等號概念

一、等號的歷史

相等 ( equal ) 是數學中最重要的關係之一，而表示相等的符號即稱 為「等號 ( Equal sign ) 」。等號的出現與方程式有關，然而數學於萌芽 時期即有方程式的記載。

中國古代已有方程式的概念，其以「列表」 ( 算籌布列 ) 的方法解 之，並不需等號，而書寫時則以漢字「等」或是「等於」表示。公元前 1650 年左右，古埃及數學家阿默斯 ( Ahmes ) 於紙草書中以「 」表 示相等；公元前三世紀，印度數學家巴赫沙里 ( Bakhshali ) 手稿中以相 當於pha的字母為等號；西元三世紀希臘數學家丟番圖 ( Diophantine ) 則 以「 」或「 」為等號；到了十五世紀，阿拉伯人蓋拉薩迪以「 」表示 相等；德國數學家雷格蒙塔努斯 ( Regiomontanus ) 則以水平之破折號

「──」為等號；現代會計之父−盧卡帕喬利 （ Luca Pacioli ） 亦以破

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折號為等號，但較長且記於數字之下 ( 教育資訊站數學網，2000；維基 百科，2009 ) 。

英國數學教育家雷科德 ( Robert Recorde ) 於 1557 年出版的《礪智 石》一書中，首次採用現今通用之等號符號「＝」，這個符號亦稱為雷 科德符號 （ Recorde's sign ） ，由於覺得書寫文字過於麻煩，因此使用 兩條一樣長的線作為等號符號，表示其連接的兩個量相等。但此符號的 推廣非常緩慢，其後的著名人物如開普勒 ( Kepler ) 、伽里略 ( Galileo ) 與費馬 ( Fermat ) 等人常以文字或縮寫語如 aequals、aeqantar、ae、esgale 等表示相等；1637 年，笛卡兒 ( Descrates ) 還以「＝」表示現代「±」號 之意，而以「 」為等號。直至十七世紀末期，等號符號「＝」才逐漸 被普遍使用 ( 教育資訊站數學網，2000；維基百科，2009 ） 。

二、等號的意義

學童在學習計算的最初，即接觸了等號符號，換句話說，等號符號 是學童最早接觸的運算符號之ㄧ，其最普及的意義即是「相等

( sameness ) 」，用以表示生活中兩物件集合有相同數量的方法，亦是我 們希望學生能夠具備的等量概念 ( 楊喻惟，2009 ) 。此外，數學上較為 嚴謹的等量關係指的是「等價關係 ( equivalence relation ) 」，必須滿足反 身性 ( reflection ) 、對稱性 ( symmetry ) 以及遞移性 ( transitivity ) 三個 條件，舉例來說， 1＝1，2＝2，3＝3 此種本身等於本身的情況恆成立，

即滿足反身性；對稱性是指，若2＋1＝3 成立，則 3＝2＋1 必成立；而 遞移性指的是，若3＝2＋1 和 2＋1＝1＋2 皆成立，則 3＝1＋2 必成立 ( Behr et al., 1976 ) 。

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Sfard指出，人們會以兩種不同的方式思索一個抽象的數學概念，一個

等號才會成立，例如：方程式3x－2＝－5 只有在 x＝－1 時，等號兩邊 的數值才會相等。這類方程式所代表的只是兩個數學表徵式在內容上相 等，而非定義上相等。

(四) 完全相等 ( equal identically )

有些方程式無論變項的值為何均成立，例如：基本運算性質 ( 加法 交換律 x＋y＝y＋x，結合律( a＋b )＋c＝a + ( b + c )，分配律( a＋b )×c＝

a×c＋b×c 等 )、周長或面積公式( 正方形周長＝邊長×4，或矩形面積＝

長×寬 ) 等。在這種情況下，稱等號兩邊的數學式完全相等( identically equal )，或稱為恆等式( identity )。

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2x 2^x

(五) 理論上相等 ( equal in theory )

理論上相等是用於假設情況，例如：方程式 ＝－1，但是。由於 的值恆為正數，無法找到符合條件的 x，因此不能解釋為等號兩邊的值相 等。在許多數學問題中會要求找到符合條件的變項數值，但有時候這樣 的數值是不存在的。

Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali ( 2006)、Alibali 等人 ( 2007 ) 以 及陳嘉皇 ( 2008 ) 針對國小、國中學童的等號概念進行研究，將學生對 等號意義的認知分為「關係 ( relational ) 」、「運算 ( operational ) 」以及

「其他」。等號的關係意義是指能夠將等號視為兩邊等值、左右相等的關 係符號，若學生描述等於符號表示「相同」，例如：「方程式的兩邊相同」， 或「與另一邊的數字達成平衡」，則判斷該生對等號持有關係概念；等號 的運算意義是指將等號視為運算得到結果的符號，若學生描述等於符號 表示「把數字加起來」或「答案」，例如：「把所有數字加起來」，或「符

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號之後是答案」則判斷該生對等號持有運算概念；而等號的其他意義指 的是脫離情境的敘述、解釋不清、沒有回答或是回答不知道。本研究參 考Alibali 等人 ( 2007 ) 的研究，在分析學童對於等號意義的文字解釋(運 算或關係)之分布情況時，採用「＝表示某一個東西和另一個東西一樣 多。」、「＝表示兩個一樣大的數。」、「看到＝，表示要算出問題的答案。」、

「＝表示總和。」以及「看到＝，就要把數字照抄一遍。」五句話，發 展出一份「等號概念問卷」，藉以探討國小三年級學童對等號概念的了解 情況。