國立台中教育大學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：游自達 博士
一位國小教師的教學表徵知識-以等值
分數為例
研究生：蔡鳳婷 撰
中華民國九十七年七月
謝辭
謝辭
謝辭
謝辭
盛夏的果實 盛夏的果實 盛夏的果實 盛夏的果實 一個再平凡不過的夏日，我終於結束了三年的研究所生涯 我也許會遺忘在口試時，等待宣判的一秒有如一世紀那麼長 但我卻永遠會記住台下同學們在口試通過後給予我最熱烈的歡呼。 我也許會遺忘在這些日子裡，熬夜緊盯電腦抓破頭的日子， 但我卻永遠會記住研究室裡大夥喧嘩笑鬧吵翻天的每一秒。 最值得記憶的不一定最順利 感謝身邊家人好友同學的鼓勵與祝福支持我度過過程中的挫折 也謝謝琬婷和淑美，經過論文的洗鍊 讓我們從有福同享的同窗契友成為有難同當的患難之交 更重要的是指導教授游自達老師、郭玉霞老師以及謝寶梅老師的包容與不吝指導 因為有你們，讓過程中的痛苦變得美好 也許在很多年以後 當某一年的夏日又再度來臨 暖暖的風不經意的吹動樹稍的那一個瞬間 我會仰起頭看天上的雲 回憶將如午后雷陣雨般毫不保留的傾盆而來 那麼多那麼多的感動，也許，我一輩子不會忘記。一位國小教師的教學表徵知識
一位國小教師的教學表徵知識
一位國小教師的教學表徵知識
一位國小教師的教學表徵知識--
--
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--以等值分數為例
以等值分數為例
以等值分數為例
以等值分數為例
摘要
摘要
摘要
摘要
本研究旨以等值分數概念為題材，探討國小教師教學表徵知識的內涵。為達 研究目的，本研究以一位國小教師為研究對象，並以教學表徵知識的正確性、多 樣性與認知性三個向度作為資料蒐集與分析的架構。茲將本研究之主要發現分述 如下。 首先，關於小林老師教學表徵知識在多樣性上所呈現的特質，因審視角度不 同而有如下之發現。從鉅觀的角度觀之，小林老師的教學表徵知識中涵蓋圖形、 具體操作物及文字問題情境等三類表徵的相關知識。但若將視角限縮至上述三類 教學表徵知識中便發現，小林老師對於各類教學表徵所細分出的各種表徵型態， 缺乏完整的認識。其次，在小林老師的教學表徵知識中，對於各教學表徵之理解 不僅止於該表徵是否適用於等值分數概念教學此表層的認識。而是能進一步的對 各表徵有更細部性、教學性的理解。但其理解常常出現只顧及到某些特定面向， 而忽略其他面向的情形。造成其教學表徵知識中，對於各類教學表徵之理解不夠 周全。最後，小林老師對於如何呈現教學表徵使學生透過表徵獲得適切等值分數 概念、特定表徵的適用情境、範圍以及各表徵間的使用順序都有正確的認識。 研究者針對上述研究之發現進行歸納，並對小林老師的教學表徵知識做出以 下四點結論。 一、教學表徵知識涵蓋圖形、具體操作物、文字問題情境等三類表徵知識，形成 一以圖形表徵知識為核心卻又相互連結的體系。 二、教學表徵知識係表徵知識與各類教學相關因素間互動、結合後的產物。 三、對教學表徵的認識著重如何有效使用教學表徵更甚於對於各類教學表徵能否 有廣泛的認識。 四、教學表徵知識之完備性與教師是否具備適切的學科知識息息相關。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：：：：教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識、、教學表徵、、教學表徵教學表徵教學表徵、、、、等值分數等值分數等值分數等值分數A
study of an elementary school teacher’s knowledge
of instructional representation: Case of equivalence
fraction
Abstract
This study was to explore an elementary school teacher’s knowledge of instructional representation. According to the research purpose, an elementary school teacher “Xiaolin“was slected to participate in this study The semistructured interview was used to collect data. In the meantime, data was collected and analyzed by three frames which were correctness, variousness and cognition. The main findings of this study were summarized as below:
First, Xiaolin's knowledge of instructional representation included three kinds of representation which were pictures, manipulative models and real scripts, in general. However, researcher also found that Xiaolin didn’t have the intact understanding with every types of instructional representation. Second, Xiaolin's knowledge of instructional representation not noly included the declarative knowledge of instructional representation but also included the procedural knowledge which concerned with how to use representation effectivly. But, Xiaolin’s procedural knowledge of instructional representation frequently focusd on certain specific factors and resulted in the incomplete of how to use instructional representation well. Finally, Xiaolin had correct understanding in the following three faces. The foremost, Xiaolin knew the best way to use instructional representation to make students learn the correct concept of equivalence fraction. Moreover, Xiaolin had the correct understanding which was about the suitable using situation of specific instructional representation. Lastly, Xiaolin had the correct understanding which was aboutthe order among every types of instructional representation.
Four conclusions were made as follows:
1. The knowledge of instructional representation was a system which included three types of representation.Besides,the representation of pictures were the center of the instructional representation knowledge.
2. The knowledge of instructional representation was the interactive result between the instructional representation and relevant instruction factors.
3. It was more important to Xiaolin’s knowledge of instructional representation to have the procedural knowledge of instructional representation than have extensive
knowledge on every types of instructional representation.
4. The completed knowledge of instructional representation had much to do with Xiaolin’s pedagogical content knowledge.
Key Words: Knowledge of instructional representation, Instructional representation
目錄
目錄
目錄
目錄
第一章
第一章
第一章
第一章 緒論
緒論
緒論
緒論
第一節 研究動機………..1 第二節 研究目的與問題………..4 第三節 重要名詞解釋………..5 第四節 研究範圍………..6第二章
第二章
第二章
第二章 文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討
第一節 教學表徵知識之探究………..7 第二節 等值分數教學表徵之探究……….25第三章
第三章
第三章
第三章 研究設計與實施
研究設計與實施
研究設計與實施
研究設計與實施
第一節 選擇質性研究的原因……….42 第二節 研究對象……….………43 第三節 研究流程……….45 第四節 研究工具……….50 第五節 資料蒐集與分析……….59 第六節 研究的可信賴度……….63 第七節 研究倫理……….64第四章
第四章
第四章
第四章 研究結果與討論
研究結果與討論
研究結果與討論
研究結果與討論
第一節 等值分數教學表徵知識的多樣性內涵………66 第二節 等值分數教學表徵知識的認知性內涵………89 第三節 等值分數教學表徵知識的正確性內涵………...115第五章
第五章
第五章
第五章 結論與建議
結論與建議
結論與建議
結論與建議
第一節 結論………..133第二節 建議………..135 第三節 研究限制………..138
參考文獻
參考文獻
參考文獻
參考文獻
中文部分………....141 英文部分………144附錄
附錄
附錄
附錄
附錄一 訪談問題………152 附錄二 訪談問題與目的對照表………161 附錄三 試探性研究………165表次
表次
表次
表次
表3-1 試探性研究訪談時間表……….47 表 3-2 訪談問題雙向細目表………54 表 3-3 訪談時間表………61 表 3-4 資料轉譯符號意義表………62圖次
圖次
圖次
圖次
圖 2-1 「數字末尾有 0 的乘法」的教學表徵……….10 圖 2-2 表徵系統的轉換模式……….... …………13 圖 2-3 表徵系統的互動模式……….... …………13 圖 2-4 5 3×2＝ 5 6 錯誤表徵………...16 圖 2-5 4 1 的圖像表徵……….18 圖 2-6 等值分數的圓形分數板表徵……….27 圖 2-7 3 1 在矩形分數板等積異形之情形……….28 圖 2-8 等值分數的摺紙表徵方式……….29 圖 2-9 等值分數的離散量表徵……….30 圖 2-10 等值分數的數線表徵……….34 圖 2-11 等值分數的古氏積木表徵……….36 圖 3-1 研究流程……….46 圖 4-1 3 2 ＝( )
8 的圖形表徵………...72 圖 4-2 35 20 ＝ ＝ ＝ ＝ 7 4 的離散量圖形表徵……….73 圖 4-3 35 20 ＝ ＝ ＝ ＝ 7 4 的連續量圖形表徵………...95 圖 4-4 3 2 ＝ ＝＝ ＝( )
6 比值關係圖形表徵……….101 圖 4-5 3 2 ＝ ＝＝ ＝( )
6 比的關係圖形表徵……….102 圖 4-6 5 4 ＝ ＝＝ ＝( )
10 的圖形表徵……….112 圖 4-7 4 1 ＝ ＝＝ ＝ 12 3 的圖形表徵………..117 圖 4-8 4 1 ＝ ＝＝ ＝ 12 3 的圖形表徵………..119圖 4-9 3 2 ＝ 6 4 的圖形表徵………...121 圖 4-10 12 9 ＝ ＝ ＝ ＝
( )
4 的乘法性關係圖形表徵………129第一章
第一章
第一章
第一章 緒論
緒論
緒論
緒論
教師是學校教學活動中最能促成數學「教」與「學」的主要人物，教師具備 豐富的學科知識與教學知識，教學才能有所發揮。其中又以教學表徵知識為影響 教師進行有效教學的根本要素。如同黃永和（1997）所云，教學表徵的主要目的 便是要使教學內容與教學方法有效的整合。因此，教師教學表徵知識的展現可謂 學科知識與教學知識交織而後的產物，對學生的學習影響深遠。基於前述，本研 究欲探討教師在等值分數概念下所具備的教學表徵知識為何，當教師具備良好的 教學表徵知識時，方能適切地表徵等值分數概念，以協助學生理解、帶領學生進 入等值分數世界。第一節
第一節
第一節
第一節
研究動機
研究動機
研究動機
研究動機
教學表徵是教師進行數學教學的必備工具，教師透過操作物、圖形、符號、 語言等各種媒介，在學生可理解的範圍內提供各種訊息以建構數學概念。教學表 徵可謂師生間的溝通橋樑，因此，諸多學者均將教學表徵知識視為教師知識中重 要且不可或缺的一部分。Dreyfus & Eisinberg（1996）便指出教師能夠根據問題情 境，彈性的運用適當的數學表徵，如具體操作的、圖表的、符號的…等等具體或 抽象的方式，並且有能力在單獨的表徵系統之內以及各個表徵系統之間靈活的轉 換，是建構數學概念的基本要素。Grossman（1989）也提及教師必須對教導某些 概念或主題最有效的表徵方式有所理解，並具備在適當時機加以運用的能力。 McDiarmid, Ball & Anderson（1989）更是直接點明學科表徵知識使學生易於理解， 是學科知識的重要內涵。教學表徵知識的重要性不但在學者的論述中獲得支持，在數學教學的實徵研 究中（Cramer, Post & delMas, 2002；Willis & Fuson, 1988）也得到肯定。甚至在影
響教學實務現場甚鉅的教育政策中，也可發現其對教學表徵知識的重視。如 Behr, Lesh, Post, & Silver（1983）所主張的以五種不同表徵類型促進學習的觀念，在數 學教育界普遍被接受。National Council of Teachers of Mathematics, NCTM（2000） 及國內九年一貫課程綱要（教育部，2000、2003）都採用其觀點，進一步形成對 數學教師教學的要求或建議，運用多元的教學表徵進行數學教學或學習儼然成為 一種趨勢。綜上所述可知，不論在學理上或教學實務上在在顯示教學表徵知識在 教學活動中舉足輕重的地位。 教學表徵知識對教師教學與學生學習的成效有著密不可分的關係。教師若能 在教學過程中運用適當合宜的教學表徵，著實能為學生的學習增色不少；反之， 如果教師運用了不恰當的教學表徵，反而會使教學成效大打折扣。研究者整理文 獻之後歸納出三項準則，作為衡鑑教學表徵知識的規準。首先是正確性，教學表 徵的目的在於轉化學科知識內容，轉化的過程必須正確無誤。否則對學生數學概 念的學習不但無加分作用，反而易導致學生產生迷思概念。其次是多樣性，許多 研究（Cramer & Henry, 2002；Marcou & Gagatsis, 2002；Moss & Case, 1999）強調 教師應該在教學中多運用、融合不同的表徵型態。教師對某一概念若能具備多樣 表徵方式，有助其教學成效。最後，則是認知性，即便是正確且多樣化的表徵， 若缺少了以符合學生認知能力為前提的要件，或是被誤用在不適當的問題情境 中，教學成效亦屬事倍功半。爰此，了解教師所具備的教學表徵知識是否符應上 述三項規準更顯其必要性。 等值分數雖然只佔分數課程中的一個單元，但學生要對等值分數概念有所瞭 解，需要具備分數啟蒙學習時「分」概念（等分和窮盡）的穩固基礎。且等值分 數概念又會影響學生後續對「分數的運算及分數的比較」概念的學習（Behr & Post, 1992）。可見，等值分數概念在分數課程中佔有承先啟後的地位。林碧珍（2007） 指出概念化等值分數的意義是教師容易忽視的，取而代之的，教師易將等值分數 的焦點放在擴分、約分的運算熟練上。這樣的作法導致學生學習成效流於形式而
非意義的理解，從呂玉琴（1992）的研究中便可窺知一二。她以一所小學二、三、 四年級的學生為對象，並以下列問題調查學生等值分數的表現（引自林福來、黃 敏晃，1993，p.1）。 陰影部份是不是全部的二分之一？ 結果有等值分數經驗的四年級學生竟仍有近半數的比例不認同 2 1 和 4 2 間有相等的 關係。黃芳玉（2003）在探討六年級學生數學表徵能力的研究結果也顯示，學生 的語言表徵能力以及圖形表徵能力不如計算能力那樣流暢，雖然能夠運用算則的 方式找出正確答案，卻無法運用圖形表徵以及語言表徵解釋題目以及運算所代表 的真正意義。學生只熟練符號算則，卻無法理解語言表徵及圖像表徵等其他表徵 類型的現象，是否與教師教學表徵知識有所關聯呢？試想教師在教學表徵知識不 完備的情況下如何帶領學生經驗各種表徵類型？那麼學生表徵能力的窄化似乎也 就其來有自了，這也引發研究者欲暸解教師教學表徵知識的念頭。此外，呂玉琴 （1992）研究教師使用具體教學表徵的結果發現，當教師遇到學生學習困難的問 題時，接受訪談的 25 位國民小學教師都沒有想到要利用教具幫忙。在具體教學表 徵使用率偏低的情況之下，更促發研究者想探究教師在等值分數概念下其教學表 徵知識內涵的動機，究竟哪些教學表徵是教師所覺察的？哪些又是其所忽略的？ 其所具備的教學表徵是否能正確傳達等值分數概念？又是否符合學生認知能力 呢？ 廣泛閱覽文獻後發現，目前有關教師教學表徵知識仍缺乏系統性研究，更加 堅定研究者投入此議題探究的動機。雖然教學表徵知識對教師現場教學有著舉足 輕重的影響，但回顧過往文獻卻發現，聚焦於教師教學表徵知識的研究寥寥無幾。 多數研究均以教師的學科教學知識或是範疇更大的教學專業知識為主題。雖然在 這些研究中或多或少會提及教師的教學表徵知識，卻無法深刻的描繪教師所具備
的教學表徵知識內涵。且從教學表徵的特質來看，教學表徵不但具有學科個殊性， 更具有教材、單元獨特性。不同的學科、不同的教材，甚至是在同一教材中的不 同單元，其適用的教學表徵都有所差異。但過去的研究中大多僅以學科作為劃分 依據，甚少有研究是針對教師在特定學科、特定教材及主題下的教學表徵知識內 涵進行細緻、深入的刻畫。 綜上所述，研究者希望藉由本研究的拋磚引玉，讓此重要議題能引起更多教 育夥伴的共鳴與心力投注。同時，在暸解教師等值分數概念之教學表徵知識內涵 的同時，也期望藉由個案教師教學表徵知識適切與不適切的呈現，對日後教師進 行等值分數教學時，在教學表徵的選用與安排上，能有見賢思齊或是引以為戒的 依據。
第二節
第二節
第二節
第二節 研究目
研究目
研究目的與待答問題
研究目
的與待答問題
的與待答問題
的與待答問題
懷抱著上述的研究動機，開啟了這篇論文的主題。本研究運用訪談探討國小 教師有關等值分數之教學表徵知識內涵。茲將研究目的與待答問題，分述如下。 壹 壹 壹 壹、、、、研究目的研究目的研究目的研究目的 探究個案教師之等值分數教學表徵知識的內涵。 貳 貳 貳 貳、、、、研究問題研究問題研究問題研究問題 根據研究動機，並為達成上述之研究目的，本研究茲提出下列研究問題，作 為資料蒐集和分析討論之方向。 一、個案教師對各類可資運用的教學表徵覺察程度為何？個案教師在教學表徵 知識之多樣性上所展現的特質為何？ 二、個案教師對於教學表徵本身之限制、與學生認知能力符合程度以及所 適用的問題情境等理解為何？教學表徵知識在上述認知性各面向所展現的 特質為何？三、個案教師對於各類表徵之內容、呈現方式、適用範圍與使用順序是否有正 確的理解？教學表徵知識在上述各面向所展現的特質為何？
第三節
第三節
第三節
第三節 重要名詞解釋
重要名詞解釋
重要名詞解釋
重要名詞解釋
本研究涉及的重要名詞，其意義說明如下： 壹 壹 壹 壹、、、、教學表徵教學表徵教學表徵教學表徵 本研究所指的教學表徵，是指教師在教學過程中，為了達到教學的目的，用 以轉化抽象教學內容或自己內心認知、思考或數學概念等內在表徵的一些外在表 徵。如Lesh, Post, & Behr（1987）所提出的五種外在表徵，包括口語表徵、操作物 表徵、真實情境表徵、圖形表徵與符號表徵，作為與學生溝通，協助概念建構的 橋樑。 貳 貳 貳 貳、、、、教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識 教學表徵知識是學科教學知識的一部份，涉及在特定學習主題下對教學表徵 選用的專業教學知識。呈現在教學現場中意指在某個學科教學中，教師因著其對 學生過去學習經驗的認識，了解使用何種表徵，如圖象、符號、語言或實物，進 而搭配適切的表徵運用方式，如類比、圖解、舉例、解釋亦或是示範，達到有效 促進學生理解特定學科內容之目的。同時又能為下一階段學習做鋪陳、預備的一 種教學專業知識。由此可知，教學表徵知識牽引著教師在實際課堂教學中教學表 徵的選擇和運用。經由文獻歸納與整理，研究者統整出適切教學表徵知識所應具 備的三項規準，即正確性、多樣性及認知性，可做為衡量教學表徵知識是否合宜 的標準。過去的研究較著重教師在課堂上表徵運用方式的探討，卻忽略了教師所 呈現的表徵內容。是以，本研究教學表徵知識所探討重點兼顧表徵的內容與運用 方式。如教學表徵知識的多樣性將研究重點放在教師對各類表徵的認識與理解是 否足夠廣泛，亦即表徵的陳述性知識為主，有關表徵運用方面的程序性知識則會透過個案教師教學表徵知識在正確性此向度上所呈現之內涵加以了解。 参 参 参 参、、、、等值分數等值分數等值分數等值分數 等值分數是分數型態的等價類（甯自強，1997；彭海燕，1996），意思是相 同分數意義（內涵相同）卻有的不同分數符號表徵表現形式。亦即在相同基準單 位量情境下，兩個分數雖因等分割的份數與合成份數不同，以致於表示它們的分 數符號雖不相同，但兩分數代表的量卻是一樣多的。如以符號表徵來說， 2 1 和 4 2 、 6 3 、 8 4 ……，它們就具有同構等價的數學意義，而在數學集合的意義裡面就代表 2 1 的等價集是{ 4 2 、 6 3 、 8 4 ⋯}。
第四節
第四節
第四節
第四節
研究範圍
研究範圍
研究範圍
研究範圍
本研究目的在探討教師的等值分數教學表徵知識內涵。因此，訪談問題的編 擬均聚焦於等值分數概念情境之下，至於教師其他數學概念的教學表徵知識之探 討則不在本研究範圍內。在 Lesh 等人（1987）所提真實情境、圖形、操作物、口 語以及符號的五種表徵中，本研究僅以真實情境、圖形、操作物等三類表徵作為 教師教學表徵知識的探討範圍。原因在於過去 Post, Wachsmuth, Lesh & Behr（1984） 的研究指出，若學生對具體化表徵的理解有困難，其對有意義的數學符號表徵上 的理解也將被認定是有困難的。凸顯教師具備了解、選擇、運用具體化教學表徵 等相關知識，對學生數學概念之學習是基礎且必要的。口語及符號表徵相較於其 他三類較為抽象，且在訪談過程中也較不易完整具體的呈現。因此，本研究茲將 研究範圍設定在個案教師對於真實情境、圖形、操作物等三類教學表徵的認識與 理解上，進而從中建構出個案教師之教學表徵知識內涵。第二章
第二章
第二章
第二章 文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討
第一節
第一節
第一節
第一節 教學表徵知識之探究
教學表徵知識之探究
教學表徵知識之探究
教學表徵知識之探究
「教學該採用哪種教學表徵？是符號式的、圖像式的亦或是操作式的？直接 的還是類比的？教學表徵使用的時機、配合的活動有哪些？」上述諸多問題在教 師每日的教學活動中不斷被提出與思考。而問題背後的答案與教師本身所具備的 教學表徵知識關係密切不可分離。教學表徵知識乃學科教學知識（pedagogical content knowledge, PCK）的一環，本節將從學科教學知識的觀點出發，了解教學 表徵知識的意義，再由教學表徵探究教學表徵知識的內涵。 壹 壹 壹 壹、、、、教學表徵知識的意義教學表徵知識的意義教學表徵知識的意義教學表徵知識的意義 一一一一、、、、從學科教學知識觀點切入從學科教學知識觀點切入從學科教學知識觀點切入從學科教學知識觀點切入 教學表徵知識是學科教學知識的要素之一，此觀點在許多學者的論述中皆獲得支 持。Shulman（1986）提出教師須具備使用最佳的類比、圖解、舉例、解釋、示範 等方式來表徵、呈現出所要教的學科內容這類與教學表徵運用相關的知識，方能 進行最有系統的學科教學，進而讓學生以最有效的方式理解概念。其中也包含了 教師瞭解在此教學主題中，學生原有的先備知識和可能遇到的學習困難，以及如 何運用教學表徵幫助學生釐清迷思概念的教學知識與策略。Geddis（1993）也強調 如何將學科內容知識透過表徵轉換成可教學的內容知識的一種專業知能，並且能 以適當的表徵方式校正學生的迷思概念與易犯錯誤類型，是學科教學知識首應著 重之處。Grossman（1989）則是將與教學表徵運用相關的知識列入學科教學知識 的四要素之一，他提及教師必須對教導某些概念或主題最有效的教學方法與表徵 方式有所理解，並能在適當時機運用。McDiarmid, Ball & Anderson（1989）更是 直接點明學科表徵知識 (例如：好的比喻、活動、模型、問題等方式)使學生易於 理解，是學科教學知識的重要內涵。推論上述可知，進行有效的教學，教師除了 必須能掌握學科主題的核心概念、技巧外，更涉及了解該主題核心概念、技能可透過何種教學表徵讓學生理解。甚且當學生對該主題產生迷思概念時，教師可以 對症下藥，選擇最適宜的教學表徵幫助學生建立正確概念，而這類與教學表徵有 效選擇、運用相關的知識即為教學表徵知識。 二 二 二 二、、、、從學科教學實務觀點切入從學科教學實務觀點切入從學科教學實務觀點切入 從學科教學實務觀點切入 從教學實務現場的角度檢視教學表徵知識的意義，更加彰顯其轉化學科教學 知識為實際教學行為的角色。Wilson, Shulman & Richert（1987）所詮釋的教學思 維與教學行動的循環模式中，「轉化」是教學前的前置活動。教師須將所了解的 概念，轉化為學生可理解的教學表徵，後續的教學方有意義。NCTM（1989）指出 教室中主要的溝通包含：表徵與聽、說、讀、寫，有了上述的溝通要素，紮實的 數學學習才得以開展。Greeno & Hall（1997）也提及表徵是一種工具，是師生間 互動、思考與溝通的來源。黃永和（1997）則是談到教師必須將教學內容轉換為 教學表徵，以做為師生溝通或學生學習學科概念的媒介。 教學表徵知識對教師的教學表現有著重要的影響力。透過教學表徵知識，教 師將其「學科教學知識」具體的呈現於教學實務中，而最能具體看到教學行為的 就是教學表徵的運用與創造。若將教學比擬為一場表演，教師是站在教室這個舞 台上的表演者，教學表徵知識便是貫串整場表演的劇本，引領著教師的教學。如 同謝秀月（2001）所云，教師於教學的歷程中，不但是教學知識的產生者，亦是 教學表徵的創造者。換句話說，實務教學提供學科教學知識的印證，學科教學知 識透過教學表徵發揮其教學效果。教學表徵知識可說是促使教學理論與教學實務 成功接軌的重要介面。 貳 貳 貳 貳、、、、教學表徵知識的內涵教學表徵知識的內涵教學表徵知識的內涵教學表徵知識的內涵 若要對教學表徵知識進行更深刻的描繪，須從內涵層面切入。但文獻蒐集過程 中發現教學表徵知識的內涵目前仍缺乏系統性的探究。因此，研究者嘗試由國內、 外學者對教學表徵的研究成果中歸納、分析教學表徵知識內涵中的特質與影響教 師教學表徵知識的因素及其來源。
一一一一、、、教學表徵的探究、教學表徵的探究教學表徵的探究 教學表徵的探究 John Dewey 認為科學家與教師兩者之間有某些層面上的差異，科學家的主要 工作是在科學學科領域之內對學科知識與結構加以精鍊與擴展，而教師的目的是 企圖將這些科學知識轉化為學生的生活經驗。然而傳統上在探討教師的教學知識 時，都以「教學方法」（method）或「教學策略」(strategy)等一般性的概念來探討 教學，卻忽略學科內容與教學方法的整合。有鑒於此，教學表徵的主要目的便是 要使教學內容與教學方法有效的整合，讓學科知識成為教師可教的、學生可學的 （黃永和，1997）。以下即分別就教學表徵的定義、要素、分類加以討論。 （（（（一一一）一））教學表徵的定義）教學表徵的定義教學表徵的定義 教學表徵的定義 教學表徵是表徵的形式之一，而所謂的「表徵」有不少學者闡述。Rumelhart & Norman（1981）將其視為一種「替代事物的模式」，亦即「用某種事物來取代另 一種事物的效應」。這樣的觀點和Plamer在1977年提到能將表徵的概念區分為兩種 分離世界的存在，一種是表徵的世界，一種是被表徵的世界的看法不謀而合，其 認為這兩種世界也許是具有同樣的形式；也或許被表徵後的世界，會呈現與表徵 的世界不同的樣貌，但這些表徵形式如圖形、表格、符號、影像、例子的存在， 都代表著可以提供人與人之間溝通與互相瞭解的工具（Kaput, 1987）。再者，依 表徵存在的形式，可分為內在的表徵(internal representation)和外在表徵（external representation）兩類。內在表徵涉及到的是心智的運作，也就是內在的思考，這種 心理的表徵是無法被觀察的。相較於內在表徵隱而不顯的特質，外在表徵則是為 了與他人溝通那些無法被觀察到、被言傳分享的內在表徵，而以言語、文字、符 號、圖形、具體物、活動或實際情境等形式存在的表徵（Hiebert & Carpenter, 1992）。 綜合上述學者的看法，教學表徵即教師為了達成教學目的，將所欲教授的學 科內容加以轉化成外在表徵，以做為師生溝通或學生學習該學科概念的媒介。更 具體的說，若以表徵世界的觀點來看，教師欲「表徵的世界」為學科知識內容， 而學生接觸到「被表徵的世界」則是被教師轉換後的學科知識內容，表徵的動機
及目的則是期待表徵能成為師生溝通及學生學習的媒介、傳達物。若以表徵存在 的形式觀之，教師個人所具備的學科內容知識就是教師個人的內在表徵，為達成 教學目的使學生進行有意義學習，教師將內在的學科內容知識與教材、教學情境、 學生學習狀況加以融合、調整、組織成有效的、外顯於教學行為中的外在表徵， 即是教學表徵。 （ （ （ （二二二）二））教學表徵的要素）教學表徵的要素教學表徵的要素 教學表徵的要素 在教育的歷程中，為了達到教學目的，教師將所欲教授的學科內容加以轉化 成教學表徵，做為師生溝通、教學的工具。但轉化的工作並非隨心所欲，轉化的 過程中有些要素必須納入，方能達成教學目的。在進入教學表徵要素的探討之前， 研究者呈現一個轉化學科內容為教學表徵的實際案例，為後續表徵要素的探究提 供一個具體的思維架構。 在教導學生「數字末尾有 0 的乘法，可以簡化為非末尾 0 的部份相乘，而末 尾 0 之個數相加」的概念與演算程序時，教師可以將之轉化為「200×30＝（2×100） ×（3×10）＝（2×3）×（100×10）＝6×1000」的教學表徵，也可以轉化為圖 2-1 的 教學表徵。 黃永和（1997）藉由上述的例子，進一步提出教學表徵的組成要素有二，其 問題：長 200 公尺，寬 30 公尺的長方形，它的面積多少 說明：1.就整個長方形來看面積解法是「200×30」 2.以小格來看，每小格面積是 1000 平方公尺，共有 6 小格，所以長方形 總面積是（2×3）×1000 3.兩者面積相等，所以 200×30＝（2×3）×1000 10 公尺 100 公尺 100 公尺 30 公 尺 圖 圖圖 圖 2-1 「「數字末尾有「「數字末尾有數字末尾有 0 的乘法數字末尾有 的乘法的乘法的乘法」」」」的教學表徵的教學表徵的教學表徵的教學表徵（（黃永和（（黃永和黃永和，黃永和，，，1997199719971997，，，，p.18））））
一是知識的訊息，其二是表徵的策略，茲說明如下： 1.知識的訊息知識的訊息知識的訊息 知識的訊息 知識的訊息亦即教師所欲傳達的學科知識內容是什麼，它包括了學科的實質 （substance）與本質（nature）兩個層面。就實質層面而言，上述「數字末尾有0 的乘法」的兩種教學表徵所要傳達的實質知識便是「數字末尾有0的乘法，可以簡 化為非末尾0的部份相乘，而末尾0之個數相加」的概念與演算程序；就本質層面 而言，上述「數字末尾有0的乘法」的兩種教學表徵分別傳遞了不同的數學本質知 識，第一種教學表徵會讓學習者感受到數學本質是符號的運算，而第二種教學表 徵可以讓學習者體驗到數學是與圖像有關的。 2.表徵的策略表徵的策略表徵的策略 表徵的策略 所謂表徵的策略也就是教師將知識內容轉化為表徵後的呈現方式，以上述的 教學表徵為例，「200×30＝（2×100）×（3×10）＝（2×3）×（100×10）＝6×1000」 的教學表徵在內容上是符號式的，呈現表徵的方式則是採直接說明的方法；而圖 2-1的教學表徵則是以圖像做為表徵的內容，意圖透過類比的方式使學生了解該圖 形表徵所欲傳達的學科內容知識。所謂的類比是將兩個不同領域的知識系統，藉 由彼此間關係的相似性，由已知的知識系統推演至欲知的知識系統而產生理解過 程。也就是說甲之於乙，如同丙之於丁的命題，且甲和乙的關係指向與丙和丁的 關係同向（Gilbert, 1989）。 不論是從 John Dewey 對教學表徵的主張或是黃永和（1997）的論述中皆發現， 教師在運用教學表徵的知識上會涉及學科知識及教學策略或方法兩個層面的整 合，研究者針對上述兩個層面探討教學表徵的類別。 （ （ （ （三三三三）））教學表徵的分類）教學表徵的分類教學表徵的分類 教學表徵的分類 1.從學科知識轉換的觀點探究教學表徵從學科知識轉換的觀點探究教學表徵從學科知識轉換的觀點探究教學表徵 從學科知識轉換的觀點探究教學表徵 Bruner（1966）認為人類是以三種不同的表徵進行學習，亦即動作表徵、圖像 表徵與符號表徵來認知這個世界。他以兒童認知發展的歷程說明上述三種表徵，
首先是經由動作的過程與結果獲得經驗，接著是運用感官對事物所得的心像 （mental images），去了解周圍的事物與現象，當思想接近成熟時，則進一步運用 文字、數字等抽象符號來代表他的經驗知識。因此在Bruner（1966）的觀點之下， 教師轉換學科內容知識為外在表徵給學生學習時，其轉換亦可分為下列三種，即 動作表徵、圖像表徵和符號表徵。
不同於Bruner（1966）由運思方式的觀點探討表徵的類別，Lesh, Post & Behr （1987）以數學為例，用溝通的觀點說明一個概念可以用五種不同的表徵加以詮 釋，並透過下圖2-2說明各種表徵間的轉換情形。 （1）真實情境（real scripts）：這種表徵是由「真實世界」的事件所組成的， 可被用來解釋或解決其他問題的情境。例如：題目中「一打筆」、「一個星期」 的情境設計；或是將數學符號的記錄，以生活情境的方式呈現，如：擬題活動。 本研究將此類表徵稱之為文字問題情境。 （2）具體操作物（manipulatable models）：教師透過具體物之操作，以探討 數學概念。例如利用古氏積木、百格板、圓形分數板、花片等。 （3）圖形（pictures）：利用靜態的圖形模式，如圖表、數線、長條圖、面積 圖等，以探討數學概念。 （4）書寫符號（written symbols）：常用的數學符號或數學算式，如同語言， 也包括特殊化的句子和片語。 （5）語言（spoken languages）：運用日常生活所使用的口語陳述，以表達想 法或概念。
值得一提的是，圖2-2的表徵轉換模式是以圖2-3為基礎，針對其不足之處加以 補充後之結果。從兩張圖中可明顯發現之間的改變，首先明顯看出五種表徵位置 的不同，圖2-3以圖形為中心，而圖2-2則是將五個表徵的位置分列；另外圖2-2將表 徵間的轉換類型做了更完整的描繪，因為圖2-2顯示表徵兩兩之間都一定會有轉換 的關係，但圖2-3則不然。 Manipulative Models Pictures Spoken languages Written Symbols Real scripts 圖 圖 圖
圖 2-2 表徵系統的轉換模式表徵系統的轉換模式表徵系統的轉換模式（表徵系統的轉換模式（（（LeshLeshLeshLesh et al., et al., 1987 et al., et al.,198719871987, p, p, p, p.34.34.34）.34）） ）
Pictures Written Symbols Real scripts Spoken Symbols Manipulative Models
總體而言，Bruner（1966）和Lesh等人（1987）在分析教學表徵類別所持的切 入點不同，即便使用同樣的名稱，其功能也可能不同。但在教學表徵的運用上皆 重視學生的學習預備度是其共通點。Lesh等人（1987）指出，為了協助學生概念 學習，教師在運用教學表徵的過程中，必須去看到不同表徵的困難，這些困難的 原因在於不同的表徵有其自身特質的差異，而使不同表徵本身對學生學習有不同 程度的難易。因此，教師必須能夠預期到學生在學習過程中可能會遇到的困難與 狀況。進而選擇適當的表徵，將所要傳授給學生的數學概念做明確的連結與呈現。 Bruner（1966）也認為教師將學科內容知識轉化為教學表徵時，必須考量學生認知 發展的階段，若能根據學習者智力發展，注重其表徵的運用方式，在教材的難度 與邏輯上的先後順序採取「螺旋課程」（spiral curriculum）之設計，亦即由具體到 抽象、由簡單到複雜、由動作表徵到符號表徵，將有助於學習者在新、舊經驗之 間建立良好的連結（蔣治邦，1994）。 2. 從教學方法從教學方法從教學方法從教學方法、、、、策略觀點探究教學表徵策略觀點探究教學表徵策略觀點探究教學表徵策略觀點探究教學表徵 學科內容知識轉換為符合學生認知能力的表徵後，尚須考量運用表徵的方 式，意即各種表徵必須配合教學方法或策略作呈現，方能符合教學表徵「可教性」 的特質。過去許多研究探討教學表徵的類型側重教學方法、策略等觀點，因此對 教學表徵分類的看法就與前段有所不同。如林曉雯（1995）將教學表徵的形式分 為類比、隱喻、因果說明、範例說明、名詞定義、圖表說明、展示說明、示範說 明、問答引導、問題討論、學生操弄、模擬遊戲及家庭作業等類型。後續許多研 究在探討教學表徵時，便以其分類作為研究架構。 適切的教學表徵應該如同John Dewey所云，必須將學科內容與教學策略做最 佳結合。若僅聚焦於教學表徵運用方式的探討，而忽略表徵運用方式與表徵內容 之間的搭配，便無法呈現出教學表徵的全貌。中國古諺有云「戲法人人會變，巧 妙卻是各有不同」。不同的教師在傳達同一數學概念時，也許同樣運用了提供範 例的表徵策略，但是範例所涉及的內容卻有可能是大不相同。甲老師以實物情境
表徵做為範例，乙老師卻以圖像表徵做為範例。甲老師為何要選擇實物情境表徵 做為範例？乙老師最終又為何以圖像表徵做為範例的內容？選擇與運用的思考歷 程植基於教師個人所具備的教學表徵知識，也是本研究所欲知曉的。
二二二二、、、教學表徵知識的特質、教學表徵知識的特質教學表徵知識的特質 教學表徵知識的特質
Moss & Case （1999）提醒教師在教學時若誤用了表徵，將致使兒童混淆概念。 因此，教師在進行教學過程中使用表徵不得不慎，不僅要善用表徵且不能誤用。 適切運用教學表徵的能力植基於適切的教學表徵知識，當教師具備豐富且合宜的 教學表徵知識，學生才有可能真正獲得概念性的理解。研究者藉由教學表徵的分 析並整理多位學者對教學表徵運用的建議後，歸納出較理想的教學表徵知識應具 備下列三項特質，才足以發展有效且多元的教學表徵，教師始有能力應付瞬息萬 變的教學現場。 （ （ （ （一一一）一））正確性）正確性正確性正確性 從教學表徵的要素分析中可知，無論教師是利用何種表徵，其最終目的均在 於轉化學科內容知識，使學生能獲得正確理解。因此，教師所俱備的教學表徵知 識內涵中，最基本且首要的特質在於教師所使用的表徵，能正確傳達學科知識內 容。換言之，教師所具備的教學表徵知識中對各類教學表徵的認知，必須是正確 無誤的。倘若教師不了解什麼樣的教學表徵才能正確的表徵出某一概念的意義， 更甭提教師有能力判斷教科書內教學表徵是否正確。只能被動接收、不經思考的 使用，不但無法發揮教學表徵的教學功效，反而容易造成學生不當認知的產生。 研究者彙整相關文獻後，歸納出正確的教學表徵知識可由三個面向加以探究，茲 分別說明如下。
首先，誠如McDiarmid, Ball & Adserson（1989）所云「教學表徵包括教材內容 與呈現的方式，呈現方式增加了內容的可理解性，而內容與呈現方式本身都可能 傳達一些潛在的訊息」。爰此，適切的教學表徵知識除了對表徵本身內容能否傳 達正確的學科內容知識有正確的理解之外，亦包含對教學表徵的呈現方式是否有
助於學生理解學科內容知識有正確的認識。倘若教學表徵知識無法具備上述兩項 要件，則其正確性便有待商確。如過去教科書曾出現的 5 3 ×2＝ 5 6 不正確表徵 (如圖 2-4)，以致於學生從圖形表徵中可能會誤以為 5 3 ×2＝ 10 6 （劉祥通、周立勳，2001）。 上述的例子中，教師若具備正確的教學表徵知識便能察覺表徵潛藏的迷思，進而 能對表徵呈現的方式進行調整。反之，若教師的教學表徵知識是錯誤的，對不正 確教學表徵的敏覺度不夠，學生在無形中產生迷思概念也就不足為奇了。 再則，正確的教學表徵知識對於各類教學表徵的適用範圍應有正確的了解。 Sternberg（1985）指出一個完備的教學表徵應具備五種特性，其中之一便是普遍性 （generality），所謂的普遍性係指教學表徵之適用情境的範圍（引自郭銘哲，2004， p.13）。倘若一教學表徵只能適用在特定的情境中，情境轉換後便無法適切的傳達 出學科知識訊息，那麼該教學表徵的普遍性便有所不足。一個只能在特定情境中 發揮傳達等值分數概念功效的教學表徵，相較之下，其正確性便不及一個適用情 境廣泛的教學表徵。因此，教師所具備的教學表徵知識中，對於特定教學表徵的 普遍性及其適用範圍應有正確的認知。如此一來，方能在最適當時機選用最適切 的教學表徵。 最後，對於教學表徵間使用順序有正確的認識，亦為正確教學表徵知識所應 具備的特質。教學表徵使用順序正確與否，關係學生能否從教師所安排的教學表 徵呈現過程中，循序漸進地獲得等值分數概念。正如Wilson, Shulman & Richert （1987）的研究對象生物教師Frank所說的：「…你必須要能對它…有150種的不同 圖 圖 圖 圖 2-4 5 3××××2222＝＝＝＝ 5 6 錯誤表徵 錯誤表徵 錯誤表徵 錯誤表徵 ×2
表徵方法理解，…」。同一概念可透過多種教學表徵加以傳達，過去研究結果也 強調，教師要在教學中多運用、融合不同類型的教學表徵（Marcou & Gagatsis, 2002；Moss & Case, 1999）。但教學過程中並非毫無章法，如同大雜燴般的將各類 教學表徵一股腦兒的呈現在學生面前。因為那些教學表徵之間不是完全獨立，而 是互相有關連，在使用上必須遵循一定的順序方能達成傳達學科內容知識的目 的。就如同啟動一台大型機具的必須依循一定的步驟，步驟間的順序不可有所錯 置，否則將無法順利啟動機具。為求實際教學過程中教師能具備由淺入深、循序 漸進正確使用教學表徵的能力，教師的教學表徵知識中對於各類教學表徵間使用 順序必定得先有正確的認知。 （（（（二二二）二））多樣性）多樣性多樣性 多樣性 單就教學表徵的正確性檢視教學表徵知識的內涵仍舊不足，多樣性也是構成 較完善教學表徵知識的重要特質之一，其原因分為以下兩部份做論述。
首先，Behr, Lesh & Post（1987）提出倘若學生要瞭解一個數學概念的意義他 必須： 1. 理解這個概念在不同表徵中是如何被呈現的。 2. 學生能正確的從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。 Ozgun-Koca（1998）分析並綜合一些數學教育研究計畫結果發現，多樣化的表徵 能協助學生理解重要的數學概念。上述意味著教學活動中「表徵間的轉換」對概 念的獲得是必須的，對於某一概念與知識的教學表徵不能只有一種（Behr, Lesh, Post & Silver, 1983）。教師所具備的教學表徵知識，亦應如同圖2-2或2-3所示，對 於特定概念下各類可資運用的教學表徵均有所認識。同時，對於各類可資運用教 學表徵之間的彈性轉換也都有所理解。當教師的教學表徵越多元，學生方有機會 體會同一概念在不同表徵中的呈現，也越加有可能進行Behr等人所說的「表徵轉 換的學習經驗」。因此，為使數學課室內的活動真正能促使學生產生有意義的理 解。在教師的教學表徵知識中，以多樣化的表徵方式表徵同一數學概念的能力是
重要的。多樣性的意涵並非著重在教師教學表徵知識中表徵數量的多與寡，更關 切的是教師對同一概念是否具有多樣表徵方式的可能性。有了這類知識，不但能 夠幫助學生以一種有意義的方式來學習數學概念，更提供學生許多克服認知失衡 的契機（張熙明，2004）。 其次，教學表徵的性質，亦是教學表徵知識必須具備多樣性的原因之一。Duit （1991）提及教學表徵的不完備性，其認為每一種表徵都有其侷限，沒有所謂完 美的教學表徵。教學表徵就像一把兩面刃，其在幫助學生學習的同時，也可能誤 導其學習。例如有些數學概念，會讓教師覺得某一種類型的表徵模式特別容易讓 兒童接受。當有這樣的情形時，教師也應該仔細思考，此概念是不是只有這個向 度的解釋？只用單一表徵呈現，會不會影響到將來更進一步的概念發展？以分數 的例子說明，分數其實擁有許多面向的解釋。大多數有經驗的教師可能都會發現， 運用圖像表示出「部分/整體」概念，是初期向孩子介紹「什麼是分數？」最容易 的方式。但是，如果太強調這樣的表徵，兒童可能會認為「分數就是一個圖形中 的某部分陰影」，而影響了往後其他分數概念的發展（Murray, Oliver & Human, 1996；Pitkethly & Hunting, 1996）。再者，同樣是以圖形表徵進行分數概念的教學， 連續量的圖形表徵和離散量的圖形表徵會有不同的功能，也有不同的限制。若教 師在教學時能顧及兩種不同型態的表徵，學生就不會有只認為下圖2-5A陰影處是 4 1 ，卻不認同圖2-5B也代表 4 1 的迷思概念。 圖圖圖圖 2-5 4 1 的圖形 的圖形 的圖形 的圖形表徵表徵表徵表徵 ● ○ ○ ○ A B
（（（（三三三三））））認知性認知性認知性認知性 教學表徵知識必須具備認知性此特質，研究者彙整相關文獻後認為，教學表 徵知識的認知性可從下列幾個面向加以析論。首先，教學表徵是教師在課堂教學 過程中與學生溝通的橋樑（張熙明，2004）。透過教學表徵，教師將看不到的內 在思維外顯，使數學教室內的溝通有內容，進而容易在教室內衍生數學意義。但 溝通的橋樑並非教師任意搭建即可，還得考量學生在特定單元已具有的先備知 識。若教師使用的教學表徵超出學生的認知能力，那麼就算該教學表徵能正確傳 達學科知識訊息，也無法被學生吸收、內化。因此，教學表徵知識的認知性強調 即便是正確的表徵，也得與學生認知能力有所接軌才算得上是適切的教學表徵。 Watanabe(2002)便發現許多教師會運用「數線」來引導學生建立「分數是數」的概 念。雖然符合數學理論上的知識性與正確性，但實際上對許多學童而言，使用數 線來理解分數概念是有困難的，反而是對於已經擁有「分數是數」概念的學童來 說，數線才具有意義。因此，只有當教學表徵對學生有意義時，方能發揮溝通、 促進理解的功能。其次，教師對於教學表徵所適用的問題情境亦應有所理解，亦 即對於表徵在特定問題情境中可能產生的限制應有深入且適切的認知。因為性質 不同的問題其所適用的教學表徵也不盡相同，甚且某些教學表徵運用於特定問題 情境中會產生限制與困難。是以，教師的教學表徵知識內涵中必須包含對不同性 質問題之最適教學表徵的理解，方能隨問題情境之變化彈性靈活地選用教學表 徵。最後，教學表徵知識中亦須包含有關教學表徵對學生可能產生之迷思概念的 相關知識。如此一來，教師方能在面臨學生所表現的迷思概念時，針對學生獨特 性的學習問題，選擇最適合學生的教學表徵。總之，認知性係一適切的教學表徵 知識必備特質之一。具備認知性的教學表徵知識方能協助教師確定課程中所選用 的工具、方式、符號、語言等表徵，對學生數學學習以及概念發展而言都是合適 的。換言之，認知性係教學表徵知識能否成為教師選擇適切表徵過程中最佳指引 的關鍵所在，使教師有能力在眾多教學表徵中判斷、選擇何種表徵及表徵運用的
方式對學生概念的理解是最有利的。 三 三 三 三、、、影響教學表徵知識的因素、影響教學表徵知識的因素影響教學表徵知識的因素 影響教學表徵知識的因素 教學表徵知識會受各種因素影響，每一位教師的教學表徵知識也不相同，研 究者整理文獻中提及影響教學表徵知識的因素不脫下列四項，分述如下： （（（（一一一）一））學科知識）學科知識學科知識 學科知識 教學品質隨著教師對學科知識瞭解的深度而有變化，即便是小學課程，學科 知識貧乏的教師，也常難以對學生解釋重要的概念（簡紅珠，1994）。可見教師 對學科的理解越廣泛、越深入，則越能選擇、創造與使用適當且多元的教學表徵， 其教學表徵知識的內涵也愈加豐富。McDiarmid等人（1989）強調教師應該對任教 學科有靈活的、深思的、概念的理解，「靈活的理解」意指教師能知道某一學科 中的某事件與該學科領域之內、外的其他事件之聯結；「深思的理解」意指教師 能了解該學科領域的知識是如何產生與證實的；「概念的理解」意指教師能了解 解釋某一事件時所需具備的基本概念與關係。在過去的實徵研究（Ebert, 1993； Marks, 1990；Steinberg, Haymore & Marks, 1985）上均指出，具有較優數學知識的 教師可以清楚了解教學目標及學生學習困難的原因，較能使用恰當、合宜的教學 表徵幫助學生學習。因此，學科知識是影響教學表徵知識的因素之一。 （ （ （ （二二二）二））教學知識）教學知識教學知識 教學知識 教學知識乃是指一般的教學原則、方法與策略等方面的知識。黃幸美（1999） 認為教師必須對教學目標、如何設計教學活動、引發學生學習動機等知識有所了 解，方能選擇合適的教學表徵加以搭配。誠如John Dewey所云，教學表徵的目的 在於整合學科知識與教學策略。具備足夠的教學知識，才能在教學目標與原則的 引導下，以各種方法和教學策略協助教師將學科知識轉為適當的教學表徵。可見， 教學知識亦是影響教學表徵知識的因素之一。 （ （ （ （三三三）三））學習者知識）學習者知識學習者知識 學習者知識 學習者知識包括一般及特定學生如何認知、思考、學習的歷程，與能力、動
機、情緒、風格的了解。同時也包含了學生在學習特定主題時已具有的先前概念、 可能產生的迷思概念之理解等。教學成敗的關鍵在於教師透過學生的眼光來看待 學科知識的能力，方能選擇學生易於理解的教學表徵。而教師要獲得這樣的能力， 須對學生學習歷程與獨特風格進行充分的了解。Carpenter, Fennema, Peterson, & Loef（1989）所進行的認知導向教學計畫（Cognitively Guided Instruction Project） 研究指出，增加教師對學生學習困難的知識，以及學生在特定內容「加和減」單 元中所使用的解決問題策略後，教師更能以不同的表徵方式去呈現數學問題或概 念。因此，教師對學習者知識理解亦為教學表徵知識影響因素中不可或缺的部份。 （ （ （ （四四四）四））情境脈絡知識）情境脈絡知識情境脈絡知識 情境脈絡知識 情境脈絡知識包括形成教與學之歷程的社會、社區、學校、班級、政治、文 化、物理環境的理解。根據過去研究文獻發現，教科書與教學指引、中央地方或 學校教育政策，學校資源、教學進度壓力、家長的干預、社會大眾對教師教學和 學生學習的期望等因素，皆會影響教師教學表徵的運用。Clark（1988）的研究指 出，當教師在計畫教學時，教科書和教學指引往往是主要或唯一的參考來源。一 旦教科書被選定，教師即將教科書視為教學活動的重要依據，而且很少修改裡面 的內容，教科書裡對教學內容所呈現的表徵方式，教師經常原封不動地放入教學 情境中，因而形成過度依賴教科書或教學指引的傾向（沈桂枝，1995；林進材， 1997）。林曉雯（1995）研究一位國中資深教師的教學表徵時，也指出該教師對 校內外的軟體之資源的認識，以及社會、學校、家長、學生對它的期望認知是影 響其教學表徵形成的重要脈絡因素。因此，在論述教師的教學表徵知識內涵的同 時，教師所處的情境，及其對此情境的理解均必須納入考量。 綜上所述，教師教學表徵的選擇及運用與其所擁有的學科知識、教學知識、 對學生及教學情境的知識有關。一位有經驗的教師會統合上述的所有知識，對教 學表徵的選擇與運用進行綜合性理解，進而在教學時呈現適當的教學表徵給學習 者，幫助學習者學習學科知識，這類統整性的知識即教學表徵知識。
四 四 四
四、、、教學表徵知識的來源、教學表徵知識的來源教學表徵知識的來源 教學表徵知識的來源
在實際的教學情境中，教師所具備的教學表徵知識可由下列五種來源產生而 獲得（Grossman, 1988；Marks, 1990；McDiarmid et al, 1989）：
（一）課程教材：包括教科書、習作、教師指引、教具以及其他教學用的補 充教材，這些課程教材本身便是一種教學用的表徵知識來源。 （二）師資培育及在職進修課程：師資培育及教師在進修中的各科教學研究 等課程，常提供了各學科的教學方法與表徵策略，另一方面也協助職前及在職教 師自己創造教學表徵的能力。 （三）學習經驗：許多教師對於某一特定主題該如何教學與表徵的概念可追 溯自學生時代，他的老師是如何去教這些主題的，以及他自己的學習過程中所獲 得的知識，這些特定內容之教學策略的記憶成為教師教學表徵知識的來源。 （四）創造：教師也從自己對學科、教學、學生、情境脈絡的理解與想像來 創造自己的教學表徵知識，包括對其他教學表徵的修正，或是原創性的發明。 （五）其他：包括了同事間的經驗分享、學術性的教育研究報告、教育性的 期刊文章、教學觀摩所獲得的經驗等。 參 參 參 參、、、、教師教學表徵知識相關研究與啟示教師教學表徵知識相關研究與啟示教師教學表徵知識相關研究與啟示教師教學表徵知識相關研究與啟示 教師所具備的教學表徵知識越豐富、充足，越有能力在特定學科內容教學及 協助學生釐清迷思概念等教學事件上有較好的表現，也凸顯出教學表徵知識在教 學中舉足輕重的地位。但當研究者試著搜尋國內有關教師教學表徵知識及其運用 的研究資料時，卻發現關於教師教學表徵知識研究的數量寥若晨星。多數的研究 聚焦於教師在教學過程中呈現教學表徵的方式為何，如林曉雯（1995）以一國中 生物教師為對象，探討其教學表徵的形式、形成過程及影響個案教師形成教學表 徵的知識成份及其內涵；郭銘哲（2004）探討高中生活科技教師的教學表徵類型、 使用情況及學生反應；林泰源（1996）探究一位實習理化教師，實際教學時所營 造的教學情境、所呈現的教學表徵、教學情境與教學表徵間之關聯及形成此關聯
之因素；吳青宸（2004）探討一位國小資深自然科教師協助兒童學習的教學表徵； 及劉麗玲（2000）以一位資深的國中理化教師為個案，探討教師的教學表徵類型、 來源、新表徵的發展、影響個案教師教學表徵之教師知識內涵以及學生對個案老 師教學表徵的感受等；洪綺霞（2004）探討國中資淺、資深自然科教師在溫度與 熱單元中教學表徵的運用情形。綜觀上述各研究，研究者將依研究樣本、領域、 取向、範圍、及方法等向度，分述其對本研究的啟示。 一一一一、、、研究樣本、研究樣本研究樣本、研究樣本、、、領域領域領域領域 從上述的文獻中發現，教學表徵的研究其對象多元，舉凡不同教育階段下的 教師，如國小、國中、高中教師；不同教學資歷的教師，如實習、資深教師，均 有研究人員進行探究。但所探究的學科都侷限在自然學科，如生物、物理、生活 科技、自然等領域，可見教學表徵知識在其他領域尚待後續研究持續投注心力。 黃芳玉（2003）在探討六年級學生數學表徵能力的研究結果顯示，學生的語言表 徵能力以及圖形表徵能力不如計算能力那樣流暢，以至於學生雖然能夠運用算則 的方式找出正確答案，但是卻無法運用圖形表徵以及語言表徵，來解釋題目以及 運算所代表的真正意義。如果教師的教學表徵知識不足，只能機械式的提供各種 公式、算則的「口訣」給予學生記憶，無法以更多元的、合乎學生認知發展的表 徵協助學生理解計算規則，則難以期望學生能發展出Behr等人（1987）所提出的 「表徵間轉換」的能力。因此，研究教師數學教學表徵知識更有其重要性與迫切 性。 二 二 二 二、、、研究方法、研究方法研究方法 研究方法 在研究方法上，過去的研究皆以質性研究中觀察的方式進行，透過教室觀察 蒐集教師在教學課堂上所呈現的教學表徵，進而了解教師所俱備的教學表徵知 識。但研究者認為這樣的研究方式所得資訊有其侷限，主因在於教師進行教學的 當下有其獨特的脈絡情境，如學生當時的反應、所使用的教科書內容編排、教學 時間的侷限、教師個人情感等因素。因此，實際教學中教師所展現的教學表徵只
能說是其教學情境中表徵的運用情形，是教學表徵知識的一部分，卻無法完整呈 現教師所具備的教學表徵知識。且觀察法的限制在於許多現象是可遇不可求，研 究者礙於研究時間的限制，無法靜待現象的自然發生。因此，在本研究中研究者 會改以深度訪談的方式，提供各種教學預擬情境以及學生學習錯誤類型，詢問教 師會如何運用教學表徵協助學生學習或破除迷思概念，期望以有別於以往的方式 探究教師所具備的數學教學表徵知識。 三 三 三 三、、、研究範圍、研究範圍研究範圍 研究範圍 研究者發現過去在探究教師教學表徵選擇運用的相關知識時，雖然有設定在 某一特定的學科教學情境中進行觀察，但是從教學表徵的特性觀之，教學表徵的 形成、選擇及評鑑教學表徵的過程都需以學科專門知識為素材、基礎，判斷教學 表徵是否恰當。這種學科特性並不是每一種科目皆相同，造成教學表徵具有學科 專一性（Shulman, 1986）。因此，教師在不同的學科所呈現的教學表徵會有所不 同；甚至，教師在同一學科中的不同章節所呈現的教學表徵也會有所不同。若僅 針對特定學科教學了解教師教學表徵知識，對於教師較細部、深層的教學表徵知 識難以作深入的描繪。因此，本研究將教師教學表徵知識的內涵設定在等值分數 概念中，藉由了解教師如何運用教學表徵協助學生建立等值分數概念，及運用教 學表徵幫助學生調整錯誤反應或迷思概念為途徑，探究教師所具備的等值分數教 學表徵知識內涵。 四四四四、、、研究取向、研究取向研究取向 研究取向 在之前的論述中研究者已概略提及，從教學表徵的組成要素檢視教學表徵知 識必須包含學科內容訊息及教學策略。但過去的研究中均偏向探討教學表徵知識 中的教學策略與方法，亦即呈現表徵的方式，如提供範例、圖表說明、示範、類 比等教學方法，卻忽略了轉化學科內容訊息的表徵型態。例如提供什麼樣的範例 內容協助學生明白概念等，這才是主要能促使學生概念理解的關鍵所在，因此本 研究將以探討個案教師教學表徵之陳述性知識，亦及教師對各類教學表徵內容之
認識與理解為主，而關於教師運用、呈現教學表徵之方式等程序性知識則為輔。 但在教學表徵的分類中發現，不同學者有不同的分類方式，該採用何種分類方式？ 是否每一種表徵類型均納入本研究範圍之內？則在下段進行論述。 蔣治邦（1994）指出Bruner（1966）運思的觀點，較注重內心歷程的改變，表 徵間的差異在於抽象程度。而Lesh等人（1987）以溝通觀點提出的表徵是屬於外 在的表現，可以透過訪談或評量來得知教師的表徵知識狀況。因此，本研究所謂 的教學表徵採Lesh等人（1987）的分類為依據。此外，本研究僅探討教師教學表 徵知識中與文字問題情境、具體操作物模式與圖形模式等三類表徵相關的內容。 原因有二；首先，相較於語言與書寫符號，文字問題情境、具體操作物與圖形更 為具體、外顯，有利於未來研究問題設計與資料蒐集的進行。其次，Post, Wachsmuth, Lesh & Behr（1984）的研究指出，若學生對具體化表徵的理解有困難，其對有意 義的數學符號表徵上的理解也將被認定是有困難的，無異彰顯了教師關於具體教 學表徵必須有所認識與理解的重要性。因此，研究者認為在教師教學表徵知識的 探索上，關於文字問題情境、具體操作物和圖形等三類具體化程度較高的表徵， 應是首要且迫切須要被了解的。但這並不意味研究過程中不會觸及符號表徵或語 言表徵，符號及語言表徵仍會是資料蒐集的工具之一。整合上述，本研究以探討 教師個人在特定學科內容教學情境下，其對文字問題情境、具體操作物、圖形三 類表徵之認識與理解的相關知識作為研究標的。
第二節
第二節
第二節
第二節 等值分數教學表徵之探究
等值分數教學表徵之探究
等值分數教學表徵之探究
等值分數教學表徵之探究
在國小教育階段，有關分數概念的學習是主要的課程重點之一，而等值分數 更扮演著重要的角色。其主要原因如下：1.學生具備基本的分數概念後，必須先瞭 解等值分數的意義才能進一步發展有理數的概念；2.學生在比較兩個分數的次序關 係時，仍須考慮分數的等值關係；3.等值分數的概念了解有助於學生處理分數四則運算問題；4.等值分數和許多重要的數學概念（如比、比例、機率、小數、百分率 等）有密切的關連性，而這些概念是學生學習基礎學科知識所必須（引自陳靜姿， 1999，p.126）。由此可見，等值分數在分數課程中有其承先啟後的重要地位。 Vance（1992）指出等值分數的概念，就像任何一個數學概念的發展一樣，教 學表徵的運用需隨著時間慢慢脫離具體的狀態，進而形成抽象的表徵，最終方能 達成分數等值概念的建立。Vergnaud（1988）早先也曾指出發展某一概念的要素， 首先必須提供使概念有意義之情境的集合；其次，是用來表達情境的表徵。Vergnaud 的論述除了更加確認教學表徵在教學過程中的重要性，也揭示問題情境與教學表 徵的不可分割性。教學表徵的呈現是為了使問題情境的意義更加清楚，職是之故， 教師在教學上所運用的教學表徵無法脫離問題情境，更無法跳脫情境而單獨存 在。在此前提之下，分數的多重意義將使得等值分數概念的發展可加以運用的問 題情境變化繁多，而表徵等值分數概念的教學表徵系統亦隨之多元。本節論述核 心聚焦於等值分數教材下的教學表徵，透過文獻的整理進而分析各類教學表徵其 適用的情境、發展分數等值概念上可能產生的侷限及其與學生錯誤類型的關連。 壹 壹 壹 壹、、、、等值分數的教學等值分數的教學等值分數的教學等值分數的教學表徵表徵表徵 表徵 在等值分數課程中，較為常用的具體表徵素材可概分為三種模式，分別是連 續量（continuous）模式，例如：圓形分數板、矩形分數板、摺紙；離散量（discrete） 模式，例如：塑膠花片；及線性（linear）模式，例如：古氏積木、數線。而上述 三類表徵模式又可依前一節Lesh等人（1987）的表徵分類架構再細分具體操作物， 如：圓形分數板、矩形分數板、摺紙、塑膠花片以及古氏積木；圖形，如數線、 圓形和矩形。同時，上述各類具體表徵素材也可透過問題情境的設計加以呈現。 這些表徵均能協助學生透過具體、半具體的操作，建構其對等值分數的理解，最 終進入符號表徵（張熙明，2004）。各類表徵均有其適用的時機及主要的功用， Lesh, Landau & Hamilton（1983）指出各種表徵系統之間在詮釋某一概念上各有其 優勢，有時一張圖片在解釋概念上比千言萬語還來得有用；有時語言卻是較清楚
且有效的表徵。此外，學生在等值分數表現上的錯誤類型也與教學表徵息息相關。 因此，在等值分數概念的傳達上，教師應能掌握各類問題情境中可加以運用的教 學表徵，並在最適切的時間點加以呈現，茲分述如下。 一一一一、、、連續、連續連續量連續量量模式量模式模式 模式 連續量模式常用於表達等值分數概念中同一分量可以有不同的子分割活動的 意義，以圓形、矩形和摺紙最為常見，分述如下。 圓形、矩形依其運用方式，又可分為具體操作物及靜態圖形兩類。從下圖 2-6 觀之， 2 1 圓的面積和 2 個 4 1 、3 個 6 1 、4 個 8 1 圓的面積都相等，因而 2 1 ＝ 4 2 ＝ 6 3 ＝ 8 4 ， 可以說明擴分的概念。反之，將幾條分割線拿走，就好像是以同樣的數字來除分 子、分母，形成約分的形式（Vance, 1992）。 教師可以選擇圓形亦可使用矩形做為表徵等值分數的媒介。但陳梅生、周筱亭 （1989）以及Cramer, Post & delMas（2002）皆認為使用圓形能收到較大的效果。 Cramer等人甚至在其所設計的RNP（Rational Number Project）課程實驗裡將「圓 形分數板」的操作活動列為所有具體操作物表徵中的第一。原因在於，圓形的「部 分」和「全體」的單位有明顯的不同，而所有的「部分」具有高度的同質性（Cramer, Post, & delMas, 2002）。選用圓形作面積等分割，其分割活動的結果皆為同一形狀， 學生可以用重疊的方式檢驗等分割活動的結果。但使用矩形或方形作面積等分 割，由於分割的方式不同，可能產生等積異形的分割結果，如圖2-7所示。倘若學 生尚無面積的保留概念，就較難理解這些不同形狀的分割結果實際上面積相同， 有等值的意義。但文獻也指出圓形在進行奇數等分割或非連續對摺等分割的操弄 2 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 圖 圖圖 圖 2----6666 等值分數的圓形分數板表徵等值分數的圓形分數板表徵等值分數的圓形分數板表徵等值分數的圓形分數板表徵
