教師是學校教學活動中最能促成數學「教」與「學」的主要人物，教師具備 豐富的學科知識與教學知識，教學才能有所發揮。其中又以教學表徵知識為影響 教師進行有效教學的根本要素。如同黃永和（1997）所云，教學表徵的主要目的 便是要使教學內容與教學方法有效的整合。因此，教師教學表徵知識的展現可謂 學科知識與教學知識交織而後的產物，對學生的學習影響深遠。基於前述，本研 究欲探討教師在等值分數概念下所具備的教學表徵知識為何，當教師具備良好的 教學表徵知識時，方能適切地表徵等值分數概念，以協助學生理解、帶領學生進 入等值分數世界。
第一節 第一節
第一節 第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機
教學表徵是教師進行數學教學的必備工具，教師透過操作物、圖形、符號、
語言等各種媒介，在學生可理解的範圍內提供各種訊息以建構數學概念。教學表 徵可謂師生間的溝通橋樑，因此，諸多學者均將教學表徵知識視為教師知識中重 要且不可或缺的一部分。Dreyfus & Eisinberg（1996）便指出教師能夠根據問題情 境，彈性的運用適當的數學表徵，如具體操作的、圖表的、符號的…等等具體或 抽象的方式，並且有能力在單獨的表徵系統之內以及各個表徵系統之間靈活的轉 換，是建構數學概念的基本要素。Grossman（1989）也提及教師必須對教導某些 概念或主題最有效的表徵方式有所理解，並具備在適當時機加以運用的能力。
McDiarmid, Ball & Anderson（1989）更是直接點明學科表徵知識使學生易於理解，
是學科知識的重要內涵。
教學表徵知識的重要性不但在學者的論述中獲得支持，在數學教學的實徵研 究中（Cramer, Post & delMas, 2002；Willis & Fuson, 1988）也得到肯定。甚至在影
響教學實務現場甚鉅的教育政策中，也可發現其對教學表徵知識的重視。如 Behr, Lesh, Post, & Silver（1983）所主張的以五種不同表徵類型促進學習的觀念，在數 學教育界普遍被接受。National Council of Teachers of Mathematics, NCTM（2000）
及國內九年一貫課程綱要（教育部，2000、2003）都採用其觀點，進一步形成對 數學教師教學的要求或建議，運用多元的教學表徵進行數學教學或學習儼然成為 一種趨勢。綜上所述可知，不論在學理上或教學實務上在在顯示教學表徵知識在 教學活動中舉足輕重的地位。
教學表徵知識對教師教學與學生學習的成效有著密不可分的關係。教師若能 在教學過程中運用適當合宜的教學表徵，著實能為學生的學習增色不少；反之，
如果教師運用了不恰當的教學表徵，反而會使教學成效大打折扣。研究者整理文 獻之後歸納出三項準則，作為衡鑑教學表徵知識的規準。首先是正確性，教學表 徵的目的在於轉化學科知識內容，轉化的過程必須正確無誤。否則對學生數學概 念的學習不但無加分作用，反而易導致學生產生迷思概念。其次是多樣性，許多 研究（Cramer & Henry, 2002；Marcou & Gagatsis, 2002；Moss & Case, 1999）強調 教師應該在教學中多運用、融合不同的表徵型態。教師對某一概念若能具備多樣 表徵方式，有助其教學成效。最後，則是認知性，即便是正確且多樣化的表徵，
若缺少了以符合學生認知能力為前提的要件，或是被誤用在不適當的問題情境 中，教學成效亦屬事倍功半。爰此，了解教師所具備的教學表徵知識是否符應上 述三項規準更顯其必要性。
等值分數雖然只佔分數課程中的一個單元，但學生要對等值分數概念有所瞭 解，需要具備分數啟蒙學習時「分」概念（等分和窮盡）的穩固基礎。且等值分 數概念又會影響學生後續對「分數的運算及分數的比較」概念的學習（Behr & Post, 1992）。可見，等值分數概念在分數課程中佔有承先啟後的地位。林碧珍（2007）
指出概念化等值分數的意義是教師容易忽視的，取而代之的，教師易將等值分數 的焦點放在擴分、約分的運算熟練上。這樣的作法導致學生學習成效流於形式而
非意義的理解，從呂玉琴（1992）的研究中便可窺知一二。她以一所小學二、三、
四年級的學生為對象，並以下列問題調查學生等值分數的表現（引自林福來、黃 敏晃，1993，p.1）。
陰影部份是不是全部的二分之一？
結果有等值分數經驗的四年級學生竟仍有近半數的比例不認同 2 1和
4
2間有相等的
關係。黃芳玉（2003）在探討六年級學生數學表徵能力的研究結果也顯示，學生 的語言表徵能力以及圖形表徵能力不如計算能力那樣流暢，雖然能夠運用算則的 方式找出正確答案，卻無法運用圖形表徵以及語言表徵解釋題目以及運算所代表 的真正意義。學生只熟練符號算則，卻無法理解語言表徵及圖像表徵等其他表徵 類型的現象，是否與教師教學表徵知識有所關聯呢？試想教師在教學表徵知識不 完備的情況下如何帶領學生經驗各種表徵類型？那麼學生表徵能力的窄化似乎也 就其來有自了，這也引發研究者欲暸解教師教學表徵知識的念頭。此外，呂玉琴
（1992）研究教師使用具體教學表徵的結果發現，當教師遇到學生學習困難的問 題時，接受訪談的 25 位國民小學教師都沒有想到要利用教具幫忙。在具體教學表 徵使用率偏低的情況之下，更促發研究者想探究教師在等值分數概念下其教學表 徵知識內涵的動機，究竟哪些教學表徵是教師所覺察的？哪些又是其所忽略的？
其所具備的教學表徵是否能正確傳達等值分數概念？又是否符合學生認知能力 呢？
廣泛閱覽文獻後發現，目前有關教師教學表徵知識仍缺乏系統性研究，更加 堅定研究者投入此議題探究的動機。雖然教學表徵知識對教師現場教學有著舉足 輕重的影響，但回顧過往文獻卻發現，聚焦於教師教學表徵知識的研究寥寥無幾。
多數研究均以教師的學科教學知識或是範疇更大的教學專業知識為主題。雖然在 這些研究中或多或少會提及教師的教學表徵知識，卻無法深刻的描繪教師所具備
的教學表徵知識內涵。且從教學表徵的特質來看，教學表徵不但具有學科個殊性，
更具有教材、單元獨特性。不同的學科、不同的教材，甚至是在同一教材中的不 同單元，其適用的教學表徵都有所差異。但過去的研究中大多僅以學科作為劃分 依據，甚少有研究是針對教師在特定學科、特定教材及主題下的教學表徵知識內 涵進行細緻、深入的刻畫。
綜上所述，研究者希望藉由本研究的拋磚引玉，讓此重要議題能引起更多教 育夥伴的共鳴與心力投注。同時，在暸解教師等值分數概念之教學表徵知識內涵 的同時，也期望藉由個案教師教學表徵知識適切與不適切的呈現，對日後教師進 行等值分數教學時，在教學表徵的選用與安排上，能有見賢思齊或是引以為戒的 依據。
第二節 第二節
第二節 第二節 研究目 研究目 研究目的與待答問題 研究目 的與待答問題 的與待答問題 的與待答問題
懷抱著上述的研究動機，開啟了這篇論文的主題。本研究運用訪談探討國小 教師有關等值分數之教學表徵知識內涵。茲將研究目的與待答問題，分述如下。
壹壹
壹壹、、、、研究目的研究目的研究目的研究目的
探究個案教師之等值分數教學表徵知識的內涵。
貳 貳 貳
貳、、、、研究問題研究問題研究問題研究問題
根據研究動機，並為達成上述之研究目的，本研究茲提出下列研究問題，作 為資料蒐集和分析討論之方向。
一、個案教師對各類可資運用的教學表徵覺察程度為何？個案教師在教學表徵 知識之多樣性上所展現的特質為何？
二、個案教師對於教學表徵本身之限制、與學生認知能力符合程度以及所 適用的問題情境等理解為何？教學表徵知識在上述認知性各面向所展現的 特質為何？
三、個案教師對於各類表徵之內容、呈現方式、適用範圍與使用順序是否有正 確的理解？教學表徵知識在上述各面向所展現的特質為何？
第三節 第三節
第三節 第三節 重要名詞解釋 重要名詞解釋 重要名詞解釋 重要名詞解釋
本研究涉及的重要名詞，其意義說明如下：
壹 壹 壹
壹、、、、教學表徵教學表徵教學表徵教學表徵
本研究所指的教學表徵，是指教師在教學過程中，為了達到教學的目的，用 以轉化抽象教學內容或自己內心認知、思考或數學概念等內在表徵的一些外在表 徵。如Lesh, Post, & Behr（1987）所提出的五種外在表徵，包括口語表徵、操作物 表徵、真實情境表徵、圖形表徵與符號表徵，作為與學生溝通，協助概念建構的 橋樑。
貳 貳 貳
貳、、、、教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識
教學表徵知識是學科教學知識的一部份，涉及在特定學習主題下對教學表徵 選用的專業教學知識。呈現在教學現場中意指在某個學科教學中，教師因著其對 學生過去學習經驗的認識，了解使用何種表徵，如圖象、符號、語言或實物，進 而搭配適切的表徵運用方式，如類比、圖解、舉例、解釋亦或是示範，達到有效 促進學生理解特定學科內容之目的。同時又能為下一階段學習做鋪陳、預備的一 種教學專業知識。由此可知，教學表徵知識牽引著教師在實際課堂教學中教學表 徵的選擇和運用。經由文獻歸納與整理，研究者統整出適切教學表徵知識所應具 備的三項規準，即正確性、多樣性及認知性，可做為衡量教學表徵知識是否合宜 的標準。過去的研究較著重教師在課堂上表徵運用方式的探討，卻忽略了教師所
教學表徵知識是學科教學知識的一部份，涉及在特定學習主題下對教學表徵 選用的專業教學知識。呈現在教學現場中意指在某個學科教學中，教師因著其對 學生過去學習經驗的認識，了解使用何種表徵，如圖象、符號、語言或實物，進 而搭配適切的表徵運用方式，如類比、圖解、舉例、解釋亦或是示範，達到有效 促進學生理解特定學科內容之目的。同時又能為下一階段學習做鋪陳、預備的一 種教學專業知識。由此可知，教學表徵知識牽引著教師在實際課堂教學中教學表 徵的選擇和運用。經由文獻歸納與整理，研究者統整出適切教學表徵知識所應具 備的三項規準，即正確性、多樣性及認知性，可做為衡量教學表徵知識是否合宜 的標準。過去的研究較著重教師在課堂上表徵運用方式的探討，卻忽略了教師所