第三節 第三節
第三節 等值分數教學表徵知識的正確性內涵 等值分數教學表徵知識的正確性內涵 等值分數教學表徵知識的正確性內涵 等值分數教學表徵知識的正確性內涵
在此節中，研究者主要探討小林老師教學表徵知識之正確性。教學表徵的特 性之一在於結合學科內容知識與教學方法，最終目的則是將學科的實質內容與訊 息進行適切的傳達。其中，又以能正確無誤的表達出學科的實質內容為首要條件。
試想一個教學表徵若缺乏正確性，無法協助學生發展正確的學科知識，那麼即便 教學表徵再多樣、再符合學生認知能力，也都將喪失其意義。準此而言，教學表 徵知識的正確與否顯得格外重要。若教師對各類教學表徵的認識與理解缺乏正確 性，教師誤用不正確的教學表徵，便有可能誤導學生使其產生迷思概念。
本研究並未透過實際觀察小林老師教學過程中的表徵運用，加以了解其對教
學表徵了解的正確性，而是經由如下兩類途徑探求小林老師教學表徵知識的正確 性。首先，在訪談過程中提供教學表徵運用的教學案例，以及過去文獻所發現學 生在教學表徵運用上常見的錯誤類型，詢問小林老師對案例中教學表徵的看法與 認知，從中加以分析探究其對教學表徵的認識與理解是否具備正確性。其次，研 究者藉由要求小林老師針對學生的錯誤情形，提出合適的教學表徵加以矯正。從 中亦可了解小林老師教學表徵知識中所包含之教學表徵的正確性情形。研究者認 為當吾人在界定某一教學表徵正確與否時，並無法得到一絕對的定論。因為教學 表徵究竟是正確或錯誤端看從何種角度、規準加以檢視。同樣的教學表徵在某一 規準之下具備正確性，但改以另一規準加以檢視時，便有可能成為錯誤的教學表 徵。爰此，研究者透過文獻整理時所歸納的教學表徵正確性判定規準，深入剖析 小林老師對各類教學表徵之認識與理解是否正確，歸納其教學表徵知識在正確性 所呈現出的特點，茲分述如下。
壹 壹 壹
壹、、、從、從從從「「「「呈現方式呈現方式呈現方式呈現方式」」」」面向加以檢視面向加以檢視面向加以檢視面向加以檢視教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識---- ----能運用適切的表徵呈現方式能運用適切的表徵呈現方式能運用適切的表徵呈現方式傳達能運用適切的表徵呈現方式傳達傳達傳達 表徵內容以
表徵內容以 表徵內容以
表徵內容以避免錯誤的潛在訊息避免錯誤的潛在訊息避免錯誤的潛在訊息避免錯誤的潛在訊息
教學表徵包括教材內容與呈現的方式，呈現的方式增加內容的可理解性，而 內容與呈現的方式本身都可能傳達一些潛在的訊息（McDiarmid , Ball & Adserson , 1989）。由此可知，教學表徵的正確性不僅要顧及是否正確表徵學科知識內容，
教學表徵呈現的方式亦是正確性的一環。倘若教學表徵本身的正確性無誤，但因 錯誤的呈現方式，亦即運用教學表徵的方式不當，不但無法如期發揮教學表徵的 功效，反而會有反效果的產生。因此，教師對於教學表徵之內容與呈現方式能否 正確傳達等值分數概念，都應有正確合宜的理解。
基於上述理由，研究者從教學表徵「呈現方式」正確與否此面向，對小林老 師的教學表徵知識進行檢視。研究者發現，小林老師對於呈現同一教學表徵的各 種方式皆有所理解，且具備從中選用最適切的表徵呈現方式，避免表徵傳達出錯 誤訊息的正確知識。易言之，小林老師了解各種表徵呈現方式，對表徵內容本身
在正確傳達等值分數概念上所可能產生的不良影響。因此，當研究者要求小林老
研：你會怎麼畫？
林：比如說 4
1是這樣【在紙上畫一個圓形，等分割為四等分，將左上角的一等份畫 上斜線】，然後你再去怎樣，在上面做切割的動作【再將每一等分再等分割為 三等分】，你會發現到切完的時候，學生可以很明顯的發現到總共有 12 塊，那 原來的大小佔了幾塊？三塊。
研：為什麼？有差嗎？
林：嗯~【停】因為你剛剛畫的那種圖，可能會對一些程度比較差的學生，他們會 有一些錯誤的想法
研：錯誤的想法？
林：就是像你剛剛畫的這個圓【指著等分為 4 等分的圓】學生可能不是看畫斜線的 部份，他們會看說還有三塊才會變成一個完整的圓。那這個圓【指著等分為 12 等的圓】學生就會想說還要 9 塊才能變成一個完整的圓，所以反而會覺得說
4 1
比 12
3 小。與其這樣還不如一開始就用同一個圖形去分割，也比較不會有剛剛 的問題發生阿。【T961218，4，2-27】
小林老師指出圖形中整個單位量的等分割並不完整，部份低成就的學生根本無法 從圖形中得知 b 區塊以及 cde 區塊所代表的分數意義，更別提要使學生從圖形表徵 中了解4
1和 12
3 之間等值關係。因此，小林老師提出如下圖 4-8A 的圖形表徵。該圖
形表徵是在同一單位量上重複進行等分割或等分組，藉以表徵兩分數在圖形表徵 上雖然顯示出不同的分數結構（分割份數與合成份數雖然不同），但量卻是相同 的等值意義。值得一提的是，訪談過程中研究者提出另一種呈現圖形表徵的方式，
亦即運用兩個大小相同的單位量作為對照圖形，再分別將兩分數轉化至圖形上的 圖形表徵，如下圖 4-8B 所示。該圖形與圖 4-8A 同樣是透過兩分數間存在等量的關 係，加以解釋等值分數概念。但小林老師認為分別在兩個相同大小的圖形上表現 出不同的分數結構，就表徵內容來看，雖然同樣可以正確的表徵出分數間的等值 關係。但學生不見得會如同教師所預期的，針對分數在圖形上所佔的斜線面積進 行比較。反而是將焦點放在未塗斜線的部份，導致學生對等值分數的概念產生誤 解。因此，在權衡兩種呈現圖形表徵方式的利弊得失後，小林老師在圖形表徵的
呈現方式上，仍會以在同一單位上重複進行等分割或等分組的方式為優先考量。
需要再3塊面積就能成為1，而 20
5 則需要15塊才能湊成1。將上述文獻觀點對照至小
林老師的教學表徵知識中可發現，其對採用兩個大小相同單位量作為對照圖的表 徵呈現方式，在傳達等值分數概念之正確性上有所顧慮實屬正確。因為採用兩個 大小相同單位量作為對照圖的表徵呈現方式，確實可能產生一些潛在的錯誤訊 息，容易誤導學生對圖形上的量作出錯誤的解讀，使得圖形在傳達等值分數概念 上的正確性受到影響。
綜上所述可知，小林老師在考量一項表徵正確與否的過程中，除了從表徵本 身內容是否能傳達正確等值分數概念著手外，更會透過其對呈現該教學表徵之方 式適切與否的相關知識加以判斷。而上述有關小林老師對表徵呈現方式適切與否 的知識，更是有助於其在呈現教學表徵的過程中，能將表徵本身內容與表徵呈現 方式間作一最完美的搭配。
貳 貳 貳
貳、、、從、從從從「「「「適用範圍適用範圍適用範圍適用範圍」」」」面向加以檢視面向加以檢視面向加以檢視面向加以檢視教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識教學表徵知識- -對於特定教學表徵之適用情境與對於特定教學表徵之適用情境與對於特定教學表徵之適用情境與對於特定教學表徵之適用情境與 範圍有正確的理解
範圍有正確的理解 範圍有正確的理解 範圍有正確的理解
Sternberg（1985）指出一個完備的教學表徵應具備普遍性此特質（引自郭銘哲，
2004，p.13）。準此而言，一個適用於多數問題情境的教學表徵其正確性，自然優 於一個只適用於特定問題情境的教學表徵。但從Duit（1991）的教學表徵不完備性 論述中可知，任何教學表徵都有其限制。因此，一位教師所具備的教學表徵知識，
應儘可能的謀求普遍性與完備性之間的平衡點，充分了解各個教學表徵之適用情 境與範圍。教學表徵知識若能具備上述特質，除可幫助教師在選用教學表徵過程 中選擇一個適用性最廣泛的教學表徵，有利學生後續學習的統整性，亦可避免誤 用教學表徵於不適切的問題情境。因此，研究者試著透過教學表徵「適用範圍」
之規準，分析小林老師對於特定教學表徵適用情境的認知是否正確。整理、分析 訪談資料後研究者發現，小林老師對於教學表徵之適用範圍與情境也都能有正確 的理解。研究者茲透過兩個訪談案例說明小林老師的教學表徵知識中，對於特定 教學表徵之適用情境與範圍有正確的理解。
首先，在例4-2中研究者提供小林老師一有關運用連續量圖形表徵的教學案
研：嗯~因為 9 沒有辦法去分解成幾個 6 嘛。
林：對阿~如果是在這種題目【指著 9 6＝
6
4】還是用那樣的圖形【指著六邊形圖】
就不對了阿。【T961228，9，1-14】
從上例4-2小林老師的回應中可發現，當研究者詢問小林老師對案例中圖形表徵正 確性之看法時，小林老師並沒有做正面的回應。而是以該圖形表徵不適用於某些 問題結構中，間接表示其對該圖形表徵正確性上之疑慮。若從表徵適用範圍此角 度去檢視小林老師對於案例中圖形表徵正確性之想法會發現，小林老師對於案例 中圖形表徵之正確性持保留態度有其道理。原因在於該圖形透過將單位量分成數
從上例4-2小林老師的回應中可發現，當研究者詢問小林老師對案例中圖形表徵正 確性之看法時，小林老師並沒有做正面的回應。而是以該圖形表徵不適用於某些 問題結構中，間接表示其對該圖形表徵正確性上之疑慮。若從表徵適用範圍此角 度去檢視小林老師對於案例中圖形表徵正確性之想法會發現，小林老師對於案例 中圖形表徵之正確性持保留態度有其道理。原因在於該圖形透過將單位量分成數