第二節
第二節 第二節 等值分數教學表徵之探究 等值分數教學表徵之探究 等值分數教學表徵之探究 等值分數教學表徵之探究
在國小教育階段，有關分數概念的學習是主要的課程重點之一，而等值分數 更扮演著重要的角色。其主要原因如下：1.學生具備基本的分數概念後，必須先瞭 解等值分數的意義才能進一步發展有理數的概念；2.學生在比較兩個分數的次序關 係時，仍須考慮分數的等值關係；3.等值分數的概念了解有助於學生處理分數四則
運算問題；4.等值分數和許多重要的數學概念（如比、比例、機率、小數、百分率 等）有密切的關連性，而這些概念是學生學習基礎學科知識所必須（引自陳靜姿，
1999，p.126）。由此可見，等值分數在分數課程中有其承先啟後的重要地位。
Vance（1992）指出等值分數的概念，就像任何一個數學概念的發展一樣，教 學表徵的運用需隨著時間慢慢脫離具體的狀態，進而形成抽象的表徵，最終方能 達成分數等值概念的建立。Vergnaud（1988）早先也曾指出發展某一概念的要素，
首先必須提供使概念有意義之情境的集合；其次，是用來表達情境的表徵。Vergnaud 的論述除了更加確認教學表徵在教學過程中的重要性，也揭示問題情境與教學表 徵的不可分割性。教學表徵的呈現是為了使問題情境的意義更加清楚，職是之故，
教師在教學上所運用的教學表徵無法脫離問題情境，更無法跳脫情境而單獨存 在。在此前提之下，分數的多重意義將使得等值分數概念的發展可加以運用的問 題情境變化繁多，而表徵等值分數概念的教學表徵系統亦隨之多元。本節論述核 心聚焦於等值分數教材下的教學表徵，透過文獻的整理進而分析各類教學表徵其 適用的情境、發展分數等值概念上可能產生的侷限及其與學生錯誤類型的關連。
壹 壹 壹
壹、、、、等值分數的教學等值分數的教學等值分數的教學等值分數的教學表徵表徵表徵 表徵
在等值分數課程中，較為常用的具體表徵素材可概分為三種模式，分別是連 續量（continuous）模式，例如：圓形分數板、矩形分數板、摺紙；離散量（discrete）
模式，例如：塑膠花片；及線性（linear）模式，例如：古氏積木、數線。而上述 三類表徵模式又可依前一節Lesh等人（1987）的表徵分類架構再細分具體操作物，
如：圓形分數板、矩形分數板、摺紙、塑膠花片以及古氏積木；圖形，如數線、
圓形和矩形。同時，上述各類具體表徵素材也可透過問題情境的設計加以呈現。
這些表徵均能協助學生透過具體、半具體的操作，建構其對等值分數的理解，最 終進入符號表徵（張熙明，2004）。各類表徵均有其適用的時機及主要的功用，
Lesh, Landau & Hamilton（1983）指出各種表徵系統之間在詮釋某一概念上各有其 優勢，有時一張圖片在解釋概念上比千言萬語還來得有用；有時語言卻是較清楚
且有效的表徵。此外，學生在等值分數表現上的錯誤類型也與教學表徵息息相關。 子、分母，形成約分的形式（Vance, 1992）。
教師可以選擇圓形亦可使用矩形做為表徵等值分數的媒介。但陳梅生、周筱亭
（1989）以及Cramer, Post & delMas（2002）皆認為使用圓形能收到較大的效果。
Cramer等人甚至在其所設計的RNP（Rational Number Project）課程實驗裡將「圓 形分數板」的操作活動列為所有具體操作物表徵中的第一。原因在於，圓形的「部 分」和「全體」的單位有明顯的不同，而所有的「部分」具有高度的同質性（Cramer, Post, & delMas, 2002）。選用圓形作面積等分割，其分割活動的結果皆為同一形狀，
學生可以用重疊的方式檢驗等分割活動的結果。但使用矩形或方形作面積等分
並不容易，故圓形也有其限制。
思考等值的意義。但因將兩分數的分子、分母各自視為獨立的數，而衍伸出錯誤 的加法性思考。教師必須對這類因特定教學表徵所可能引起的迷思概念有所體 認，方有可能進一步思考是否有其他表徵模式可矯正學生概念迷思之方法。
連續量模式下另一種常用的表徵類型便是摺紙，透過摺紙這類具體操作物可 以說明或讓學生練習如何找出等值分數，其運用方式如下圖 2-8 所示。首先對摺三 張紙，沿摺痕做上記號，然後在每一部份寫上
2
1，再將紙摺好，再將它們分別摺
成二等分、三等分及四等分，便可運用這三張紙說明 2 1＝
4 2＝
6 3＝
8
4。實徵研究
上也發現，摺紙這樣的具體操作物表徵對等值分數的理解有其效用。Bohan（1971）
用不同的方法教 11 歲的孩童等值分數，實驗結果以具體操作的摺紙最容易被學生 接受，靜態的圖形次之，抽象的數值方法最難。
連續量模式亦有其共通的缺點與運用上的限制：首先，圖形或具體操作物所 提供的知覺線索(perceptual cues) 會影響兒童等值分數符號的產生，如分割線的多 寡與分割線的位置。教師若要以連續量模式的表徵作為教導等值分數概念的媒 介，則必須考量學生是否可以突破該知覺線索所帶來的瓶頸。其次，等值分數問 題中分子、分母的數字大小也影響著連續量表徵的實用性。因連續量模式主要是 藉由呈現對同一分量進行不同子分割後，並不會造成量或大小的改變來形塑等值 分數的意義。當分子、分母數字過大時，易造成分割不易、影響解題的情形產生。
因此，就長遠性來看，單純的比較區域面積這種連續量模式，不足以作為表徵等 圖
圖 圖
圖 2-8 等值分等值分等值分數的摺紙表徵方式等值分數的摺紙表徵方式數的摺紙表徵方式數的摺紙表徵方式
值分數意涵的主要模式（林碧珍，2007）。
總括來說，連續量模式仍是學生初期在發展分數等值概念上最易接受的表徵 模式（Hart, 1981；Kerslake, 1986；Larson, 1987；Novillis, 1976）。正因如此，教 科書在等值分數單元的問題情境安排上均以分數的部份/全體意義入手。而這樣的 教材安排，如同前一節在影響教學表徵知識的因素中所云，也間接的造成教師對 各類教學表徵之認識及運用上的限制。從 Ma（1999）對大陸與美國小學教師數學 教學知識的研究中便可窺知一二，該研究發現有相當比例的教師對於分數所代表 的意義並不了解。因此，教師在教學上所能舉出的情境問題以及運用的教學表徵 僅侷限在部分與整體形式中的連續量模式一類。李慧鳳（2004）的研究中也指出 部分教師在等值分數教學時，著重於連續量的情境，因此對於離散量情境的等值 分數操作不太理解。
二二二二、、、離散、離散離散量離散量量模式量模式模式 模式
離散量模式與連續量模式最大的差異在於做為基準單位量的物品其計數性質 不同，因而對學生產生等分活動上的差異（周筱亭、黃敏晃，2001）。例如選取一 條繩子當為基準量（連續量）與選取一盒內含 6 顆糖果為基準單位量（離散量），
要求學童進行六等分割時，對於初次接觸分數活動的學童是不同的分割活動，前 者必須切割，而後者只要點數內容即可，是一種再分類（regrouping）的活動。
在離散量模式中，等值分數意指同一分量有不同的分類活動的概念。以下圖 中的 12 個花片為例，其中的 6 個花片因為分類方式的不同而產生不同的分數名 稱，卻不因此而改變其數量，從中也衍伸出分數
12 6 ＝
4 2＝
2 1＝
6
3的等值意義。
12 6
4 2
2 1
6 3
圖圖圖
圖 2-9 等值分數的離散量表徵等值分數的離散量表徵等值分數的離散量表徵等值分數的離散量表徵
但是離散量模式的運用有其先備條件，學生必須要能分辨份數與基準單位量內的 元素個數的差別，同時也必須能分辨「1 份」與「1 份內的個數」的差別，此時教 師運用離散量模式傳達等值分數的概念才有意義。如同甯自強（1997）所指出「能 將分數應用於單位分數內容物是複數個個物情境中，是瞭解等值分數的根本。」
以上論述可推知，倘若一位教師長期所提供的離散量表徵，其單位分數內容 物皆為單一個個物的模式。當問題情境涉及單位分數內容物為複數個個物時，便 容易造成學生理解等值分數概念的障礙。從下列師生對話以及學生的作答情形可 獲得映證（引自林芳玉，2003；彭海燕，1996）。
1.
I：黑色三角形佔全部的幾分之幾？
S：
9 3
I：還可以有別的分數嗎？
S：沒有
I：我看你們班上有人選三分之一，他們告訴我可以這樣做（取出花片三紅、
六白，把花片三個三個分成一堆），這樣做是不是三分之一呢？
S：不可以 I：為什麼
S：這裡面都太多個了（指一堆）
2.
題目：媽媽本來把10個雞蛋裝一盒，下圖劃掉的部分是被媽媽用來做蛋炒 飯的雞蛋，請問媽媽用掉的雞蛋是
( )
5 盒雞蛋？
在雞蛋問題中，學生最主要的錯誤答案是看到被畫掉4個雞蛋，便將答案寫成是
( )
5
4 ，可見其尚未具備彈性調整單位分數內容物個數的能力，混淆「個」和「盒」
單位的不同。王淵智（2005）認為學生若無法掌握問題情境中同時出現的兩個單
位甚至三個單位，亦即學生分數概念的發展尚未到達測量運思階段，無法理解巢 狀分數的概念，將影響到等值分數的表現。因此，如何協助學生掌握整體單位和 部分單位間的關係，便考驗著教師表徵運用的能力。以上例而言，教師可運用文 字問題情境的調整或設計，凸顯單位間的不同協助學生注意其中的差異。如「一 盒月餅12個，依包裝方式可分每4個裝一包的和每2個裝一包的，那8個月餅可以裝 成3
2盒，也可以裝成
( )
6 盒」。
本節的一開始便提及教學表徵各有其適用的問題情境，離散量模式也不例 外。國小高年級開始等值分數概念正式展開，問題情境的編排上大致可分為三種
本節的一開始便提及教學表徵各有其適用的問題情境，離散量模式也不例 外。國小高年級開始等值分數概念正式展開，問題情境的編排上大致可分為三種