結果討論

一. 數學自由擬題價值討論

1. 融入生活情境的價值

「生活性」的進展效力不高，但題目字裡行間的敘述，表現著學生對題 目類型的喜愛。我們可以看到學生對擬題與融入生活情境之運用相當踴躍，

且學生用來出題的素材很多，常見的有如電玩題材、體育相關、教室情境、

學校文化、電影情節、卡通動漫...等等，如以下 A-28-V1 的擬題範例，以電 玩為題材擬出題目「在全民槍戰十連抽可以抽到騎士的機率是多少？」。然 而，從研究結果顯示，學生擬題的「生活性」為達顯著，原因出在三次版本 的評量分數皆接近滿分，說明學生對此的表現並不差。而推論其原因出自於 學生對生活上的經驗成熟不多，以至於學生總是圍繞著相同的經驗打轉，換 句話說同學之間彼此生活層面性質一致性高，因此讓擬題的「生活性」於各 版本之間差異不見任何的起色。另外有趣的是，學生此番生活特徵的描述，

苦了研究者在研究過程中的分析。研究者與學生次之間文化產生的認知斷層，

除了對研究者來說相當有趣之外，也得深思熟慮學生的想法其中。但最後無 論擬題過程的何時，我們依然能再次了解到學生對題目的喜愛，是離不開從 生活層面上的帶入。而融入生活情境是有可助於提及學生的興致參與。

接著，機率作為擬題活動的主題而言，是屬於相當容易發揮的單元。機 率的課程較於其他課程顯得更為活用及應用，從國內的教科書編排，不妨也 可看出幾點的大同小異，如從硬幣、骰子、撲克牌等易見於生活情境中的發 現與引導，可見機率充斥者生活當中的重要性。然而，在相關的機率擬題研 究活動中，都使用結構或半結構的擬題類型進行，兩者擬題類型的自由度，

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落實於生活層面上的應用不易看出。而若要順著機率的思維層次前進，我們 該提到與生活面有強烈連結的「主觀機率」。已知主觀機率是來自觀察者的 自憑心證，進一步的說在想法與經驗上皆與生活面息息相關，屬於自發性的 認知。

最後，自由擬題是個不一樣的學習活動機會，再加上情境融入有助於思 考的論點，研究者認為自由擬題的另一項價值為學生端不僅能透過歷程來獲 得概念學習。教師端亦能活動中展現專業能力，精進向前。如研究者意識到 次文化的落差；如何在教學內容上，考量如何做起架構，賦予知識在其中。

2. 語文能力與數學連結的表達

「可讀性」的進展，說明數學與語文不再各分東西，而是彼此有著相互 的連結，喚起學生察覺對生活文化所蘊含的數學語言。與江家瑋 (2014) 研 究五年級學童擬題活動比較，將擬題時程拉長，題目文字品質相對能夠提升。

而本研究除了原有的擬題活動的歷程修改時間點外，另一時間點為學生從小 學階段進入到國中階段的期間，不僅是學校提供的語文課程，更透過年齡的 增長，生活經驗的見聞累積，是助於學生在語言表達上的想法的成熟進展，

因此從研究結果顯示，「可讀性」進展之表現，在於修題歷程的拉長，使得 品質上的累積。另外，如何表達想法的思緒，能透過擬題對語文和數學之間 的連結獲得加強。所以，不管是本研究結果統計分析上的小瑕疵，或許我們 該相信是有它價值存在的地方。

回到機率的課題上，對此的言語表達顯然較為不吃虧，為何？在緒論中，

我們提到機率作為一種語言於生活當中。常見的機率問題能從生活中發現，

無形的言語之中，能確立其條件的成立。相較於其他數學概念課程，譬如在

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函數的概念性質，抽象化的想法不易於學生對外部的連結，有不易於察覺的 限制存在。

再一次地說明語文表達融入價值，研究者就依上段所談的差異進行討論。

根據江家瑋 (2014) 的研究發現在國小階段的擬題活動，學生的用字、數字 大且冗長，不外乎是來增加難度來狀聲氣勢 (陳斐卿等人，2015)。對比到 國中生，此項擬題特徵依然得到保留。學生在字數上的經過每一版本的修改 都在持續地增加，但事實上根據擬題「可讀性」表現的結果，學生早已亦然 在作文的層次上顯出相當成熟的程度。因此修改的歷程變成了他們語文表達 的修正。以上這給了研究者一項啟示再次探討數學與語文連結的重要性，數 學表達並不是講出幾個數學重要的定義、定理，而是透過語言的表達，認識 到數學概念在於其中，數學也充滿了文字符號象徵，然而這不也從語言傳達 而來的嗎？

因此，不管是國小數學的研究主題，亦是現在國中機率課題，離不開的 是在這數學世界裡需要語文融入的重要性，而自由擬題的價值在「一題多磨」

的歷程，能正視到對於語言表達的意義與數學連結的奧妙。

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二. 機率思維的發展

在機率思維的發展上，學生有自發性的概念想法展出不同的機率層次。

在專家還沒介入的第一版本中，其機率擬題概念層次分別由多至少以「主觀 機率」、「客觀機率」及「獨立事件」排序。但這三種概念的層次，在國中現 行機率課程的編排，主觀機率的認識卻極為少談，皆以頻率機率的角度切入 為主，再根據多次試驗的結果來比較古典機率的想法，以上為國中正式課程 的機率概念教學。而另一項的發現為：未接受機率正式課程的九年級學生，

出現了像「獨立事件」的思維，而這思維的課程為高中階段的範疇。接著在 機率擂台賽中，在正式接受機率課程教導之後的學生，是有能力展現超前或 不是國中課程上的技術方式答題。

從研究結果顯示，學生初始擬題表現的機率思維在「主觀機率」與「古 典機率」兩者。隨著擬題時間的下去，「主觀機率」逐漸減少，相對的其他 機率層次的表現獲得提升，尤其是「獨立性」的思維。對學生而言，如何擬 出可行的題目，促使他們對條件的設計，產生賦予意義的想法。從結果來看

「可解性」、「精緻性」與「機率概念層次」一同進展之下，表現思維也功在

「可讀性」與「生活性」的架起。若進一步的說明自由擬題評量規準，除了 衡量擬題品質外，也是衡量學生的機率思維表達。

三. 學生解題的興趣與能力

從機率擂台賽得到學生對高中範圍的機率題目答題能力討論。高手區的 題目分類為高中課程的範疇，對國中九年級學生而言，解出問題成為他們的 挑戰，因此可培養學生對未知的數學問題的解題及興趣參與。另外，研究者 發現部分學生在「高手區」的答題內容上，能使用不是國中階段所學的技術 方法，以求解更高層次的機率問題，如樹狀圖、機率連乘方法。然而，學生

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的解題過程，經過問題的處理，需要透過回想來加以組織，若基礎的認識不 夠穩健，如研究結果發現學生對樹狀圖的意義與技術方法不當，則容易被後 續高階數學的處理遭到誤用，如生物提及的機率連乘方法。因此上述的情形，

在遇到正式的課程時，學生學習新的技術方法容易遭到混淆，或造成認知錯 誤的使用，亦或是課程領域的不協調，如七年級的生物題目在九年級的教科 書卻沒談起，這將導致學生在建構真正的概念想法時，與先前知識的處理產 生跳躍式的知識斷層。對學生的學習歷程而言，無法染上正確的學習成效。

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