第二章 文獻探討
2.3 失效模式與效應分析
2.3.4 模糊失效模式與效應分析
一、模糊理論
模糊理論的提出是在1965 年，由加州大學柏克萊分校的 L.A.
Zadedh【22】教授首度發表模糊集合（Fuzzy sets）的觀點，引出了隸屬 函數的觀念，以處理語意中認知差異的傾向性。模糊理論建構在模糊集 合的基礎上，為了解決現實環境中普遍存在模糊現象，而發展出的一種 定量表達工具，主要是用來表達某些無法明確定義之模糊性概念。模糊 集合理論把傳統數學從二值邏輯的基礎擴展到連續多值，主要是在處理 不確定性與模糊性之資料，並積極的將其數值化進行嚴密的處理。
(一) 模糊數：所謂集合(set)是由一些具有某種共同性質的事物所彙整而 組織，其中歸納一群具有相同特徵事物的工具。用來表達明確事物 為主，並區分成『傳統集合』或『明確集合』或『Crisp 集合』稱之，
以便和『模糊集合』或『Fuzzy 集合』相對應。
(二) 隸屬函數：為 Fuzzy 之最基本概念，透過隸屬函數才能對 Fuzzy 集 合進行量化，也才有可能利用精確的數學方法去分析和處理模糊性 資訊。一般之模糊推論的過程如下圖2.3 所示。
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圖2.3 模糊推論的過程 資料來源：【5】
二、模糊數表示方法
在模糊數學中歸屬函數是描述模糊性的關鍵，當解決實際問題時，
首先是要確定歸屬函數。因此，常見的模糊數表示方法有兩種，分別為 三角模糊數(Triangular-shape fuzzy number)及梯形模糊數(Trapezoidal Fuzzy Number)，用於決策性最常見的是梯形模糊數。
(一) 三角模糊數
將此三角型模糊數以A=(a1,a2,a3)來表示，則三角型模糊數之 左端點(a1)，中心點(a2)，右端點(a3)，它的歸屬函數可定義為公 式(2.1)，其形狀如圖 2.4 所示。
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
≤
−
−
≤
≤
−
−
<
=
3 3 2
2 3 3
2 1
1 2 1
1
, 0
, ) (
/ ) (
, ) (
/ ) (
, 0
)
(
a x
a x a a
a x a
a x a a
a a x
a x
A x
μ
… ………(2.3.4.1)規則庫
前題部份 結論部份
模糊關係R
合成演算
結論B’
事實A’
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圖2.4 三角模糊數 (二) 梯型模糊數
梯型模糊數又稱為台型模糊數，以A=(a,b,c,d)來表示，其模 糊數的歸屬函數定義可以表示成公式(2.2)，其形狀如圖 2.5 所示。
.(2.3.4.2) ……
圖2.5 梯型模糊數 1
a b c d
( )
xμA
0 x
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
− ≤
−
≤
≤
≤
− ≤
−
<
=
d x
d x d c
c d x
c x b
b x a a
b a x
a x
A x
, 0
, , 1
,
, 0
μ
1
a1
( )
x μA0
a3
a2
x
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三、模糊數的四則運算
Yager【21】提出的模糊數比較大小的方法中，介紹了模糊數的加法 運算原則，Chen 【14】、Kaufmann 和Gupta 【17】說明的模糊數運算 原則，直接使用兩個梯形模糊數做計算，計算的結果不會改變模糊數本 身的性質，但卻大幅減化模糊數的運算難度。三角型模糊與梯型模糊數 一樣，可以如下定義加法、減法、乘法與除法等，以下為模糊數的四則 運算方式：
假設兩個模糊數分別為：A=(a1,a2,a3)，B =(b1,b2,b3) (一) 模糊數加法運算：
) ,
,
(a1 b1 a2 b2 a3 b3 B
A⊕ = ⊕ ⊕ ⊕
(二) 模糊數減法運算：
) ,
,
(a1 b1 a2 b2 a3 b3 B
A− = − − −
(三) 模糊數乘法運算：
) ,
,
(a1 b1 a2 b2 a3 b3 B
A⊗ = ⊗ ⊗ ⊗
(四) 模糊數除法運算：
) ,
,
(a1 b1 a2 b2 a3 b3 B
A÷ = ÷ ÷ ÷
四、解模糊數
在模糊理論的運用當中，模糊化及解模糊化是兩個重要的部分。模 糊化(Fuzzification)是將明確集合轉換為模糊集合的過程，在模糊化的過 程中，最常使用的方法為直覺法，也就是透過語意的描述以及問題的前 後關係，建立隸屬度函數。解模糊化(Defuzzication)是將一個模糊集合轉 換成一個明確值，用以表示此一集合的特性。研究學者對於解模糊均曾 提出不同方法，其中Hellendoorn和Thomas【15】提出六種解模糊化的方 法，其說明如下：
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(一) 重心法（Center of Area/ Gravity）：計算出模糊集合面積的重心值，
做為解模糊化的值。
(二) 面積和中心法（Center of Sums）：其分母為分別求取各個模糊集合 的面積後加總，分子也以類似的方法求取各個面積總和，。
(三) 高度法（Height）：以模糊集合的各個高度做為權數，與每個中心點 的值相乘，做為解模糊化的方法。
(四) 最大面積中心法（Center-of-Largest-Area）：選取最大面積之凸形模 糊集合，然後僅計算此模糊集合之解模糊化值。
(五) 第一個最大值法（First-of-Maxima）：以模糊集合的第一個最高點作 為解模糊化的值。
(六) 最大值之平均值法（Middle-of-Maxima）：以第一個最大值與最後一 個最大值的解模糊化值取平均數。
因此，由上述方式可得到以下的結論，在決策過程中專家評估值以語意 變數表達，乃是較合理且一般性的表示方式，而且藉由模糊數的隸屬函數可 以適度地表達每位專家偏好判斷之變化情形，在時間與成本上更具經濟效 益，故對於專家知識，經由模糊理論的處理更具客觀理性。本研究並利用模 糊理論加以定量化，以梯形模糊數來表示，並且也較合乎需求。
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