不同的Q矩陣設計對於DINA模型概念診斷成效之影響-以國小四年級分數概念為例

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：施淑娟博士. 不同的 Q 矩陣設計對於 DINA 模型概念診斷成效之影響-以國小四年級分數概念為例. 研究生：許珊珊撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 一. 年. 八. 月.

(2) 謝辭韶光荏苒，轉瞬間，在三年的時光已悄悄地流逝，在歷經課業與教職的忙碌後，終於獲得甜美的果實，如今回憶起來，需感謝許多人的協助與鼓勵，方能順利的劃下完美句點！感謝指導教授施淑娟博士在忙碌之中，仍撥允予以細心的指導，在施教授親切的指導及適時的指引方向，使我在這段學習的生涯中獲益良多，方能使本研究如期順利完成，而施老師對研究的嚴謹態度，更是值得我學習的典範。感謝郭伯臣教授及吳慧珉教授在論文口試時的剴切指正並提供諸多寶貴的意見，使得本論文之架構及內容得以更臻完備；也要感謝所上多位教授三年來在課程教授上，給予理論與實務上的指導與啟發，充實了我研究的根基。此外，更要感謝智為學長與彥鈞學長在分析程式與測驗系統的提供與指點；感謝研究所同學的諸多協助，尤其是一同研究的夥伴們，大家在課業上得互相砥礪，在論文撰寫時的彼此協助、相互勉勵，方能順利完成論文，此段同行三年的點點滴滴，將是我一輩子最難忘的回憶！感謝學校同事及學生們，由於你們全力的配合施測及各方面的協助與幫忙，讓我在學習的路程中倍感溫馨。最後，感謝全力提攜伴我成長的爸爸、媽媽，您們殷切的照顧、無私的付出及無限的包容，讓忙亂的我能心無旁鶩地進行論文的研究及撰寫，讓我無後顧之憂地完成學業；以及弟弟、妹妹的陪伴與協助，有你們的支持，讓我求學的過程更為順遂。僅以此論文獻給所有關心我、幫助我、照顧我的人，獻上我最誠摯的感謝，祈盼能與您一同分享這雀躍的時刻。許珊珊謹誌中華民國一○一年八月.

(3) 中文摘要本研究旨在探討進行認知診斷測驗編製時，採取不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。本研究針對已學習過數學領域「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標的五年級學生為研究對象，進行認知診斷測驗編製，再使用結合不同的專家知識結構之 Q 矩陣、以及分別以「次序理論 (OT) 」與「試題關聯結構分析法 (IRS) 」為基礎，經由「詮釋結構模型 (ISM) 」轉換而成的結合學生概念結構之 Q 矩陣，探討這些不同的 Q 矩陣設計及校正後 Q 矩陣對 DINA 模型概念診斷辨識率之影響，最後以表現最佳的 Q 矩陣，所獲得的 DINA 模型診斷結果，分析學生在國小四年級「分數」之學習表現情形。研究結果發現：一、在具有雙重解題策略的試題中，若以大多數學生使用的解題策略來設計 Q 矩陣設計，可提昇 DINA 模型概念辨識率。二、使用 DINA 模型進行認知診斷分析時，結合專家知識結構之 Q 矩陣的概念辨識率優於結合學生概念結構之 Q 矩陣的概念辨識率。三、使用 DINA 模型進行認知診斷分析時，沒有階層性的概念之概念辨識率優於具有階層性的概念辨識率。四、de la Torre (2008) 提出 Q 矩陣之校正公式使用於分析沒有階層性的概念效果較佳。五、四年級分數概念中，「子集／集合的單位量問題」與「利用整數相除，商是分數解決生活中的問題」兩個概念，是大多數學生學習上的困難。六、低分組的學生在分數概念的學習上，不論是在分數的基本概念或運算能力等較簡單的概念，或較為困難的分數概念均有學習上的困難，皆需實施全面性之補救教學活動。關鍵字：DINA 模型、Q 矩陣、次序理論 (OT) 、試題關聯結構分析法 (IRS) 、詮釋結構模型 (ISM). I.

(4) The impact of various Q matrices on resulting attribute accuracy estimated by DINA model- Taking the “Fraction” unit of grade four as an example. Abstract The goal of this research is to explore the impact of various Q matrices on resulting attribute accuracy estimated by DINA model. The subject of the test is fifth-grade elementary students who have learned the “Fraction” uni in fourth-grade curricula. Based on the content of “Fraction” unit, the design of the cognitive diagnostic test combined with. various Q matrices established from experts'. knowledge structures and various Q matrices established from two students' concept structures which are incorporated with ordering theory (OT) and item relationship structure analysis (IRS), respectively, via the transformation by interpretive structural modeling (ISM). These Q matrices are tested in DINA model to investigate the impact on the attribute accuracy rate and then to find out the optimal Q matrix. The DINA model result derived from the optimal Q matrix is utilized to analyze the performance of fourth-grade elementary students in the “Fraction” unit. The results show that: 1.For items having multiple solving strategies, if the Q matrix is designed matching the problem solving strategies that are used by most of the students, the attribute accuracy rate of the DINA model would increase. 2.For the cognitive diagnostic results estimated by the DINA model, the average attribute accuracy rate of Q matrices combined with experts' knowledge structures is better than that of Q matrices combined with students' concept structures.. II.

(5) 3.For the cognitively diagnostic results estimated by the DINA model, the average attribute accuracy rate of non-hierarchical concepts is better than that of the hierarchical concepts. 4.The empirically-based method of Q matrix validation for the DINA model proposed by de la Torre (2008) is more suitable in analyzing non-hierarchical concepts. 5.For the “Fraction” unit in the fourth grade curricula, “The distinction of units expressed in subset/set” and “Solving the problem by the concept of division of two integers, and the quotient is a fraction” are frustrations for most students. 6.Low-ability students have difficulty in leaning the complicated concepts and fundamental or simple concepts as well. Remedial education for all the concepts is necessary. Keywords：DINA model、Q matrix、ordering theory (OT)、item relationship structure analysis (IRS)、interpretive structural modeling (ISM). III.

(6) 目錄中文摘要...........................................................Ⅰ 英文摘要...........................................................Ⅱ 目錄...............................................................Ⅳ 表目錄.............................................................Ⅶ 圖目錄.............................................................Ⅸ 第一章緒論.........................................................1 第一節研究動機.................................................1 第二節研究目的.................................................4 第三節待答問題.................................................5 第四節名詞解釋.................................................6 第五節研究範圍與限制...........................................8 第二章文獻探討.....................................................9 第一節認知診斷評量與認知診斷模型...............................9 第二節知識結構................................................17 第三節 Q矩陣校正公式..........................................22 第四節分數教材分析與迷思概念..................................24 第三章研究方法與設計..............................................33 第一節研究流程................................................34 第二節研究對象................................................38 第三節研究工具................................................39 第四節 Q矩陣設計...............................................57 第五節 Q矩陣評估指標...........................................61 第六節資料處理分析方法........................................63. IV.

(7) 第四章結果與討論..................................................65 第一節正式測驗之試題品質分析..................................65 第二節結合不同專家知識結構之Q矩陣對DINA模型概念診斷之影響.....73 第三節結合不同學生概念結構之Q矩陣對DINA模型概念辨識率之影響...78 第四節校正後Q矩陣對DINA模型概念辨識率之影響...................81 第五節國小四年級分數概念之表現精熟情形........................88 第五章結論與未來研究建議..........................................93 第一節研究結論................................................93 第二節研究建議................................................95 參考文獻...........................................................97 中文部分.......................................................97 英文部分......................................................101 附錄..............................................................107 附錄一........................................................107 附錄二........................................................111 附錄三........................................................113 附錄四........................................................117 附錄五........................................................118 附錄六........................................................119 附錄七........................................................120 附錄八........................................................121 附錄九........................................................122 附錄十........................................................123 附錄十一......................................................124 附錄十二......................................................125. V.

(8) 附錄十三......................................................126 附錄十四......................................................127 附錄十五......................................................128 附錄十六......................................................129 附錄十七......................................................130 附錄十八......................................................131 附錄十九......................................................132 附錄二十......................................................133 附錄二十一....................................................134 附錄二十二....................................................135 附錄二十三....................................................136 附錄二十四....................................................137. VI.

(9) 表目錄表2-1-1 分數減法的認知屬性.........................................14 表2-1-2 分數減法的試題.............................................14 表2-1-3 分數選擇題例題的Q矩陣......................................14 表2-1-4 受試者的認知屬性狀態.......................................14 表2-2-1 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率..............................19 表2-2-2 『原因/結果』分析表..........................................21 表2-4-1 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材階段能力指標.............25 表2-4-2 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材分年能力指標.............26 表3-1-1 專家試題概念矩陣Q..........................................36 表3-1-2 學生試題可達矩陣 R .........................................36 表3-1-3 學生概念關聯試題矩陣 CI .....................................37 表3-3-1 預試測驗的概念與試題對照表.................................40 表3-3-2 預試測驗之專家知識結構Q矩陣................................41 表3-3-3 預試之認知診斷測驗的試題信度分析表.........................42 表3-3-4 預試測驗的試題通過率、難度指數及鑑別度分析表................45 表3-3-5 以DINA模型分析預試測驗的試題參數分析表.....................46 表3-3-6 預試測驗之【試題1】修審前後內容對照表........................48 表3-3-7 預試測驗之【試題2】修審前後內容對照表........................49 表3-3-8 預試測驗之【試題3】修審前後內容對照表........................50 表3-3-9 預試測驗之【試題5】修審前後內容對照表........................50 表3-3-10 預試測驗之【試題7】修審前後內容對照表.......................51 表3-3-11 預試測驗之【試題11】修審前後內容對照表......................52 表3-3-12 預試測驗之【試題22】修審前後內容對照表......................52. VII.

(10) 表3-4-1 第23題學生解題類型差異情形比較表...........................58 表3-5-1 專家判定結果之效標的評分者信度分析.........................61 表3-5-2 概念辨識判定方法...........................................62 表4-1-1 正式測驗之試題信度分析表...................................65 表4-1-2 正式測驗之試題通過率、難度指數及鑑別度分析表................67 表4-1-3 正式測驗之DINA模型參數估值分析表..........................69 表4-1-4 刪除第二題後正式測驗之信度分析表...........................70 表4-1-5 刪除第二題後正式測驗之通過率、難度指數及鑑別度分析表........71 表4-1-6 刪除第二題後正式測驗之DINA模型參數估計值分析表.............72 表4-2-1 不同專家知識結構之Q矩陣【A】與【B】之參數估計分析表............75 表4-2-2 不同Q矩陣對於DINA模型概念辨識率一覽表......................77 表4-5-1 全體學生的國小四年級分數概念精熟度一覽表...................88 表4-5-2 高分組與低分組學生的國小四年級分數概念精熟度一覽表.........89 表4-5-3 高分組與低分組學生的國小四年級分數概念卡方檢定分析摘要表..90. VIII.

(11) 圖目錄圖2-3-1 部編版國小數學領域分數單元學習教材地位.....................28 圖3-1-1 研究流程圖.................................................34 圖3-1-2 學生試題結構 OS ............................................36 圖3-3-1 認知診斷電腦適性測驗系統測驗流程、系統使用介面與流程圖......54 圖3-4-1 學生概念結構矩陣之建立流程圖...............................59 圖4-2-1 不同專家知識結構之Q矩陣【A】與【B】之猜測度比較圖..............74 圖4-2-2 不同專家知識結構之Q矩陣【A】與【B】之粗心度比較圖..............74 圖4-2-3 不同專家知識結構之Q矩陣【A】與【B】概念辨識率概念比較圖........76 圖4-3-1 不同閾值之Q矩陣【C】之DINA模型概念辨識率比較圖...............78 圖4-3-2. Q矩陣【C】與【D】之DINA模型概念辨識率比較圖...................80. 圖4-4-1 校正前後Q矩陣【A】之概念辨識率比較圖.........................81 圖4-4-2 校正前後Q矩陣【B】之概念辨識率比較圖.........................82 圖4-4-3 校正前後Q矩陣【C】 jk  0.02 之概念辨識率比較圖.................83 圖4-4-4 校正前後Q矩陣【C】 jk  0.03 之概念辨識率比較表圖..................84 圖4-4-5 校正後Q矩陣【C】 jk  0.04 之概念辨識率比較圖...................84 圖4-4-6 校正前後Q矩陣【D】之概念辨識率比較圖.........................85. IX.

(12)

(13) 第一章緒論本研究依據認知診斷評量理論，利用實徵資料之方式蒐集研究樣本，探討不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。本章將對於研究動機、研究目的、待答問題、名詞解釋及研究範圍與限制進行詳細之闡述。. 第一節研究動機當前認知取向教育評量的主要發展取向為「認知診斷評量 (cognitively diagnostic assessment, CDA) 」，而認知診斷評量的發展，是因應當前強調「有意義的學習」及「認知建構」過程等心理學理論背景，並結合心理計量學的發展，逐漸形成的新式評量取向，其對瞭解學生的學習情形及協助教師進行教學規劃等方面，具有極大的實用價值與效益。（余民寧，2003）。認知診斷評量不僅比傳統的總結性評量 (summative evaluation) 以單一總分來表示學生的成就更具預測效力，同時可以讓學生"看得見"自己的知識結構和可能存在的缺失，進而幫助學生找出缺失，對症下藥謀求補救措施。所以，認知診斷評量可以是一種或一套具有發展潛力的評量工具或方法（郭伯臣，2003）。由於認知診斷評量著眼於探討學生的潛在知識結構與其作答反應過程的關係，所以只有建構出能夠融合不同認知變量的模型且此模型的參數能夠準確的被估計，才能對各個認知變量進行量化分析，進而瞭解受試者的認知結構。認知診斷模型 (cognitive diagnostic models, CDMs) 是可以使用在判斷受試者優劣的心理計量學模型，並且提供受試者的分數型態以有效地測量學生的學習和進步情形 (de la Torre, 2009b) 。近年來，認知診斷模型在國外已被許多專家學者廣泛的討論與研究，認知診斷模型可分為潛在特質模型 (latent trait model) 和潛在分類模型 (latent class. 1.

(14) model) 兩大類（王文卿，2010）。而潛在分類模型主要用於分析受試者的作答過程，從中探討受試者的潛在知識結構。甘媛源與余嘉元（2008）表示在實際測驗時，有時測驗所著重的不是受試者的測驗總分或分數，而是對受試者是否具有此潛在能力或其在測驗中的典型錯誤分類感到興趣，而潛在分類模型正好提供這方面訊息。潛在分類模型目前發展出了相當多的模型，包括規則空間模型 (rule space model, RSM; Tautsuoka, 1983) 、統一模型 (unified model; Hartz, 2002) 、融合模型 (fusion model, Hartz, 2002; Hartz, Roussos, and Stout, 2002) 、DINA模型 (deterministic inputs, noisy “and” gate model; Junker & Sijtsma, 2001) 、NIDA模型 (noisy inputs, deterministic “and” gate model; Maris, 1999)…等。其中，de la Torre (2009b) 提出的DINA模型則採用較簡單的模型定義，僅對於粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數的進行估計，因此在實務應用上逐漸受到重視。然而，在 DINA 模型的應用上，如何正確地建構具有試題與認知屬性關係的 Q 矩陣是認知診斷分析的一個重要關鍵(文中所提及之認知屬性本研究將界定為概念) (Jingchen Liu, Gongjun Xu, & Zhiliang Ying, 2011a) 。所謂的 Q 矩陣是建立試題和欲測量概念之間關係一個的二元矩陣，可說明每個試題所需的概念。在先前的研究中 (de la Torre, 2008; Rupp, 2008; Henson and Templin, 2005; Roussos,Templin, and Henson, 2007; Liu, Xu, and Ying, 2011a) ，通常假設 Q 矩陣大都是由此領域專家所提供，Liu, Xu and Ying (2011a, 2011b) 認為此種由專家事先設定的 Q 矩陣，倘若是正確的將有助於模型的準確估計以及受試者潛在認知屬性的判斷。反之，若 Q 矩陣的建構不正確將造成估計上的偏差。另一方面，Q 矩陣的選擇通常也會是嚴重影響到模型的適配度。由上述可知，Q 矩陣對於概念診斷是相當重要的，先前亦有一些研究者開始關注此領域的相關研究，例如：Jingchen Liu, Gongjun Xu, & Zhiliang Ying, (2011a, 2011b) ；呂純郁、李曉嵐、吳慧珉、許天維（2012）。但在許多情況下，Q 矩陣並不容易辨識，因此形成 Q 矩陣的推論問題相較其他的推論困難，例如：具有多重解題策略的試題，不同的專家會建. 2.

(15) 構出不同的 Q 矩陣，形成不同的概念判定結果，但試題可能會導致受試者具有相同的反應。在數學教育研究中，分數概念在國小數學領域課程中佔有極重要的角色，而且分數概念的學習對學童而言一向是學習上最困難的部分。因此，若能在兒童分數認知診斷評量上，能有效的找出學童學習的錯誤概念，並給予正確的補救教學策略，預期將能有效的修正兒童在分數概念學習時所產生的錯誤概念，並提昇其後續學習的成效。因此，本研究企圖以DINA模型為基礎建置國小四年級分數認知診斷測驗。綜上所述，本研究主要是以教育部（2003）於民國 92 年所公布九年一貫課程綱要，數學領域「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標為研究範圍，並且以已學習過國小四年級部編版本「分數」單元之國小五年級學童為樣本，進行國小四年級分數認知診斷測驗，探討在認知診斷測驗分析時，採取不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響，以提供後續研究者與測驗實務工作者之參考。. 3.

(16) 第二節研究目的根據上述之研究動機，本研究參考 100 年度國小部編版本四年級第七冊至第八冊分數單元為研究範圍，編製國小四年級分數認知診斷測驗，並在測驗分析時，建構不同的 Q 矩陣，瞭解其對於 DINA 模型概念辨識率之影響，藉以瞭解測驗實務上應該如何建構 Q 矩陣才能提昇 DINA 模型概念辨識率，具體的研究目的條例如下：一、分析教育部（2003）於民國 92 年所公布九年一貫課程綱要，數學領域「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)，編製具有信度、效度、鑑別度之國小四年級分數認知診斷測驗。二、分析結合不同專家知識結構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念診斷之影響。 2-1 分析結合不同專家所建構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念參數估計之影響。 2-2 分析結合不同專家所建構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。三、分析結合不同學生概念結構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。 3-1 分析不同的閾值設定下，結合次序理論 (OT) 為基礎之學生概念結構，轉換設計而成之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。 3-2 分析結合試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎之學生概念結構，轉換設計而成之 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。四、分析結合不同專家知識結構及學生知識結構之校正後 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。五、以概念辨識率最佳的 Q 矩陣，進行 DINA 模型分析，探討學生在國小四年級分數認知診斷測驗之概念表現情況。 4-1 全體國小四年級學生分數概念表現情況。 4-2 高分組與低分組學生國小四年級分數概念的表現情況。. 4.

(17) 第三節待答問題根據上述之研究目的，本研究之待答問題如下：一、如何進行國小四年級分數認知診斷測驗的編製與修審？二、比較結合不同專家知識結構之 Q 矩陣，對於 DINA 模型診斷之差異性？ 2-1 比較結合不同專家知識結構之 Q 矩陣，DINA 模型參數估計之差異性？ 2-2 比較結合不同專家知識結構之 Q 矩陣，DINA 模型概念辨識率之差異性？三、比較結合不同學生知識結構 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之差異？ 3-1 比較不同的閾值設定下，結合次序理論 (OT) 為基礎之學生概念結構，轉換設計而成之 Q 矩陣對於 DINA 模型概念辨識率之差異性？ 3-2 比較分別使用次序理論 (OT) 與試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎之學生概念結構，轉換設計而成之 Q 矩陣對於 DINA 模型概念辨識率之差異性？四、比較結合不同專家知識結構及學生概念結構之校正後 Q 矩陣，對於 DINA 模型概念辨識率之差異性？五、學生於國小四年級分數概念的表現情況為何？ 4-1 全體國小四年級學生分數概念的表現情況為何？ 4-2 高分組與低分組學生對於國小四年級分數概念的表現是否有顯著差異？. 5.

(18) 第四節名詞解釋壹、DINA 模型 DINA 模型是許多認知診斷模型評估方法的基礎，適合用於二元計分的認知診斷測驗。DINA 模型是一個簡單且容易解釋的模型，因為它僅涉及粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數，且具有良好的模型適配度，目前於測驗方面已有許多的應用 (de la Torre & Douglas, 2004) 。. 貳、Q 矩陣 Q矩陣 (incidence matrix) 通常是由學科專家所建立。Q矩陣可清楚的表示試題與概念間的關係。Q矩陣表示此測驗中的試題所需具備之概念，若測驗的Q矩陣為 J  K 矩陣，則表示在此測驗中有 J 個試題與 K 個概念。如表示受試者答對第 j 題試題，需具備第 k 個概念，則 q jk  1 ，否則 q jk  0 。以下舉例來說明，假設Q. 矩陣如下：.  試 Q＝題  j   . 1 1 0 1. 概念 k 0 1 1 1. 0 0 1 1.      . 由上方Q矩陣可發現此測驗之Q矩陣為 4  3 矩陣，表示此測驗有4個試題與3 個概念；受試者答對第1題需具備第1個概念，答對第二題需具備第1與第2個概念，答對第三題需具備第2與第3個概念，答對第4題需具備第1、第2與第3個概念。. 叄、專家知識結構專家知識結構是經由研究者與學科專家依據學理及具有豐富的教學經驗之現職國小教師，共同分析測驗範圍所需具備的概念，以及根據學童的學習經驗、. 6.

(19) 概念發展順序及概念之關係，繪製而成的一種概念之順序結構關係。專家知識結構中，最上層的概念為此測驗範圍內最上位的概念，最下層的概念為此測驗範圍內最下位的概念。. 肆、以次序理論 (OT) 為基礎之學生概念結構研究者依據專家知識結構編製測驗試題後進行施測，將施測所得的學生作答反應，經由次序理論 (ordering theroy, OT) 分析軟體，所得的學生試題結構，進一步利用詮釋結構模型 (interpretive structural modeling, ISM) 轉化而成學生概念結構，稱之為以次序理論 (OT) 為基礎之學生概念結構。. 伍、以試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎之學生概念結構研究者依據專家知識結構編製測驗試題後進行施測，將施測所得的學生作答反應，經由試題關聯結構分析法 (item relationship structure analysis, IRS) 分析軟體，所得的學生試題結構，進一步利用詮釋結構模型 (ISM) 轉化而成學生概念結構，稱之為以試題關聯結構分析法 (IRS) 為基礎之學生概念結構。. 陸、校正後 Q 矩陣研究者根據 de la Torre (2008a) 提出 DINA 模型 Q 矩陣之校正方法，並分別結合專家知識結構之 Q 矩陣與學生概念結構之 Q 矩陣，經由施測資料所獲得的校正後 Q 矩陣所建構而成之 Q 矩陣。. 柒、概念辨識率研究者使用實徵樣本資料，進行 DINA 模型分析時，估計受試者的概念狀態與專家診斷所得的概念狀態是否一致之程度，稱之為概念辨識率。概念辨識率是指概念判斷的一致程度，也就是辨識率愈高則模型估計的結果愈接近專家診斷的結果。. 7.

(20) 第五節研究範圍與限制本研究以教育部（2003）所公布九年一貫課程綱要，數學領域「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)，並且參考 100 年度國小部編版本四年級第七冊至第八冊分數單元為本研究的研究範圍，施測樣本為已學過國小四年級部編版本分數單元之國小五年級學童。受限於人力、時間、資源、試卷蒐集及受試者之電腦能力、家庭社經背景等因素限制之考量，因此本研究之結果的推論不宜過度推論至其他教育層級的學童與其他學科領域。. 8.

(21) 第二章文獻探討本研究的主要目的為不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響，藉以瞭解測驗實務上應如何設計 Q 矩陣才能提昇 DINA 模型概念辨識率。並以國民小學九年一貫課程數學領域「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)為本研究所探討的研究範圍。本章第一節說明認知診斷評量的起源與發展，以及介紹本研究所使用及相關之認知診斷模型；第二節介紹本研究中所使用之專家知識結構及學生概念結構，以助研究者進行測驗試題間結構分析，及不同 Q 矩陣的研究設計方法；第三節介紹本研究所使用之 de la Torre (2008) 提出之 Q 矩陣校正公式；第四節為分析國小數學分數教材，並且從國內外學生分數概念相關研究中，找出國小學童分數迷思概念和學習的困難，以利研究者進行分數診斷測驗的試題編製與概念診斷。. 第一節認知診斷評量與認知診斷模型壹、認知診斷評量傳統評量的結果常是一些測驗分數的集合，這些測驗分數反映了學生答對與答錯的題數，如此的分數可提供一種可靠且穩定的訊息，這種訊息是關於學生的能力在團體中所佔的相對位置（涂金堂，2003）。但這些訊息卻無法由學生的作答反應組型中，顯現出學生對於認知屬性是否到達精熟的訊息。而這些額外的訊息卻可以幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵義，以及哪一類型的學習可以增進學習成效 (Sheehan, 1997) 。此外，Nichols (1994) 亦表示傳統評量理論並無法提供充足且有效的訊息，幫助教師對於學生的學習錯誤進行診斷的評量，因此，他提倡將認知學科 (cognitive science) 與心理計量學 (psychometrics) 的結合，發展新式診斷評量方法，促進教學者達成教學目標。Nichols則將此種新的診. 9.

(22) 斷評量方法，稱為認知診斷評量。而郭伯臣（2003）認為認知診斷評量是一種以認知取向的新式教育評量方法，其理論基礎是鑒於有意義的學習及認知建構過程等心理學理論背景，利用統計分析模型與量尺化等技術，進而針對學生的學習成就進行研究，以期診斷或推論出學生在學科成就表現的認知(或知識)結構和解題過程，而所建構的一種新式評量方法，其對瞭解學生的學習情形及協助教師進行教學規劃等方面，具有極大的實用價值與效益。涂金堂（2003）認為教育評量的實施，應該以認知心理學對學習歷程的研究成果，作為編製測驗的實質理論依據，他將此種教育評量與認知心理學的實質理論相結合的評量方式，即所謂的認知診斷評量。. 貳、認知診斷模型自從美國在2002年1月8日簽署的一項美國聯邦法律沒有落後的孩子法案 (NO Child Behand Act 0f 2011, Public Law 107-110；簡稱為NCLB) 之後，通過美國三至八年級的學生每年必須接受各州政府的閱讀與數學會考，其目的在於診斷學生在閱讀與數學的各項認知屬性是否到達精熟的程度，並且提供學生優點與缺點的相關訊息 (Hubebner, 2010) 。我國亦於2014年全面進行十二年國民教育，對國中三年級學生進行學科能力會考，取代現有的國中基本能力測驗制度，冀望以診斷測驗中嚴密的知識結構分析與適性的實施方式，進行強化補救教學活動的目標。因此，認知診斷模型開始迅速地在國內外被許多相關領域專家學者重視並進行研究。認知診斷模型可以用來診斷受試者是否具備測驗所需的認知屬性，它是利用一個潛在向量來表示受試者是否具備每一個認知屬性，以向量 αi  ( i1 ,  i 2 ,..., ik ) 表示，其中  ik  1 代表第 i 位受試者具備第 k 個認知屬性，  ik  0 則表示未具備第 k 個認知屬性。de la Torre (2009) 表示認知診斷模型可以判斷受試者優缺點的心理計量模型，並且其所提供的受試者分數型態，是可以有效測量出受試者的學. 10.

(23) 習與進步情形。因此，認知診斷模型可以提供更充分與詳細的訊息，協助教學者瞭解學習者是否具備所學習的認知屬性，進一步實施補救教學，以達成教學目標。目前已有許多認知診斷模型被廣泛的發展與應用，並且大量的使用在認知診斷的研究上，例如：線性邏輯測驗模型 (linear logistic trait model, LLTM; Fisher,1973) 、規則空間模型 (rule space model, RSM; tautsuoka, 1983) 、融合模型 (fusion model, Hartz, 2002; Hartz, Roussos, and Stout, 2002) 、統一模型 (unified model; Hartz, 2002) 、DINA模型 (deterministic inputs, noisy “and” gate model; Junker & Sijtsma, 2001) 、NIDA模型 (noisy inputs, deterministic “and” gate model; Maris, 1999) …等。茲針對Fisher (1973) 的線性邏輯測驗模型、Tautsuoka (1983) 的規則空間模型兩種比較受重視之認知診斷模型，加以探究與介紹其理論基礎。一、線性邏輯測驗模型線性邏輯測驗模型是Rasch模型的一種延伸，它源於Scheiblechner (1972) 所提及的試題難度( i )理論為基礎，其將Rasch模型中的試題難度( i )分解成許多認知屬性的線性組合，其反應機率如公式(1)與公式(2) p. exp( j   i ) 1  exp( j   i ). (1). p.  i   il l  c. (2). l 1. 公式中之  l ：基本參數 (basic paramenters) ，答對此題所需要的認知屬性。  il ：  l 的權重 (weights) 。 c ：常態係數 (normalization constant) 。. 使用線性邏輯測驗模型的認知診斷評量，可透過受試者的試題反應組型，估計出受試者可能因為未具備某項認知屬性，所以無法答對包含此項認知屬性的試題。同時，也可以估計出全部試題的認知屬性，哪些認知屬性是受試者較容易獲. 11.

(24) 得的，哪些認知屬性是受試者較不容易獲得且困難的。二、規則空間模型規則空間模型是由Tatsuoka (1983) 所發展出的一種認知診斷評量，它是利用特別設計的試題進行評量的方式，找出受試者的試題反應組型 (item response pattern) ，可診斷出受試者所具備的知識狀態 (latent knowledge state) 。其單參數試題反應模型為公式(3)所示。 Pj ( ) . 1 1  exp[ 1.7( i  b j )]. (3). 公式中之 Pj ( ) ：能力值為  者，試題 j 的答對率。.  ：能力參數。 b j ：試題 j 的難度參數。. 所謂的空間規則係以  ( , x) 為縱座標，以  為橫坐標所形成的笛卡兒座標，規則空間中的每個座標點為 ( ,  ( , x )) ，代表一種反應組型，也就是一種知識狀態。利用馬氏距離 (mahalanobis distance) 的大小，比較受試者的 ( ,  ( , x )) 和最接近的兩個知識狀態座標值相似，獲得受試者的知識狀態後，即能瞭解受試者的知識結構，哪些部分是已經具有良好的聯結關係，哪些部分是需要再補強的。教師可藉由規則空間所診斷出的學習結果，對受試者進行補救教學。. 叄、DINA 模型一、模型介紹 DINA 模型是許多認知診斷模型評估方法的基礎，適合用於二元計分的認知診斷測驗。DINA 模型假設受試者答對試題的機率，會受到粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩個參數影響，其試題反應函數表示如下： ij. P ( X ij  1 |  , s, g )  (1  s j ) g j. 1ij. (4). 12.

(25) K. q jk. 其中，ij    ik k 1. s j  P ( X ij  0 |  ij  1) g j  P( X ij  1 |  ij  0) 在上述公式(4)中. ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的認知屬性，完全具備其值為 1，反之，缺少一個以上所需認知屬性其值為 0。.  ik ：表示受試者 i 是否具備認知屬性 k，具備該屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要認知屬性 k，需要該屬性其值為 1，反之為 0。 s j：表示受試者完全具備試題所需的認知屬性卻因為粗心而答錯此題的機率。 g j ：表示受試者缺少一個以上試題所需的認知屬性卻因為猜測而答對此題的機率。假設受試者間彼此相互獨立且試題間也彼此相互獨立，其概似函數 (likelihood function) 表示如下 N. J. X ij. 1 X ij. L( , s, g )   P ( i ) (1  P( i ) i 1. ). j 1. 以 de la Torre (2009b) 中所使用的範例說明 DINA 模型的計算方法：表 2-1-1 為分數減法的認知屬性，表 2-1-2 為受試者是否具備此認知屬性而設計的題目，表 2-1-3 為範例題之 Q 矩陣，由表 2-1-3 可知，解此試題目受試者需具備認知屬性 1、2、3。. 13.

(26) 表 2-1-1 分數減法的認知屬性認知屬性. 敘述. 1. 從整數部分借1. 2. 基本分數減法. 3. 化簡. 4. 將整數與分數部分分開. 5. 將整數變成分數表 2-1-2 分數減法的試題. 計算 2 A： 2. 4 7  ＝ 12 12. 3 12. B： 2. 1 4. C： 1. 9 12. D： 1. 3 4. 表 2-1-3 分數選擇題例題之 Q 矩陣認知屬性試題例題 1. K1. K2. K3. K4. K5. 1. 1. 1. 0. 0. 表 2-1-4 受試者的認知屬性狀態認知屬性. K1. K2. K3. K4. K5. 受試者 1. 1. 1. 1. 1. 0. 受試者 2. 0. 1. 0. 0. 1. 受試者 3. 0. 1. 1. 1. 1. 受試者. 假設給定試題參數 s1  0.2 、 g1  0.2 ，今有三名受試者，其所具備的認知屬性如表 2-1-4 所示，可知受試者 1 具備解題所需的四個認知屬性，因此其 11  1，受試者 2 與受試者 3 都缺少一個以上的認知屬性，所以其  21  31  0 ，則三位受試者的答對機率分別計算如下：. 14.

(27) 111. P ( X 11  1 | 1 , s1 , g1 )  (1  s1 )11 g1.  (1  0.2)1 (0.2)11  1  0.2  0.8. 1 21.  (1  0.2) 0 (0.2)10  0.2. 131.  (1  0.2) 0 (0.2)10  0.2. P ( X 21  1 |  2 , s1 , g1 )  (1  s1 )21 g1 P ( X 31  1 |  3 , s1 , g1 )  (1  s1 )31 g1. 由此可知，在 DINA 模型下，受試者具備所需的所有認知屬性才可能答對此題，若受試者答錯，則認為是受試者粗心所致；然而只要受試者缺少一個以上答題所需的認知屬性，卻答對此題，則屬於猜測的情況發生。二、DINA 模型的相關研究因 DINA 模型簡單且容易解釋，因此，近年來的相關研究與應用也與日俱增。茲介紹如下： (一)電腦適性化測驗： 1. Xu, Chang & Douglas (2003) 比較認知診斷架構下電腦適性化測驗策略的模擬研究。 2. McGlohen & Chang (2008) 結合認知診斷測驗的電腦化適性測驗技術。 (二)測驗編製： 1. Henson & Douglas (2005) 利用kullback-leibler information (KL) 在DINA模型下進行測驗編製。 2. Finkelman & Roussos (2009) 利用基因演算法進行自動編製認知診斷模型測驗。 (三)等化與信度： 1. Gierl, Cui & Zhou (2009) 探討認知診斷評量下基於認知屬性的分數與信度 (reliability) 的研究。 2. Xu & Davier (2008) 探討一般化診斷模型間的等化與連結。. 15.

(28) (四)Q矩陣設計： 1. de la Torre (2008a) 以實徵資料為基礎的DINA模型Q矩陣之校正：發展與應用。 2. Rupp & Templin (2008a) 探討錯誤的Q矩陣設定對於DINA模型參數估計及分類精準度之影響。 3. Jingchen Liu, Gongjun Xu, & Zhiliang Ying (2011a) 提出自我學習的 Q 矩陣理論。 4. Jingchen Liu, Gongjun Xu, & Zhiliang Ying (2011b) 提出評估 Q 矩陣的原則及相關認知診斷模型的程序。 (四)其它： 1. de la Torre & Douglas (2004) 探討DINA與linear logistic model (LLM) 模型的比較。 2. de la Torre (2009a) 對於選擇題型提出multiple-choice DINA的模型。 3. de la Torre (2009b) 詳細解釋DINA參數估計的方法。. 肆、此節文獻對本研究的啟示綜合上述，認知診斷評量可以讓教學者獲得學習者學習上缺失的診斷訊息，有助於教學者進行有效的補救教學，使教學能更加完善。而在眾多的認知診斷模型中，de la Torre (2009b) 所提出之 DINA 模型為認知診斷模型評估方法的基礎，僅包含粗心及猜測兩參數。因此，基於上述理由，本研究採取 DINA 模型作為本研究診斷測驗之認知診斷模型。. 16.

(29) 第二節知識結構近年來，隨著建構理論的興起及認知心理學的蓬勃發展，結合認知心理學和心理計量學兩大領域所形成的認知診斷評量，盼望能藉由學生模型 (student model) 、概念網路 (conceptual network) 與心理計量屬性 (psychometric attribution) 等三大方面，以對學生的知識建構做更進一步的瞭解，並透過生手與專家的知識結構差異比較，找出學生的錯誤概念，以便教學者能因材施教及日後進能一步做補救教學 (Nichols, Chipman, & Brennan, 1995) 。. 壹、專家知識結構 Shavelson (1972) 指出知識結構是存在長期記憶中的認知結構，並能掌握知識的組織特質與關係，個人可透過建構、修正與重組知識結構的方式，來改變學習和認知上的表現，因此，知識結構的優劣，將直接影響個體學習成就，然而我們無法直接看到知識結構的內涵，所以我們通常都是經由知識表徵所得知（陳雅芬，2003）。因此，專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析該單元內的所需具備的概念及上下位關係整理而成一結構關係。在專家知識結構中，最上層的認知屬性為此測驗範圍內最高層次的概念，最下層的概念為此測驗範圍內最低層次的概念。. 貳、試題關聯結構試題關聯結構分析法有助於教師進行教學設計、瞭解學童的認知學習構造及概念形成過程、對形成性評量的結果進行補放教學並提供教科書編者對課程教材構造之暸解（許天維，1995）。Airsian & Bart (1973) 所提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性，所形成的順序理論 (OT) 及 Takaya (1991) 的試題關聯結構分析法 (IRS) ，使得學習情況與教學成果的分析能獲得有效的解決，因此「順序理論 (OT) 」與「試題關聯結構分析法 (IRS) 」成為常用來定義試題間結構的兩種方. 17.

(30) 法，茲針對此兩種方法與本研究中將試題結構轉換成概念結構之「詮釋結構模型 (ISM) 」做詳細的介紹。一、順序理論 (ordering theory, OT) 在美國學者 (Aimsian & Bart, 1973) 所定義試題間順序的方法，主要的重點是在探討困難的上位試題答對，而較簡單的下位試題答錯這種不合理狀況發生情形，來判斷出試題的順序性。將 X＝(X 1 , X 2 ,…, X n)表示一個向量，其中包含 n 個二元試題成績變數，每一個受試者作答 n 題時得到一個 0 與 l 組成的向量 X＝ (X 1 , X 2 ,…, X n)，將觀察試題 j 與試題 k 的聯合邊際機率 (the joint and marginal probabilities) ，觀察兩試題間的關係。  x11 x X＝  12     x1N. x 21 x 22  x2 N. . x n1   xn 2        x nN . x ' =  xi1 , xi 2 ,, xiN . for i＝1,2,...,n ；N=1,2,...,N. 其中 xit  1 表示第 t 個學生答對 i 試題， xit  0 表示第 t 個學生答錯 i 試題。又設 p  x j  1表示試題 j 答對的機率 p  x j  0  表示試題 j 答錯的機率. p   xk  1 表示試題 k 答對的機率 p   xk  0  表示試題 k 答錯的機率 p  x j  1, xk  1表示試題 j 及試題 k 皆答對的機率 p  x j  1, x k  0  表示試題 j 答對且試題 k 皆答錯的機率 p  x j  0, xk  1 表示試題 j 答錯且試題 k 皆答對的機率. 18.

(31) p  x j  0, xk  0  表示試題 j 及試題 k 皆答錯的機率. 表 2-2-1 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率試題 k. 試題 j. xk  1. xk  0. Total. xj 1. p  x j  1, xk  1. p  x j  1, x k  0 . p  x j  1. xj  0. p  x j  0, xk  1. p  x j  0, xk  0 . p  x j  0 . Total. p   xk  1. p   xk  0 . 1. 在順序理論 (OT) 中，令  jk  px j  0, x k  1代表違反試題 j 為試題 k 之下位試題之機率，  jk ＜ε 時，其中 ε 為一閾值 (threshold) ，常設定介於 0.02 及 0.04 之間(0.02≦ε≦0.04)，則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，紀錄成 Xj → Xk。則表示試題 j 與試題 k 有順序性的存在 (Airasian & Bart, 1973; Bart & Krus, 1973) 。二、試題關聯結構法 (item relationship structure analysis, IRS) Takeya (1991) 發現經由順序理論 (OT) 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法 (IRS) ，希望透過另一種測量試題順序結構之係數 r jk 來定義試題 j 到試題 k 之間的順序關係，以修正順序理論 (OT) 之不足， r jk 的定義為： r jk  1 . p x j  0, xk  1 p x j  0  p  xk  1. 若 r jk ≧ r ，則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，紀錄成 Xj → Xk，其中 r 為一閾值 (threshold) ，常設定為 0.5。在順序理論 (OT) 及試題關聯結構法 (IRS) 中，若 Xj  Xk 且 Xk  Xj，則兩者的關係可以表示成 Xj  Xk，而且這樣表示試題 j 與試題 k 是等價的。. 19.

(32) 三、詮釋結構模型 (interpretive structural modeling, ISM) 在進行研究複雜問題、發展計劃、管理組織、系統工作以及各式不同種類的繁雜事務時，通常需要將其合成為階層 (hierarchies) 的形式。但是在將項目 (elements) 排列成階層的過程中，人們經常以直觀 (intuitively) 的方式處理（許曜翰，2008）。雖然不需要強制束搏自己，但是卻在有意無意之中遺失掉某些能簡單地發展出階層排列的重要項目，或導致無法發展出詳盡的層級形式 (Warfield, 1973a) 。當項目的個數較多或項目關係較為複雜時，要直接徒手繪製出腦中存在的教材要素項目結構並不是一件容易的事，不但難以看出其高低層次關係，且要素間之關係的連線會變得十分複雜且不易閱讀理解，因此利用電腦等快速運算工具可以幫助人們思考（佐藤隆博，1979）。詮釋結構模型 (ISM) 為 Warfield, J.N. 所提出的一種社會系統工學 (social system engineering) 之彙整訊息的構造模型法 (structure modeling) ，基於離散數學和圖形理論，在結合行為科學、數學概念、圖體決策 (group discussion) 及電腦輔助等領域，亦考慮到學習的歷程 (Warfield, 1974a, 1974b, 1979) ，透過二維矩陣 (binary matrices) 的數學運算，呈現出全部元素的關聯性，並藉由電腦來輔助行行繁複的數學運算過程，可自動地產生一個多層級結構化階層 (multilevel structural hierarchy) ，稱為地圖 (map) (Warfield, 1973a, 1973b, 1974b, 1977) （引自許曜翰，2008）。許天維、林原宏（1994）認為此種分析方法是一個集合內元素間的從屬 (subordinate) 關係矩陣，基於離散數學與圖形原理，呈現元素間的階層關係圖形。蔡曉信（1993）認為此種以圖表方式敘述解析、架構及說明整體工作，能讓從事工作的人更容易瞭解工作內容及掌握工作重點與順序，而不會產生如文字表示時所遭遇的困擾。許曜翰（2008）表示目前學生概念結構必須依賴教學者手動參考專家知識結構與學生試題結構來建立，此種建構方式既耗時又費工。因此，使用竹內俊彥與佐久間章行（2002）提出整合 ISM 法則的試題結構建立策略。其建立策略如下所述（引自許曜翰，2008）：. 20.

(33) (一)抽出單元(概念或項目)中教材要素。並將教材要素以 si 表示， i  1,..., n 。 (二)『原因/結果』分析表：建立全部教材要素的兩兩關係(例如：因果關係等)，如表 2-2-2 所示。表 2-2-2『原因/結果』分析表結果原因. 0. s1. .... sn. s1. 0. .... 1. .... .... .... .... sn. 0. .... 0. (三)組織要素階層化：『原因/結果』分析表，轉為關係矩陣 (relation matrix)。將上述之要素因果關係分析表轉化為數學表現型式，即具有二維矩陣性值的關係矩陣或稱相鄰矩陣 (adjacent matrix)。 (四)將相鄰矩陣轉化為可達矩陣 (reachable matrix)，此乃運用圖形理論 (Warfield, 1973a ;佐藤隆博, 1987) 所建立。 (五)將可達矩陣轉換為階層矩陣 (hierarchical matrix)。 (六)最後以階層矩陣分析完成 ISM 層級構造圖並以圖形表示出。. 叄、此節文獻對本研究的啟示綜合上述，知識結構有助於教學者進一步將概念加以組織化與階層化的分析與整理。因此，建立教材內容的知識結構，將使教學者能更有邏輯性與完整性的掌握課程的內容，以減少教學時的疏失，使其快速瞭解學生學習時易產生的迷失概念，以利提供後續的補救教學工作。因此，基於上述理由，本研究採取專家知識結構、以順序理論 (OT) 與試題關聯理論 (IRS) 為基礎以詮釋結構模型 (ISM) 轉換學生知識結構，進行 Q 矩陣之設計。藉以瞭解專家知識結構、及以順序理論 (OT) 與試題關聯理論 (IRS) 為基礎之學生概念結構，對於認知診斷模型評估適配度的差異。. 21.

(34) 第三節 Q 矩陣校正公式 Q 矩陣於測驗發展中扮演著重要的角色。雖然 Q 矩陣是認知診斷模型中不可或缺的一部分，但是在許多認知診斷模型適配分析中，皆假設 Q 矩陣是正確的，並沒有驗證其使用的 Q 矩陣的適配性 (de la Torre, 2008) 。因此，de la Torre (2008) 提出一種以實徵資料為基礎，分析 DINA 模型 Q 矩陣的一種分析方法。此種檢驗 Q 矩陣適配度的方法目的是補充而不是取代目前的 Q 矩陣，相較於其它 Q 矩陣檢驗方法，此方法是以目前的實徵資料為依據，並沒有考慮到試題間的相關，或相關領域專家的知識及實務上資訊 (de la Torre, 2008) 。. 壹、模型介紹：測驗共有 K 個概念， J 題試題， l 定義為試題 j 中 K 個概念的所有概念組合。在 DINA 模型中，如果答對 j 試題受試者中，受試者具備所有概念的機率與受試者不具備所有概念的機率達到最大化的差異時，則 q j 即為校正後的 Q 矩陣。q j 的定義為：. . .  . q j  arg max P( X j  1 | ll '  1)  P( X j  1 | ll '  0)  arg max  jl l. (5). l. 於公式(5)其中， q j ：表示校正後的 Q 矩陣。 l  0,1,...,2 K  1 ：代表所有概念組合的數目。.  l ：代表試題 j 中 K 個概念的所有組合。  ll '   kK1 l'klk ：代表是否具備解題所需的所有概念。. 因為 P ( X j  1 |  ll '  1)  1  s j 和 P ( X j  1 |  '  0)  g j ，所以公式中試題 ll j 最大化的差異為  jl ，亦可寫為 1-最小化的試題 j 粗心( s j )與猜測( g j )參數之總. 和。基於上述理由，我們可以利用試題 j 的粗心( s j )與猜測( g j )參數的大小，建. 22.

(35) 立以實徵資料為基礎之適配的 Q 矩陣。然而，應該特別注意獲得較小的粗心( s j ) 和猜測( g j )參數只是充分條件，並不是必要條件。在某些情況下，試題 j 可能給予特定的概念組合很高的猜測( g j )或粗心( s j )參數，但是卻沒有其它的概念組合適合於此實徵數據，除非採用不同概念的組合。最後，定義受試者具備解題試題 j 所需的所有概念組合為  j  1 與未具備解試題 j 所需的所有概念組合為  j  0 ，. 在答對此試題的情況下，兩者發生的機率差異達到最大化時為  jl ，即表示能高度區別受試者是否具備答對試題 j 所需所有概念的指標，當高度區別時，則具有高的  jl ；當低度區別時，則具有低的  jl 。然而，  jl 並不是試題 j 的固有特徵，而是隨著試題 j 的 q 矩陣改變而改變的一項特徵。. 貳、此節文獻對本研究的啟示：綜合上述，de la Torre (2008) 提出以實徵資料為基礎，分析 DINA 模型 Q 矩陣的方法，得知可以利用試題 j 的粗心( s j )與猜測( g j )參數的大小，建立以實徵資料為基礎之適配的 Q 矩陣。因此，本研究根據此公式，對專家知識結構與學生概念結構之 Q 矩陣，進行重新的校正形成另一種 Q 矩陣設計，即為本研究中的校正後 Q 矩陣。. 23.

(36) 第四節分數教材分析與迷思概念壹、分數概念在日常生活中，我們常有分東西的經驗，例如：把一個披薩、一條蛋糕平分成幾塊；或是把一包巧克力分給幾個小朋友......等。在「分」的過程中常常會考慮到應該如何「分」？可以「分」到多少？等問題時，常常會遇到無法盡量分完的情形，這些問題都和「分數」有密切的關係。Hunting (1986) 認為分數的概念起源於對一個連續物的細分(例如：蘋果、蛋糕、披薩等) 。在數學教育研究中，分數向來是備受數學教育學者所重視的研究主題之一，且在日常生活、數學與自然科學教材中，都可以發現分數是常用的重要概念（陳明宏、呂玉琴，2005）。甯自強（1993）則認為分數的啟源等分割一個物件活動的紀錄與結果。張平東（1995）認為從分數的英文是“ fracoion ”來看，它是源自於拉丁字“ frangere”，具有小部份、片段、破碎的意義，但通常是指將全部分解為部分的意思。趙新珍（2011）認為分數的概念起源於「分」，是用來解決不滿單位量的數值問題。在 q 現行的九年一貫課程綱要中對分數的意義作了詳盡的定義：能化為 p 的型態，且 p、q 皆為整數者其中 p≠0，稱為分數；p 稱為分母，q 稱為分子；若 0＜q ＜ p q q 時， p 稱為真分數；否則， p 稱為假分數；形如 2 1 的分數，則稱為帶分數（教 3 育部，2003）。因此，「分數」的產生主要來自於「整數」不能解決人類生活中的實際需要時，發展出來的另一種用於處理分割後的無法處理的部分之表示模型。由於分數具有多重的意義，於許多國內外分數的相關研究中，如：Behr, Lesh, Post & Silver (1983) 、Dickson, Brown & Gibson (1984) 、Booth (1987) 、Kieren (1980, 1988) 、甯自強（1993）、楊壬孝（1988）、林碧珍（1990）、楊瑞智（2000）等，發現分數在各種不同情境中，會建構出各種不同的意義，組成相關但不同思考類型的「分數」概念，使得學童在學習「分數」概念時，在不同的情境中所使用的. 24.

(37) 認知結構也會有所差異。. 貳、國小分數教材內容分析依據教育部（2003）公佈的現行國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要所編寫，九年一貫課程綱要領學領域「分數」教材階段能力指標及分年能力指標詳列於下表 2-4-1 及表 2-4-2 中：表 2-4-1. 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材階段能力指標. 階段. 代碼. 能力指標. 第一階段 (1~3 年級). N-1-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-2-06. 能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-07. 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. N-2-08. 能理解等值分數、約分、擴分的意義。. N-2-09. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. N-2-11. 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-2-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. N-3-02. 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。. N-3-03. 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. NA. NA. 第二階段 (4~5 年級). 第三階段 (6~7 年級). 第四階段 (8~9 年級). 25.

(38) 表 2-4-2. 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材分年能力指標. 年級. 代碼. 能力指標. 對照指標. 二年級. 2-n-10. 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。. N-1-09. 3-n-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-1-09. 4-n-06. 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-06. 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。. N-2-07. 4-n-08. 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. N-2-08 N-2-13. 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-2-08. 5-n-05. 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. N-2-09. 5-n-06. 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-06. 5-n-07. 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-2-11. 5-n-11. 能將分數、小數標記在數線上。. N-2-06 N-2-13. 6-n-02. 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。. N-3-02. 6-n-03. 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-03. 6-n-05. 能作分數的兩步驟四則混合計算。. N-3-11. 7-n-11. 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。. N-3-02. 三年級. 四年級. 4-n-07. 五年級. 六年級. 七年級. 26.

(39) 依據九年一貫課程綱要數學領域分數教材階段能力指標可得知，學生分數概念的學習由第一階段建立初步分數概念；進而於第二階段時學習瞭解真分數、假分數、帶分數、等值分數、通分與擴分的意義，及能進行分數的加減乘除的基本運算與分數與小數的互換關係；在第三階段時能將分數化為作減分數並理解除法為分數的意義與利用其解決生活中的問題。於九年一貫課程綱要數學領域分數教材分年能力指標之中可知，「分數」的概念，首見在國小二年級時介紹單位分數，學生已經可以認識分母在 12 以內的單位分數，並能在平分的情境中，比較不同單位分數的大小。國小三年級時，學生對分數的意義已有初步的認識，已學會分數的記法，並理解同分母分數的比較與加減的方式。此時的分數並未限制在真分 3 4. 1 4. 數，基本上學生對分數的概念是建立在單位分數的重複點數上，例如：是點 1 4. 數 3 次，是 3 個。在國小四年級時，引進了帶分數，在強調混用「1」單位與單位分數的情境下，形成用帶分數記錄數量的共識及引入帶分數與假分數的互換；並且進一步的將分數的加減擴大至帶分數的範圍，並處理非帶整數的整數倍問題；此時，亦引入等值分數的初步概念的理解，並進行簡單的異分母分數之比較。國小五年級時，進入了利用擴分與約分的方式進行異分母分數之比較、理解乘數為分數的意義及計算方法，並利用其解決生活中的問題、於測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵及與將分數小數標記在數線上。國小六年級時，引進利用最大公因數與最小公倍數與兩數互質的意義，並利用其將分數約成最簡分數、理解除數為分數的意義及計算方法，並利用其解決生活中的問題與能做分數的四則混合計算。七年級時，熟練運用最大公因數、最小公倍數進行約分、擴分及最簡分數的計算。本研究使用之部編版國小數學領域分數單元學習教材地位關係，如圖 2-3-1 所示。. 27.

(40) 第四冊 在連續量的情境中，認是單位分數的意義。 單位分數的說、讀、聽、寫、做。 單位分數的大小。 在離散量的情境中，認是單位分數的意義。. 第六冊. 第五冊. 由單位分數的個數，認識分數。  同分母的加法計算(合在 2 以內)。  同分母的減法計算(被減數小於 2)。  解決生活中長度、容量、重量的問題。. 認識分子異於 1，且總量不超過 1 的分數。  建立分數(≦1)的數詞序列。  解決同分母分數的比較問題，及生活中的分數問題。. 第七冊. 第八冊. 認識帶分數、真分數、假分數的名詞。 熟練帶分數與假分數的互換。 做同分母分數的比較、加減。 在帶分數的整數倍計算。. 認識等值分數。 做異分母分數的比較。 用平分理解整數相除的意義。 將用整數成以分數，轉為先除（整除）再乘的問題。 將整數除以分數（單位分數），轉為乘法問題。. 第九冊. 第十冊. 用約分、擴分找等值分數。 用通分做異分母分數的比較與加減。 從分裝（或測量）理解整數相除的意義。. 乘數為分數的計算。 除數為整數的計算。 解決「加乘、減乘、連乘」的兩步驟問題（不含併式）。. 第十一冊 將分數換成最簡分數。 能理解除數為分數的意義及其計算方法。 能理解用未知數符號列出的兩(單)步驟算式，並驗算。 認識倒數。. 圖 2-3-1 部編版國小數學領域分數單元學習教材地位（擷取自部編文教事業（2010）。國民小學數學教師手冊第四至十一冊）. 28.

(41) 叄、兒童分數概念的迷思分數概念的教學與學習成效不彰的情形，造成許多教師與學生感到教學與學習困難，是不爭的事實。美國國家教育發展評估 (The National Assessmant of Educational Progress, 簡稱 NAEP ,1989) 的調查研究報告指出，兒童分數概念的不完備，像兒童對分數缺乏數感 (number sense) ，不知道分數也是數，不瞭解分數的意義，以及記憶式的計算原則等，因而造成分數學習的成就降低。由於分數概念的複雜與多樣性，造成學生在分數概念的發展上相當遲緩，並且產生許多類型的迷思概念及錯誤類型。在國內外許多研究中，可見學生在數學的學習方面，Broen & Burton (1978) 等人的研究指出學生學習上所犯的錯誤大都是系統性的、具有規律性的、標準化的，很少出現隨機的或是善變的特性，對於這些錯誤概念或迷思概念產生的原因，因該有正確的理論可以解釋（引自湯錦雲，2002）。呂玉琴（1991）則認為因為分數概念的意義豐富，在不同的情境有不同的解釋，不同的解釋也需使用不同的認知結構使得學生在發展分數概念時需要一段漫長的歲月，而且正個發展過程是相當艱辛的。因此，一旦兒童在分數概念認知學習的過程，無法正確有效的認知，而導致迷思概念及導正錯誤認知。參考國內外許多學者對於學生學習分數概念時，所常見之易錯類型與迷失概念之相關文獻，如附錄一所示。可發現學生分數概念之迷思如下：一、等分概念不完備：學童在學習分數時，等分概念不夠穩固的情形普遍存在，對於判斷是否等分時，常只注意到被分割數，而忽略了分割後的每塊是否相等，顯示學童等分概念薄弱；當遇到大小不同的離散量情境時，會分成各數相同的份數，但總量卻不相同；同時，學童在作等分問題時，對於連續量情境相對於離散量情境感到較為困難（趙新珍，2011）。. 29.

(42) 二、指認單位量困難或忽略單位量：吳相儒（2001）學生在處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認，但是學生在處理部分／全部，子集／集合或數線的分數問題時，會有指認單位量的困難。忽略給定的單位量，例如：學生在回答一包巧克力有四個，其中的一個是幾包的問題時，會回答一個或是四分之一個。顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。學生在解題時只考慮到分子的因素，例如：學生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五，他們的反應是只取其中的五個。或者只考慮到問題中的分母。根據上述受分子控制解題的情形類似，其中的差別只有在於，這類的學生是根據分母的大小來取花片。而不論是受分子控制或是受分母控制解題的學生，他們都忽視所給定的單位量。三、運用整數基模來處理分數問題，在處理分數的大小比較及等價分數時，僅以分子或分母作為判斷的依據： 1 2. 1 4. 1 2. (一)以分母的大小來比較。例如： > ，就像在分一塊餅，是切兩塊比較 1 4. 大，是切四塊比較小（呂玉琴，1991）。 1 2. 2 4. 2 4. 1 2. (二)以分子的大小來比較。例如： < ，因為是塗兩塊，是塗一塊，所 2 4. 以比較大（呂玉琴，1991）。四、不瞭解分數與除法的相關性，將分母和分子視為獨立的兩個數： Booth (1987) 認為學童不將分數看成一個數，甚至認為分數不是一個數，而是兩個整數。學童將分數是為兩個不相關的整數並分開個別處理 (Hart,1989) 。五、其他：游政雄、呂玉琴（2002）認為學童在遇到餘量再分問題時，會自行增減內容物改變單位量。黃靖瑩（2003）表示學童在等值分數概念的表現，出現受分母或分子控制的情形而錯誤解題。洪素敏（2004）則認為學童無法將分數視為數線上. 30.

(43) 的一個數值。陳晚蓁（2004）則認為學童在進行圖示分數運算時，學生會先用算則計算出結果，再將結果圖示出來。. 肆、此節文獻對本研究的啟示：綜合上述，九年一貫課程綱要數學領域分數教材階段與分年能力指標分析及部編版國小數學領域之分數單元課程，可知分數單元在各階段與分年的教材地位，及其測驗編製中必須施測的各項概念。因此，本研究依據教育部於民國 92 年所公布九年一貫正式綱要，數學領域的「數與量」主題中，國小四年級「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)，並細分為十五個分數概念，如表 3-4-1 概念與試題對照表所述。為本研究後續分析中分數概念之架構及測驗試題的內容依據。. 31.

(44) 32.

(45) 第三章研究方法與設計本研究旨在探究不同的 Q 矩陣設計，對於 DINA 模型概念辨識率之影響。本章內容共分為五節，第一節描述本研究的實施程序；第二節說明本研究對象之特性；第三節說明本研究之研究工具的編製、預試及修審過程；第四節介紹專家知識結構的建立及其 Q 矩陣的設計，及如何分別利用「次序理論 (OT) 」及「試題關聯構分析法 (IRS )」為基礎之學生試題結構經由「詮釋結構模型 (ISM) 」轉換而成之學生概念結構及其 Q 矩陣設計；第五節介紹不同 Q 矩陣對 DINA 模型診斷結果影響之評估指標；第六節說明研究資料的分析方法。. 33.

(46) 第一節研究流程本研究之流程分為三個階段，如圖 3-1-1 所示，以下依各階段之流程加以詳細說明：. 準備階段. 確定研究目的蒐集與閱讀相關文獻確定研究架構. 編製測驗. 實施階段. 修正試題進行紙筆測驗預試預試資料分析編修正式測驗並轉為電腦化正式施測利用認知診斷電腦適性測驗系統進行正式施測，並請學生留下紙本解題過程. 資料分析階段. 測驗試題信效度分析. 不同 Q 矩陣影響比較. 研究結論與建議撰寫研究報告圖 3-1-1 研究流程圖. 34.

(47) 壹、準備階段研究者依據研究所課程中所習得的知識與實際教學工作上，所發現學生在數學學習之情形，經由閱讀相關文獻並與指導教授討論後，提出研究動機、研究目的與問題，隨即進行認知診斷評量與模型、Q 矩陣設計、專家知識結構、學生概念結構、分數概念等相關文獻之蒐集與探討，並擬定初步的研究架構。. 貳、實施階段研究者經由相關文獻研討後進行編製研究所需之測驗工具，經由專家學者及多位具有豐富教學經驗之現職國小教師共同討論後，修定預試所需之測驗試題並進行預試，隨後依據預試測驗資料的信度、難易度、鑑別度及 DINA 模型認知診斷測驗的參數值，作為修正與刪減測驗試題的依據，然後編修完成正式測驗試題，及進行測驗試題的電腦化。隨之與施測學校訂定正式測驗施測時間，進行正式測驗施測活動。. 參、資料分析階段研究者於正式施測結束後，將測驗資料加以編碼與建檔，隨之分別利用次序理論 (OT) 與試題關聯分析法 (IRS) 為基礎之分析程式，建立學生試題結構的關係矩陣，再經由詮釋結構模型 (ISM) ，獲得學生概念與試題關聯矩陣，即學生概念結構。本研究中結合學生概念結構之 Q 矩陣的建構，主要是結合專家知識結構與學生作答後所得之學生試題結構建立而成。隨後進行測驗資料分析，依據結果撰寫研究報告，提出個人見解以提供後續研究者與教學者之參考。以下介紹引用許曜瀚（2008）中的範例，說明建立「學生概念結構」的演算法：一、專家定義知識結構矩陣 Qmn ，其中 m 為概念數， n 為試題數二、利用 OT 軟體建立學生試題結構 OS nn (order structure) 及可達矩陣 R. 35.

(48) 三、利用 Qmn  R  I n T 矩陣演算(布林加法代數)建立學生概念結構矩陣 CI 。為了說明以詮釋結構模型 (ISM) 建立學生概念結構的演算流程，將以一個假設的例子來說明： 1.由專家建立概念矩陣 Q，如下表 3-1-1 所述：表 3-1-1 專家試題概念矩陣 Q 試題概念. I1. I2. I3. I4. I5. S1. 1. 1. 0. 0. 0. S2. 0. 0. 1. 0. 0. S3. 0. 1. 0. 1. 0. S4. 0. 0. 0. 1. 1. 依專家觀點：解試題 I1 需要概念 S1；解試題 I2 需要概念 S1 和概念 S3；解試題 I3 需要概念 S2；解試題 I4 需要概念 S3 和概念 S4；解試題 I5 需要概念 S4。 2.藉由次序理論建立學生試題結構 OS (order structure) 及可達矩陣 R ，此部分是由實際施測資料進行 OT 軟體分析，建立學生試題結構 OS 及可達矩陣 R ，分別如下圖 3-1-2 與表 3-1-2 所述：. 表 3-1-2 學生試題可達矩陣 R. I1. 試題 I2 I3. 試題. I1. I2. I3. I4. I5. I1. 0. 0. 0. 0. 0. I2. 1. 0. 0. 0. 0. I3. 1. 1. 0. 0. 0. I4. 1. 1. 0. 0. 0. I5. 1. 1. 0. 1. 0. I4 I5. 圖 3-1-2 學生試題結構 OS. 3.藉由 Qmn  R  I n T 之矩陣運算(布林加法代數)來獲得學生概念關聯試題矩陣 CI ，如下表 3-1-3 所述：. 36.

(49) 表 3-1-3 學生概念關聯試題矩陣 CI 試題概念. I1. I2. I3. I4. I5. S1. 1. 1. 1. 1. 1. S2. 0. 0. 1. 0. 0. S3. 0. 1. 1. 1. 1. S4. 0. 0. 0. 1. 1. 37.

(50) 第二節研究對象本研究對象為已學習過部編版第七冊至第八冊數與量主題「分數」單元之國小五年級學生。本研究包含以紙筆測驗方式進行預試測驗與電腦化測驗方式進行正式測驗兩階段，以下概述預試對象及正式施測對象。. 壹、預試對象(紙筆測驗) 預試對象之選取採用立意抽樣方式，由 100 學年度彰化縣使用部編版本學校中，抽取 A、B 兩所國小，由於預試對象必須完成第八冊數與量主題「分數」單元之學習，因此選定兩所國小之四年級學生皆接受預試。預試對象共 13 個班級，總計 396 人，施測時間為民國 100 年 5 月 31 日。. 貳、正式施測對象(認知診斷電腦適性測驗系統) 正式施測之對象與預試對象相同，共 13 個班級，總計 396 人，因預試當日有兩名學生因故請假未到校，所以有效樣本人數共計 394 人，且因施測時間相隔近五個月，所以正式施測對象與預試對象相同，施測時間為民國 101 年 10 月 17 至民國 101 年 10 月 21 日止。. 38.

(51) 第三節研究工具本研究之主要研究工具為自編國小四年級分數能力認知診斷測驗、認知診斷電腦適性測驗系統、建立學生概念結構與研究資料分析相關應用軟體，茲說明如下：. 壹、自編國小四年級分數能力認知診斷測驗一、測驗內容說明測驗工具的編製是依據教育部於民國 92 年所公布九年一貫正式綱要，國小四年級數學領域的「數與量」主題中，「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)的概念，並且參考 100 年度國小部編版本四年級第七冊至第八冊分數單元之中，關於分數的概念及相關研究。二、編製可試題化之專家知識結構經由專家學者及多位具有豐富教學經驗之現職國小教師，進行「分數」能力指標(4-n-07 與 4-n-08)的討論分析後，共分析出 15 個分數概念並共同討論出專家知識結構。三、編製與修審試題依據先前所建構之專家知識結構節點，進行本研究國小四年級分數能力認知診斷測驗之編製，預試測驗之試題以開放性試題方式呈現，一個概念編製二題以上之試題，以紙筆測驗方式進行試題預試，取得學生學習時常犯之錯誤迷思概念，並且參考過去與分數相關之錯誤類型之研究文獻，最後將正式測驗之試題以選擇題方式呈現，試題與備選選項間皆經由詳細設計使其符合辨別錯誤類型的需求，使測驗試題的備選選項更具有誘答力。本研究之預試測驗試題，如附錄二所示；預試測驗的概念與試題對照表，如表 3-3-1 所示；預試測驗所使用的 Q 矩陣，即為結合專家知識結構之 Q 矩陣，如表 3-3-2 所示，表中數字「1」表示該試題測量到此概念；數字「0」表示該試題沒有診斷到此概念。. 39.