分析討論假設之前，為了解樣本資料的分配型態，先進行樣本基本統計量分 析。研究資料選取區間為 2002 年 07 月 01 日至 2007 年 10 月 31 日，計 1393 筆資 料。指數現貨的價格為 SPX 指數每日的收盤資料；於 S&P 500 指數期貨部分，則 以 CME 之 S&P 500 指數期貨每日的結算價為統計樣本。另外，由於 S&P 500 指數 期貨商品交割月份分別為三月、六月、九月及十二月，為去除遠期合約不頻繁交 易的影響、以及常見於期貨合約到期時的價格跳躍不連續現象，本研究以次近月 合約之每日結算價為樣本。資料來源主要由芝加哥選擇權交易所以及芝加哥商品 交易所取得。基本敘述統計資料整理於表 4-1。
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表 4- 1 S&P 500 指數現貨與指數期貨價格及相關報酬統計
資料來源：CBOE (http://www.cboe.com/)、CME (http://www.cme.com/)、本研究整理
資料區間：07/01/2002 至 10/31/2007 註： ***代表於 1%的顯著水準呈顯著
其中 JB 為 Jarque-Bera 常態分配檢定；ARCH 為 Engle (1982)的 Lagrange Multiplier 檢定序列是否存在條件異值變異性；
Q(20)為 Ljung and Box (1978)所提出的 Q 檢定以檢定報酬序列之線性跨期相依性(intertemporal dependencies)；
ADF 與 PP 分別為 Augmented Dickey-Fuller 檢定與 Phillips-Perron 檢定，以檢定時間序列是否為定態性質
平均值 標準差 最大值 最小值 偏態 峰態 JB ARCH Q(20) ADF PP
現貨價格 1180.23 191.48 1565.15 776.76 0.003074 2.2637 -0.2369 0.0057
期貨價格 1183.24 194.90 1576.20 777.80 0.016683 2.2413 -0.2494 -0.0142
現貨報酬 0.0033% 0.961% 5.5732% -4.2423% 0.1216 6.7014 795.21*** 209.5*** 35.953 -40.012*** -40.416***
期貨報酬 0.0033% 0.955% 5.7549% -4.2821% 0.0871 7.1605 1002.12*** 207.2*** 31.566 -39.261*** -39.730***
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4.1.1 統計資料說明
觀察表 4-1 之基本敘述統計資料可以發現指數現貨與指數期貨兩市場均呈現右偏分 配趨勢；現貨價格與期貨價格峰態係數皆小於 3，表示較常態分配更為低闊；於指數報 酬率部分，其峰態係數皆顯著大於 3，表示兩市場報酬率的抽樣分配存在高狹峰分配的 現象，符合 3.6 節對於經濟與財務時間序列資料具有高狹峰分配之論述。為確認資料序 列的分配型態，再進一步以 Jarque-Bera 檢定對序列是否呈現常態分配加以檢定，由表 4-1 欄 JB 中可以發現兩市場報酬率序列即使於 1%的顯著水準下仍拒絕常態分配的假設，
此部分的實證結果支持研究中使用 t-distribution 配適樣本資料的適當性。
4.1.2 序列穩定性與共整合檢定
序列是否為定態，將影響計量模型的統計效度。而序列是否具有非定態性質，初步 可藉由觀察序列之排列態勢判斷，圖 4-1、圖 4-2 為 S&P 500 指數現貨與指數期貨在樣 本取樣空間走勢圖，由圖中可以發現兩市場價格序列在時間趨勢下呈現線性上漲的型態，
表示此二序列可能不為定態序列8。進而針對兩價格序列採取 Augmented Dickey Fuller (ADF)單根檢定與 Phillips-Perron (PP)單根檢定。檢定結果(表 4-1 欄 ADF、PP)顯示無法 拒絕價格序列具有單根的虛無假設，表示指數現貨與指數期貨非為定態序列。因此，必 頇將資料以差分處理，以求序列穩定性，對於價格資料取一階差分亦即探討指數價格差
8 資料序列敘述統計性質隨時間變化，違背定態序列假設。
33 跨期線性相依性(intertemporal dependencies)，結果發現現貨報酬以及期貨報酬序列皆不 具有自我相關的特性。
圖 4- 1 S&P 500 指數現貨走勢圖 資料來源：CBOE (http://www.cboe.com/)
註：樣本區間 2002/07/01 至 200710/31
圖 4- 2 S&P 500 指數期貨走勢圖 資料來源：CME (http://www.cme.com/)
註：樣本區間 2002/07/01 至 200710/31
2003 2004 2005 2006 2007
700
2003 2004 2005 2006 2007
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4.1.3 序列共整合檢定
確定指數現貨報酬率與指數期貨報酬率皆為一階之同階定態後，進而以 Engle Granger 二階段共整合檢定程序探討序列之共整合性質。根據表 4-1 判斷兩市場的相依 性，假設兩價格序列之間共整合關係(式 3.1)：
0 1
t t t
f s e
其中：
𝑓𝑡 : S&P 500 指數期貨價格對數值，t 表示第 t 期結算價格；
𝑠𝑡 : S&P 500 指數現貨價格對數值，t 表示第 t 期收盤價格；
利用最小平方法估計序列{𝑒𝑡}後，以 ADF 單根檢定及 PP 單根檢定殘差項是否存在 有單根性質，檢定結果如表 4-2，實證顯示迴歸殘差於 1%的顯著水準下顯著拒絕具有單 根之虛無假設，表示序列{𝑒𝑡}為定態變數，確認序列 {𝑓𝑡}、{s𝑡}之間存在有共整合現象，
共整合向量(1, −𝛽0, −𝛽1)，共整合向量估計值整理於表 4-3 Panel A。
表 4- 2 迴歸殘差項單根性質檢定
資料來源：本研究整理
註：本表對於迴歸殘差項進行單根檢定，虛無假設為檢定序列存在單根效果
***代表檢定參數於 1%的顯著水準呈顯著；Prob.為 P-value
t-Statistic Prob.
Augmented Dickey-Fuller 檢定 -7.336*** 0.0000 Phillips-Perron 檢定 -25.896*** 0.0000
(3.1)
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4.1.4 條件異質變異性（ARCH 效果）
證明指數現貨報酬與指數期貨報酬具有共整合性質後，針對序列資料是否具有條件 異質變異性進行 Lagrange Multiplier (LM)檢定(Engle, 1982)，LM 檢定對於各期條件變異 數進行相等性檢定，若各期條件變異數不存在異質性，則表示原序列資料不存在 ARCH 效果；反之，若拒絕各期條件變異數相等的虛無假設，則原序列資料存在 ARCH 效果，
故於設定實證模式時，除了以向量誤差修正模型探討兩市場報酬率之變化情形外，應使 用 ARCH 模式探討二階動差之異質變異現象，以正確反應資料之時間特性。
ARCH 效果檢定結果如表 4-1 欄 ARCH，檢定結果 S&P 500 指數現貨報酬與指數期 貨報酬 ARCH LM 檢定值分別為 209.5 及 207.2，兩者於 1%的顯著水準下皆拒絕不存在 條件異質變異性的假設。至此，研究已確認指數期貨與現貨價格序列具有共整合關係，
且一階差分後之報酬序列存在有條件異質變異性，因此，可採用向量誤差模型，及具有 誤差修正項之 EGARCH 模式進行統計量估計檢定。
基於有效檢定力與研究目的為原則，在落遲項的選擇同時以 Akaike info criterion10 (AIC)與 Schwartz Bayesian information criterion11 (SBC)指標以及模型對於研究目的解釋 能力合併考慮，選擇最適落後期數為兩期進行實證研究，實證結果將於 4.3 節進行討論。
其中，AIC 與 SBC 皆為殘差的函數，因此兩指標皆以數值越小為模型預測力判斷準則。
10 Akaike info criterion： 𝐴𝐼𝐶 = 𝑇 × 𝑙𝑛 𝑆𝑆𝐸 + 2𝑘
11 Schwartz Bayesian information criterion： 𝑆𝐵𝐶 = 𝑇 × 𝑙𝑛 𝑆𝑆𝐸 + 𝑘 × 𝑙𝑛(𝑇) 其中：T 為樣本總數，SSE 為殘差平方和，k 為待估計參數總數。
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