相關性概念

第二章文獻探討

第一節相關性概念

相關性 (correlation) 是指兩個隨機變量次序之間對應關係，當其中一個變量趨向增加或減少時，另一個隨之改變，則稱兩者為正相關 (positive correlation) 的，反之，則稱為負相關 (negative correlation) 或逆相關 (inverse correlation) (Borowski & Borwein, 2004) 。而本節將針對與相關性概念分成三部份介紹，以期對相關性概念有更深入的了解，一、關係與分類；二、相關性基模的發展；三、

統計上的相關係數與應用。

一、關係與分類

在相關性的認知發展中，必須依賴分類概念的成熟。J. Piaget 曾指出當兒童思維可以脫離具體事物進行時，其首要成果便是使物體間的「關係」和「分類」

從他們具體或直覺的束縛中解放出來（李其維，1995）。其中，兒童在分類 (classes) 與關係 (relations) 概念理解之關聯更是 J. Piaget 的一個創見，認為兒童一開始會將分類與關係的概念分開，但最後會統整成合成一體的理解（林美珍，1996）。

而J. Piaget 曾將人類的認知發展分為感覺動作期、前運思期、具體運思期、形式運思期，各時期在分類與關係之理解亦有所不同，研究者將其整理如下：

（一）感覺動作期：物體間的關係就像分類方式一樣，且是經由感覺動作而發展。

例如：「愈用力做什麼事，其結果愈大」。

（二）前運思期：前運思期之早期漸漸發展分類，後期已能產生一致的分類，但在推理上無法解決階層集合的包含關係；而在序列問題 (seriation problem) 上，也因傾向於專注某一向度而有些困難。

（三）具體運思期：此時期的兒童將分類和關係概念視為單一的整體系統，而在多元分類問題 (multiple classification) 中是兩種向度的交錯考量，如形狀、顏色兩種向度，此階段的孩子大多能同時考量兩種向度。

（四）形式運思期：形式運思的推理活動讓青少年對關係中的關係，以及分類中的分類問題進一步的思考，讓青少年在邏輯可能的情境中去解釋觀察的結果，如化學液體的組合的推理活動。

二、相關性基模的發展

J. Piaget 認為相關性的觀念衍生於概率觀念和一種與比例結構相似的結構之綜合。其中，相關性亦是J. Piaget 總結出八種形成結構化的運算格式之ㄧ，另有：

組合、比例、兩個參照的協調、機械平衡、機率、乘積補償、超出直接經驗證明的守恆形式，如：慣性定律、動量守恆（李其維，1995）。

此外，相關性的表徵在最簡單的形式中，是與機率基模有關之形式運思基模，藉由原本的機率基模來架構出相關性之基模 (Inhelder & Piaget, 1999) ；為使相關性的認知基模有更詳細的了解，在此將同時說明機率基模與相關性基模的發展過程。

（一）機率基模的發展過程

機率基模的發展大致可分為以下階段，各階段說明要點如下：

1.階段一：非守恆亦非分配定律 (neither Conservation nor Law of Distribution) 前運思期階段的樣本對「機會」的意思尚不了解，也無法知道「相關」的特質。在面對變動時，認為任何事都可能是造成變動的原因，有時甚至以一個任意的次序關係來解釋，而造成這種想法的限制可能是缺乏保留概念所造成，無法將因素固定以進行分析。

2.階段二：擴散可能性反應及判斷分布區域 (Diffuse Probilistic Responses then Determination of a Zone of Distribution)

七到八歲的樣本會開始思考變動的原因，到了九歲則想要找出有系統的變動因素，甚至畫定變動的區域範圍，例如考慮重量及體積之變動因素。但該階段因未能有系統地獨立變數，故對機率及限定變數區域的想法仍無法發現其潛在的相關性架構。同時該樣本將變動視為多種因素造成而無法將個別面向獨立出來，受限於僅能透過具體操作來描述定律實驗而無法區分變數，故無法下結論。

3.階段三：解釋分布及判斷機率變動的定律 (Explanation of the Distribution and Determination of the Law which Underlies the Chance Fluctuations)

此階段的學童開始考慮隨機變數，並能獨立出隨機變數的定律，且獨立的過程需靠相關性基模協助完成。學童透過將變數區分成所有可能的組合而找出定律，但在有系統地分析變動結果仍有困難。而此階段的學童因以往有比例運思基模衍生至公式化的概念，故而能漸進式的發展到相關性的運思基模。

舉一例子說明獨立出定律的過程，並以表2-1 輔助說明（資料採自 Inhelder &

Piaget, 1999）。我們假設樣本想證明最小的球可以滾最遠時，令^p為假設球比標準球來的小的命題，而p則為比標準球來的大的命題；為比標準球滾的遠的事實，

q則為比標準球滾的近的事實。觀察變動並指導樣本對四種可能的組合做出總結：(p.q)∨(p.q)∨(p.q)∨(p.q)=(p∗q)，其中(p∗q)表示完整的證實。

表2-1 球之大小與滾得遠近之關聯表（資料採自Inhelder & J. Piaget, 1999）

小 (^p) 大 (p) 遠 (q) ^a⁼ ^{p q}^. _c₌ _{p q}_. 近 (q） b= p q. d = p q.

由表2-1 中可知四種可能的組合，計算後可簡化成相關性的形式，我們稱為

「關聯係數」，樣本會對照四種可能性，不計算表中的數量也不做數量的定量化，

而是使用大於、小於來加強定量的關係，包括對表中和及b和兩組數量的比較，其中和代表確定，而b和代表不確定，因此他們的推論可能呈現為：

或( ) ；但無法有系統化的分析與統整。

a d c

(a d+ ) (> b c+ ) a d+ < (b c+ )

（二）相關性基模伴隨機率基模發展的過程

潛在的相關性基模在機率基模的階段三呈現，首先對樣本區分成兩類，一種為能在兩種變數之假設關係下確定的情形 (a、 ) ，一種則為無法確定的情形 (b、c ) ，今將問題簡化成以下類型：

a=藍眼金髮( .p q)；b=藍眼褐髮( . )p q ；

c=褐眼金髮( . )p q ；d =褐眼褐髮( . )p q

（1）若^E

[

⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

] [

⁼^E ⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

]

^{則兩特性為零相關；}

（2）若^E

[

⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

] [

^> ^E ⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

]

^{則兩特性為正相關；}

（3）若^E

[

⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

] [

^<^E ⁽^p^.^q⁾^∨⁽^p^.^q⁾

]

^{則兩特性為負相關；}

其中E 為證實被考慮的命題之總和。

相關性之關聯係數R 以比例形式呈現，與 J. Piaget 認為速度是距離和時間二者相關的認知結構相似（王文科，1994），其距離和時間的關係恰可以比例形式來呈現。由此可見相關性概念的發展過程之繁複與環環相扣，所含面相的深與廣，更讓我們深知相關性概念學習的過程中之重要性。

綜合以上可知相關性的認知發展與必須在分類概念成熟下而發展，且相關性的基模發展是伴隨機率基模發展而來，同時命題邏輯組合系統亦是形成相關性之認知架構的重要支柱，以下簡化說明如下：

1.基本機率概念引導：

兩事實間是否有關係，是包含有機遇的干擾，可猜測相應的頻率數，首先對物件區分成兩類，一種為能在兩種變數之假設關係下考慮確定的情形 (a、d ) ，一種則為無法考慮確定情形 (b、 ) ，今將問題簡化成以下類型： =藍眼金髮

； =藍眼褐髮

c a

( . )p q b ( . )p q ；^c=褐眼金髮( . )p q ；d=褐眼褐髮( . )p q 。

此實驗情境提供我們從邏輯命題觀點來看，與計算問題及歸納法相對，p代表藍眼，q代表金髮，有利於相關性的狀況會與等價的( . ) ( . )p q ∨ p q 相對應，而不確定的狀況則會與互逆的( . ) ( . )p q ∨ p q 相對應，把肯定情況的數目( . ) ( . )p q ∨ p q 與不肯定情況的數目( . ) ( . )p q ∨ p q 進行比較即可得知。並可透過此實驗情境說明相關性基模建立的程序，如下：

(1) 僅考慮而未考慮d，且認為的關聯是b而非，因而在了解對角線的比較前，須先進行垂直（指眼睛）或水平（指頭髮）比較的過程。

a a d

(2) 認為(a d+ )及( )是各自獨立的情形。

) b c+

(3) 考慮(a d+ )或(b c+ 與整體的關係而不考慮(a d+ )及(b c)+ 關係。

(4) 根據基模(p.q)∨(p.q)∨(p.q)∨(p.q)來區分四種可能性，並知道(p.q)=R(p.q)與

（Pearson product-moment

correlation）

適用於兩個變項都是等距或比率 (phi-coefficient)

兩個變項均為二分的名義變項。

表2-2 常用的相關統計法（續）

名稱適用資料變數與計算公式顯著性考驗

列聯相關係數 (Contingency-

coefficient)

兩個變項不只分為兩個類別時的

（point-biserial correlation）

一個變項為二分名義變項，而另一

（biserial correlation）

兩個均為常態的連續變項，但其一

(Spearman rank-order correlation)

兩個變項都是次序變項的資料 coefficient)

計算兩個次序變項的相關，適用情 (Kendall's coefficient

of concordance)

兩個次序變項的相關通常用以計

除了以上介紹常用的相關統計法之外，另有適用於曲線相關時的相關比， correlation

ratio) (partial correlations)

適用於多變項資料的相關，係指除去其它變 (muitiple correlation)

係指變項X₁與變項X)₁ 予以一般化的評量方法 (Siegler, 1981)，以解題者在解題過程中的反應得知其所使用的規則，並以規則作為評量之單位分析、了解解題者之思考方式或層次。

（二）規則評量方法之基本想法

在文檔中國小高年級學生在相關性問題之解題規則階層結構與分群探討 (頁 14-21)

第二章 文獻探討

第一節 相關性概念

一、關係與分類

二、相關性基模的發展

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第二章文獻探討

第一節相關性概念