第二節 第二節
第二節 等值分數教學表徵知識的認知性內涵 等值分數教學表徵知識的認知性內涵 等值分數教學表徵知識的認知性內涵 等值分數教學表徵知識的認知性內涵
第一節的探討主題聚焦於教學表徵知識的多樣性，研究者試圖描繪出小林老 師教學表徵知識中對各類教學表徵認識範圍的輪廓後，本節將更進一步析論小林 老師教學表徵知識在認知性此向度上所呈現的內涵。所謂的認知性係指對各種教 學表徵的可能性、限制和有效性的了解。一位擁有較完善教學表徵知識的教師，
除對各類教學表徵有廣泛的認識外，更須對各類教學表徵具備更深一層的理解。
所謂更深一層的理解可由下列三個面向加以詮釋，首先，教師對於各類教學表徵 適用於何種能力階段的學生應有所認識，這將影響教師所選擇的教學表徵是否符 合學生現階段能力，當教學表徵與學生能力無法接軌時，再多的教學表徵對學生 而言仍屬無用。其次，教師是否對各類教學表徵在運用上的限制及對學生學習概 念可能衍伸的問題有所體認，倘若缺乏這類知識，容易因不當使用教學表徵而使 學生產生迷思概念而不自知。第三則是在各類問題情境中，何種教學表徵是較為 有效、且最適切的理解，有了這層理解才能擁有運用教學表徵於最適切問題情境 的能力，使教學表徵展現最佳的教學效果。接下來研究者將以此三面向為架構，
探討小林老師教學表徵知識在認知性此向度上所呈現出的內涵與特點。
壹 壹 壹
壹、、、、與教學表徵在特定問題情境中之限制有關的知識與教學表徵在特定問題情境中之限制有關的知識與教學表徵在特定問題情境中之限制有關的知識與教學表徵在特定問題情境中之限制有關的知識
研究者歸納、整理資料後發現，小林老師的教學表徵知識中，對於某些教學 表徵在特定問題情境中的限制有其看法。影響所及，這些在特定問題情境中有其 限制的教學表徵，在特定問題情境中被教師使用的可能性也將大大降低。而小林
老師的教學表徵知識中，與教學表徵在特定問題情境中之限制有關的知識有如下 兩種。首先是關於小林老師對離散量表徵與連續量表徵，在分母間非整數倍關係 之問題結構中的限制的覺察，進而調整教學表徵運用的相關知識。其次是小林老 師對圓形在分母為非連續對摺等分割數之問題結構中，可能產生之限制的理解。
茲將上述兩類知識分述如下。
一一一一、、、在分母間非整數倍關係的問題結構、在分母間非整數倍關係的問題結構在分母間非整數倍關係的問題結構在分母間非整數倍關係的問題結構中改以離散量中改以離散量中改以離散量中改以離散量表徵取代原先慣用教學表徵取代原先慣用教學表徵取代原先慣用教學 表徵取代原先慣用教學 表徵表徵表徵表徵
研究者在第一節曾指出，小林老師的教學表徵知識中關於圖形表徵的認 識，因問題結構不同而分為連續量圖形與離散量圖形兩種型態。因小林老師對分 數擴約分活動的認知，導致其教學表徵知識中的圖形表徵會因問題結構是擴分或 約分而有明顯的區隔。其認定連續量圖形適用於擴分題型，離散量圖形則為約分 題型最適用的圖形表徵。連帶的文字問題情境與具體操作物表徵也受到圖形表徵 的影響而依問題結構劃分為兩大類型。但研究者在訪談中也發現，上述對教學表 徵知識的分類僅為原則。在多數訪談過程中小林老師教學表徵的運用皆依循該原 則運作，但仍有例外情形，如下例 4-1 所示。
【例 4-1】
4-1-1
研：【在紙上寫下 8 2＝
12
3 】那如果是這個問題你覺得有哪些方式可以用來引導學生 發現它們的等值關係？像是可以畫什麼圖或是佈什麼樣的題目？
林：【想】【在紙上畫一個圓等分為 8 等份】【停】...【在紙上畫 2 份一排 3 個共 8 排的 24 個圓圈】這樣的話就要改成用這個一個一個圓圈的方式，可能就是說 一盒餅乾或什麼的有 24 塊，就是要一個一個分開的東西，然後問他們媽媽吃 了
8
2，爸爸吃了 12
3 盒，誰吃的比較多。然後在圖形上去做分組的動作這樣啦。
研：那你之前說的用面積式圖形的方法呢 林：那種圖在這裡比較不適合啦
研：為什麼？
林：因為你這個（分母）8 和 12 不像平常的 3、6 或者 2、4 是是整數倍關係可以直 接做切割的，用圓形或是長方形的話會比較難去做等分割。【T961211，12，
30-38】
4-1-2
研：如果題目改成這個樣子呢，
9 6＝
6
4，一樣是分母由大變小。
林：這個東西算是比較難的喔 研：嗯~那你會怎麼引導小朋友？
林：【嘗試在紙上畫 9 個圓圈並試著將其分為 6 等分】這真的是蠻難的。用圖形的 話。可能就必須要用到那個了啦，畫 18 個【在紙上畫 18 個圈】，找出它們兩 個（分母 9 和 6）共同的倍數，當然不能跟小朋友這樣講【笑】，先畫 18 個，
就兩個兩個一組對不對【將 18 個圈兩兩一組圈起來】，這總共有幾組？9 組對 不對。那 9 組裡面它佔 6 組嘛【將其中 6 組打勾】。然後再重新用 18 個【又在 紙上畫 18 個圈】然後三個三個一組【將 18 個圈三個三個一組圈起來】變成 6 組嘛對不對。實際上你看到 9 組裡面佔 6 組其實它的（圓圈）個數是多少？12 個對不對。那會發現到 12 個在這邊【指著三個一組的圖形】是佔四組嘛。那 問題的話就是一盒有 18 個嘛，一盒有 18 個一定要先講好，然後
9 6盒跟
6 4盒，
兩個大小多少嘛。你也可以設定 36 個阿，就讓他們去分阿。就是不可以用 9 個。【T961211，12，1-17】
由例 4-1 中的兩個案例可發現，小林老師對分母間為非整數倍關係的問題情境所適 用之教學表徵的看法，和先前依問題結構為擴分或約分而慣用的教學表徵有所不 同。面對分母間為整數倍關係的擴分題型，小林老師慣用的教學表徵為連續量表 徵。而對於分母間為非整數倍關係的擴分題型，小林老師偏於以離散量表徵呈現。
同樣的，原本在分母間為整數倍關係的約分題型中，小林老師的認知是以離散量 圖形為主，但面對分母間為非整數倍關係的約分題型時，小林老師雖然同樣認為 以離散量表徵較為適切，但在使用上會進行微調。如小林老師在回應中所提，在 分母間為非整數倍關係的約分題型中，必須先設定單位量內容物的總量，不再直 接以數值較大的分母作為單位內容物總量。
研究者認為小林老師基於其對原先慣用的教學表徵，在分母間為非整數倍關 係問題情境中所受限制之覺察。造成在面對分母間為非整數倍關係的問題，其教
學表徵運用的認知，有別於以往依擴分或約分的問題結構而適用不同圖形表徵的 原則。在分母間為非整數倍關係的擴分題型下，若繼續用連續量圖形表徵作為表 徵媒介，將遇到難以在原先等分割的份數上再進行等分割的問題。即便理論上是 可行的，但也需要等分割得非常精確，為了避免這類不便，面對這類分母間為非 整數倍關係的擴分題型，小林老師會以離散量圖形作為表徵分數等值關係的媒 介。同樣的情形亦發生在分母間為非整數倍關係的約分題型中，若延續小林老師 原本所慣用的離散量圖形表徵。且以問題中較大分母數值作為單位量內容物總 量，同樣會出現無法順利將分數符號表徵轉換至圖形上的限制，如無法在 9 個圓 圈中表現出
6
4。然小林老師對這類問題亦有其解套之道，其改以兩分母之公倍數
作為單位量內容物總量。前述無法順利將分數符號表徵轉換至圖形上的限制便迎 刃而解。
綜上所述研究者發現，小林老師的教學表徵知識中，對於某一特定教學表徵 的認識並不會限於單一角度。相反地，小林老師會透過各種與教學有關的因素，
作為其進一步認識特定教學表徵的途徑。如上例 4-1 中小林老師便是對教學表徵本 身在各種問題情境中的實用性、適用性有更深一層的了解，才能在各種不同問題 情境中彈性調整教學表徵的呈現。但從訪談資料中也發現，小林老師對各類教學 表徵的認識與理解也會有不夠周延的情形，因此在選用教學表徵過程中，容易出 現顧此失彼的情形，從下段論述中的案例便可知悉。
二二二二、、、分母為、分母為分母為分母為非連續對非連續對非連續對摺非連續對摺摺摺等分割等分割等分割等分割數的問題結構中以數的問題結構中以數的問題結構中以數的問題結構中以長方形長方形長方形作為圖形表徵長方形作為圖形表徵作為圖形表徵較適切作為圖形表徵較適切較適切較適切 整理資料過程中研究者亦發現，小林老師對同為面積式圖形的圓形與長方形 之適用問題情境有不同的見解。小林老師認為，當問題結構中的分母非連續對摺 等分割數（如
5 1＝
15 3 、
6 2＝
18
6 ）的情形時，採用長方形會比圓形來的合適。而這
樣的認定，乃肇因於小林老師對圓形在特定問題結構中傳達等值分數概念之限制 有所體認。小林老師認為使用圓形來做為分母為非連續對摺等分割數問題的圖形 表徵，會出現等分割技術上的困難，如圓形較難做五、六、十五或十八等分。因
此，在考量表徵實際使用之實用性與方便性後，小林老師認為面對分母為非連續 對摺等分割數的問題結構時，長方形是較為合宜的圖形表徵，如下例 4-2 所示。例
此，在考量表徵實際使用之實用性與方便性後，小林老師認為面對分母為非連續 對摺等分割數的問題結構時，長方形是較為合宜的圖形表徵，如下例 4-2 所示。例