所分析歸納出來的錯誤類型來做實證,兩者一起歸 納所界定出來的錯誤類型,而本研究是依據研究者自編「複數瞭解情形」的問卷 診斷評量,然後整理、分析學生作答情形,所提出的錯誤類型,在「複數瞭解情 形」的問卷統計的結果中,因為每一個錯誤類型可能出現在不只一個問題的選項 中,為便於分析,因此本研究規範:若一個學生有選其中答錯率百分比 50%以上 (含 50%)的錯誤選項類別,我們就認定該學生有犯這樣的錯誤類型,而當一個 錯誤類型的答錯人數占全部受測學生的答錯率百分比有超過 15%(不含 15%)時, 我們就把此錯誤類型認定為主要的錯誤類型,作為本研究之分析、研判的依據。. -8-.

(20) 4. 兩階段診斷評量: 兩階段診斷評量的測驗方法係由 Treagust(1988;1997)所提出來的雙層式 診斷測驗(two-tier) ,這個測驗的主要目的是要診斷出學生在某些概念上的學習 困難處、先存概念、另有概念或迷思概念等。而它的測驗方式區分為兩個層次, 其中第一個層次是探究與闡述核心概念的內容,第二個層次則是在解釋或回答第 一層次的理由。 兩階段式數學迷思概念診斷測驗通常是用來作為成就測驗及探究迷思概念 的有效工具,不少學生雖然在傳統的教學中獲得記憶性的知識,而能在第一階段 的核心概念的內容正確作答,但是卻在第二階段的診斷過程中顯示出對於數學概 念未必有真正的瞭解。教師可針對一個特定主題單元教學的開始或結束時使用這 種評量診斷工具,若將其運用在數學、物理、或其它的自然科學等領域上,教師 就能夠更清楚、且確實地瞭解學生的認知概念與架構,以及有效地掌握學生對於 所學單元所潛在的迷思概念。 本研究所指的兩階段評量是一種診斷性測驗,測驗方式分為二層;第一階段 共有 2 個選項,分為「是」和「否」;第二階段共有 5 個理由選項,主要了解學 生所選擇的理由敘述是否為正確概念。其中最後一個選項為「其他,我的理由是: ______________」,當學生的理由有別於前四個理由選項時,可以將自己的理由 自由地表達出來。 而本研究雖不完全採用兩階段評量診斷測驗,但問卷中的許多問題是以參考 兩階段評量診斷測驗的精神來製作『複數瞭解情形』之問卷試題,其中一些問卷 的問題是採用開放性提問方式,先讓學生作第一階段的選擇答案之後,第二階段 並詢問學生為何會選這個答案的想法或意見,希望透過學生作答情形及想法來診 斷出學生潛在問題,以此探究學生在複數概念上的迷思。. -9-.

(21) 第二章. 文獻探討. 本研究在探討以“複數瞭解情形"之開放性問卷試題作診斷評量,依據學生 問卷填寫結果,透過專家、學者以及相關文獻所探討過的類似問題來分析高三學 生在學習『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何意義、 複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的 n 次方根及 複數的 n 次方根之幾何意義』這幾個單元時,常犯之主要的錯誤類型及其產生錯 誤類型的原因,並依此研究結果進行分析,提供未來新教科書的編寫者與第一線 的高中數學教師,在編書與教學方面的參考與建議,希望能真正幫助學生釐清複 數概念、並作為改進評量測驗之參考。 本章為瞭解高中學生整個數學與數學概念及所遇到的錯誤概念及錯誤類型, 能做進一步理解、分析、研究,特將本章分為六節來介紹各專家、學者所研究出 來的論文或觀點為佐證,期能對本研究提供更有力的陳述。 第一節為「概念、概念學習及數學概念的探討」,第二節為「迷思概念」的 探討,第三節為「兩階段診斷評量工具的發展與應用」的探討,第四節為「數學 概念的教學與學習」的探討,第五節為「錯誤類型及原因之相關研究」的探討, 第六節為「複數與其他數學概念及運算錯誤類型相關研究」的探討。. 第一節. 概念、概念學習及數學概念的探討. 近幾年來,國內、外的教育專家及數學教育學者針對概念及數學概念給了一 些定義,並提出關於概念學習的層級,以及概念學習的研究,特於此說明如下: 《一》、概念(concept)及數學概念(Mathematical concept): 1. 概念(concept): Merrill & Wood(1974)兩個人指出:概念是一群擁有共同屬性而被歸類在一 起的物體、符號、事件所組成的集合,而數個概念通常可以由某一概念名詞類推。 Klausmeier 等(1974)也認為概念的定義為可以使任何一個或一個以上特定 的事物和其他事物分別開來,且又可以和其他事物或其他類群事物找到關聯性的 -10-.

(22) 有關一個或一個以上事物(指物體、事件、過程等)所條理歸類的資料。 Henderson(1970)更把數學概念細分成具體概念 (concrete concept) 及抽象概 念(abstract concept)兩種。其中他說:具體概念為具有物理上實質的例子,例如: 代數書、幾何板、尺;抽象概念為不具上述具有物理實質例子,例如:數學上的 會遇到的分數、複數、極限、線段、多項式、機率等均為抽象概念。 另外,近20年中,在國內的一些數學教育研究學者也提出他們的研究論點: 陳忠志(2000)指出概念是「代表具有共同屬性的一類事物(或事件)全體的一 個概括的名稱或符號」。並認為概念其屬性為具有可辨認的特徵,概念中所包含 的屬性越少,其限制也越少,而概括的範圍就越大;若概念的含意越抽象,其層 級也越高。 鄭麗玉(1993)的研究指出概念是包含主要屬性(attribution)或特徵(features)的 同類事物之總名稱。一個概念是一個象徵的建構(symbolic construction),它用來 代表外界事物或事件的共同性,概念之所以形成,源自於我們能夠對外界的事物 進行歸類(categorization)(鄭昭明,1997),這樣的解釋相當貼切。 黃台珠(1984)在其研究中也指出:概念是學習的「基本單位」。並認為概念 具有以下三個特性: (1) 第一個特性:共同性(Regularity),一個概念在物體、事件或其他概念之中 有其共同性,因此了解一個概念是指知道其分類的規則,能分辨出何者屬於 此概念範圍,何者為非,同時能找出此一概念與其它概念之關係及其差異性。 (2) 第二個特性:符號化,其命名是為了人類之間的溝通以及個人認知結構中 概念之使用。 (3) 第三個特性:其使用者,世界並非依概念之分類而塑造,而是概念依據文化 的方式來表達真理,以方便人類之溝通與使用。 可見,概念是存在每一個人對於事物屬性或特徵的認知,經過歸類後, 儲存在腦海裡的一種知識,如果概念產生偏差,那麼對於後來的學習將造成 更大的傷害,教師們對這一點不可不慎! -11-.

(23) 2. 數學概念: 國內學者針對數學概念提出一個能被較多數人接受的看法,指出數學概念是 操作事項的活動或運思,經過抽象之後,所得到的數、量、形的性質。 依據Henderson(1970)所作的的分類,他指出數學概念大部分是抽象概念。學 生對數學的學習發展情形是由具體觀察、確認、分類、生產,最後達到形式化。 本研究所要探討的複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對值及其 幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的 n次方根及複數的n次方根之幾何意義』是學生在課堂教學後,先觀察虛數的定 義,並根據實例判斷及運算之後,再將所學的知識訊息加以分類,甚麼情況要怎 麼處理問題,再將複數概念加以統合、吸收,以達到形式化的抽象概念。 3. 數學概念學習: 喻平、馬再鳴兩位教授共同指出: 概念,被通常用於在哲學、心理學、邏輯學、語言學等學科方面的作為研究 對象。可是在學習心理學方面,概念學習一直是研究的熱門課題,截至目前為止, 已出現了各種不同的派別且觀點不同的各種理論。本文在國、內外研究成果的基 礎上,結合數學概念的特殊性,探討數學概念學習的心理過程及其本質特徵。 ( 註:喻平任教於南京師範大學數學系,及廣西師範大學數學教育研究所, 馬再鳴任教於西昌高等師範專科學校 ) 《二》、概念學習研究的一般理論: E. Fishbein 的研究指出:起先,人們傾向於借用心理學的問題、概念、 理論和方法。聯想主義、行為主義、新行為主義、Gestalt主義、Piaget 學派—所 有這些觀點都對數學教育的理論和研究有著潛在的或是明顯的影響。可是,在實 際的成效影響確很微小,追就其原因可能是心理學並不是一個演繹體系。一般原 理僅僅應用到特殊領域中通常不會引出重要的發現。事實上,縱觀心理學、教育 心理學關於概念及概念學習的有關理論 , 我們可以發現這些理論很難涵蓋數學 概念學習過程的全帽,心理學家對概念的分類進行了大量的研究,其中有四種分 -12-.

(24) 類對概念的研究與教學有重要意義,值得我們數學教育研究者學習與參考之用。 特將此四種分類敘述如下: (1) 日常概念與科學概念(L. Vygotsky)。 (2) 難下定義的概念與易下定義的概念(C.L. Hull)。 (3) 初級概念與二級概念(D. P.Ausubel)。 (4) 具體概念與定義性概念(R.M. Gagne)。 我們可以很明顯看出來,這四種分類所要強調的側面現象是不同的,有的強 調概念的來源,有的就著重在闡述概念的本質,有的則從概念的結構方面去進行 描述、探究,總而言之,若從概念學習的角度來看,這四種分類就有各自的教學 涵義。將概念進行分類,其教學意義在於可以根據不同類別概念的特性,選擇不 同的學習方式或教學策略。然而對照數學概念而言,上述有關對概念的分類恐怕 很難達到這個目標,因為對於數學概念來說,這些分類顯得過於籠統而模糊不 清,實在不易從其中來對數學概念的特徵作出比較精確的闡述,這是我們感到比 較可惜的地方,不過最起碼給概念學習方面開啟一個有效的研究開端。 另外,根據 Ausubel 的分類方法,數學概念(特別是高等數學中的概念) 多 是二級概念,因此對許多的數學概念而言,這種分類方法根本就失去了意義。事 實上,作為二級概念的數學概念在抽象程度、定義形式以及結構等方面都是有明 顯差異的,因而對這些概念的學習及其訊息加工的方式也就不同,倉促地採用二 級概念去給它作歸類,我們覺得反而失去了對於教學上、學習策略制定上的可操 作性,可見,如何將數學概念做適當的分類,乃是數學概念學習理論方面所迫切 要解決的一個關鍵起點。 至於在概念結構上,認知心理學對於概念結構的研究區分有兩個重要的理 論,第一個是特徵表說,第二個是原型說,其中,特徵表說的論點是主張從一類 個體具有的共同特徵來說明概念,認為概念或概念的表徵是由兩個因素所構成: 即(1) 概念的定義性特徵,即一類個體具有的共同的有關屬性; (2) 諸定義特徵之間的關係,即整合這些特徵的規則,用式子表示為: -13-.

(25) C = R(X , Y, .……)其中C為概念,R為整合個體特徵X,Y,的規則。對於R, 研究的焦點集中在合取、析取、否定等邏輯運算方面。而原型說與特徵表說 兩者的論點是對立的,原型說的觀點者指出概念主要是以原型即它的最佳實 例表徵出來的,概念也是由兩個因素構成:  原型或最佳實例。  範疇成員代表性的程度。 我們觀察出這兩種理論的差別表現有幾個面向,特將其敘述說明如下:特徵 表說著重在概念的定義性特徵,它具有分析性的本質,原型說則是強調最佳實例 或原型,這種說法帶有整體性的本質。特徵表說指出特徵是經由語義表達的,而 原型說則是在設想原型是以表象來編碼的,顯然這兩種觀點是完全不一樣的。 由以上的兩種論點敘述來作觀察,一方面,若從單一數學概念的結構方面來 描述,特徵表說就比原型說更具有合理性,因為很多數學概念還是要透過符號表 徵來呈現。若從概念域的形成方面來看,那麼原型說就會比特徵表說更能提供出 合理的解釋。另一方面,由於特徵表說起始於人工概念的研究,原型說的重點則 是對自然概念的描述,兩種學說都有其本質的因素,因而對複雜的數學概念就很 難做到全面性描述。例如:高中數學中的極限、無窮級數的概念,它是一個高度 抽象的概念,對於絕大多數的高中生來說是很難在短期的學習中接受它的概念 的,反而使用定義來表述極限、無窮級數概念的話,學生反而會懂,它不僅與諸 多概念有關連性,而且反映出來的是一種點坐標的移動變化趨勢或過程,所以這 兩種論點是各具特色的。 而在概念學習的形式方面,行為主義者指出概念是有機體對相似的刺激物作 出共同反應的能力,其中概念的獲得是個體經過多次的刺激反應後發生的。 顯然,這一派的說法是無法解釋抽象的現象與複雜概念的學習。然而認知學 派對概念學習的研究則從個體的內部因素著手,他們認為概念形成與概念同化是 概念獲得的兩種基本形式。對於概念形成的研究,一些心理學家得到了一些很有 意義的成果,特別是在人工概念的形成方面有他們的獨到見解。 -14-.

(26) J.S. Bruner 等幾位學者於1956年提出了概念形成的“假設考驗說”,他們一 致認為概念形成是刺激與個體假設庫中的假設進行匹配的過程,並提出了四個概 念形成的策略。而Ausubel 的觀點則是從另外一個角度來認識這一問題,他指 出:學生在教學條件下學習概念,完全不同於人們在自然條件下形成概念或科學 家發明與創造概念,不同於在人為條件下形成人工概念,而概念同化才是概念獲 得的最基本方式。對於數學概念學習而言,概念形成與概念同化是獲得概念的兩 種基本形式,這也是高中生透過課堂上課對所學到的知識之後,先對知識產生了 概念,然後再將概念理解、統合並吸收,但我們認為以下兩點還是值得思考: 第一、 數學概念獲得是否只有這兩種方式,事實上,語言學習也應是數學概念 獲得的一種方式,數學教育學者們應該也會同意這個觀點的。 第二、 概念同化是指學生利用認知結構中的已有觀念與新概念之間的相互作用 去獲取概念,概念形成是從個別實例到抽象本質去獲取概念的方式,但 這兩種方式所獲得的知識往往是概念意象,而概念的掌握必須經過概念 在不同水平上的應用過程。 《三》、概念學習理論: 不同的學習理論學派對於概念學習的過程都有彼此相呼應的解釋,也都提出 他們的論點。其中,聯結主義學派指出概念學習的過程是同類刺激物與有機體產 生某種反應的聯結過程,概念形成的關鍵在於受外界刺激與有機體反應之間的聯 結。然而認知學派則認為人類對於概念的學習是一個積極主動的過程,概念學習 理論是人們根據事實情況進行推理,然後提出假設,並將這一假設應用於實際生 活中去檢驗的過程。 學者莫雷教授提出了學習雙機制理論的觀點,他指出:人類有兩種學習機 制,一種是聯結性學習機制,另一種是運算性學習機制。因而,有機體的學習也 相應地分為聯結性學習與運算性學習。所謂聯結性學習是指:個體通過將同時出 現在工作記憶中的若干客體聯繫起來,而獲得經驗的學習;所謂運算性學習是 指:個體通過複雜的認知操作而獲得經驗的學習。 -15-.

(27) 根據上述各個學派的不同觀點來說,聯結主義的學習理論適合用於解釋初級 概念的學習。可是認知學派的學習理論則是強調學習中個體的內部加工過程,也 就是適合二級概念的學習,而折衷主義學派的觀點是融合兩派的理論觀點折衷而 成,因此更具有重要的意義,雙機制理論是折衷主義的未來發展方向,更能貼切 地解釋概念的學習過程,這或許是大家比較容易接受的見解。 《四》、數學概念的特徵與結構: 1. 數學概念的特徵: 一般來說,數學概念具有抽象化、形式化、邏輯化和簡明化的特徵,這是 從靜態角度去考察個別概念的結果。而如果從動態的更深層面去分析個別概念或 概念系統的話,那麼就會對數學概念特徵作出更準確的描寫,因此,有些學者特 別引入概念域和概念系這兩個術語,為數學概念的特徵作更佳的註解。 首先,我們先來分析下面這兩個例子: 例1: (關於等差數列的定義): 數列{an}是等差數列,當且僅當 an+1− an = d,其中 d 為常數,nN,n≧1﹒ 數列{ an }是等差數列,當且僅當 an+1 − an=an − an-1 , nN,n≧2﹒ 數列{ an }是等差數列,當且僅當 an=a1 + (n − 1)d ,d 為常數,nN,n≧2﹒ 數列{ an }是等差數列,當且僅當 an=am + (n − m)d, d 為常數,n,m N . …… 。這幾種表徵的表示法都可以顯示出等差數列的定義之概念敘述。 例 2: ( “ 距離 ” 的概念): 以 A,B 表示點, l,m 表示直線, N,P 表示平面,( A , N ),(A , l ) 分別表示 A 到 N ,A 到 l 的距離,inf 表示下確界,S 為空間的點集合。 則有如下概念擴展鎖鏈:. (A , l )=inf {(A,B)|Bl} (A , N )=inf {(A,B)|BN}. (A , M)=inf {(A,B)|BM,MS} ( l , m)=inf {(A,B)|Al,Bm} ( l , N )=inf {(A,B)|Al,BN} ( N , P)=inf {(A,B)|AN,BP} (M1,M2)=inf {(A,B)|AM1,BM2} ( M i 為點集合, i=1, 2 )。 -16-.

(28) 這是一種不斷推演的層層步驟之演示過程,也都是關於距離概念的闡述。 我們從觀察上面這兩個例子中,可以發現到數學概念有下三個特徵: (1)對同一個概念,可以從不同的側面或選擇不同的角度去描述,即可以採用 彼此同義的一組定義去描述同一個概念,其結果是相同的。 (2)概念具有發展性,在不同條件與背景下,可以賦予一個概念之新的意義。 (3)數學概念不是孤立的,定義一個新概念往往要用到諸多的舊概念加以融合而 成,而概念與概念之間存在弱抽象、強抽象或廣義抽象關係,從中組成一個由 概念作為結點,由關係作為紐帶的概念體系,所以數學概念並不是孤立的。 而在G. Vergnaud 的研究中也提出了“概念域”的概念,他指出:數學概念的 意義是從多種情境中析取出來的。但是,要分析每一種情境又不能只用一種概念 來闡述,而要用到好幾種概念的統合而成的。這就是我們不得不研究概念域的教 與學的原因。概念域有大量情境,而我們對於情境的分析和處理卻需要好幾種交 織在一起的概念、過程和符號表徵來加以統合。很明顯地, “概念域”的涵義與 數學概念的上述所介紹之三個特徵是相當契合的。 我們可以更具體地來說,概念域的涵義是指某個概念的一些等價(同義)定義 在個體腦海中形成的知識網絡,是個體數學認知結構的組成部份。當我們在對一 種概念來進行描述的一組等價定義中,有一個是最基本的定義(在教科書中往往 選擇它作為概念的定義)。例如:在中學數學教科書中,對於平行四邊形之概念 的描述,可以有如下任何一組等價(同義)定義: (1) 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 (2) 一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形。 (3) 兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形。 (4) 兩組對角分別相等的四邊形叫做平行四邊形。 (5) 兩條對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形。 以上這五種敘述都可以表示平行四邊形的一種判別方法,但這五種敘述之間都彼 此產生關連性的推論,其中,我們把定義 (1) 是平行四邊形概念的典型定義。 -17-.

(29) 所謂典型定義,意思是指最易於讓學生來學習而又不失數學嚴謹性的定義學習, 這與概念結構的原型說的論點有著很相近的涵義,也就是把典型定義的圖式作為 概念域中的一個實例。本研究也傾向於使用典型定義來研判高中學生在複數的概 念學習上的錯誤類型,我們也可以再對概念系進行更詳細的描述說明如下: 如果有一組概念 C1, C2 , ……, Cn 存在關係:C1R1C2R2……Rn−1Cn. (). 其中Ri ( i=1 ,2 ,…… ,n) 表示強抽象、弱抽象、廣義抽象這三種數學關係中 的任意一種,那麼稱 () 為一條概念鏈,我們將其記為 ={C1,C2, ………,Cn}。 如果兩條概念鏈的交集不是空集合,那麼就稱這兩條概念鏈相交。如果m條概念 鏈中至少有一條與其餘的鏈都相交,那麼稱這m條鏈的圖式為概念系。 我們從上述的一條概念鏈來觀察,可以簡單地說,概念系就是在個體在腦海 中形成的概念網絡鎖鏈一般,而這個網絡鎖鏈中的彼此概念之間都存在某些連動 的關係,這些概念鏈中的每一個概念都具有相通的現象,也就是說,彼此之間是 可以互相推論的,亦即甲概念可以推論出乙概念,乙概念也可以推論出甲概念。 而觀察學生在數學的學習歷程中也是會經常出現這種情形的,然而當學生在 學習了一個概念之後,而在具體應用這個概念時又往往會犯下不同類型的錯誤, 例如:明明強調  3 ×  5 在計算時要先分別提出虛部單位 i ,但是學生卻又 犯了直接合併變成  3 ×  5 = (3)(5) = 15 的結果,或者是在沒有把握概 念的內涵之下,無法分辨概念的反例,而導致運算錯誤;或者是不能理解概念的 變化形式,而產生解題不靈活的現象。當然,出現這些情況除了因為學生對於數 學的學習歷程可能是機械式的僵化學習的原因之外,另一個可能原因就在於他們 在概念學習中沒有形成概念域或是概念系,因而對於概念知識的獲得是僵化的、 片面的、不會變通的,因此就無法從多方面的角度、多方面的背景因素去深入理 解某些數學概念,所以就會對於某個數學概念感到竉統而模糊的現象,最後產生 學習上的錯誤概念,這是相當令人惋惜的地方,追究其根本原因乃是因為學生根 本還沒有在腦海中形成一個概念體系,所以,我們確信,形成個體的概念域、概 -18-.

(30) 念系可以說是概念學習的一個非常重要的本質特徵,當學生有了概念域、概念系 之後,他的學習就顯得有自信了,也就不容易產生錯誤類推的現象發生。 2. 數學概念的分類: 根據認知心理學家 J. R. Anderson 從知識的心理性質之角度來觀察,他將學 生學習的知識分為兩種類型的知識:一類是陳述性知識,另一類是程序性知識。 而關於陳述性的知識是指關於描寫事實的一種知識,其學習過程主要是在工 作記憶中把幾個分散的表述連結起來形成新命題的過程。至於程序性的知識是指 關於進行某項操作活動的知識,在這種知識的學習中,個體要學習在某種條件下 採取的某項操作或某系列操作程序,並能按程序完成整個操作。 我們借助於特徵表說和Anderson的觀點,將數學概念進行分類。一個數學概 念可以表述為C=R(Z1, Z2,……,Zn),其中Zi (i = 1, 2, .……, n)為個體特徵(或上一級 概念),R為整合這些特徵的規則(如命題的合取、析取等演算規則 )。如果 R 及 Z1, Z2,……, Zn 沒有數學的運算意義,那麼稱這類概念為陳述性的概念,否則稱 為運算性的概念。這些學者並且指出以下實例來做呼應、印證,例如: 關於平行四邊形的概念:它的定義是:如果我們發現一個四邊形ABCD中, 若( AB // CD ) 且 ( AD // BC )時,那麼我們就會稱四邊形ABCD是平行四邊形。這 裡是兩個特徵的交集,其中並沒有所謂的運算特徵的感覺,所以我們認為平行四 邊形的概念是屬於陳述性概念,只要同時符合這兩個條件,就算是平行四邊形 了,不必再透過運算。又例如,關於奇數的概念,我們可以定義:能被 2 除餘 1 的整數就叫做奇數。因為在判斷一個數是否為奇數時?學生必須做一次除法運算 的過程方可判定是否為奇數,因此奇數概念就是一種運算性概念。所以這兩種概 念的區分是非常明顯且易於分辨的,這也是一種對於概念方面最貼切的詮釋了。 對於運算性概念,根據運算方式的不同又可分為程序性概念和構造性概念兩 種類型。所謂程序性概念是指該概念的定義中給出了判斷概念本質屬性的運算程 序。例如 :“ 奇數的概念 ” 、 “ 最小公倍數的概念 ” 、 “ 絕對值的概念"、. -19-.

(31) “ 複數極式的概念 ” 等。而構造性概念是指在判斷一個概念時,需要構造出一 個滿足某種屬性的對象後再實施運算的概念。例如: “ 有界數列 ” 的概念:對 於給定一個數列〈an〉,如果存在實數M>0,使得對於任意正整數 n,都恆存 在一個實數 M 滿足 M≧ | an | 的話,則我們就說數列〈an〉是一個有界數列, 這是透過定義來詮釋有界數列的情形,這裡要先建構出一個實數M 出來之後, 再進行運算出M≧ | an | 的結果。因此我們就可以得到數學概念的一種分類:數 學概念、陳述性概念、運算性概念。另外,例如:高中數學的勘根定理也是透過 定義來詮釋它的意義:設f(x)=0為一個實數系多項方程式,若兩實數 a<b 且滿 足 f(a)×f(b)<0 的話,則一定會存在一個實數 c 且 a<c<b ,使得 f(c)=0, 以下是數學概念學習的過程模式:. 數學概念學習過程模式圖. 概念形成. 概 念. 語言學習 概念同化. 意 象. 知 覺. 思 維. 概 念. 水 平. 水 平. 域. 應 用. 應 用. (系). 《五》、概念學習的層級: Klausmeier,Ghatala and Frayer (1974)他們共同提出了關於概念學習的層級 (Level)方面,他們將概念學習的層級分成四個層級,依照不同情形分類如下: 層級1 :為具體的層級(Concrete Level):學生能認出稍早已學習過的一個例子。 層級2 :為確認的層級(Identity Level):除了層級1 之外,學生對於稍早 學習過的例子,即使經過時空轉換或以不同的形式呈現,亦能認出。 層級3 :為分類的層級(Classificatory Level):除了層級1、層級2 之外, 學生能分辨例子與非例。. -20-.

(32) 層級4 :為形式化的層級(Formal Level):除了層級1、層級2、層級3之外, 學生能陳述概念的定義。要注意的是,層級4 並不是單純地背誦定義而 已,而是比直接複誦定義的境界還要更高。 而Sowder(1980)也提出在層級 3、4 之間加入層級 3.5 為生產的層級 (Production. Level):除了層級1、層級2、層級3 之外,學生可以給出此概念的. 任何例子或新例子。 另外,柳賢(2001)的研究也指出學生在數學概念的學習發展層級方面,將其 順序排列成先後次序,依序是由「具體觀察」、「確認」、「分類」、「生產」, 最後達到「形式化」的結果,我們覺得這個順序步驟是相當合情合理的。 Sfard 再提出抽象的數學概念可以區分成兩種不同方式來設想:結構的(當 成是物體 objects)或者操作的(當成是過程 processes) 。他指出對於大部分的人 而言,在獲得一個新的數學概念之前,必定是操作(過程導向)的概念先出現(Sfard & Linchevski, 1994)。從「過程」概念到「物體」概念的這個過程並非一蹴可幾, 是要漸進式來完成的,同時極可能具有困難(Sfard & Linchevski , 1994)。 我們認為,透過操作而獲得的概念是很容易記憶的,這種概念能長久而且真 實,當學生能透過這兩種概念來嘗試學習的話,相信學生對於學習就不會再有恐 懼的情形,這兩種區分的概念將會在數學的教學活動中扮演非常重要的角色。 另外,我們再根據 Sfard.A. 和 Linchevski.L.(Sfard & Linchevski,1994) 的 研究中,他們共同指出:透過具體化理論來觀察代數思維是如何發展的想法。他 們先依照代數發展的的歷史將代數區分成幾個階段,根據具體化的理論以及代數 的發展歷史作為分類依據,來探討學生從兩個學校代數的重要接點(junction) 的轉換。希望探究出學生在經歷這兩個階段的歷程中會遭遇何種困難?以及到底 是什麼現象可以當成是這種困難的徵兆?讓教師能作預先評估與防範,以便在課 堂教學時能多留意學生的學習狀況,當學生有出現錯誤思維時,可以及時糾正, 釐清概念,並且探討各級學校在數學教育方面的種種面向的問題,希望能領悟出 問題所在,以及提出有效的解決之道,增進數學教育的良性發展。 -21-.

(33) 第二節. 迷思概念的意義與研究. 迷思概念又稱為錯誤概念或另有概念(alternative conception),本研究在這裏 所介紹的迷思概念係指高中學生在學習所有高中的複數單元(包括高中數學第一 冊、第二冊所介紹有關複數概念之教科書內容)後,腦海中所認知的數學概念與 科學界所公認的數學概念相矛盾的部份。 一、何謂迷思概念: (1) 迷 思: 「迷思就是一種人人都這麼說或這麼想的事,大家都知道好像應該是這樣, 卻沒有人真正知道是不是這樣或為什麼是這樣的事。就這樣以訛傳訛,久而久之 也就沒有人去追究其是非、真假」,因此就產生了所謂概念的迷思之現象了,而 學生的學習也經常在不追根究底的情況下對某種知識概念產生了迷思。 (2) 迷思概念與迷思概念的意義: 迷思概念是教師在教學過程中,由於學生對於某一概念,因某種因素或見解 而產生的錯誤想法,而教師應可在教學的過程中適時地引導學生,糾正錯誤的想 法,使其產生對概念的良性改變(conception change) ,而朝著正確的方向前進。 迷思概念乃是英文 misconception 之中文翻譯而得。Misconception 由字首 mis 與 conception 組合而成。在英文中 mis 字首有 ill、mistaken、wrong、wrongly 和 incorrectly 等意義,此即表示是「壞的」 、 「錯誤的」和「不正確」的意思。例如: misadvice 是「錯誤的建議」 ,misarrangement 是「排列錯誤」 ,misbehavior 是「不 當的行為」,misbelief 是「錯誤的信仰」,misdecription 是「錯誤的描述」即 miseducation 是「錯誤的教育」等。Conception 的原意為 the act of conceiving(想 像的行為)、the state of being conceived(想像的狀態)、something that is conceived (想像的事情)、origination or concept(形成意念、念頭或觀念的行為或能力)、 anotion, idea,or concept(一個意念、念頭、或觀念)、a design or plan(一個設計或計 算)等。Conception 的中文翻譯叫做「概念」。 綜合 conception 上述各項英文的原意, 「概念」的意義應是「對某一現象或 事物最初始的一種想像念頭」。根據 The Random House Dictionary of the English -22-.

(34) Language (Collage Edition)之解釋,認為 misconception 是 anerroneous conception (一種錯誤的概念)或 mistaken notion(錯誤的想法)。在中文的解釋中,最初有些學 者將 mis 音譯為「迷思」 ,因而 misconception 的中文意思就翻譯成「迷思概念」。 所以迷思概念應是指「對某一現象或事物最初始的一種錯誤的想像念頭。」 (姜善鑫,1998)。 (3) 概念的改變: 在學生對於知識的認知結構中,經過已有的舊知識與新知識交互影響的過程 下,會出現分化(progressive differentiation)與統整(integrative reconciliation) 的過程,此種現象稱為概念的改變。而學生對於知識的學習就是在舊知識與新知 識在知識的認知結構上的分化、重整、調適、成長與改變的一種過程,學生經由 這幾個步驟流程,就可以適當地調整或改變對於某些知識之概念方面的錯誤想 法,而逐步地朝向正確、合理的概念方向來前進與發展。 二、迷思概念的成因: 學生之所以會形成迷思概念,憑良心來說,其發生的原因是相當複雜的,也 很難真正掌握其中的真正緣由,但大致上有一定的現象,根據國內、外教育專家、 學者的綜合研究結果顯示,迷思概念的成因大致上可以歸納成以下 9 大項: 1. 對於學科知識背景不足。 2. 受到日常生活用語的影響。 3. 個人的知識觀念(對自然事物的直接觀察)。 4. 教學的誤導(教學教學方法的簡捷教法,讓學生產生另類的概念類推)。 5. 迷思概念的原型。 6. 事物明顯特徵的影響。 7. 同儕文化。 8. 大眾媒體的誤導。 9. 其他。 經由上述 9 大類的原因所形成的迷思概念,通常都會偶發性的或長期性的主 宰個人的信念與想法,對於學生在學習科學知識方面是相當不利的。學生在學習 的過程當中若存有迷思概念,那麼對於實驗的觀察和示範、對觀察的解釋、對科 學課程的理解和記憶方面就會有很大的妨礙(余民寧,1997)。 -23-.

(35) 三、迷思概念的診斷: 知識的架構是由許多概念和概念的連結而來,因此可以透過概念的分析來加 以剖析。概念分析法是一種檢查概念如何能夠傳達給學生的過程,透過概念分析 的結果,得知交給學生何種內容及如何進行教學,亦可以用來評量,已達到分類 和形式之概念學習層次的學習者,能夠根據原則獲取知識,進而解決問題的過程。 對於教師和課程設計者而言,為了確定目標概念已被學習者完全學習,必 須針對教材和學習者的行為作一分析(Klausneier,1974) 。 根據(Klausneier,1974)的研究指出,對目標概念分析時要考慮下列幾點: 1. 描述或勾勒目標概念在其階層的位置。 2. 定義每一概念的名詞及屬性。 3. 區分每個概念的特定屬性和可變屬性。 4. 確認每一概念的正例與反例。 5. 確定概念與概念之間的合併原則。 6. 使用正確的概念解決所設計的問題。 7. 發展一系列與每個概念及其屬性相結合的關鍵詞彙。 當然學生對於知識的獲得是有其一定的進程,是不可能囫圇吞棗來獲得的, 這是有一定步驟的,現有的知識就是來自於過去概念的累積而來。每一個階層的 步驟之進步都是來自於對前一階層的精熟度所堆砌而成的;因此學生所存在的迷 思概念就是此系統中的瑕疵、缺陷,學生務必將它從腦海中去除,建立一個正確 而有效的知識體系,因為迷思概念是造成學習者獲取正確知識的嚴重障礙。對於 迷思概念的現象將會有助於教學歷程的錯誤修正(不管是教師或學生),以達成 和科學上的觀點的一致的論點。因此對學科知識產生迷思概念並不可怕,只要願 意加以修正、改變,反而更加深了對概念知識的獲得使其更加鞏固。可怕的是有 了迷思概念而不知,讓錯誤想法一直延伸下去,那就更難以救治了,因為如果迷 思概念形成了程序性的知識時,將很難再進行概念的轉變,這後果就不可設想了。 根據 Strike(1982)的研究中指出,讓概念轉變的條件有以下四點: (1) 對現存概念感到不滿。 (2) 新的概念可被理解(intelligible)。 (3) 新的概念必須是合理的(plausible)。 (4) 新的概念能提出有效的研究方法(research programme)。 -24-.

(36) 四、迷思概念的相關文獻研究: 「迷思概念是一種由學習者自己建構出來的概念偏離現象,一種針對自己之 舊經驗所作的合理的解釋,但卻是一種思考不周全、太武斷的解釋,學習者可能 忽略許多應該考慮到的因素」。每一種學科知識都會有一定比例的學生會產生情 節不同程度的迷思概念,因此教師必須運用 PCK(pedagogical content knowledge, 學科教學知識)來對學生的迷思概念加以導正與改變,釐清單元概念的正確學 習,並避免或降低學生再次產生迷思概念的潛在原因。 「迷思概念」來自於建構主義。建構主義在國內發展已有多年的歷史,一般 研究建構主義的學者,大都將研究方向設定在「迷思概念」 (misconception) (王 晉基、郭重吉;江新合;陳啟明、陳瓊森;陳龍川,1992);(宋志雄;盛承堯, 1993);(王淑琴、郭重吉;林明軫,1994);(謝青龍,1995);(張自立;陳義勳, 1996);(黃幸美,1997);(陳忠志、許有亮,1998);(樊雪春,1999),其和「錯 誤概念」 (error conception) 、「另有想法」 (alternative conception)、另有架構 (alternative framework)(郭重吉,1991);(謝志仁、郭重吉,1993);(邱耀德、 耿正屏,1994);(謝青龍,1995);(陳忠志、許有亮,1998)、 「先入概念」(preconception) 等都是從建構主義衍生出來的想法,雖然名詞不完全相同,但其主要的定義均是 指在某一特定科學概念組織中,對某事件或某現象,所持有的一些有別於目前科 學界所公認的想法,以明白學生在學習某些學科時的困難,並進行有效的教學 (Viennot,1997)。 而 Minstrell 更把迷思概念的研究從學童的日常行為表現延伸到教室中的教 學活動表現,他發現到教師與學生產生迷思概念是有相關的(Minstrell,1982)。 根據 Karrqvist 的研究中發現,迷思概念的研究架構,不能單純的從兒童所 呈現出來之語言加以分析,因為學童賦予這些語言的意義相當含糊、竉統,有時 甚至是誤解(Karrqvist,1984);1983 至 1987 年間,對於學生產生迷思概念及另 類概念的研究達到最高峰,1991 年 NARST(國際迷思概念研討會)的年會也發 表大量有關迷思概念及另有概念的文章。(劉宏文,1996) 以上是國內、外的學者、專家或研究者們對於迷思概念的探討,由他們所發 表的論文顯示,他們都是從科學概念的觀點、角度來研究數學、物理、化學、生. -25-.

(37) 物等自然科學的學科教學過程中對於概念傳達的探討。至於建構主義的教學理 論,在國內也已經發展多年,但是尚未能將建構主義迷思概念的探討,延伸至其 他學科的研究,以作為通盤的研究。現在看來,的確是相當地可惜,然而我們確 信,數學教育的專家學者們仍是隨時在研究學生對學習產生迷思概念時的因應對 策,在不久的將來會提出有效方法的。而依照研究的方向上,針對單一的概念加 以探究,對於整合的研究上也甚為缺乏,在這方面,科學教育相關單位仍須有效 地整合,才能加速提出對學科知識的問題解決策略,而對於建構主義之教學理論 的未來展望,我們覺得要去除舊教學方式所產生的病灶,改革舊包袱的所留下的 陋習而建立起全新的教學情境、設施,因此,我國科學教育界在這方面的發展仍 有待提昇、改進,並且還有許多值得努力的地方。 學者 Clement(1982)以將物體鉛直上拋的運動為主題,針對 150 名工科的大 學新鮮人為研究對象,研究這些學生的物理知識之先存概念(preconceptions),卻 驚訝地發現有高達 88% 的大學學生對物體鉛直上拋過程中,拋體在空中受力的 認知結構有學習上的迷思概念(misconceptions),學者 Halloun 及 Hestenes(1985) 的研究中也發現,他們花了三年時間針對超過 1000 名以上的大學生及 80 名高中 學生所作的實驗中顯示,發現學生在力學方面所出現的一些迷思概念,他們舉出 其中有下列幾點︰ (a) 力必須遠大於物體的重量才能移動物體,且重量與質量是無法區別的。. (b)一定的施力可以產生一固定的速度,有時候可以 F = m v 表示。 (c) 加速度起因於力的增加。 觀察學生對於拋體在空中受力的認知情形,學生在學習上的迷思概念,可從 下列兩個觀點來說明︰(1)從刺激-反應學說的觀點,學習者對於學習牛頓第二 運動定律「力可以使物體運動」的強刺激掩蓋了牛頓第一運動定律的「物體保持 原運動狀態不需要力」的弱刺激,造成學生誤認為運動一定需要力。(2)從建構 主義學習的觀點,教學必須以學生的學習為主軸,學生所形成的概念是以其舊知 識為主軸,在面對類似舊經驗之新知識時,若錯認為已經瞭解,領悟了,那麼就 造成學生誤認為曲線運動之物體所受之力不單只在一個方向上。因此必須使教學 -26-.

(38) 過程符合學生的認知結構過程,這樣才能夠正確而順利地幫助學生形成概念。 在拋體運動的實際教學中,學生在上課之前已有許多先存概念,往往對於傳統之 填壓式的教學方式有高度的排斥性與反感。因此對於教師來說是一種教學上的挫 折,也是一種對於教師個人在教學上的一大挑戰,因此教師必須特別針對教學單 元去設計一些教學技巧、解題策略,來協助學生修正、釐清他們的迷思概念。 當然,此時若能善用、搭配電腦模擬實驗軟體來作動態軌跡呈現,尤其是像 拋體運動這類變化迅速的物理現象的質點運動,對學生的學習而言,就可以很容 易觀察這樣的現象。但是它隱含的物理概念的本質,就不是單從表面的現象就能 一目瞭然的,唯有透過電腦模擬實驗來增強對學生的學習誘因與刺激,使學生獲 得必要的感性知識,才易於形成概念,並掌握規律,而作有效的學習。 對於數學的課堂教學活動也應該是如此,教師若純粹用粉筆在黑板上畫出 y =sinx,或拋物線軌跡圖形,學生當然就不易觀察出點的動態現象,感覺上,學 習的效果是較不理想的,目前數學軟體中的 GSP、GEOGEBRA 也都是可以協助 教師來進行課堂教學的,尤其是指數、對數、三角函數、圓錐曲線、立體圖形等 有關函數的圖形方面,使用這些數學軟體就能夠有效提供動態的教學演示了,目 前也是廣受數學教師們的普遍使用,且獲得學生好評及肯定。 因此在各類軟體的開發與設計上除了對動態現象的呈現之外,希望學習者從 認知結構中利用原有的舊概念來理解新概念,並產生了概念同化的現象,讓學生 由學習過程中自己動手設定模擬軟體的情境,觀察拋體的運動情形,從測量、記 錄、處理數據、繪函數圖、預測、推論至作出結論等科學方法及過程,經過由具 體到抽象,再由抽象到具體的相互作用和統合,只有這樣,學習者才能夠建構出 清晰而明確之數學、物理概念、或化學概念等學科的知識概念,並掌握數學、物 理規律的本質,這是一種有效的學習步驟。我們堅定認為,若能落實認知結構的 教學與善用電腦模擬實驗的教學方式,以及加上教師們的有效之教學引導,對於 高中學生在釐清複數、指數、對數、三角函數、多項式函數、圓錐曲線等方面的 迷思概念方面,的確是個不錯的選擇,值得教師們參考實施。 -27-.

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