(一) 前測問卷分析-教學知識
第二節 研究對象在此階段的學習歷程
在本研究中，研究對象在數學教學的發展與學習本身為一動態的歷程，經由 外在環境與內在思維的交互作用，個體與他人互動的過程，皆會產生影響，因此 透過長期的觀察與訪談，捕捉其動態發展。而研究者在本節中將試圖組織研究對 象的輔導紀錄表及教學參觀報告，從研究對象本身的觀點與實際感受作為出發 點，呈現研究對象的觀點與實際感受。因此，底下研究者將分研究對象個別報導。
一.A1
A1 是在每個禮拜一的下午第二節課觀摩 M1 的教學，而每次上完課，M1 都 會花一些時間與 A1 互動討論。A1 觀摩的是 M1 的高二自然組某一個班。
A1 第一次觀摩 M1 的教學是在 99 年的 9 月 28 日，A1 在教學參觀報告表中 教學過程紀實記錄了 M1 大致的教學流程，其中特別寫下了 M1 在教學過程的關 鍵提問，並針對此寫下了提問內容的優點。接著，A1 還寫下了 M1 另一個優點。
在這次 M1 的 50 分鐘課堂教學，A1 僅用簡短流程記錄下一些教學內容，並只提 出了兩個優點，見下表：
教學參觀反思與學習紀錄 教學過程紀實
優缺點之意見 改進方法之
意見 意見來源
1
M1 下課後，告訴 A1 教學要從三個面向(why,what,how)出發，以及從情感到 理性，並且先熟悉教材後再想適合的教學方式，且教學要創新，A1 則寫下感想 是：「原來看老師的教學會比較沒目的的觀察,但現在會嘗試從老師的教學中觀察 老師是如何從 why ,what 和 how 這三個面向做教學」(20090928 ,A1,輔記)。從 A1 寫下的感想可知，在第一次進入教學現場觀摩時，A1 其實並不清楚看 M1 的 教學時，可以看些什麼，也因此所寫下的優缺點意見是如此短少。同樣地情形也 發生在另外三位研究對象的前幾次的教學參觀報告表中。
雖然第一次的課堂觀摩中，A1 尚在摸索中，不過在課後 M1 主動地告訴 A1 教學可以從三個 w 面向出發，以及在引入時可以從情感出發，這短短的幾分鐘 談話卻帶給 A1 不少的收穫。見下表：
互動實際內容
○1 教學要從三個面向出發:why, what, how
○2 教學要從情感->理性
○3 先熟悉教材,之後才想 適合的教學方式,且教學要創新 新的想法、作法、感受
○1 從老師提出的三個面向,通常我們只會做到 what 和 how,也就是告訴學生這 是什麼,要如何去做應用,但是比較缺乏的是 why(為何我們要學這些),從這裡 可以連結到○2 的情感上,這需要我們對內容深刻的體會,並且蒐集更多有關的 資料。
表 4‐2‐2 A1 990928 輔導記錄表
在第一節 A1 前測問卷信念的分析中可知，對於高中學生的數學學習，A1 非常希望學生能對數學產生興趣，學生能認為數學是其能力所及，同時，也非常 期望，學生能將數學與其生活做連結。A1 也寫到：「舉例時，舉一些與學生的生 活較相關的例子」可讓學生有意願參與教師教學。以及在一堂課的安排裡,A1 也 寫到要引起學習動機,可見，A1 對於學生的數學學習十分重視情意面。因此，A1 很能認同其輔導老師所說「教學要從情感->理性」(980928, 輔記,A1)，以及，在
輔導老師對 A1 說教學可以從 why(學生為何要學這些)這個面向出發，引發了 A1
「在空間這類比較抽象的概念必需用教具讓空間概念從抽象轉換為具體,且在使 用教具的教學流程○1 先讓學生看黑板上的立體透視圖,並且由此透視圖做問題○2 利用教具讓學生更清楚我們剛才是如何做題目的。這樣比較能讓學生不依賴具體 事物。」(20091005 ,A1,輔記)
「原本以為教具要在一開始就呈現,讓學生先知道我們要做的事情,但這樣會讓 學生依賴教具,降低學生的思考。」(20091005 ,A1,輔記)
此外，讓 A1 記錄下來還有，當講完題目時，M1 開始進行三垂線定理的教 學，透過三明治為表徵，讓學生中從生活實例看到三垂線定理。A1 的記錄也呼 應了 A1 在前測問卷中，提高學生參與教師教學的方法中寫到：「舉例時，舉一 些與學生的生活較相關的例子」可讓學生有意願參與教師教學。因此，M1 讓 A1 看到在三垂線定裡可以三明治作為一個生活實例。在上完課後的討論裡，M1 還 分享了說明餘弦定理時，可借用量角器作為譬喻，讓學生了解餘弦定理的使用時 機：「從經驗上感受數學定理，ex:餘弦定理:隨身攜帶的量角器 三垂線定理:三 明治 以這些語言,更能讓學生貼近數學定理」(20091005 ,A1,輔記)
接下來由於第一次段考，所以在隔一個禮拜後於 A1 在 98 年 10 月 19 日觀摩 M1 教學。這次 M1 的教學單元是空間坐標系，因此 A1 看到了 M1 利用教室角落 及紙箱法則來比喻架設空間坐標：
教學參觀反思與學習紀錄 教學過程紀實
優缺點之意見 改進方法之
意見 意見來源
Review
用了很多顏色表示，可見 A1 有時當下並無法脫離學生角度去觀察 M1 教學時的 符號的表示都有他的意思。」(20091019 ,A1,輔記)
而 A1 也在輔導紀錄表中寫下他並沒有特別注意到 A1 在這部分的巧思，「在作圖 時,原本我的想法只有＂以不同顏色的粉筆＂來作圖,並沒有想到,如果有很多符 號時,我該如何使用符號,要使用怎樣的符號才能讓學生更能夠看得清楚圖案的 意義」。(20091019 ,A1,輔記)從這裡也可以看到，M1 其實應該很有輔導的經驗，
有預期到 A1 可能不會注意到這部分，會主動告知 A1 要注意。
-> 1
Review:
平面中
實力引導 5
Review:平面中的直線可以由以下三種方 式構成
的教學技術。這其實是 A1 的一大進步，這表示 A1 並非單純接受 M1 的教學，其 也能主動回應 M1 的教學，且所提內容還是針對概念引入的部分。此外，A1 在 寫下這點改進意見時，A1 並非憑自己直覺，在訪談時，A1 表示：「其實那次上 課的時候我就看阿,我覺得感覺很多學生也不太懂老師在幹嘛,對,所以我就很懷 疑」(20091126 ,A1,訪談)從訪談中，可以看到 A1 提出他當天也同時感覺到很多學 生不太懂老師講的內容，不過除了學生反應支持 A1 的論點外，A1 還指出其實 M1 會在這裡做這樣的教學安排是不太同於其以往的安排，「因為我平常看老師的 教學也是希望讓學生有感覺,所以說我這次會覺得比較奇怪,為什麼老師不是先 讓學生有感覺,對」(20091126 ,A1,訪談)，從這訪談內容中可以看到，A1 對於 M1 的教學已經有一定程度的熟悉，此外，A1 還提出了一點就是「讓學生有感覺」，
這一點在 A1 前測問卷以及以往的教學參觀報告表或是輔導記錄表中從未提起 過，A1 會有這樣的想法是？因此，教學實習的授課教授繼續追問：
「TE:讓學生有感覺你是從蔡老師這邊感受到?還是你以前就一直覺得?
A1:讓學生有感覺嗎?
TE:還是別的老師強調的?
A1:其實,我本來就有感覺,可是蔡老師又剛好很強調這個東西 TE:所以你,因為我發現你常常提到這一點」(20091126 ,A1,訪談)
從這裡可以看到，A1 原來與 M1 有所共鳴的部分，M1 如果更加強調的話，A1 會更加鞏固其所認同的概念。
此外，其實在 A1 當天的輔導記錄表，A1 還提出另一個意見：「老師這次在空間 中直線的參數式上是以例子的方式來引入,並且從這裡介紹參數式的特性, 但是 我覺得可以用以前學的平面中直線的參數式來做引入,我的想法是因為我認為在 這裡可以利用舊知識來引導新知識的學習」(20091028 ,A1,輔記)，從這裡可以看 到，A1 雖不覺得 M1 從例子引入有所不適當，不過 A1 認為也許從舊知識引導新 知識的學習會讓學生更有感覺，因此 A1 並沒有寫在教學參觀報告表，而是寫在
輔導記錄表。從這裡再度可以看到 A1 真的是比起以往的教學觀摩，這次多了其
LetQ 為 L 上任意點
Q= (2 ' 8,t t' 1, 2 ' 7)t 則PQ d2
(2 ' 3,t t' 3, 2 ') (2, 1, 2)t 0
1 (6, 0,5)
t Q
2 2 2
1 2
( , ) 1 2 2 3
d L L PQ
表 4‐2‐6 A1 20091102 教學參觀報告表
從 A1 寫下的改進方法之意見的意見來源，可以再次看到 A1 對於 M1 教學意圖 是有知，同時，A1 在內容寫下是”之前”M1 怎樣，但其以往的教學參觀報告 表中是看不到的，這裡其實可以看到 A1 是逐漸地看到 M1 在教學中意圖的鋪 排，反覆確認而後寫下優缺點或意見。但從其寫下的意見另有隱憂的是，M1 的教學很有彈性，因此才會回答 A1 法一還是要提，因為學生直覺會想到，但 是 A1 仍是有些覺得只須講法二就好，這難免令人覺得 A1 是否有受侷限？像 是在上一次的教學參觀報告表中，針對空間中直線參數式的引入，M1 選擇以 例子帶入，可是 A1 仍是覺得用平面中直線參數式引入即可。也許 A1 在教學 上的決策的思考有其一致性，例如:舊知識引導新知識，但仍難免令研究者覺 得 A1 受侷限。
當天下課後，M1 首先跟 A1 提到他在教學一開始為什麼要對概念做分類並告訴 A1 這樣做的好處：「教學的一個目的就是要以一個對學生來說較容易接受且有系 統的方式來教學,而將概念做分類就是一個不錯的方式,例如,現在教的是直線在 空間中的關係,我們可以將他們的關係表示成:
有相交: (交一點) 沒有相交:
(平行) (歪斜)
這樣比較能夠讓學生清楚的知道空間中直線的關係。」(20091102 ,A1,輔記) 從這裡再度看到 M1 會主動分享 A1 一些教學準備的知識，而對於 M1 的提醒 A1 也很有回應的在新想法、作法和原先不同之處寫下：「我也認為將概念做分類很 重要,其實很多參考書也有把一些概念做類似的分類,有的可以參考參考書,或許 有其它參考書沒有出現的,我們可以自己去思考可以如何去做分類,但是,不能太 複雜,不然可能得到反效果。」(20091102 ,A1,輔記)，另外，在 11 月 26 日的返校 訪談快結束前，無意間開啟一個話題是對數如何引入，因此 A1 也這天的教學觀 摩結束後，詢問 M1 對數要如何引入？M1 分享了兩個做法，並且簡短說明了優 缺點：「在對數如何引入上,老師講了兩個做法,方法 1.在一個指數函數 Y=2X的圖 形上隨便取一點要如何表示 X 的值是多少？用這樣的方法可以引入符號的概念, 但是感覺會比較沒有感情。,方法 2.在這裡可以做一個指數函數的表格,以 Y=2X
這樣比較能夠讓學生清楚的知道空間中直線的關係。」(20091102 ,A1,輔記) 從這裡再度看到 M1 會主動分享 A1 一些教學準備的知識，而對於 M1 的提醒 A1 也很有回應的在新想法、作法和原先不同之處寫下：「我也認為將概念做分類很 重要,其實很多參考書也有把一些概念做類似的分類,有的可以參考參考書,或許 有其它參考書沒有出現的,我們可以自己去思考可以如何去做分類,但是,不能太 複雜,不然可能得到反效果。」(20091102 ,A1,輔記)，另外，在 11 月 26 日的返校 訪談快結束前，無意間開啟一個話題是對數如何引入，因此 A1 也這天的教學觀 摩結束後，詢問 M1 對數要如何引入？M1 分享了兩個做法，並且簡短說明了優 缺點：「在對數如何引入上,老師講了兩個做法,方法 1.在一個指數函數 Y=2X的圖 形上隨便取一點要如何表示 X 的值是多少？用這樣的方法可以引入符號的概念, 但是感覺會比較沒有感情。,方法 2.在這裡可以做一個指數函數的表格,以 Y=2X