第四章 結果與討論
第四節 校正後Q矩陣對DINA模型概念辨識率之影響
壹、校正前後 Q 矩陣【A】之 DINA 模型概念辨識率
此 Q 矩陣是經由校正後之專家知識結構 Q 矩陣【A】。校正後 Q 矩陣【A】
對於概念辨識率的變動差距介於 0.00~0.39 之間，在沒有階層性的概念之概念辨 識率變動差距並不明顯，其概念辨識率變動差距介於 0.00~0.12 之間；而於具有 階層性的概念之概念辨識率變動差距較大。校正後之 Q 矩陣【A】及其知識結構 圖，如附錄十五及十六所示；校正前後 Q 矩陣【A】之 DINA 模型概念辨識率比 較，如圖 4-4-1 與表 4-2-2 所示。
圖 4-4-1 校正前後 Q 矩陣【A】之概念辨識率比較圖
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
概 念
辨識率
Q矩陣設計[B] 0.88 0.87 0.84 0.81 0.97 0.87 0.89 0.91 0.79 0.90 0.80 0.80 0.92 0.80 0.94 校正Q矩陣設計[B] 0.86 0.92 0.85 0.86 0.90 0.90 0.86 0.92 0.79 0.86 0.77 0.69 0.85 0.55 0.70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
貳、校正前後 Q 矩陣【B】之 DINA 模型概念辨識率
此 Q 矩陣是經由校正過後之專家知識結構 Q 矩陣【A】。校正過後之 Q 矩 陣【A】，對於 DINA 模型平均概念辨識率並沒有明顯的提昇反而有降低的現象。
與各個概念而言，在概念 2、3、4、6 與 8 共四個概念中，發現沒有階層性的概 念，其 DINA 模型概念辨識率反而稍微增加，更發現隨其階層性的複雜度愈高，
概念辨識率降低越多。校正後之 Q 矩陣【B】及其知識結構圖，如附錄十七及十 八所示；校正前後 Q 矩陣【B】之 DINA 模型概念辨識率比較，如圖 4-4-2 與表 4-2-2 所示。
圖 4-4-2 校正前後 Q 矩陣【B】之概念辨識率比較圖
叄、校正前後 Q 矩陣【C】之 DINA 模型概念辨識率
此 Q 矩陣是經由校正過後之次序理論 (OT) 為基礎之學生概念結構 Q 矩 陣。整體而言，經由校正過後之 Q 矩陣，閾值(
jk)為 0.02 和 0.03 時，對於 DINA 模型概念辨識率在有些微增加的現象；而在閾值(
jk)為 0.04 時，對於 DINA 模型 概念辨識率反而產升降低的現象。於各個概念而言，各概念對於 DINA 模型診斷 辨識率的變化有微幅的增加或降低的現象產生，但其變動並不大。校正後之 Q 矩 陣【C】及其知識結構圖，如附錄十九、二十、二十一及二十二所示；校正前後 的不同閾值 Q 矩陣【C】之 DINA 模型概念辨識率比較，如圖 4-4-3、4-4-4、4-4-5 與表 4-2-2 所示。圖 4-4-3 校正前後 Q 矩陣【C】
jk 0 . 02
之概念辨識率比較圖0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
概 念
辨識率
Q矩陣設計[Cε=0.02] 0.80 0.84 0.77 0.68 0.79 0.86 0.84 0.85 0.81 0.73 0.68 0.56 0.51 0.62 0.70 校正Q矩陣設計[Cε=0.02] 0.89 0.90 0.84 0.89 0.76 0.93 0.89 0.57 0.81 0.74 0.67 0.59 0.76 0.54 0.71
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
圖 4-4-4 校正前後 Q 矩陣【C】
jk 0 . 03
之概念辨識率比較表圖肆、校正後 Q 矩陣【D】
此 Q 矩陣是經由校正過後之試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎之學生概念 結構 Q 矩陣。當決斷值(
jk)為 0.5 時，整體而言，對於 DINA 模型概念辨識率有 些微的增加，對各個別概念之 DINA 模型概念辨識率而言，大多數的概念辨識率 有微幅的增加，但於概念 5 的概念辨識率卻由 0.789 大幅降低至 0.345，而概念 13 的概念辨識率卻由 0.467 大幅增加至 0.896 的現象。校正後之 Q 矩陣【D】及 其知識結構圖，如附錄二十三及二十四所示；校正前後 Q 矩陣【D】之 DINA 模 型概念辨識率比較，如圖 4-4-6 與表 4-2-2 所示。圖 4-4-6 校正前後 Q 矩陣【D】之概念辨識率比較圖
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
概 念
辨識率
Q矩陣設計[D] 0.79 0.85 0.82 0.76 0.79 0.89 0.81 0.87 0.78 0.73 0.71 0.55 0.47 0.56 0.56 校正Q矩陣設計[D] 0.87 0.85 0.89 0.87 0.35 0.83 0.89 0.88 0.79 0.84 0.70 0.54 0.90 0.44 0.58
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
伍、不同 Q 矩陣校正後之概念辨識率比較
本研究發現經由 de la Torre (2008a) 提出的 Q 矩陣之校正程式中，重新校正 後 Q 矩陣之概念辨識率情形，於專家知識結構 Q 矩陣中，其平均概念辨識率產 生降低的情形；各個概念辨識率的變化有微幅的增加或降低的現象，在沒有階層 性的概念之概念辨識率變動並不大，但其具有階層性的概念之概念辨識率卻有明 顯降低的情形。於校正過後之學生概念結構 Q 矩陣中，其平均概念辨識率上有些 微增加的情形；各個概念的平均變識率變化有微幅的增加或降低的現象，在沒有 階層性的概念其概念辨識率變動並不大，但於具有階層性的概念卻有明顯降低的 情形。
陸、小結
綜合上述研究，發現不同 Q 矩陣對於 DINA 模型概念辨識率之影響，可分為 三方面分別進行討論。第一方面，不同專家所建構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概 念辨識率的影響，如專家在建構 Q 矩陣時，發現測驗試題具有雙重解題策略，且 人數占有相當的比率情況下，如依照大多數學生的解題策略，進行 Q 矩陣的設 計，其 DINA 模型概念辨識率會比專家自行建構的 Q 矩陣較高；第二方面，使用 次序理論 (OT) 為基礎轉換設計而成之學生概念結構 Q 矩陣，對於 DINA 模型估 計概念辨識率會高於試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎，轉換設計而成之學生概 念結構 Q 矩陣，但是兩者之間差異性不明顯；而專家知識結構 Q 矩陣之 DINA 模型平均或各個概念辨識率，則會高於學生概念結構 Q 矩陣的概念辨識率，與先 前研究者呂純郁,李曉嵐,吳慧珉,許天維（2012）指出階層性 Q 矩陣估計大致比一 般性 Q 矩陣佳的看法相似；第三方面，使用校正 de la Torre (2008a) 提出的 Q 矩 陣之校正程式，專家知識結構 Q 矩陣重新校正後，所形成 Q 矩陣之平均概念辨 識率有降低的現象，學生概念結構 Q 矩陣重新校正後，所形成的 Q 矩陣之平均 概念辨識率則有些微上升的情形，與先前研究者呂純郁,李曉嵐,吳慧珉,許天維
（2012）提出的階層式的 Q 矩陣，大部分的概念經校正後並沒有增加辨識率，部 分概念的辨識率甚至降得很低，顯示此種 Q 矩陣之校正較適用於沒有階層性架構 之 Q 矩陣的看法相同。除此之外，本研究亦發現使用專家知識結構 Q 矩陣，校 正前後之沒有階層性的概念，其概念辨識率變動差距不大，但具有階層性的概 念，其概念辨識率竟有大幅降低的情形，顯示此校正公式較適合使用於沒有階層 性的概念。
第五節 國小四年級分數概念表現精熟情形
壹、全體學生在國小四年級分數認知診斷測驗的概念表現精熟情 形
本研究對已學過國小四年級分數概念的五年級學生為研究對象，分析其分數 概念的精熟度表現情形，整體上全體學生在分數概念的學習上平均精熟度約 71.2
％，但仍未達到一般成就測驗所要求之標準 80％的精熟度，可見學生在分數概念 學習上仍有進步的空間。研究中發現，學生在將生活中問題轉換成分數的基本運 算上，精熟度到達 91.9％，顯示學生於國小二年級至五年級接觸分數概念後，以 能順利的使用分數基本運算處理生活中分數問題。除此之外，學生對於分數的基 本概念與運算能力的表現情形，精熟度約有 75.4％~80.5％之間，均有接近精熟的 水準，但是於較為困難的分數概念上之精熟度約為 44.4％~67.0％之間，仍有存在 許多進步的空間，尤其是在利用整數相除，商是分數解決生活中的問題、能解決 像「一盒餅乾有 24 塊，
4
3
盒有幾塊？」及「4
1
盒餅乾有 5 塊，一盒有幾塊？」的 問題解決。全體學生分數概念精熟度表現情形，如表 4-4-1 所示。表 4-5-1 全體學生的國小四年級分數概念精熟度一覽表
概念 精熟度
(人數/百分比) 概念 精熟度
(人數/百分比) 概念 精熟度
(人數/百分比) 1 306(77.7) 6 313(79.4) 11 264(67.0) 2 317(80.5) 7 314(79.7) 12 250(63.5) 3 301(76.4) 8 299(75.9) 13 175(44.4) 4 300(76.1) 9 359(91.1) 14 222(56.3) 5 299(75.9) 10 297(75.4) 15 191(48.5)
平均 71.2％
貳、高分組與低分組的學生在國小四年級分數認知診斷測驗的概 念表現精熟差異情形
本研究分別對高分組與低分組的學生進行分數概念的學習精熟度分析，發現 高分組學生在分數概念之學習上平均精熟度高達約 97.4％，各個概念的精熟度約 在 81.7％~100％，表示高分組的學生在分數概念的學習均到達精熟水準。但低分 組學生在分數概念的學習平均精熟度卻只達到 30.5％，各別概念的精熟度約在 11.9％~56.9％之間，表示低分組的學生在分數概念的學習，不論是在分數的基本 概念或運算能力等較簡單的概念上，均未到達精熟水準，尤其是在較困難的分數 概念上精熟度卻只達到 27.5％~11.9％之間，顯示低分組的學生於分數概念的學習 仍須進行補救教學。因此，研究發現分數概念的學習對於高分組與低分組分數概 念精熟度的卡方檢定中之顯著性皆達到 0.000，顯示高分組與低分組的學生在分 數概念學習之精熟度有顯著的差異性存在。高分組與低分組學生的國小四年級分 數概念精熟度表現情形與卡方檢定分析表，如表 4-4-2 與 4-4-3 所示。
表 4-5-2 高分組與低分組學生的國小四年級分數概念精熟度一覽表
概念 組別 精熟度
(人數/百分比) 概念 組別 精熟度
(人數/百分比)
高分組 109(100.0) 高分組 109(100.0)
1 低分組 41(37.6) 9
低分組 62(56.9)
高分組 108(99.1) 高分組 109(100.0)
2 低分組 45(41.3) 10
低分組 47(43.1)
高分組 109(100.0) 高分組 102(93.6)
3 低分組 34(31.2) 11
低分組 23(21.1)
高分組 107(98.2) 高分組 98(89.9)
4 低分組 35(32.1) 12
低分組 37(33.9)
高分組 109(100.0) 高分組 89(81.7)
5 13
表 4-4-2 高分組與低分組學生的國小四年級分數概念精熟度一覽表（續）
表 4-5-3 高分組與低分組學生的國小四年級分數概念卡方檢定分析摘要表（續）
變項名稱 組別 低分組人數(%) 高分組人數(%) 總和 卡方值
未具備 52(47.7) 0(0.0) 52(23.9) 概念 8
具備 57(52.3) 109(100.0) 166(76.1)
.000
未具備 47(41.3) 0(0.0) 47(21.6) 概念 9
具備 62(56.9) 109(100.0) 171(78.4)
.000
未具備 62(56.9) 0(0.0) 62(28.4) 概念 10
具備 47(43.1) 109(100.0) 156(71.6)
.000
未具備 86(78.9) 7(6.4) 93(42.7) 概念 11
具備 23(21.1) 102(93.6) 125(57.3)
.000
未具備 72(66.1) 11(10.1) 83(38.1) 概念 12
具備 37(33.9) 98(89.9) 135(61.9)
.000
未具備 96(88.1) 20(18.3) 116(53.2) 概念 13
具備 13(11.9) 89(81.7) 102(46.8)
.000
未具備 79(72.5) 5(4.6) 84(38.5) 概念 14
具備 30(27.5) 104(95.4) 134(61.5)
.000
未具備 91(83.5) 11(10.1) 102(46.8) 概念 15
具備 18(16.5) 98(89.9) 116(53.2)
.000
叄、小結
綜合上述研究發現，全體學生在學習九年一貫課程綱要，數學領域的「數與 量」主題中，「分數」單元能力指標(4-n-07 與 4-n-08)的概念精熟度表現接近精熟 標準，於較困難的分數概念精熟度不足，有需要進行補救教學或在課程上加以簡 化或具體化。大多數學生在解決像「一盒餅乾有 24 塊， 3
4 盒有幾塊？」與「 1 4 盒餅乾有 5 塊，一盒有幾塊？」的問題時，此類型問題時具有困難，與吳相儒
（2001）、湯錦雲（2002）、劉世能（2002）、吳宏毅（2002）、陳和貴（2002）、
邵宜翠（2003）等的研究具有相同的看法，認為學生在處理分數問題最重要的一 個概念是單位量的指認，是學生在處理子集／集合的分數問題時，會有指認單位 量的困難；以及學生能利用整數相除，商是分數解決生活中的問題之困難，Booth (1987) 的研究中提出學生處理分數與除法相關性問題時，會將分母和分子視為獨 立的兩個數；以及陳和貴（2002）認為在『商』模式中，對於哪一個數該放在分 子或分母的概念尚不清楚的看法相似。另一方面，低分組的學生對於分數概念的 學習精熟度明顯不足，低分組的學生在分數概念的學習，不論是在分數的基本概 念或運算能力等較簡單的概念上，均未到達精熟水準，需要實施補救教學活動，
與吳相儒（2001）所進行國小四年級學童的分數診斷與補救教學研究中所發現需 進行補教教學的分數概念，如：分數的意義不瞭解、單位量與單位分量無法明確 辨認、分量與單位分量間的化聚發生錯誤、假分數化為帶分數時會受到整數十進 位位值概念的干擾、以分子或分母的大小做為判斷分數大小的依據等，具有相同
與吳相儒（2001）所進行國小四年級學童的分數診斷與補救教學研究中所發現需 進行補教教學的分數概念，如：分數的意義不瞭解、單位量與單位分量無法明確 辨認、分量與單位分量間的化聚發生錯誤、假分數化為帶分數時會受到整數十進 位位值概念的干擾、以分子或分母的大小做為判斷分數大小的依據等，具有相同