第二章 文獻探討
第四節 潛在類別分析
一、潛在類別分析之意義
（一）潛在類別分析之緣起
潛在類別分析（簡稱 LCA）是一種潛在特質分析的模式，最先由 Lazarsfeld (1950) 提出，其後有一系列的母數估計研究報告，直到 Goodman (1974a; 1974b) 發展了最大概似法後，一般研究者皆採用此法來進行母數估計，LCA 的應用才開 始擴展（引自吳毓瑩、林原宏，1996）。
（二）潛在類別分析在教學上的意義
而潛在類別分析主要作用在於分群，在教學上提供了兩大用途，其一是將同 質的學生分成同組，可以針對共同的迷思概念或特色進行教學，以提升學習效 率；其二則可將同質的學生打散分組，讓各組的異質性較高，以配合討論活動或 合作學習活動，達到不同認知結構的轉變與同化。
（三）潛在類別分析的研究假設與限制
Jansen & Van der Mass (1997) 強調潛在類別分析方法的潛在變數及所觀察的 變數必須為類別變數，而非一般潛在變數所要求的連續變數，更能符合實際研究 之需求。而潛在類別分析模式中的類別有些可以成為階層關係，有些則依題目特 性而平行共存，未必具有階層性。且分析模式是以試題的答對機率之觀點來看受 試者的潛在特質，並以受試者在各試題的答對機率並不受其他試題的作答所影響 的局部獨立性作為假設基礎。
而先前已提過規則評量方法缺失可透過潛在類別方法加以修正，並有Boom et al. (2001) 將LCA應用在Siegler (1981) 的槓桿問題，以求修正Siegler提出的規 則評量方法之缺失，而本研究亦然。並透過潛在類別分析，更深入地呈現各類學 生在各種解題規則的表現，除作為分群教學外，亦可做為補救教學之用。
二、潛在類別分析之方法
在本研究中，將應用潛在類別分析於學童在相關性測驗的解題規則，透過潛 在類別分析了解學童在解題規則的分群情形，並彌補規則評量方法之缺失與限 制。
潛在類別分析的過程必須估計參數，包含各類別組佔全體樣本的比例，以及 每一題在各類別組內的答對機率值，又稱通過率。而參數估計完成後，便依各潛 在類別在題目上的答對率及解題規則做各類別認知結構之描述。根據受試者的反 應組型，計算受試者的事後機率並將其歸類，從而看出受試者之反應特性以得知 其認知結構，並做為教育上之診斷與學習分組之用。
以下說明潛在類別分析所使用之符號，解釋如下：（引自吳毓瑩、林原宏，
1996）。
（一）受試者之有效人數共N人，以 為受試者代號，則i i=1,2,...,N。
（二）分析的題數共計K題，以 為各題之代號，k k =1,2,...,K。
（三）受 試 者 對 各 試 題 的 反 應 組 型 ， 以 x 表 示 ； 記 分 方 式 為 二 分 法 (dichotomous) ，答對為 1，答錯為 0，受試者 對題目k的反應以 表示，
而對全部題目的反應向量則為 。
i xik
xi
（四）根據研究所得之反應資料，可將受試者分為C個類別，以 表示各個類別，
。
c ,...,C
, c=12
（五）試題k在類別 的條件下，其條件機率 (condictional probability) ，或稱通 過率為 。
c
θkc
（六）類別c人數佔全體受試人數比例為αc。
今利用以上符號，並舉本研究來說明各符號之使用，本研究之測驗題目共計 18題， ，反應組型共計 種，並假設第i位受試者的反應型態 為
，代表各題的對錯情形，其中對第二題的反應值為
。又假設第二題對第一類別而言相當容易，則θ 會接近1，反之則接近0。
再者，若第一類別人數佔全體人數之30%，則
=18
K 218 =262144 xi
,1,0,1) ,1,0,1,0,1 ,1,0,0,1,1
(1,0,0,0,0
2 =0
xi 21
3 0.
α = ，且由於α 為潛在類別之比
例，故而α1 +α2 +...+αc =1。而潛在類別分析所要估計參數，即為類別比例α 及c
（Maximum Likelihood Estimation，簡稱MLE），估計類別比例 及試題條件機率 等參數值，並以EM（Expectation and Maximization）估計法來輔助，介紹如下：
αc
針對各參數進行偏微分，可得各參數估計值。
此外，由貝氏事後機率（Bayes’ posteriori probability）可知
)
由以上 (1)、(2)、(3) 式的關係，我們可以進行EM估計法（Expectation and Maximization）的估計，此估計法之概念由Dempster, Laird, & Rubin (1977) 而來，
但應用於LCA的參數估計上，Clogg (1977) 所設計之軟體則有很大貢獻。
（二）EM估計法
此 估 計 法 之 步 驟 有 二 ， 為 估 計 步 驟 （Expectation ） 及 最 佳 化 步 驟
（Maximization），呈現如下：（引自吳毓瑩、林原宏，1996）
1. 將 (3) 式中的α 及c θ 給定初始值（initial value），並得到事後機率kc f(cXi)。
如此重複步驟2、3、4，不斷的重複和迭代 (iteration) ，進行估計與最佳化之 工作，直到估計達到收斂 (convergence) 。
EM估計法利用方程式間不斷地迭代，計算不繁雜卻冗長，今則可藉電腦強 大的計算能力，使該估計程序在短時間內完成。