第三章 研究方法
第五節 研究限制
本研究僅以台中地區某一所公立高中的高三106 位學生作為研究的樣 本，由於樣本數比較少，因此本研究所得的結論或許只能推論到相同地區且 類似條件的樣本而已(本研究之對象，入學成績是國中基測分數為 380 分以 上(舊制 260 分以上)(PR 值 89 以上)，至於本研究的結果是否能推論到其他 地區或不同條件(或程度)的學生，則有必要採取較保留的態度，惟可以作為 全國各地區的高中學生參考之用，並有待其它地區的研究者作更精闢、更精 準的研究。
2. 分兩次施測，擔心無法真正瞭解學生的錯誤概念的真實性：
由於本研究是在探討高中生在『複數概念、複數的四則運算、複數平面、
複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式乘除法及其幾何意義 、棣美弗定理、複數的n 次方根及複數的 n 次方根之幾何意義』的問卷試題 ，因此問卷題目多達 16 大題，82 小題之多，為恐施測學生無法一口氣花 100 分鐘的時間，耐心地、認真地來填寫這份問卷，而無形中產生無效問卷的 疑慮，經過與指導教授討論後，採用分二次時間來施測，分別是99 年 11 月 4 日(星期四)、99 年 11 月 8 日(星期一)來實施，雖然施測時學生專心填寫 自己的問卷試題，沒有不當的作答行為，研究者也在教室與班級導師監督 考試，原則上作答狀況相當安靜與用心，但兩次施測中間有間隔空檔時間 ，會不會有少數的學生刻意利用時間再一次去複習有關『複數概念、複數的 四則運算、複數平面、複數絕對值及其幾何意義、複數的極式、複數的極式 乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的n 次方根及複數的 n 次方根之幾 何意義』的教材內容，再來作第二次施測也說不定，只是因為這份問卷一 開始已向學生表明是作研究之用，也沒有配分，更不算學期成績之用，因此 研究者相信上述的疑慮是多餘的，但惟恐仍難避免，故特此加以說明。
3. 少數學生問卷作答情形不完整，一些問題的分析稍欠準確性：
雖然向學生表明儘量寫出自己所知、所想，不要有壓力，而且不算成績，
寫對、寫錯都沒有關係，也巡視學生做學生作答情形，發現學生都很認真、
用心地在填寫問卷，絕大部份學生(92﹪以上)都能照著研究者意思全部作答 完，不管對與錯都詳細填寫這82 小題內容，但還是有極少數學生對某些問 題或不懂或沒有印象而留下空白，因而對某些小題的資料統計多一些空白未 作答的人數，雖然空白也表示不會、不懂，但若能再思考題目內容之後，得 到自己作答結果的話，總比留著空白來得有利於本研究目的之分析、判斷，
這是美中不足之處，所幸仍有大多數學生，對問題提供想法，使得研究者能 從中了解此題該生當下的問題，另外研究者也有安排晤談時間，晤談的間約 8-12 分，針對問卷試題提問學生的作法、想法，但無法一一針對那麼多問題 來與學生探討，雖然也都從中了解到關鍵原因，但某些題目卻無法完全呈現 學生的思路歷程，因而某些資料的蒐集、彙整較為不易，而必須訪談更多學 生才能更清楚呈現該問題的核心所在，但訪談人數畢竟有限，無法做到106 位學生都訪談，殊屬可惜之處。
4. 晤談時間受限制，惟恐資料蒐集不夠完整、詳細：
完成兩次的問卷試題測驗後，研究者將受測學生的作答情形作分類統 計，依並作答詳細但錯誤概念較多的學生當中，挑選20 學生作為晤談的對 象，但因目前高三學生面臨學測與期末考的雙重課業壓力，並不是只要溫習 數學這一科而已，當然研究者不能佔用學生很多時間來詳細地作晤談，且晤 談時間只能挑午修(睡)時間或向任課老師借學生出來晤談，且於晤談過程 中，學生多半對於其原先作答的過程與想法印象略為模糊，所以晤談前先挑 選8～12 題該生錯的比較多的部份作為晤談的題目，並請問學生這一題為何 要這樣作？為什麼那一題會有這樣的想法、運算？都會請學生作說明，再根 據學生的回答內容再提出其它類似問題加以延伸，並瞭解學生在『複數單元』
的解題策略賓與思維，從中找出產生錯誤概念的潛在原因。
第四章
資料研究結果之報導與分析 本章主要呈現本研究得到的結果，並做進一步的分析與探討、建議。全章共 分為四小節，第一節為高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複 數絕對值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤類型及其原因之分析，第 二節為高中學生對『複數的極式乘除法及其幾何意義、棣美弗定理、複數的n 次 方根及複數的n 次方根之幾何意義』學習的主要錯誤類型及其原因之分析，第三 節為『對20 位高三學生實際進行晤談有關複數瞭解情形之錯誤概念分析』，第四 節為探討『如何避免及改善學生在學習複數單元時會產生的錯誤概念』。研究者先利用編製的「複數瞭解情形」開放性問卷試題，針對 106 名高三學 生進行二次施測，並統整、分析、歸納所有受測學生答題的情形、想法，從作答 資料中來發現學生在學習複數單元時可能犯的哪些主要的錯誤類型，並依錯誤類 型發生的情形，來研判學生產生錯誤的原因分析。
為求詳實，問卷統計結果與分析分成兩階段來報導，其中以問題 1～問題 11 為第一節作分析報導，而問題 12～問題 16 為第二節作分析報導。
第一節 高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、
複數絕對值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤
類型及其原因之分析報導
以下將報導研究者對 106 位學生，針對「複數瞭解情形」問卷試題作施測
，首先探討 『高中學生對『複數概念、複數的四則運算、複數平面、複數絕對 值及其幾何意義、複數的極式』學習的主要錯誤類型及其原因之分析』。
本報導將採用：一個問題搭配統計結果之百分比來呈現，因為每一個錯誤類 型常出現在不只一個選項，因此本研究將規範：若一個學生有選其中50 ﹪以上
（含50%）的錯誤選項類別，我們就認定該生有犯此種錯誤類型。而當一個 錯誤類型的答錯率有超過15 ﹪(不含 15 ﹪) 的受測學生時，我們就把此錯誤類
型認定為主要的錯誤類型。
以下是『複數瞭解情形』開放性問卷試題，統整 106 位高三學生從第 1 大題 到第11 大題之各小題作答結果之統計表，本研究將從這份問卷中，整理、分析、
研判學生的錯誤概念與錯誤類型，呈現每一小題的答錯率報導，研究者並針對每 一小題提出產生錯誤概念的可能原因，以及訪談、相關論文做佐證；以下將逐題 報導學生作答情形之統計結果並列表，詳細分析如下：
答案與想法：
1）□ 沒有 □ 有 ， 是 。 讓我想想看？
想法：
2）□ 沒有 □ 有 ， 是 。 想法：
問卷 第 1 題之(1) 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 2 12 3 5 3 25
女生人數 8 49 13 8 3 81
合計人數 10 61 16 13 6 106 男生百分比 8.0﹪ 48.0﹪ 12.0﹪ 20.0﹪ 12.0﹪
女生百分比 9.9﹪ 60.5﹪ 16.0﹪ 9.9﹪ 3.7﹪
全體百分比 9.4﹪ 57.5﹪ 15.1﹪ 12.3﹪ 5.7﹪
答錯率 87.7 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率高達87.7 ﹪，這個比例算是相當高，可見學 生對抽象的虛數單位i 的概念容易產生混亂不清的現象，從學生的問卷作答情形 及訪談內容顯示：這些學生是不清楚虛數單位 i 的定義，所產生的認知錯誤概 念，因此我們研判學生對“對虛部的認知概念錯誤＂，從原始施測學生中得知
沒有 有(6i) 有(10＋6i) 有(6) 有(其它) 合 計
◎問題 1 想想看下列的數有虛部嗎？如果有，是多少？
1） 3＋(6－7i)i 2） －2i＋5＋2i
57.5﹪有去做化簡的運算，而且把運算結果也算出來為 10＋6i ，但作答結果卻 寫6i ，可見這些學生在這題的運算、化簡上是沒有問題的，只是在作答時竟然 也把虛數單位i 也把它抓進來了，因而產生錯誤的概念！因此本研究認為學生會 產生這個錯誤概念的可能原因是：
不了解複數的虛部定義，不了解 i 是虛數單位，因此有看到 i 出現就 認定整個就是虛部，沒有看到 i 就認定沒有虛部。
問卷 第 1 題之(2) 選項判別分類 統計總表 選 項
人 數
男生人數 18 3 0 2 2 25
女生人數 70 2 1 3 5 81
合計人數 88 5 1 5 7 106
男生百分比 72.0﹪ 12.0﹪ 0.0﹪ 8.0﹪ 8.0﹪
女生百分比 86.4﹪ 2.5﹪ 1.2﹪ 3.7﹪ 6.2﹪
全體百分比 83.0﹪ 4.7﹪ 0.9﹪ 4.7﹪ 6.6﹪
答錯率95.3 ﹪
本小題全體受測學生的答錯率高達95.3 ﹪，這個比例更高，因此我們研判 學生也是對“對虛部的認知概念錯誤＂，從原始施測學生中得知83.0 ﹪有去做 化簡的運算，而且把運算結果也算出來為5，可見這些學生在這運算上是沒有問 題的，只是在作答時竟然跟第(1)小題的想法差很多( 因為只有 4.7﹪的學生認為 虛部是0 i )，而絕大多數學生以為 －2i＋5＋2i ＝5 ，虛數單位 i 消掉了，沒有 了，因此認為『沒有虛部』，因而產生錯誤的概念！本研究認為學生會產生這個 錯誤概念的可能原因是：
不了解複數的虛部定義，不了解 i 是虛數單位，因此有看到 i 出現就 認定整個就是虛部，沒有看到 i 就認定沒有虛部。
根據林晁熙(2008)的研究，提到學生對複數概念方面的錯誤類型中有一項就 是：不了解複數的虛部，不了解 i 是虛數的單位。
以下提出研究者與學生訪談關於這一大題學生的想法或作法情形供佐證： 沒有 有(0i) 有(5＋0i) 有(0) 有(其它) 合 計
訪談實錄： 受訪學生編號 SH001 (女) 老師：為甚麼妳認為 (1) 3＋(6－7i)i 的虛部是6i 呢？
而 (2) －2i＋5＋2i 沒有虛部呢？
學生：因為把它展開得到3＋6 i－7i 2 ＝3＋6 i＋7 ＝10＋6 i ， 所以虛部 就是 6 i 嘛！ 而 －2i＋5＋2i ＝5 ，所以沒有虛部。
老師：可是正確答案 (1) 是 6 而已 (2) 是 0 。 學生：為甚麼？(感到驚訝又好笑！)
老師：因為虛部是指 i 的係數而已， i 不算在內，所以虛部是 6 。 所以第 (2) 題 －2i＋5＋2i ＝5＋0i ， 所以虛部是0 才對。
所以妳這兩題全錯耶。(學生苦笑！)
學生：是喔，我不知道耶！謝謝老師說明，我知道了。
訪談實錄：受訪學生編號 SH004 (女) 老師：請問：3＋(6－7i) i 有沒有虛部？若有，是多少？
訪談實錄：受訪學生編號 SH004 (女) 老師：請問：3＋(6－7i) i 有沒有虛部？若有，是多少？