本研究旨在結合規則評量方法、次序理論與潛在類別分析方法（Latent Class Analysis，簡稱 LCA），分析國小五、六年級學童在相關問題的解題規則表現。本 章就研究動機、研究目的、名詞定義與研究限制等四節進行闡述。
第一節 研究動機
解決問題的能力在九年一貫數學課程中，是頗受重視的要點（教育部，2003）， 其在數學領域備受強調與重視。而解決問題的過程中，學生的解題規則（或稱策 略）往往扮演著重要的關鍵角色，不僅是教師們在教學上時常深究的問題，對學 生的數學學習發展更深具意義，故而在教育界頗受關注，亦是研究者關切而欲深 入了解之問題。
林原宏、游森期 (2006) 指出解題者面對問題時，常因既有的經驗或知識架 構影響其解題的規則，然而有正確的解題規則，亦有不正確的解題規則，採用正 確規則會有對的答案，但不正確的規則其答案可能錯，亦可能對，甚至同一位解 題者，亦可能交替地使用不同的規則來解題，故而答案的正確與否無法代表受試 者的認知，進一步分析解題者的解題規則，以判斷解題者的知識結構甚為重要。
解題過程中解題規則使用的先備條件關係亦具意義。例如，一位解題者先考 慮使用規則 A 來解題，若不使用規則 A，則使用規則 B，則稱解題過程中，規則 A 為規則 B 的先備規則，而這種規則間的先備關係，恰可透過次序理論之應用來 呈現解題規則的階層性，不僅可呈現出受試者的認知型態，使我們更清楚解題者 的知識結構，對於教師的教學更具輔助、參考之功用。反觀國內外針對數學領域 之解題策略的研究，已有不少的實驗與研究（吳德邦、馬秀蘭、朱芳謀和簡秀儀，
1997；洪繼賢、劉祥通，2004；馬秀蘭，2005；Jansen, & van der Maas, 2002；Richards,
& Siegler, 1981；Siegler & Chen, 2002；Saake, Sattler, & Conrad, 2005），卻鮮少將
次序理論應用於解題規則。故而本研究將次序理論應用於相關性問題之解題規則 階層，應有其意義及價值。
此外，在學生的學習過程中，教學者往往希望藉由「評量」來了解學習者的 學習成果，診斷學習者是否已達教學目標。然而余民寧、陳嘉成 (1998) 指出以 往的評量，常著重在學習者的最後所呈現的「總結性評量」，卻忽略了知識建構 過程的「形成性評量」，或者忽略了Bart, Post, Behr, & Lesh (1994) 所提及半密集項 目 (semi-dense item) 的功用，而這樣的結果，往往讓「半成就」的學生誤以為學 習沒有進步，甚至因而影響其學習意願，而此結果與評量之原始目的，卻造成相 反效果，得不償失。
因而在設計評量系統時，應更著重從學生的評量呈現出目標的階層性，了解 距離目標尚須努力的方向與要項，檢視過去的測驗往往以「試題」做為測驗最基 本的分析單位，所呈現的是全對或全錯的樣貌，忽略學習者有「部分」了解的可 能，為此我們更應注重測驗過程中的各各環節，以各概念或解題規則作為施測的 單位，而非僅以整個概念或試題為分析單位，方能更深入了解學習者的學習情 形。如此不僅可以得知學生在某些概念的錯誤，更能藉由分析其解題規則的使 用，以得知其錯誤的原因，並進而指導改進，所以此種評量方更具意義。此亦是 本研究強調以「解題規則」作為測驗的分析單位的因素之ㄧ。
針對數學概念之解題規則的研究，國內外以往不乏有以晤談、實作方式進行 質性的研究（林香、張英傑，2004；許美華、游家政，2001；蕭毓秀、鍾靜，2002；
Inhelder & Piaget, 1999），亦有部分量化的研究（林原宏，2006；林原宏、游森期，
2006；羅友任，2003； Boom, Hoijtink, & Kunnen, 2001；Raijmakers, Jansen, & van der Maas, 2004；Siegler & Svetina, 2006），而余民寧、陳嘉成 (1998) 指出為使認 知診斷的評量技術更為精確，必須兼顧「質化」與「量化」的評量歷程，其中，
質化的評量歷程有賴研究者的專業知識與經驗，使測驗更具效度；量化的程序則 可簡化錯誤解題之解讀，可作為質性分析的先遣作業，協助教學者在短時間內，
獲取學生整體的學習訊息，以便於測驗後的診斷分析或補救教學之安排。本研究
採用量化分析，希望協助教學者分析學生整體的學習訊息，以作為後續研究及分 析之參考。
舉凡各領域的相關研究與生活上的問題皆與相關性思考有關，譬如：擁有什 麼樣的基因容易引發什麼樣的疾病（詹芳瑜，2005）、什麼樣的人格特質其學習 成就較高（張志榮，2005）、以及什麼樣的學經背景其對工作壓力的承受情形較 佳（葉錦光，2006），這些都是與相關性有關的問題與研究；而生活上的種種語 言、文化、表達也皆與相關性有關，語言能力愈好，其學習能力愈佳、態度愈積 極的人就愈容易成功等。然而針對相關性問題之認知層面的探究卻少有耳聞，尤 其針對學齡兒童的相關性問題研究更為少見，故認為應有進一步研究之必要。
除生活之應用外，相關性 (correlation) 概念所涵蓋之範圍亦相當廣泛，
Inhelder & Piaget (1999) 指出相關性問題的概念涉及分類、比例、機率和邏輯命 題等概念，而 Siegler (1976, 1982) 的研究更發現相關性概念之概念不易透過直接 教學提升概念的進展，故而在教學或研究上相關性概念亦是值得挑戰之問題。
而目前在國民小學的教材中，相關性概念未能呈現全貌，僅以其有關的概念 呈現，諸如：速率、比例、比率及機率課程（教育部，2003），亦可見相關性認 知概念研究之缺乏，且與相關概念有關的課程多呈現於高年級，故而研究者將以 國小高年級學童作為研究對象，期能對此主題的研究與分析，關注這樣的數學概 念，也希冀後續之研究者能以此參考，針對學童相關性概念更進一步之探究。以 提出更佳的方式讓學習者對這些概念融會貫通，以達更有效率的學習。
第二節 研究目的
本研究所編製的一份相關性測驗，用以評量國小高年級學童的解題規則類型 之表現，從認知研究之相關文獻可知年級與性別等因素可能影響認知（高耀琮，
2002），但有關相關性測驗之認知研究並不多見，故而在本研究中探討受試者在 相關性測驗中的表現是否會因年級與性別等因素而有所差異。
隨著兒童學習經驗差異性的不同，其認知結構亦有所不同，可藉由兒童的解
題規則次序性了解其認知結構之差異，故而有關解題規則之次序性分析研究甚為 重要，然而以此作為認知結構探討的文獻尚不多見，而 Bart & Krus (1973) 所提 出的次序理論 (ordering theory) 可用以分析學童的解題規則階層結構，故而在本 研究中，將應用次序理論分析受試者在相關性概念之解題規則階層，以作為診斷 受試者在相關性概念的認知結構之參考。
規則評量方法可將受試者的解題規則予以一般化，而 Jansen & Van der Mass
(1997) 所提出的潛在類別分析方法（簡稱 LCA）則可根據受試者的解題規則而分
群，且同一族群之受試者具有相同特質，故而在本研究中將應用潛在類別分析方 法進行分群以了解各群的解題規則特色，並比較各群在使用規則的類別是否因年 級與性別的不同而有所差異。
許多專家與生手的研究中（林清山，1991；Larkin, Mcdermont, & Simon, 1980;
Michelene, Feltovich, & Glaser, 1981; Shavelson, 1972, 1974）可以發現專家與生手在 解題規則方面亦有所差異，故而在本研究中專家與生手的解題規則次序結構圖之 比較分析亦是值得探究之處。再者，以往認知結構的比較多以視覺化呈現，而本 研究欲將認知結構之比較予以量化方式呈現。
綜合上述，本研究之主要目的分述如下：
一、了解受試者在相關性測驗之表現情形。
二、了解不同年級與性別之學生在相關性測驗各規則表現之差異情形。
三、了解不同年級與性別之學生其解題規則結構圖之差異情形。
四、了解總分或反應組型不同的個別學生，在相關性問題的解題規則次序階層圖 之異同。
五、根據學生在相關性測驗的得分將學生分群，以了解各群學生在解題規則的特 徵，並分析年級與性別的因子下，其分群解題規則的人數分布的差異性。
第三節 名詞定義
本節將就研究中所涉及之相關名詞進行定義與說明如下：
一、解題規則
人們在解決問題時會使用一套思考或策略，而當一群人使用相同的思考方法 則為解題規則或解題策略。
二、相關性測驗
本研究之相關性測驗僅限於「正相關性」的概念，測驗均以三個選項的選擇 題呈現，且透過受試者在三個選項的反應以量化的分析方式解釋其四種解題規則 的使用情形，從而了解受試者的解題規則表現、解題規則的使用次序階層以及其 認知結構。
第四節 研究假定與限制
本節將說明本研究之假定與限制，分述如下：
一、研究假定
有關本研究所涉及之方法或理論，有其基本假定，分述如下：
（一）規則評量方法的基本假設 (Siegler, 1981; 1982) ：1. 人們依照假設的規則 來解題；2. 所表現的模式可透露假設的本質，意即可從人們解題的試題反 應之組型，呈現出其所使用的規則；3. 將概念發展視為一種解題中可逐次 增加的有用規則，意即規則是具有層次性的，且可使解題有效進行，在本 研究中皆符合其假設。
（二）潛在類別分析（簡稱 LCA）的基本假設：潛在類別分析的潛在變數及所觀 察的變數必須為類別變數，而非連續變數。
（三）各解題規則或試題可經由計分及圖示化呈現元素的階層次序性。
二、研究限制
本研究之主要限制分述如下：
（一）限於經費與人力，本研究之對象僅限於台灣台中市之部分小學高年級學 生，未能擴及各縣市樣本，樣本數不足，故而研究結果無法進行推論。
（一）限於經費與人力，本研究之對象僅限於台灣台中市之部分小學高年級學 生，未能擴及各縣市樣本，樣本數不足，故而研究結果無法進行推論。