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機率擬題品質的進展

第四章 研究結果

第一節 機率擬題品質的進展

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類別 版本 樣本數 平均數 標準差 t 值 p 值

V1 對 V2

V1 57 5.6842 .82717

-.866 .390 V2 57 5.8070 .78918

V2 對 V3

V2 59 5.8136 .77625

-1.587 .118 V3 59 5.9661 .26038

V1 對 V3

V1 58 5.6897 .82093

-2.178 .034*

V3 58 5.9310 .36812 生活性

類別 版本 樣本數 平均數 標準差 t 值 p 值

V1 對 V2

V1 57 3.8246 1.32453

-.651 .517 V2 57 3.9298 1.46214

V2 對 V3

V2 59 3.8983 1.50511

-.772 .443 V3 59 4.0000 1.43839

V1 對 V3

V1 58 3.8276 1.31306

-1.589 .117 V3 58 4.1034 1.37253

精緻性

類別 版本 樣本數 平均數 標準差 t 值 p 值

V1 對 V2

V1 57 2.7018 2.05257

-1.560 .125 V2 57 3.0877 2.00250

V2 對 V3

V2 59 3.1525 1.93706

-2.915 .005*

V3 59 3.6271 1.83734

V1 對 V3

V1 58 2.6897 2.03657

-3.194 .002*

V3 58 3.5517 1.91185 機率概念層次

類別 版本 樣本數 平均數 標準差 t 值 p 值 (續下頁)

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V1 對 V2

V1 57 2.2982 1.38828

-1.479 .145 V2 57 2.5614 1.37604

V2 對 V3

V2 59 2.6610 1.42163

-2.188 .033*

V3 59 2.8644 1.45576

V1 對 V3

V1 58 2.3621 1.45937

-2.382 .021*

V3 58 2.7931 1.42359

一、 機率擬題品質分析

從表 5 的結果顯示,「可解性」的「V2 對 V3」與「V1 對 V3」已達到統計 上的顯著差異( p = .000 < .05;p = .000 < .05 );「可讀性」的「V1 對 V3」已達到 統計上的顯著差異( p = .034 < .05 );「精緻性」的「V2 對 V3」與「V1 對 V3」

已達到統計上的顯著差異( p = .005 < .05;p = .002 < .05 );「機率概念層次」的「V2 對 V3」與「V1 對 V3」已達到統計上的顯著差異( p = .033 < .05;p = .021 < .05 )。

然而在「生活性」方面,其三個類別 V1 對 V2、V2 對 V3 及 V1 對 V3 的 p 值皆 大於顯著水準 .05,是唯一其三個類別皆無達到顯著差異的向度。

從表 5 的統計結果顯示,學生於自由擬題活動中,其「可解性」、「可讀性」、

「精緻性」及「機率概念層次」的顯著差異可說明,其擬題品質經過三次的修改 歷程品質都有向上提升的改變。

1. 各向度的擬題表現

本次擬題活動經歷三次版本的修改,其分別為第一版本 V1、第二版本 V2 及第三版本 V3。接著,根據機率擬題品質評量規準各自對三次版本的擬題修改 進行五種向度的評分,五種向度的滿分均為 6 分。在「可解性」、「可讀性」、「生 活性」及「精緻性」方面,若評分分數越高,則表示學生擬題的品質愈加完整,

反之則不理想。由於「機率概念層次」的評分是以數學概念層次的堆疊為依據,

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因此評分分數愈高,則表示學生機率概念的思維層次愈高,反之則低。

為了解學生在機率擬題活動的前後表現,研究者以第一版本 V1 及第三版本 V3 分別代表擬題過程前後的表現。由表 5 的五種向度類別之中,V1 對 V3 的描 述型統計可知,平均數的差異( V3 − V1 )均為正數,亦即 V3 的平均數均高於 V1 的平均數。接著將達顯著的向度之平均數差異,由高至低排序分別為「可解 性」(1.2931)、「精緻性」(0.8620),「機率概念層次」(0.4310) 及「可讀性」(0.2413)。

因此由平均數差異可知,學生經歷三次的擬題修改,一題多磨,在擬題表現 上有不錯的成長,也表示每一次的修改都有進步空間能使學生發揮。其中,平均 數差異最高的為「可解性」( 1.2931 ),除了考量原因為專家在歷程中有兩次介入 的觀念澄清外,題目的修改歷程能使學生對數學問題的可解意識越來越清楚。而 平均數差異最低的「可讀性」( 0.2413 ),並不代表學生在歷程的前後表現不夠起 伏,該值得注意的是第一版本 V1 (5.6897)與 V3 (5.9310)的平均數本身就已接近 滿分 6 分。這說明國三的學生本身就已有相當的程度,能對題目做清楚的描述與 呈現。

接著,為了解學生對擬題初步思考的表現為何?我們將兩次版本的平均數由 大至小作排序,V1 版本依序為「可讀性」、「生活性」、「可解性」、「精緻性」及

「機率概念層次」; V3 版本依序為「可讀性」、「可解性」、「生活性」、「精緻性」

及「機率概念層次」。

上述情況顯示,學生對於擬出題目的思考,一開始注重在「可讀性」與「生 活性」的書寫。除了反映學生的文字能力成熟外,對題目的關注為內容上的資訊 呈現,而這些資訊的題材都來自於學生的日常生活裡。而當擬題時間來到第三次

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的修改,「可解性」的排序來到第二順位。這說明自由擬題提供的題目修改歷程,

能使學生對題目的「可解性」意識更加清楚與重視。而好的題目之完結,不能只 看重題目形式的厲害,而是能否構成一道可行的問題為考量。

最後在「精緻性」與「機率概念層次」方面,兩次版本的平均數排序皆為向 度裡的倒數一二名。因為在「精緻性」的評量面向,評分依據是以構成機率題目 之性質與條件作為評量標準,所以在本次擬題活動並未提供機率的教學之下,學 生對「精緻性」的思考較為薄弱。因此評分分數並不高,同樣的說法與「機率概 念層次」相同。然而根據前述我們對平均數差異的說法,其五種向度皆有成長表 現來看。儘管「精緻性」與「機率概念層次」兩者向度的評分並不高,但學生是 能夠透過擬題活動的歷程,將機率的概念得到學習效果,有成長的表現進行。

2. 擬題字數表現

研究者使用機率裸測分數進行高中低分組,其結果如下表 6 所示。從表 6 可知,無論是高、中或低分組,在字數上皆有成長的趨勢,且由圖 5 長條圖的顯 示更為清楚見得增長。接著可以發現高分組在第三個版本 V3 的平均字數高於總 平均。中分組雖然在第二版本的平均字數出現高於總平均的情況,但到第三版本 V3 時,其修正至低於總平均。然而低分組雖然在第一版本高於總平均,但至第 三版本 V3 時,其修正至低於總平均。

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表 6

高中低分組-機率擬題字數平均 版本

分組

V1 V2 V3

高分組( n = 19 ) 80.50 99.83 128.16 中分組( n = 21 ) 80.19 104.47 113 低分組( n = 17 ) 87.88 98.47 106.35 總平均( n = 57 ) 82.85 100.92 115.83

圖 5 高中低分組-機率擬題字數

接著,為了解字數增加是否會影響題目內容的「可讀性」,如字數增加導致 用字多餘、漏掉關鍵字或增加敘述不合理情況,研究者根據「各向度的擬題表現」

可知學生在「可讀性」上的進展雖不多,但由於各版本平均數已接近滿分 6 分,

所以不論是高、中、低分組,學生題目「可讀性」的水平是一致的。下表 7 研究 者同樣根據裸測分數將「可讀性」進行高、中與低分組。

0 20 40 60 80 100 120 140

高分組 中分組 低分組

V1 V1 V1

V2 V3

V2 V2

V3 V3

V3 總平均 V2 總平均

V1 總平均

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表 7

高中低分組-可讀性 版本 分組

V1 V2 V3

高分組( n = 19 ) 5.56 5.91 6 中分組( n = 21 ) 5.77 5.64 5.88 低分組( n = 17 ) 5.76 5.89 5.90

然而,題目內容文字的長度,可影響讀者在腦中的資訊接收,進而影響內容 的轉譯與整合。根據表 7 的結果,高、中分組的學生在初始的表現,由於過去數 學概念及閱讀學習的累積,學生有能力將題目做出適當的修飾。而低分組的學生 雖然初給字數給得大,但在後兩次的擬題歷程修改,其表現皆在總平均字數之下,

表現甚至比高分組來得好。值得注意的是高分組於 V3 版本時,其平均字數量超 前其他組 10 個字以上。研究者認為高分組的學生,將修改歷程時間拉長,學生 逐漸會投入更多的心力來翻修題目,發展複雜的題目。但這樣的企圖心容易不小 心使得字數量大增,另外,從表 7 也可說明字數的增加,並不影響題目內容「可 讀性」的品質。

在下一段,我們將透過學生的擬題的翻修作為範例,並對擬題品質規準的各 向度做分析說明。

1. 可解性的進展與說明

以下我們選擇 A-13-V1 至 V3 作為「可解性」的例題範例,並以圖 6-1、圖 6-2 與圖 6-3 分別代表修改擬題的第一版本、第二版本與第三版本。

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圖 6-1 擬題單第一版 (A-13-V1)

圖 6-2 擬題單第二版(A-13-V2)

圖 6-3 擬題單第三版(A-13-V3)

在第一版本中(圖 6-1 ),能看到學生的擬題架構呈現古典機率的形式,並且

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使用抽取撲克牌做為發生可能事件的條件。但題中問到「走到第一條路的機率是 多少?」時,可以發現到本題問題點出現在學生缺少對母體事件的描述,導致題 目條件的缺失以致於機率樣本空間的不完整,使得無法作答。因此在擬題品質評 分上給予 2 分(題目大致完結。但條件有所遺漏,導致無法求解)。

在第二版本中(圖 6-2),古典機率的題幹依然不變。題目的改變只有調整、

增加抽牌事件的可能,如增加抽到牌號 4、5、6 與 10 的可能。但第二次版本的 修改與第一版本的情形相同,其缺少母體事件的條件敘述,因此無法成為完整的 古典機率問題。

最後的第三版本(圖 6-3),古典機率的題幹依然不變。但學生對母體事件的 處理,已做出明確的給予,如在題目下方的備註「※這副撲克牌只有 A、2、3、

4、5、6、7、8、9、10、J、Q 張」。可知本副撲克牌總共有 12 張,能建立出完 整的樣本空間,使得本題朝向古典機率類型架構更為精準。因此在擬題品質「可 解性」的評分給予滿分 6 分(是明確可解的數學問題)。

2. 可讀性的進展與說明

以下我們使用題號 A-19-V1 至 V3 作為「可讀性」的例題範例,並以圖 7-1、

圖 7-2 與圖 7-3 分別代表修改擬題的第一版本、第二版本與第三版本。

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圖 7-1 擬題單第一版(A-19-V1)

圖 7-2 擬題單第二版(A-19-V2)

圖 7-3 擬題單第三版(A-19-V3)

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在第一版本中(圖 7-1),題目的敘述「黑珍珠是白珍珠的 2

5 倍」與「請問他 的朋友被黑珍珠打中的機率比被白珍珠打中的機率多多少?」。前者缺少單位數 量上的名詞,如數量。而後者所提的「打中」,無法藉由上下文的敘述去尋找「如 何打中」的前因後果。因此上述的情況,形成對題意的不明確產生。接著,第二 圖 8-2)的狀況與第一版本相同。兩者皆在讀者進行閱讀時,因字句之間出現關鍵 字的描述遺失或缺漏,形成對題意的不明確產生。因此在擬題品質「可讀性」的 評分給予 4 分(缺少 2. 沒有漏掉內文關鍵字、詞的情況)。

在第三版本中(圖 7-3),顯而易見的是學生將題目內容、文句作大量的刪減,

簡化重點,但不失原本題意,解決前述情況並更為流暢,因此在擬提品質「可讀 性」的評分給予滿分 6 分。

3. 生活性的進展與說明

以下我們使用題號 A-35-V1 至 V3 作為「生活性」的例題範例,並以圖 8-1、

圖 8-2 與圖 8-3 分別代表修改擬題的第一版本、第二版本與第三版本。

圖 8-1 擬題單第一版(A-35-V1)

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圖 8-2 擬題單第二版(A-35-V2)

圖 8-3 擬題單第三版(A-35-V3)

「生活性」的三個版本(圖 8-1、圖 8-2、圖 8-3),皆以採購日常生活物品為 題材,又以買到壞掉的蛋一事點出本題的趣味性,貼近現實生活的一面。因此在 擬提品質「生活性」的評分給予滿足三項評分依據的滿分 6 分。自由擬題之一題 多磨的特徵在生活性的表現雖為亮眼,但生活素材的變化就較為單調,缺少情境 上與機率有關的轉折點。因此學生的擬題容易在題與題之間,或是版本之間,生 活一致性相同。

4. 精緻性與機率概念層次的進展與說明

以下我們使用題號 B-34-V1 至 V3 作為「精緻性」與「機率概念層次」的例 題範例,並以圖 9-1、圖 9-2 與圖 9-3 分別代表修改擬題的第一版本、第二版本 與第三版本。

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圖 9-1 擬題單第一版(B-34-V1)

圖 9-2 擬題單第二版(B-34-V2)

圖 9-3 擬題單第三版(B-34-V3)

在第一版本中(圖 9-1),由題意可知此題為古典機率的問題。學生清楚地呈 現「精緻性」上的評分依據「4.運算上的設計」,符合之細項為「①不需運算的 數學題目」;「5.條件上的設計」,其中細項為「①清楚地描述母體與事件的發生」。

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上述情況皆有明確的母體、事件描述及可計算之樣本個數,讓我們可不用經過特 別的運算求出解答為 3

20 。同時此題也具備單純古典機率問題的特徵,因此在「精 緻性」的擬題評分得到 4 分(八項中有其中二項符合);而「機率概念層次」的擬 題評分得到 2 分(客觀機率-古典機率)。

接著在第二版本(圖 9-2)與第三版本(圖 9-3)中,兩題的修改並無明顯地更動。

但與前者第一版本比較,後者加入三所高中的入學分發作為題型的變化。題目清 楚地說明該三所高中的入學情況、人數及班級的分配,且題目有提及隨機性及分 配的機會均等。因此題問「你被分到每個學校的十班七號的機率為何?」,在隨 機分配的機會均等下,分發至每所學校的事件凸顯出分配事件的獨立性。所以在

「機率概念層次」的擬題評分中得到 4 分(機率推論:獨立事件)。

然而在更進一步地觀察第二版本與第三版本,其實能發現本題有「條件機率」

的思維存在。從三所分發的高中作為可變動的條件依據,進而形成條件機率,改 變機率值。如我們可假設 A 為學生分發到金門高中的事件,B 為分到第 10 班的 事件,C 為分到座號 7 號的事件。在已知分到金門高中 10 班的機率為 1

20 ,意 即 P( B|A ) = 1

20 ,則學生能被分到金門高中且是 10 班的機率為 P( A ∩ B ) = P( B|A ) × P( A ) = 1

20 × 1

3 = 1

60 。依此類推,進一步的計算可得出學生能被 分到金門高中且為 10 班也是座號 7 號的機率為 P( A ∩ B ∩ C ) = P( (A ∩ B) ∩ C )

= P( C|( A ∩ B ) ) × P( A ∩ B ) = 1

30 × 1

60 = 1

1800 。因此在以取最高的概念層次 作為評分標準的原則之下,第二版本及第三版本的「機率概念層次」擬題評分,

將評分為 5 分(機率推論:條件機率)。

回到第二版本與第三版本「精緻性」的討論,題目評分思考方向延續著第一 版本的評分細項,並加入「8.題目具有至少 2 步驟。」為新的依據。因不管是要

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