第三章 研究方法
第三節 研究工具
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六. 機率擂台賽
本研究將學生擬題的第三版本作為擂台賽題庫之素材，並於機率擂台賽 當日展示於全九年級的學生。擂台賽活動時程選定九年級下學期的期末且會 考之後至田野學校舉辦，流程時間共 3 小時。除了鼓勵擬題者在這半學期的 用心與努力外，希望能將這份成果分享於全九年級的學生，一同挑戰擬題的 學習活動。題庫裡的題目將依照難易度由易至難分類為擬題區、新手區及高 手區，學生可以個人或小組方式進行題目的解答。活動結束後的隔一個禮拜，
研究者將依照參賽者答題最多、答對最多...等，及擬題者被選取最多次作答 的人氣獎，共 8 個獎項回到學校進行頒獎。
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一. 機率自由擬題品質評量規準
此評量規準乃基於數學與自由擬題之特質，並且整合機率概念層次，發展沿 用全新的機率評量規準。規準包含了五個向度，其分述如下：
1. 可解性：
主要評量題目是否完結、是否為數學問題、條件與訊息是否充足、是否可解、
題意是否清晰。
2. 可讀性：
用字明確、合理程度。主要評量是否有文字累贅、訊息多餘、漏掉內文連接、
關鍵字詞的情況。以及是否有不合乎常理、邏輯的數字與敘述。
3. 生活性：
題目題材的特殊性及與生活的連結程度。主要評量題目是否具有情境、是否 深入真實生活以及是否新奇、稀罕、跳脫課本形式。
4. 精緻性：
在「精緻性」的部分與江家瑋 (2014) 於國小五年級學童擬題研究比較，國小
「精緻性」的評分依據，多為數學的運算式子上精心設計的程度。然而，本 研究為國中九年級學生的機率擬題，為了能呈現出一道完整的機率題目樣貌，
除了保留國小基本的數學運算外，更增加專為機率題目所構成之要素：條件 上的設計，其中包含樣本空間、事件等描述。所以，如下表 2 中的「精緻性」，
國小與國中兩者的相同之處為保留基本之數學運算，有 1.題目需運算的數字 有經過設計、2. 有陷阱安排的設計、3.概念轉換、4.有運算上的設計、7.利用 圖示或表格輔助題目敘述、8.題目具有至少 2 步驟。相異之處為 5.條件上的設 計(事件、試驗設計等…)、6.樣本空間中有限集合的呈現。
5. 機率概念層次：
題目的數學概念之機率概念層次。主要評量題目所涉及的機率概念程度及對 機率的解釋。
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(1) 沒有機率
(2) 主觀機率 (subjective probability)：主觀機率是指一個事件發生的機率是由 人的生活經驗、心理狀態或相信程度所決定的。Ex:某運動選手在比賽前 自我評估的勝算。
(3) 客觀機率(單一事件的古典機率或頻率機率)
i. 古典機率 (classical probability)：假設樣本空間 S 中的每一個樣本出現 機會均等，則
事件 A 在樣本空間 S 中的機率 P(A) = n(A)
n(S)，其中 n(A)為事件 A 的樣 本個數，n(S)為事件 S 的樣本個數。Ex：投擲一骰子兩次，出現點數 和為 3 的機率為何？
ii. 頻率機率 (frequentist probability)：由觀察重複試驗之相對次數而來，
根據實驗設計之觀察結果來決定事件發生的可能大小，所以也被稱為 實驗機率。
(4) 機率推論：
i. 複合事件：交集、聯集(互斥)、餘事件
ii. 獨立事件 (independent events)：說明兩事件的獨立性，在直覺上為指 一個試驗中的一個事件發生，不會影響到另一個事件發生的結果。
而對機率的定義如下：
「兩個事件 A 和 B 是獨立的，則若且唯若 P(A∩B) = P(A) P(B)」
iii. 條件機率 (conditional probability)：即事件 A 在另外一個事件 B 已經 發生條件下發生的機率。條件機率表示為 P(A｜B)，讀作「在 B 條 件下 A 發生的機率」。
(5) 期望值 (expected value)：對一個隨機試驗，將其可能發生的(數值)結果乘 上其對應機率的總和。
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表 2 機率自由擬題品質評分規準表
修改自「數學自由擬題品質評分規準表」(江家瑋，2014；陳斐卿等人，2015)
向度 評分依據 評分規準
配分 規準
可解性 (可解性)
題目是否完結、是否為數學問題。
條件與訊息是否充足、是否可解。
題意是否清晰、前後文有無矛盾。
6 分 是明確可解的數學問題。
4 分 題目完結。條件皆充足，
但是因題意不清楚，或前 後文矛盾導致每個人對 題目可能有不同的理解 而有多種可能的答案。
2 分 題目大致完結。但條件有 所遺漏，導致無法求解。
0 分 題目未完結、沒有擬出題 目、非數學問題因而無法 求解。
用字明確、
合理程度 (可讀性)
1. 沒有文字累贅、訊息多餘的情形。
2. 沒有漏掉內文關鍵字、詞的情況。
3. 沒有不合乎常理、邏輯的數字與敘述。
6 分 三項皆符合。
4 分 三項中有其中兩項符合。
2 分 三項中有其中一項符合。
0 分 三項皆不符合。
題目題材的 特殊性及與 生活之連結 程度 (生活性)
1. 題目是否具有情境或故事性。
2. 題目是否貼近真實生活。
3. 題目是否新奇或具稀罕性。
6 分 三項皆符合。
4 分 三項中有其中兩項符合。
2 分 三項中有其中一項符合。
0 分 三項皆不符合。
題目的精心 設計程度 (精緻性)
1. 題目需運算的數字有經過設計。
2. 有陷阱安排的設計，例如敘述中有 具備陷阱性質的多餘條件
3. 概念轉換，例如勝率與失敗率 4. 有運算上的設計，例如：
①不需運算的數學題目。
②含加、減、乘、除中，兩項以上(含) 兩項的運算。
5. 條件上的設計：
①清楚地描述母體與事件的發生。
(例：母體的數字、資訊、線索) ②事件的設計，含兩次以上。
③試驗的設計，含兩次以上。
6. 樣本空間中有限集合的呈現，例如 試圖將牽涉到的連續量，以有限量方式 呈現，如分割時間量。
7. 利用圖示或表格輔助題目敘述。
8. 題目具有至少 2 步驟。
6 分 八項中有三項以上符合。
4 分 2 分
八項中有其中二項符合。
八項中有其中一項符合。
0 分 八項皆不符合。
題目的數學 概念之機率 概念層次 (機率概念 層次)
題目中使用到的機率概念。
1. 沒有機率 2. 主觀機率
3. 客觀機率(單一事件的古典機率或 頻率機率)
4. 機率推論
i. 複合事件：交集、聯集(互斥)、
餘事件。
ii. 獨立事件 iii. 條件機率 5. 期望值
6 分 5 分
期望值
機率推論：條件機率 4 分 機率推論：獨立事件 3 分 機率推論：複合事件 2 分 客觀機率（單一事件的古
典機率或頻率機率) 1 分 主觀機率
0 分 沒有機率
取最高的概念層次作為評分。
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