模糊分析層級程序法(Fuzzy Analytic Hierarchy Process; FAHP)

Zadeh 認為模糊理論可適當的代表語意變數，並能夠於不確定的情況下把語意 變數轉換為模糊值來計算，故 Zadeh 的模糊理論可解決傳統無法解決的不確定性問 題。而Buckley (1985)認為層級分析法於因素評估上，因主觀判斷的語意描述被對應 至精確的數值，而忽略語意描述的模糊性，因而提出模糊分析層級程序法。模糊分析 層級程序法結合模糊理論與分析層級程序法，以反映真實之情境。Buckley 將 AHP 的成對比較值加以模糊化，用順序尺度來表示兩兩因子間相對重要程度，以解決數字 比率的成對比較值過於主觀的缺失。

步驟二：建立成對比較矩陣

在每個構面衡量下，利用語意變數表達每位專家對於兩兩準則相對重要性的評估 值，依問卷調查結果建立成對比較矩陣，將衡量結果，置於矩陣的上三角部份，而下 三角部分是上三角部分相對位置數值的倒數，故建構出公式(1)之成對比較矩陣。

步驟三：將成對比較矩陣轉換成模糊成對比較矩陣

以正三角模糊數來表式原始的成對比較矩陣之語意變數，如表 8 所示，

Pedrycz(1994)認為最適合判斷層級結構中各構面、準則的相對強度為三角模糊數，三 角模糊數為1^~~9^~，而其模糊數倒值為 如表8，並把傳統的成對比較矩陣轉換 成模糊比較矩陣(Buckley,1985)。假設三角形三個點為(l, m, u), 則模糊成對比較矩陣如 圖5。

~  A

12 12 12 1n 1n 1n

12 12 12 2n 2n 2n

1 (l , m u ) (l m u ) (1/u 1/m 1/l ) 1 (l m u )







1n 1n 1n 2n 2n 2n

(1/u 1/m 1/l ) (1/u 1/m 1/l ) 1

 

 

 

 

 

 

  

 圖 5 模糊成對比較矩陣

表 8

語意變數之模糊數尺度表

語意變數 傳統

AHP

模糊數 (l,m,u)

模糊數倒值 (1/u,1/m,1/l)

非常重要(絕強) 9 (8,9,9) (1/9,1/9,1/8)

~ 8 (7,8,9) (1/9,1/8,1/7)

很重要(極強) 7 (6,7,8) (1/8,1/7,1/6)

~ 6 (5,6,7) (1/7,1/6,1/5)

比較重要(頗強) 5 (4,5,6) (1/6,1/5,1/4)

~ 4 (3,4,5) (1/5,1/4,1/3)

稍為重要(稍強) 3 (2,3,4) (1/4,1/3,1/2)

~ 2 (1,2,3) (1/3,1/2,1/1)

~ ~

1 ~ 1

1 9

步驟四：整合專家意見

模糊成對比較矩陣建立後，為了整合各決策專家模糊意見，Satty 認為在合理的 假設下，以幾何平均數作為整合專家意見之方式。當一位決策專家的判斷值為y，而 其他決策專家的判斷值為1/y，求取其平均值應為 1，而非[y + (1/y)] / 2，故在計算多 位決策專家之決策值時以公式(11)的簡單幾何運算求其均數(鄧振源、曾國雄)，較不 易受極端值影響。若第一位決策專家建立的模糊成對比較矩陣為A ，第二位決策專^~₁ 家建立的模糊成對比較矩陣為 2

A ，則第 K 位決策專家建立的模糊成對比較矩陣為~

~

A ，整合後可得最終矩陣k A ，整合後之三角模糊數為^~ a^~ij，則矩陣A 如下 ^~

















 ~ ~ 1

~ 1

~

~

1 1











n

n

a

a

A ,其中aij ⁿ aij aij2 a^~ijk

~ 1

~

~    (11)

步驟5：解模糊化

本研究之前所計算出之模糊數，最後還必須透過解模糊化，將此模糊數轉換為明 確的數值資料。而解模糊化的方法，本研究採重心法(Center of gravity)將計算求得之 模糊權重值予以解模糊化，得到一精確數值，即為國小優良教師評選因素評估之權重 值。設一個三角模糊數為A^~ij=(

l

m

, u

DF

3 (12)

) (

)

(u l m l l DF_ij ^ij ^ij  ^ij ^ij  _ij



步驟六：特徵值與特徵向量之計算

以行向量平均值的標準化方式求取特徵值(簡禎富，2005)，首先各行元素以該行 元素之加總為分母作為標準化，再將各列標準化後之元素和除以各列元素總個數，如 公式(4)。

步驟七：一致性檢定

建立每位決策專家成對比較矩陣後，為判斷決策是否能夠前後一致，則必須進行 一致性的檢定。而計算一致性的表徵量稱為一致性比例(Consistency ratio,CR)，其定 義如式(5)，其中，CI(Consistency index;CI)為一致性指標，其定義如式(6)，而 RI(Random index;RI)為隨機指標其值隨矩陣階數之增加而增加(鄧振源、曾國雄，1989)，其相對 應之隨機指標值表，如表8 所示。Saaty 曾提出建議，若 CR 0.1 時，表示該成對比 較矩陣之評比值具有一致性，即評比結果才算是令人滿意可接受的，而層級的一致性 比率(C.R.H)就是將層級的一致性指標(C.I.H)除以層級隨機指標(R.I.H)。數學表示如式 (7)、(8)、(9)，若達到可接受的水準後，分析層級法最後的步驟則是整合各階層之因 素的相對權數，以求算整體層級的總優先向量，即代表各決策的相對優先順序。

步驟八：正規化

為比較各因子的重要性，需將每個準則所求得的權重數進行正規化，對本研究而 言，可得到國小優良教師評選指標的比例。正規化權重值的計算公式如(13)所示：

正規化權重值=



G ij

DF

DF (13)

步驟九：層級串連及因素排序

當各層級的評估因素符合一致性，並已算出每一因素的權重值後，則要進行層級 的串連。方法是將最下一層因素的權重乘上一層相關因素之權重，一路往上一層級進 行運算，當乘至第一層目標(頂層)後，所得之百分比，即為因素之整體權重值。

(二)優良教師選拔之評比運算

本研究設計「國小教師教學工作績效評估量表」(參見附錄 B)。參考莊仲寧 (2002)、胡緯翰(2007)的五等第評分法：未達 60 分為需要立即改善；60 分以上未達 70 分為欠佳；70 分以上未達 80 分為尚可；80 分以上未達 90 分為良好；90 分以上為 優秀。評分表設計採五等第「5、4、3、2、1」。將五等第評分模糊集合進行語意用辭 尺度的轉換(表 9)，再應用表 9 三角模糊數以幾何平均法整合專家的看法，運用模糊 數學運算受評教師教學工作績效評估值及評等，再以重心法解模糊，進而算出數位評 審教師對每位受評教師各指標的明確值。

表 9

語意尺度轉換表

語意用辭 5 4 3 2 1

三角模糊數 (85,95,100) (75,85,95) (65,75,85) (55,65,75) (45,55,65)