第四章 研究結果
第三節 機率概念層次
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1. 擬題區
題號 B2-40-V3 為擬題區答題數最高的一題，共 37 份。
圖 12 擬題區 B2-40-V3
九年級學生參加擂台賽的時程正逢會考之後，此時的學生已有足夠知識 去改寫題目，並期望能對「可解性」及「精緻性」在做提升。而大部分的學 生想法策略為針對第一手數據資料下手，如提供降雨機率的數據。學生初步 的想法依然是從「生活性」出發，由過去的經驗作提取，學生能反映知識與 外部連結的事實闡述。而另一些學生選擇加入其他條件來改寫題問以豐富題 目內容質量，如「降雨機率為 70%，你有 50%機率帶傘，問你被淋濕的機 率為何？」，儘管最後修題沒有來得研究班級地完整，但學生對數學充分條 件的取捨設立，有相當的成熟度表現其中。
2. 新手區
A-17-V3 與 B-41-V3 兩者皆為新手區答題數最高的二題，共皆為 75 份。
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圖 13 新手區 A-17-V3
圖 14 新手區 B-41-V3
由於新手區的題目以古典機率題型為主，對現行的九年級學生而言，能 夠解決此區的問題並不難。然而可以發現，像這些類似於課本習題(A-17-V3)，
或是生活經驗相同的題目(B-41-V3)，是很容易抓住學生或吸引目光來選 擇。
對學生而言，A-17-V3 就顯得有些困難，原因在學生對單一事件的處理 需要更進一步的考慮樣本點的可能性。因此本題的樣本空間數應為 9 × 8 = 72 種，而出現部分學生認為是 9 × 9 = 81 種。值得注意的是，多數的學生的 解答皆以 4
9 × 3
8 = 12
72 = 1
6 完成，其概念層次為條件機率的乘法法則，亦即 在問”第一球是偶數且第二球是偶數＂的機率為何？然而上述之情況皆還不 是國中課程會出現的課程概念，但能發現部分的學生擁有這樣的思維存在。
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3. 高手區
A-29-V3 為高手區答題數最高的一題，共 49 份。
圖 15 高手區 A-29-V3
A-29-V3 的機率類型被評為獨立事件。研究者認為，此題能被眾多學生 選取，原因在題目類型接近課本的例題，生物基因題的練習為七年級所學，
在難度上較不影響學生的信心。
研究者從學生對於擂台賽的答題份數，學生對於題目類型相似於課本的 習題的選擇參與高。以古典機率的答題來看，因為正是剛學完的機率概念，
所以儘管內容套用在別的情境上，也能相當地熟悉運用概念來解決問題。因 此成為學生在比賽中最好拿分的部分。另一方面，部分觀察到的學生，使用 不在國中階段所出現的技術方法來解題的現象。研究者相信可能為過去在七 年級所學的基因型題目導致的。在生物課程上只講述到其技術方法，而對其 背後所談的機率概念尚為不足，因此混淆了在樹狀圖上的正確使用方法，關 於樹狀圖之使用，將於本節「三、獨立事件」闡述。
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二、複合事件
從機率概念層次中歸類出一項規準項目為「機率推論－複合事件」，其評分 為 3 分。而評分依據根據事件是否包含交集、聯集(互斥)、和餘事件三種。在經 過三次版本的擬題修改，我們共有 180 題的題目樣本。然而，卻只有三份題目是 被評分為複合事件裡的 3 分，而這三份擬題所運用的思維表達，皆為研究者用餘 事件之概念來做評定。那為何不是用與此複合事件相關性最強的交集或聯集來做 評論呢？以下我們將對此並提出這三份題目來做說明。
圖 16 複合事件 A-02-V3
圖 17 複合事件 A-28-V3
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首先，A-02-V3 的第一小題「擲出大於 3 或等於 3 的機率是多少」，這我們 以數學家的觀點來說，其能夠馬上自動化的聯想出將「大於 3」與「等於 3」兩 者事件以集合的方式想像成聯集之心像圖，進而轉換至計算。譬如此題擲出等於 3 的發生機率為 1
6 加上擲出大於 3 的發生機率為 3
6 等於題目的所求的 4
6 ＝ 2
3。 然而，對於九年級的學生來說，集合的概念未必是他們能夠簡單或直接的聯想到，
且在教學上並不容易去說明。進一步說，學生在此的思維想法為單純與直觀的線 性思考，即是以一個單一事件的想法為起點並展開。以窮舉方法為例，他們會一 步一步的列舉出事件發生的可能為 3、4、5、6 共四點，接者再除上擲骰子的全 部可能性共 6 點，進而計算出答案 2
3。
第二，我們看到 A-02-V3 與 A-28-V3 的第二小題「出現的點數不是 1 的機 率是多少」以及「取出的球不是籃球的機率為多少？」，其可從題目論述中，學 生對於「不是」這樣的說法來作討論。從機率概念層次來說，這樣的題目類型已 觸及到對全事件與餘事件的範疇。但該注意的是，此時的課程編排並無讓九年級 學生學習此概念。因此研究者考量為自由擬題的一項特徵，學生通會藉由對生活 的經驗、情境為素材作為外部連結，引發聯想。單以考慮「沒有」或「排除」的 行為發生，能令學生接近現實的屬實。既然如此，剩下的為如何將這份思維表達 以數學的文字做產出。所以儘管學生在題目論述中不盡數學中的嚴謹，但卻有能 力從思維表達中，憑以對單一事件的想法，做為複合事件中的餘事件表達。但此 時的概念思維的行成，對現階段的他們來說，並沒有充分的知識涵蓋裡頭。
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圖 18 複合事件 B-13-V3
第三，B-13-V3 是一題相當特別的題目。首先，我們中華民國身分證字號一 共有十碼，包括起首第一個大寫的英文字母與接續九個阿拉伯數字。其中起首的 英文字母會以該登記的戶籍地區來區分編號，如桃園市為 H。而第二碼數字是用 來區分男女性別，男性為 1，女性為 2。其餘第三碼至第九碼為流水編號，第十 碼為驗證碼。
回到本題，因為女性的第二碼為 2，所以我們只要考慮剩餘的八碼有無出現 2 即可。則我們設事件 A 為剩餘八碼沒有 2，因此女生後八碼至少出現一個 2 的 機率為 1 − P(A)，即為女生獲得優待的人機率。另一方面，因男性第二碼為 1，
所以我們設事件 A 為剩餘八碼沒有 2，以及事件 B 為剩餘後八碼有 1 個 2，則男 生後八碼至少有兩個 2 以上的機率為 1− P(A)-P(B)，即為男生獲得優待的人機 率。
由上段可知我們在計算過程中，簡單地運用複合事件裡餘事件的概念來排除 所發生的關鍵事件來解答。回到看到題目的第二行，我們從「身分證字號號碼內
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有 2 個 2 以上，票價皆 200 元。」的敘述來討論，依然可以對應到我們在對 A-02-V3 與 A-28-V3 的說法，當學生的生活經驗要用數學知識來做檢視時，可以推敲出 學生的心中想像正蘊含著某個概念想法逐漸形成，而在這裡更能說明的是我們所 提的餘事件。
綜合以上所述，我們可知道數學家能夠用熟練、直覺、反射地反應方式來理 解一道題目背後所蘊藏的概念架構。概念知識由淺至深，對架構來說是嚴謹分明 的。但對九年級學生而言，他們的想法並不然，或許有的學生有截然不同的思維 設想其中。如在上述所提的三題討論，學生對題目的敘述，我們能以他們對藉由 生活經驗、文化的說法來可得，然而，這些說法恰巧要與我們數學的某些知識概 念形成交互之時，例如「排除」、「剩餘」、「以上」等說法考驗著餘事件概念的想 像，儘管沒有接受過正式的訓練，已能在表達論述中，推敲出一絲概念存在裏頭。
然而我們的引導是否能用最簡單的知識組織來滿足學生各別對概念層次的適性？
如上述的例子所看到，研究者認為在學習複合事件，可藉以不具集合概念的方式 來達成教學目標。而需要的是一個正確的技術與工具，會為此考量的是學生本身 就有具備的概念形成，二來是貼近此時階段的思考能力。
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三、獨立事件
下圖 19 為 A-28-V3，這是一題包含三種機率概念層次所成的題組，依序各 小題號可分類成(1)客觀機率－古典機率、(2)複合事件－餘事件、及(3)獨立事件 共三種。並且此題在本次的擬題活動中，是學生少數能夠以不同類型概念組合而 成的題組題目。而在機率擂台賽中，總共有 32 位學生作答此題，研究者將根據 學生的作答，如表 11，提出以下內容的說明。。
圖 19 獨立事件 A-28-V3
表 11
A-28-V3－答題統計描述 題號 128
(機率概念層次)
第一小題 (古典機率)
第二小題 (餘事件)
第三小題 (獨立事件)
答對人數 32 31 15
答錯人數 0 1 17
總人數 32(人)
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圖 20 A-29-V3 答題折線圖
在上一小節對複合事件的討論中，我們已知道有三份擬題被分類到規準中，
含有餘事件的概念想法，其可間接地說明部分學生是可以在接受正式的機率教學 之前，有能力並自發地想像關於餘事件概念的事件，並在活動中將其以題目擬題 出。
回到上表 11 的統計描述，總人數 32 位學生中有 31 人答對了第二小題(餘事 件)。從答題情況來說可謂將近有總答題人數全對。因此，不僅是我們在擂台賽 活動前分類出有三位學生具備了餘事件的概念層次，多數的學生也皆具備餘事件 的概念層次來回答此題。所以，再一次地說明已有部分的學生在被正式教導之前，
對餘事件概念上的形成有相當的確立，並且有能力去作解題與運用。
接下來在第三小題(獨立事件)中，在總人數 32 位學生中有 15 人是答對的，
約占了總人數的一半。而我們仔細觀察這 32 位學生作答的解題過程，不難發現 幾位學生所擁有共同的疑難點，對此研究者將一一提出。一是學生對題目的理解 錯誤與不甚清楚，如當題目只要提及到「取後放回」與「取後不放回」之涵義理 解時，學生進而轉向困惑與不清楚。而是實際遇到的困難反應到數學上的操作，
如所觀察的學生已能夠熟練地舉出抽到各種顏色的球機率，其說明他們心中對古
0 5 10 15 20 25 30 35
第一小題 第二小題 第三小題
答對人數 答錯人數
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典機率概念層次的成熟。但若有情況為「取後放回」，則因現實與數學之間的理 解不周到，而導致在計算方法數時，學生會做出將事件母體總球數計算時作出扣 除的動作，或相反地「取後不放回」的不扣除。而這兩者問題也是在擂台賽活動 過程中，常被學生尋求提問幫助的部分。
第二是學生使用樹狀圖最為工具思考來幫助解題，但使用方式並不恰當以及 所延伸出概念性不足的問題。
圖 21 獨立事件(樹狀圖 1) 圖 22 獨立事件(樹狀圖 2)
圖 22 及圖 23 皆為某兩位學生試圖利用畫樹狀圖來幫忙理解並解題第三小題，
但顯然地在這學生所使用的方式並不對。首先，圖一在一開始即為分類錯誤，因 此學生是有意識到他接下來是做不下去的，因而打住繼續作題。但事實上，圖一 的畫法只要將機率值標記在樹枝上即可繼續討論。第二，圖二顯然是對的，但學 生有意識到若依此方式繼續窮舉，其會發現出現可能的結果會多到畫不下去，因 而次停止作題。然而，若要使用樹狀圖來解題，樹枝上的使用與標示就占了繁多 複雜的過程，一時之間並不是一般常人能夠馬上做出來的，更何況對目前的九年 級生來說，若思考程序不夠清楚，則會在作圖的過程中，因碰到技術上的問題進 而打退堂鼓。而此小題若要用樹狀圖來解釋獨立事件，我們需要更具完整的圖形 與技術方式來表示，顯然在這會是艱難的挑戰。所以最後，上述圖一及圖二的兩