國小三年級學童的等號概念對加減計算題與加減文字題的表現差異之研究

國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授：謝闓如 博士

國小三年級學童的等號概念對加減計算題與加

減文字題的表現差異之研究

研究生：楊絮媛 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

謝 辭

在我開始寫論文之前，我覺得這不是一件難事；當我著手蒐集文獻、 資料時，我開始認為做研究不是一件簡單的事；在撰寫論文的途中，我 曾迷失方向，曾經想要放棄；現在，終於要完成自己的研究了，回頭看 這一切都覺得值得了。 在台中教育大學的日子，我最要感謝的就是我的指導老師謝闓如教 授，老師總在我困惑迷惘時給我方向，面對我所提出的疑問總是不吝指 教，無論是再小的問題也耐心地替我解答，老師的話如春風，輕柔但又 能振奮人心，是支持著我不斷向前的力量。也要感謝導師甯平獻教授， 讓我從青澀、懵懂的大學生體悟到自己身分的轉變，該是成為替自己負 責的研究生。感謝主任林原宏教授，總在我鬆懈時叮嚀我，讓我能走在 自己的計畫上。接著要感謝我的口試委員劉好教授與林素微教授，經過 您們的提點之後，著實又讓我成長了不少，而論文也更臻於完善。 另外，要謝謝碩士班的同學以及我是室友們，讓我的碩士生涯充滿 了溫馨與歡樂，也謝謝你們幫我解決了生活上與課業上大大小小的事， 沒有你們的陪伴，這兩年生活將會失去許多色彩。 最後，要感謝我的父母親，從小對我無微不至的照顧，讀碩士的兩 年由於女兒忙於論文而鮮少回家，謝謝您們的體諒與支持，若女兒今天 有一點點的成就，那都要歸功於我最敬愛的父母親啊! 感謝所有陪伴著我、支持著我，以及幫助過我的師長與親朋好友， 在這裡獻上我最誠摯的謝意。 絮媛 謹誌 民國九十九年六月

I 摘 要 本研究旨在探討國小三年級學生對於等號的解釋，以及在單純數字算 式情境中與在具體文字情境下對於等號概念的了解情形，以了解不同的 問題情境或呈現方式是否會影響學生的解題表現。本研究採問卷調查 法，以｢等號意義問卷｣、｢數字計算問卷｣以及｢文字情境問卷｣等三份自 編問卷，探討 165 位桃園縣某國民小學三年級學生的等號概念是否影響 其在數字算式題與文字情境題的表現，主要研究發現有： 一、認為「等號是等價關係」之學童與認為「等號是運算結果」之學童 約各佔一半。 二、認為「等號是等價關係」之學童在整份數字計算測驗中的表現明顯 優於認為「等號是運算結果」之學童。並且，「等號是等價關係」之 學童在 13＋37＝□＋25、76－34＝20＋□、14＋11＝38－13 及 28 ＝28 等四題題目類型中的表現明顯優於認為「等號是運算結果」之 學童。 三、認為「等號是等價關係」之學童在整份文字情境測驗中的表現明顯 優於認為「等號是運算結果」之學童。並且認為「等號是等價關係」 之學童在13＋37＝□＋25 與 76－34＝20＋□等兩題題目類型上的表 現明顯優於認為「等號是運算結果」之學童。 四、屬於「等號是等價關係」的學童在數字計算題與文字情境題中的總 分表現並無差異。但在54＝31＋23 之題型中的表現於教育上及統計 上均以「數字計算」方式呈現的表現明顯優於以「文字情境」方式 呈現的表現。 五、屬於「等號是運算結果」的學童在數字計算題與文字情境題中的總分

II 表現並無差異。但在□＝12＋27 及 14＋11＝38－13 之題型中於教育 上及統計上均是以「文字情境題」明顯優於「數字計算題」，在 54＝ 31＋23 之題型中則是以「數字計算題」明顯優於「文字情境題」；題 型36＝48－12 與 28＝28 雖未達統計上之顯著差異，但在教育上均呈 現明顯不同，題型 36＝48－12 是以「數字計算題」明顯優於「文字 情境題」，題型28＝28 是以「文字情境題」明顯優於「數字計算題」。 關鍵字：文字題、國小代數、等號

III

The Performance differences of 3

rd

Graders between

Concepts of Equal Sign and Problem Settings

Abstract

The purpose of this study was to investigate whether the differences of students’ performances due to their understandings of the meaning of equal sign, and the problem settings (mathematics sentences and/or word problems). Data were collected via three self-designed questionnaires: the meaning of equal sign questionnaire, the mathematics sentences questionnaire and the word problems questionnaire. The participants were 165 third graders from one elementary school located at the north region of Taiwan. The main results were as follows:

1. About half of the students considered equal sign as to compute results; the other half thought of equal sign as the relation of equivalence.

2. Compared to those who treated equal sign as to compute results, students with equivalent relation concept did better on mathematics sentences problems, especially on 13+37=□+25, 76-34=20+□, and 14+11=38-13. 3. Compared to those who treated equal sign as to compute results, students

with equivalent relation concept did better on word problem settings, especially on problems using mathematics sentences such as 13＋37＝ □＋25 and 76－34＝20＋□.

4. The overall performances of students with equivalent relation concept between the mathematics sentences questionnaire and the word problems questionnaire were not statistically significantly different; however, there were educational and statistical differences on preblem using 54＝31＋

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23. Students did better on mathematics sentence than on solving word problem.

5. There were no statistically significant differences on overall performance of students who treated equal sign as to compute results between the mathematics sentences questionnaire and the word problems questionnaire. However, there were educationally and statistically significant differences on problems □＝12 ＋27, 14＋11＝38－13 and 54＝31＋23. When dealing with problems such as □＝12＋27 and 14＋11＝38－13, they did better in using word problems; on the other hand, they did better in using mathematics sentences with problems 54 ＝31＋23. There were no statistical but educational differences between 36＝48 －12 and 28 ＝ 28. Students did better on 36 ＝ 48 － 12 in mathematics sentences than that using word problems; students did better on 28＝28 in using word problems than that using mathematics sentences.

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目 次

第一章 緒論……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的……… 4 第三節 研究範圍與限制……… 4 第四節 名詞解釋……… 5 第二章 文獻探討……… 7 第一節 等號概念……… 7 第二節 等號相關研究………11 第三節 文字題概念………22 第四節 文字題相關研究………23 第三章 研究方法………39 第一節 研究架構………39 第二節 研究對象………39 第三節 研究工具………40 第四節 研究過程………42 第五節 資料分析………44 第四章 研究結果………47 第一節 等號意義解釋 ( 運算或關係 ) 之分布情況………47 第二節 兩類學童在計算題中的表現差異………48 第三節 兩類學童在情境題中的表現差異………52 第四節 「等價關係」學童在兩題目呈現方式中的表現差異………55 第五節 「運算結果」學童在兩題目呈現方式中的表現差異………57 第五章 結論與建議………65 第一節 結果與討論………65 第二節 建議………69 參考文獻………75 中文部份………75 英文部分………79 附錄………82 附錄一 等號意義問卷………82 附錄二 數字算式問卷………83 附錄三 文字情境問卷………84

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表 次

表4-1-1 學童對於等號意義的文字解釋(運算或關係)之分布情況………48 表4-2-1 兩分類之學童在數字計算題中的總分之獨立樣本t檢定………49 表4-2-2 兩類之學童在數字計算題各題中的表現之獨立樣本t檢定……50 表4-3-1 兩類之學童在文字情境題中的總分之獨立樣本t檢定…………52 表4-3-2 兩類之學童在文字情境題各題中的表現之獨立樣本t檢定……53 表4-4-1 「等號是等價關係」的學童在數字計算與文字情境總分之成對 樣本t檢定………55 表4-4-2 「等號是等價關係」的學童在數字計算題與文字情境題各題表 現之成對樣本t檢………56 表4-5-1 屬於「等號是運算結果」的學童在兩種問題呈現方式下的總分 表現之成對樣本t檢定………58 表4-5-2 屬於「等號是運算結果」的學童在兩種問題呈現方式下的各題 表現之成對樣本t檢定………61

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圖 次

1

第一章 緒論

本研究欲探究國小三年級學童對於等號之理解是否影響學生在加減 數字計算題與文字情境題之表現，本章將針對研究之動機、研究目的、研 究範圍與限制以及名詞釋義逐一說明如下：

第一節 研究動機

根據Maslow ( 1970 ) 的需求層次論 ( need-hierarchy theory ) 顯示，人 類必須在滿足生理需求 ( physiological need ) 之後，才能夠產生其他需 求，求得溫飽即是生理需求中的一環，為滿足此一需求，得到工作以賺錢 糊口便成為一件勢在必行的事，然而Usiskin ( 1999 ) 表示，如果不具備代 數知識，將會失去一些工作機會，可以見得代數對人類的重要性。由於「等 號」是代數中不可或缺的因素之ㄧ，我國教育部 ( 2003 ) 便公佈九年一貫 數學學習領域能力指標1-a-01：「能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣 多的意義」，指出學生應在國小一年級就掌握等號具備等價關係意義，但 諸多研究結果顯示實際上並非如此 ( 陳嘉皇，2008；Baroody & Ginsburg, 1982; Behr, Erlwanger, & Nichols, 1976; Falkner, Levi, & Carpenter, 1999; McNeil & Alibali, 2005 )。

數學課程的目標之ㄧ在於學習如何以數學進行溝通 ( National Council of Teachers of Mathematice, 2000 ) ，國民教育中的數學學習階段目標為發 展學童的數學溝通能力 ( 教育部，2008 ) ，而「符號」的使用就是一種溝 通數學的方法 ( Carey, 1992 ) 。溝通的第一步就是必須將心中所想的概念 正確地傳達給他人，當教師或學生透過符號傳遞自己的概念，但符號與概 念無法結合時，就會產生溝通上的困難，進而影響學習成效，在數學中經

2 常使用的「等號」便是一個容易產生符號與概念無法連結的例子。多數學 生口說的「等於」、手寫的「＝」，與心裡想的完全不同 ( 廖學專，2002 ) ， 因此，學生所認知的「＝」是一個值得深入探討的問題。 等號符號是學童最早接觸的數學符號之ㄧ，但在過去許多研究中均顯 示，國小階段的學童對數學式子中的「等號」有不適切的理解 ( 陳嘉皇， 2008；Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Falkner, Levi, & Carpenter, 1999; McNeil & Alibali, 2005 )，無法接受7＝3＋4、5＝5或4＋5 ＝3＋6這樣的數學式。一些學生初學解方程式時，總是出現方程式連等的 情況，如解方程式5x－4＝2 x＋8，學生可能會把解題過程寫成5 x－4＝2 x ＋8＝5 x－2 x＝8＋4＝3 x＝12＝x＝4。一般大眾會歸因為「學生不理解方 程的概念及解方程式的過程」，其實是學生對等號意義不甚了解，無法把 等號看成一個表示相等關係的關係符號，從而不能真正領會方程式兩邊式 子是相等的前提，仍僅是把等號當做一個「做什麼」的運算符號，認為它 的作用就是引導一個運算過程 ( 劉春水，2008 ) 。許多學者(陳嘉皇，2008; 謝闓如，2010; Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Carpenter, Franke, & Levei, 2003; Denmark, Barco, & Voran, 1976; Falkner et al., 1999; Kieran, 1981; McNeil & Alibali, 2005; Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2008; Warren, 2004 ) 也表示，大多數的學童將「＝」解釋成「總和」或是 「全部放在一起」的意思，視「＝」為運算符號，對等號符號不具備相等 意義的概念。學生對等號意義的概念有限，容易在學習代數時產生障礙， 由 於 方 程 式 的 操 作 皆 需 要 了 解 等 號 表 示 一 個 關 係 ( Carpenter et al., 2003 ) ，因此，在中、小學階段就必須使學生能在「具體情境」中，認識 等號兩邊數量相等的意義，強調等號具備等量概念，是代表關係意義的符 號 ( 教育部，2008 ) 。

3 我國教育部在其所推行的九年一貫課程數學領域課程綱要中表明，教 師應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程，培養學生能以數學的觀點 考察周遭事物的習慣，並培養學生觀察問題中的數學意涵、特性與關係， 養成以數學的方式，將問題表徵為數學問題再加以解決的習慣，以提高應 用數學知識的能力。同時在發展解題策略的過程中，加深對數學概念之理 解 ( 教育部，2008 ) 。培養學生處理「具體情境題」的重要性，可見一斑。 處理「具體情境題」對學生而言是較困難的，其解題歷程複雜，不但 需應用到計算能力，還需牽涉到和題目有關的數學概念、語文理解等知識 ( 林淑玲，1998 ) 。目前許多數學教育研究均發現，語文能力已成為學生 學習數學時莫大的障礙 ( 邱志賢與毛國楠，2001；唐淑華，1988；陳立倫 ，1999；陳淑琳，2001 ) 。黃家鳴 ( 1997 ) 表示，大多數教科書的編排以 及教師慣用的教學手法，都可以看出文字題只是被當成應用的練習題，是 掌握了基本概念或運算後的一個簡單考驗，看看學生是否能將所學之概念 或運算應用到 ( 虛擬的 ) 生活情境上，能否自行列式並計算出答案。因 此，文字題經常被編排在練習題後半部份，並沒有特別處理，而教師一般 將教學重點置於運算部分，甚少花時間與心思在文字題上，縱使要解說文 字題，焦點也只在於協助學生列出一條正確的算式，導致學生在文字題上 的表現並不優異。 此外，板橋教師研習會在國民小學科學教育環境調查報告指出，我國 小學階段學生解文字情境題的能力較解數字計算題的能力差 ( 林美和， 1987 ) 。國內學者針對學生的估算概念，進行「數字計算題」與「文字情 境題」之研究，王秀惠 ( 2004 ) 發現學童在情境題與計算題的表現差異不 大，但吳心馨 ( 2007 ) 卻表示學生在數字計算題的表現較文字情境題優 異。另外，Jordan、Hanich和Kaplan ( 2003 ) 與葉家綺 ( 2005 )，前後將學

4 生依照數學與閱讀能力分為四類，探討不同分類之學生在「數字計算題」 與「文字情境題」的表現，研究顯示數學與閱讀能力確實影響學生的解題 表現。但比較「數字計算題」與「文字情境題」的研究尚未蓬勃發展，無 論在數學概念或者是將學生分類的方面，其證據力皆稍嫌薄弱，也尚未看 見結合等號概念與兩種題目呈現方式之文獻。因此，本研究者期望朝著此 一方向，探討對等號持有不同概念之學童，在「數字計算題」與「文字情 境題」上的表現情形。

第二節 研究目的

基於以上的研究動機，提出本研究之研究目的： 一、了解學童對於等號意義的文字解釋(運算或關係)之情況。 二、探討屬於「等號是等價關係」的學童與屬於「等號是運算結果」的 學童在數字計算題中的表現。 三、探討屬於「等號是等價關係」的學童與屬於「等號是運算結果」的 學童在文字情境題中的表現。 四、探討屬於「等號是等價關係」的學童在數字計算題與文字情境題中 的表現。 五、探討屬於「等號是運算結果」的學童在數字計算題與文字情境題中 的表現。

第三節 研究範圍與限制

本研究以九十八學年度桃園縣某國小三年級學童共165 位作為研究 對象，旨在探討國小三年級學童對於等號之理解是否影響學生在加減數 字計算題與加減文字情境題之表現。本研究採問卷調查法進行資料蒐

5 集，施測工具為自編問卷三份，參考Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil 和Stephens ( 2007 ) 及謝闓如 ( 2010 ) 的研究，發展出｢等號意義問卷｣、 「數字計算問卷」和「文字情境問卷」。｢等號意義問卷｣共有三大題，其 中第二大題內含三小題；「數字計算問卷」和「文字情境問卷」皆為八 題，兩份問卷所使用的題目算式相同，均為兩位數以內的加減算式。 以文字敘述呈現題目內容是文字情境題之特色，因此學生的表現必 受到閱讀能力的影響，這也是文字情境題之限制。再者，由於本研究採 單一地區某一小學165 名三年級學童為研究範圍，故所得之研究結果僅 能反映出該校學生的等號概念，以及其在加減數字計算題與加減文字情 境題之表現，能否推論至其他地區學校，需要審慎考量。本研究採書面 問卷調查，僅能由字面解釋，關於學童解題歷程及思考過程無法探究， 此一部分有待進一步研究。

第四節 名詞解釋

為使本研究中使用的名詞及概念意義明確，茲將界定如下： 一、等價關係： 本研究將界定部分學童為屬於「等號是等價關係」的學童。這類學童 會將等號解釋為｢某一個東西和另一個東西一樣多｣與｢兩個一樣大的數 ｣，具備等號兩邊等量的概念，是以平衡觀點判讀數學算式。 二、運算結果： 本研究將界定部分學生為屬於「等號是運算結果」的學童。這類學童 會將等號解釋為｢要算出問題的答案｣與｢總和｣，對於等式的判讀是由左而

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第二章 文獻探討

根據本研究之研究動機與目的，研究者蒐集國內、外與等號概念及 文字題研究相關的文獻資料，並加以整理、分析。本章分成四節說明之， 第一節為等號概念，說明等號的歷史以及意義；第二節為等號相關研究， 依據不同階段學生對等號概念的認知及學習情形分別敘述；第三節為文 字題概念，說明文字題之意義；第四節為文字題相關研究，分別以不同 未知數題型之比較、文字題解題錯誤類型、數字計算題與文字情境題之 比較以及其他文字題相關研究敘述之。

第一節 等號概念

一、等號的歷史 相等 ( equal ) 是數學中最重要的關係之一，而表示相等的符號即稱 為「等號 ( Equal sign ) 」。等號的出現與方程式有關，然而數學於萌芽 時期即有方程式的記載。 中國古代已有方程式的概念，其以「列表」 ( 算籌布列 ) 的方法解 之，並不需等號，而書寫時則以漢字「等」或是「等於」表示。公元前 1650 年左右，古埃及數學家阿默斯 ( Ahmes ) 於紙草書中以「 」表 示相等；公元前三世紀，印度數學家巴赫沙里 ( Bakhshali ) 手稿中以相 當於pha的字母為等號；西元三世紀希臘數學家丟番圖 ( Diophantine ) 則 以「 」或「 」為等號；到了十五世紀，阿拉伯人蓋拉薩迪以「 」表示 相等；德國數學家雷格蒙塔努斯 ( Regiomontanus ) 則以水平之破折號 「──」為等號；現代會計之父−盧卡帕喬利 （ Luca Pacioli ） 亦以破 7

折號為等號，但較長且記於數字之下 ( 教育資訊站數學網，2000；維基 百科，2009 ) 。 英國數學教育家雷科德 ( Robert Recorde ) 於 1557 年出版的《礪智 石》一書中，首次採用現今通用之等號符號「＝」，這個符號亦稱為雷 科德符號 （ Recorde's sign ） ，由於覺得書寫文字過於麻煩，因此使用 兩條一樣長的線作為等號符號，表示其連接的兩個量相等。但此符號的 推廣非常緩慢，其後的著名人物如開普勒 ( Kepler ) 、伽里略 ( Galileo ) 與費馬 ( Fermat ) 等人常以文字或縮寫語如 aequals、aeqantar、ae、esgale 等表示相等；1637 年，笛卡兒 ( Descrates ) 還以「＝」表示現代「±」號 之意，而以「 」為等號。直至十七世紀末期，等號符號「＝」才逐漸 被普遍使用 ( 教育資訊站數學網，2000；維基百科，2009 ） 。 二、等號的意義 學童在學習計算的最初，即接觸了等號符號，換句話說，等號符號 是學童最早接觸的運算符號之ㄧ，其最普及的意義即是「相等 ( sameness ) 」，用以表示生活中兩物件集合有相同數量的方法，亦是我 們希望學生能夠具備的等量概念 ( 楊喻惟，2009 ) 。此外，數學上較為 嚴謹的等量關係指的是「等價關係 ( equivalence relation ) 」，必須滿足反 身性 ( reflection ) 、對稱性 ( symmetry ) 以及遞移性 ( transitivity ) 三個 條件，舉例來說， 1＝1，2＝2，3＝3 此種本身等於本身的情況恆成立， 即滿足反身性；對稱性是指，若2＋1＝3 成立，則 3＝2＋1 必成立；而 遞移性指的是，若3＝2＋1 和 2＋1＝1＋2 皆成立，則 3＝1＋2 必成立 ( Behr et al., 1976 ) 。

Sfard指出，人們會以兩種不同的方式思索一個抽象的數學概念，一個 是運算的，一個是結構的，所以等號「＝」，可以被想成是一個「得到結 果」的運算過程，另外也可以被想成為表示「式子兩邊等價」的關係。就 結構的觀點來說，方程式是相等關係中對稱與遞移的特徵概念，也可以說 是等號兩邊等價的意思 ( 引自陳慧珍，2000 ) 。 「＝」普遍使用在數學式子中，Wicks ( n.d. ) 依據其使用方法或意 義將其分為「數值上相等」、「在定義下相等」、「在情況下相等」、「完全 相等」以及「理論上相等」五種，分別敘述如下： (一) 數值上相等 ( equal in value ) 這是「＝」最基本的意義，用以表示等號兩邊數值相等，例如：( 2 4 ＋ 3)－6 計算後答案為－1， ) 2 4 ( − ) 5 3 ( − 計算後的答案亦為－1，則可以用( 2 4 ＋3) －6＝ ) 2 4 ( − ) 5 3 ( − 表示之。 (二) 在定義下相等 ( equal by definition ) 當我們「令 t＝5」或「令 f (x)＝3x－2」，此時，我們定義變項 t 的量 為5，或定義函數 f (x)的公式為 3x－2。這種情況與第一種情況 ( 數值上 相等 ) 是不相同的，從等式本身即可得知變項 t 或函數 f (x) 的值。因此 在此種定義下，我們可將 t＝5 或 f (x)＝3x－2 視為等號兩邊數值相等 ( t 和5 相等，f (x)和 3x－2 相等) 。 (三) 在情況下相等 ( equal by circumstance ) 在代數問題中經常可以看見方程式在變項 x 等於某些特定數值時， 9

等號才會成立，例如：方程式3x－2＝－5 只有在 x＝－1 時，等號兩邊 的數值才會相等。這類方程式所代表的只是兩個數學表徵式在內容上相 等，而非定義上相等。

(四) 完全相等 ( equal identically )

有些方程式無論變項的值為何均成立，例如：基本運算性質 ( 加法 交換律 x＋y＝y＋x，結合律( a＋b )＋c＝a + ( b + c )，分配律( a＋b )×c＝

a×c＋b×c 等 )、周長或面積公式( 正方形周長＝邊長×4，或矩形面積＝ 長×寬 ) 等。在這種情況下，稱等號兩邊的數學式完全相等( identically equal )，或稱為恆等式( identity )。 10 x 2 x 2 (五) 理論上相等 ( equal in theory ) 理論上相等是用於假設情況，例如：方程式 ＝－1，但是。由於 的值恆為正數，無法找到符合條件的 x，因此不能解釋為等號兩邊的值相 等。在許多數學問題中會要求找到符合條件的變項數值，但有時候這樣 的數值是不存在的。

Knuth、Stephens、McNeil 與 Alibali ( 2006)、Alibali 等人 ( 2007 ) 以 及陳嘉皇 ( 2008 ) 針對國小、國中學童的等號概念進行研究，將學生對 等號意義的認知分為「關係 ( relational ) 」、「運算 ( operational ) 」以及 「其他」。等號的關係意義是指能夠將等號視為兩邊等值、左右相等的關 係符號，若學生描述等於符號表示「相同」，例如：「方程式的兩邊相同」， 或「與另一邊的數字達成平衡」，則判斷該生對等號持有關係概念；等號 的運算意義是指將等號視為運算得到結果的符號，若學生描述等於符號 表示「把數字加起來」或「答案」，例如：「把所有數字加起來」，或「符

11 號之後是答案」則判斷該生對等號持有運算概念；而等號的其他意義指 的是脫離情境的敘述、解釋不清、沒有回答或是回答不知道。本研究參 考Alibali 等人 ( 2007 ) 的研究，在分析學童對於等號意義的文字解釋(運 算或關係)之分布情況時，採用「＝表示某一個東西和另一個東西一樣 多。」、「＝表示兩個一樣大的數。」、「看到＝，表示要算出問題的答案。」、 「＝表示總和。」以及「看到＝，就要把數字照抄一遍。」五句話，發 展出一份「等號概念問卷」，藉以探討國小三年級學童對等號概念的了解 情況。

第二節 等號相關研究

等號是表示等量關係的符號，但是對於學習者而言，並無法輕易且 快速的理解等號之等量關係概念 ( Kieran, 1981 ) ，本節就不同階段學 生對等號概念的認知及學習情形，依據學齡前學童、小學階段學童以及 中學階段學童分別敘述如下： 一、學齡前學童

Geiman 與 Gallistel ( 1986 ) 發現三到五歲的孩童已經能判斷 A、B 兩個相異集合中物件數量的多寡，當計數結果為「相同的」，則所對應的 「＝」代表「A 的數量＝B 的數量」。另外，此階段的孩童已能合併兩個 相異集合中的物件，並且計數其總數量，此時所對應的「＝」則代表「A 的數量＋B 的數量＝( A B∪ ) 的數量」。 Falkner 等人 ( 1999 ) 研究幼稚園學童的等號概念，發現所有學童都 認為「4＋5＝□＋6」的□應填入 9，在透過實物操作之後，學生明白一 邊放置四個和五個方塊，另一邊放置九個和六個方塊，兩邊方塊的數量

12 並不相同，並能指出何者較多，以及說出使兩邊方塊數量變成一致的方 法，此時，學童已具備判斷兩個集合數量關係的能力，但是無法將此能 力連結到數學表徵式，難以藉由等號符號了解相等概念，最後仍認為「4 ＋5＝□＋6」的□應填入 9。 Usiskin ( 1997 ) 表示從幼稚園起即可進行代數教學，但對於較少接 觸等號經驗的幼稚園孩童而言，仍然對等號的意義存有迷思概念，Falkner 等人 ( 1999 ) 認為在教學過程中必須經過長時間的努力以建立學生等量 的概念，並建議教師在正式介紹數字運算符號之前，就要注意學童對於 等量概念的瞭解，否則學童對於等號概念的迷思會越來越深。 二、小學階段學童 學生於小學階段正式接觸算術，由於教材中大量使用算術表徵式 ( 4 ＋6＝10、67－10－3＝54 )，等號經常出現在運算式的最後，並且等號之 後緊接著一個數字，學童在四則運算強烈的直觀意識下，更強化了等號 的運算意義，認為等號代表執行其左邊的計算，而其右邊為計算的結果。 在此階段的學童可以很快速的寫下「＋」與「＝」等運算符號，但他們 對於這些符號並沒有充分的理解，舉例來說，等式的結構代表等價關係， 必須具備反身性、對稱性以及遞移性，但是小學階段的學童會將「＝」 視為執行運算的符號，並且後面要緊接著答案，而無法將其視為「與…… 相等」的關係符號，當學生遇到算式8＋4＝□＋5 時，就容易產生迷思 概念 ( Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Falkner et al., 1999; Kieran, 1981; Knuth, et al., 2008 )。

Denmark 等 ( 1976 ) 針對國小一年級學童進行教學實驗，在學童尚 未接觸加法符號「＋」與等於符號「＝」之前，先引入等量關係的概念，

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研究結果顯示，學生可以透過操作天平對應到書寫等式的方法，理解較 複雜的等式結構，例如：3＝3、3＋2＝4＋1 和 5＝4＋1，但仍然將等號 視為運算符號，而非關係符號。

Collis 根據學生對數學行為表現的觀察，將學生依照「封閉性接受度 ( acceptance of lack of closure ) 」區分各種不同能力學生，發現六至十歲 的學童看見兩個元素以運算符號連接時，需要藉由操作具體物以確認運 算後的結果，並且算式中要有第三個元素銜接在等號之後，以表示運算 的結果，因此他們無法處理「5＋4＝3＋6」這樣的等式，必須改寫成「5 ＋4＝9」的形式，讓學童能夠「看見」一個表示運算結果的數字 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。 Warren ( 2004 ) 針對 87 位三年級學童進行交換律概念的研究，發現 僅有23％的學生能正確辨識算式 31＋16＝16＋31 以及 31－16＝16－31 之對錯，並出說出適當的原因，21％的學生認為減法算式交換之後答案 也會一樣，31％的學生認為等號得右邊應該出現答案，而不該出現算式， 其餘學生的解釋顯示學生對算式存在迷思概念，或是無法解釋。由於直 式算則中等號的下方為計算後的答案，Warren 認為學生可能受到直式算 則的誤導，認為等號的後方 ( 或下方 ) 應該是計算所得的結果，而不該 出現另一個算式。 Falkner 等人 ( 1999 ) 研究國小學童的等號概念，發現學童對於算式 「8＋4＝□＋5」中□應填入何數的反應，會因為對等號持有不同概念而 有所差異。752 位國小一至六年級學童計算「8＋4＝□＋5」中□應填入 的數字，答對率分別為0％、6％、10％、7％、7％以及 0％，所有 145 位六年級學童均答錯，約有六成學生認為□內應填入12，兩成學生認為 答案是17，7％的學童認為□可以填入 12 和 17，由此可之學童對於等號

14 的概念十分有限。此外，Falkner 等人針對一、二年級進行為期一年的討 論以釐清學童的等號概念，討論方式有二：先給含未知數的算式求其未 知數，再給不含未知數的式子判斷對錯。首先，利用含未知數的算式8 ＋4＝□＋5，討論其未知數□的答案，經過討論之後，學生能提出「等 號兩邊的數量必須一樣」、「無論等號的一邊是多少，另一邊必定與它 相等」與「等號代表著一致、相等，就像是蹺蹺板必須平衡一樣」的等 號意義解釋，接著利用未知數在不同位置的數學算式，例如：□＝9＋5、 7＋8＝□＋10 以及 7＋□＝6＋4，更深一層的討論等號的意義。第二種 討論方式是藉由六個不含未知數的數學算式：4＋5＝9、12－5＝9、7＝3 ＋4、8＋2＝10＋4、7＋4＝15－4、8＝8，讓學生辨別對錯以了解學生對 等號意義的理解，部分學生能認同7 個方塊與 3＋4 個方塊的數量是一樣 的，但是仍然覺得7＝3＋4 的書寫方法顛倒了；某些學童認為 8＋2＝10 ＋4 是對的，因為 8＋2 等於 10，而 10＋4 表示 14 和 10，並不等於 14， 但充分了解等號意義的學生認為此一算式並不正確，因為8＋2 等於 10， 10＋4 等於 14，但是 10 與 14 並不相等；另外，面對算式 8＝8 有學生表 示「沒錯，8 等於 8，但是不應該這麼寫」。Falkner 等人使用討論的方式 可以釐清學生對等號意義的概念，同時能夠強化其數字運算能力，且隨 著年級的增加，對等量意義的討論即可結合代數算則，替下一階段的代 數學習奠定穩固的基礎。 此外，Carpenter 等人 ( 2003 ) 亦有類似 Falkner 等人 ( 1999 ) 的研 究結果。Carpenter 等人研究學生對等號概念理解的研究，其 145 位六年 級學童中，有84％的學童認為算式 8＋4＝□＋5 中的□應填入 12，14％ 的學童認為□的答案應為17，其餘 2％的學童認為□中應填入 12 和 17。 這些六年級學生在經過班級討論後，認為等號代表「執行運算」，顯示 這些學生尚未具備等號代表其兩邊數值存在某種特殊關係。

15 Ginsburg 指出，孩童進入學習階段後受到算數課程的影響，對於加、 減運算存有強烈的直觀意識，國小低年級學童會將算式3＋4＝□中的 「＝」解釋為「加起來是……」，但要求其讀出「□＝3＋4」時，會回 答「空格等於三加四」，若進一步要求顛倒順序讀，則會改變為「四加 三等於空格」。由此可得，一但孩童將等號視為執行某項行動時，則無 法不依循運算順序以理解數學算式，更無法了解具備關係性的等式，例 如算式3＝3 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。 Behr 等人 ( 1976 ) 研究學童等號概念，發現低年級學生會將 3＝3 這類不需要執行運算的算式改寫成，0＋3＝3、3－3＝0 或 3＋3＝6 的型 式，抑或是將3＝5 改寫成 3＋5＝8 或 3－5＝0 的型式，他們認為等號意 味著執行運算而得到一個答案；三年級的學生會將3＝3 改寫成 3＋0＝3， 他們認為3＝3 可能是一些加法或減法問題的結束；而六年級的學生也出 現將3＝3 改寫 6－3＝3 或 7－4＝3 的現象。當學生面對等號兩邊皆為加 法運算的算式2＋3＝3＋2 時，認為必須執行某項行動，因此在算式 2＋3 ＝3＋2 的最後加上等號 2＋3＝3＋2＝以表示答案，他們無法將此算式視 為代表數字相等關係的表達式。甚至學生更常回答「在「＝」後面應該 要寫出答案，它表示結束，而不是另一個問題的開始」，並將原式改變 成4＋5＝9 和 3＋6＝9 兩個式子，再比較其結果。此研究顯示，學生並 沒有隨著學習到高年級階段而對等號的想法改變，實際上，小學六年級 的學生仍然認為等號的概念是「執行某項行動的符號」。 Behr、Erlwanger 和 Nichols ( 1980 ) 進一步針對六至八歲學童的等號 概念進行訪談，發現大部份六歲學童看到算式□＝4＋5 時，會將題目改 成5＋4＝□或□＋4＝5，另外，當學童聽見「5 等於 2 加 3」時，會寫下 2＋3＝5 或認為 3 應該改成 7；看見算式 8＝3＋5 會將其改寫成 8＋3＝5，

16 然後判斷此算式不正確。六至八歲學童看到算式3＝3，會將其改寫成 3 ＋3＝6、3－3＝0 或 0＋3＝3，並且無法接受算式 2＋3＝3＋2。因此， Behr 等人認為六至八歲學童將等號視為由左而右運算所得的結果，而不 是兩數量間的關係。 在國內方面，陳嘉皇 ( 2008 ) 研究 342 位國小六年級學童的等號意 義和其解題表現，發現大約七成的學生對等號持有運算概念，僅14％的 學生對等號持有關係概念；在判斷算式□＋35＝51 與算式□＋35＋6＝51 ＋6 中，□內的數值是否相等時，將近八成的學生會將兩算式□中的數值 算出，再判斷是否相等，只有一成的學生採用等量公理判斷之。 莊松潔 (2005) 分別訪談國小二年級、國小五年級以及國中一年級各 一位學生發現，該名國小二年級學童認為等號是將左邊的算式計算出答案 的行動指標，因此經常寫出不對稱的等式；國小五年級學童已能列出等號 兩邊均有未知數的等式，其對等號的意義正從「算出答案」過渡到「代表 相等的同類量」；而該名國中一年級學生不但能列出等號兩邊均有未知數 的等式，對於等號更具備了「代表相等的同類量」的概念，顯示學童對於 等號意義的了解，會隨著年級升高而逐漸成熟。此結果與Behr等人 ( 1976 ) 的研究結果產生衝突。 謝闓如 (2010 ) 利用含有未知數的算式填充題，例如：□＝13＋25、 □＝48－20、12＋37＝□＋25和78－26＝30＋□，以及不含未知數的數學 等式，例如：36＝48－12、40＝10＋30、41＝41和14＋12＝37－11，分析 364位台中市及高雄市國小二、三年級學生對於等號算式的想法及作法， 發現少數學童認為等號必須在算式右方，他們認為算式□＝13＋25、□＝ 48－20和78－26＝30＋□有問題，或者不認為題目有問題而將其解讀為□ ＋13＝25、□－48＝20和78－26＋30＝□，而且並不覺得□＝13＋25和□

17 ＋13＝25是兩個不同的算式；部分學童認為等號的一方應為另一方的立即 結果，他們在面對等號兩邊均為算式的問題時，會將等號的任一邊視為另 一邊算式的結果，而忽略算式中的一部份，例如：學童在處理12＋37＝□ ＋25時，僅注意12＋37＝□，而忽略後方的「＋25」，或僅考慮37＝□＋ 25，而不處理37前方的「12＋」；某些學童認為等號右方應該為算式中所 有數字運算的結果，對於不符合期待的數學式子，則會重組之，例如：將 算式12＋37＝□＋25重組為12＋37＋25＝□，將算式14＋12＝37－11重組 成14＋12－11≠37；一些學童認為算式中一定要有運算符號，他們在處理 等號兩邊同為一個已知數字的問題時，會在算式中增加運算符號，例如： 將算式41＝41改寫成41＋0＝41、41－0＝41或41×1＝41，或者判斷算式41 ＝41因為不含運算符號，所以是錯誤的；有些學童的等號算式計算方向是 由外而內的，他們認為□＝48－20代表「20減48」，或將題目改寫成□＝ 20－48，得到□＝28，此結果與數篇國外文獻 ( Behr et al., 1980; Carpenter et al., 2003; Falkner et al., 1999; Warren, 2004 ) 的結果不同；由於課程中大 部份算式都希望學生算出一個結果很少出現不含未知數的等式，因此少數 學童認為算式中一定要有未知的部份，他們認為算式36＝48－12、40＝10 ＋30和14＋12＝37－11，與算式36＋48－12＝□、40＋10＋30＝□和14＋ 12＋37－11＝□是一樣的，而具有此想法的學生在處理41＝41時，無法判 斷應該使用哪一種運算，而出現41＋41＝82和41－41＝0，因而判斷算式 41＝41「不一定正確」。因此，謝闓如 ( 2010 ) 認為，國小二、三年級結 業學童對等號算式的想法與成人數學世界的共識並不一致，並且大多數的 學童尚未具備等號是等價關係的概念，建議教師在教學時，可多加注意學 生對於等號的想法，提供學生各類等式的範例或使用，以增加學童在「等 號為計算結果」以外的經驗。 三、中學階段學童

18 對於十三歲的學生而言，其等號認知介於「等號之後代表答案」與 「等號代表等量關係」兩者之間的轉換期，在這個轉換的期間會出現一 些困惑，Vergnaud、Benhadj 和 Dussouet 的研究指出，學生在書寫數學文 字題的過程中，只注意計算程序的紀錄，而違反了等量的原則，因此當 他們處理問題：「森林中種了425 棵新的樹木，砍去 217 棵最老的樹木後， 剩下1063 棵樹木，請問在種新的樹木之前，森林中有原多少棵樹木？」 時，學生會紀錄：1063＋217＝1280－425＝1063，如同 Ginsburg 所示， 這是在符號象徵階段產生的困難現象 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。 為了避免學生在表徵上發生錯誤，必須建立學生「等號是兩邊等量」 的概念。Herscovics 和 Kieran 針對十二至十四歲共六名學生進行個案研 究發現，學生對於等式意義的解釋可以透過教學過程引導以拓展其對等 號的想法。起初學生認為等號的意義即是「代表答案」，面對兩邊都含有 運算符號的等式 ( 例如：2×6＝4×3 ) 時，學生立即被原先的想法侷限 住。透過教學過程建立算術等量概念 ( arithmeitic identities ) 後，一開始 主張必須將算式：4＋3＝6+1 寫成 4＋3＝7 的學生，或是將答案寫在等式 中間 ( 例如：5×3＝15＝10＋5 ) 的學生，最後皆能藉由運算等式兩邊數 值大小後，接受等號兩邊具有多重運算的表徵方式。當學生能夠比較等 式兩側數值的大小關係時，表示他們對於等號的觀點已偏向關係符號， 而不再是執行某項行動的符號，此時，等號的右邊也不再只是答案，而 是與左邊數值相等的數學算式 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。 教學過程中必須發展學生對等號的等量關係概念，這有助於學生在 學習代數中，對等式結構意義的了解。若學生的等號概念並未發展健全， 仍視等號右方為運算結果，當遇到等號兩側皆為算式的方程式 ( 例如： 3x＋5＝2x＋12 ) 時，就會產生困惑。因此，必須在介紹代數方程式之前， 就必須發展學生等號代表等量關係的概念。但在解方程式的過程中，僅 對等號持有兩邊算式等值的觀念是不夠的，還必須具備等量方程式

19 ( Equivalent equation ) 的概念，所謂等量方程式指的是擁有相同解的方程 式，也就是在解方程式的過程中，任一方程式均能被等量方程式所取代。 Byers 和 Herscovics 指出，對學生而言，等量關係的想法是模糊不清的， 因此在解方程式的過程中會寫出下列兩種算式： 2x＋3＝5＋x 2x＋3－3＝5＋x－3 2x＝5＋x－x－3 2x－x＝5－3 x＝2 以及 x＋3＝7 ＝7－3 ＝4 以上兩種情況均顯示出學生對等號缺乏等量關係的觀念。由此可知，中 學階段的學生仍然認為等號是運算符號，其目的是為了執行某項行動而 得到答案 ( 引自 Kieran, 1992 ) 。 McNeil 和 Alibali ( 2005 ) 指出，從小學階段進入中學階段，學生的 等號意義概念從運算結果轉換為等價關係，但並非每一位學生都能輕易 且快速的轉換，在等號概念轉變的過程中，可能出現以下情況：第一， 學生無法將等號概念轉換為等價關係，對等號的想法仍然停留在代表運 算結果。第二，當學生遇到無法用運算意義解釋的情況，會刺激其發展 新的等號概念，並且立即由運算結果的觀念轉變為等價關係的觀念。第 三，學生會根據不同的等號表徵式而對等號有不同的解釋，此轉換過程 並非立即的，而是在面臨無法以運算意義解釋的情況時，才將等號視為

20 具有關係意義的符號，逐漸意識到等號是表示兩邊相等、等量的符號； 此情況在最初不具備完整的等號概念，仍保有等號代表算結果的意義， 僅是在特殊情況下，才將等號視為等價關係的符號，並且，一但開始認 知等號的關係意義後，便能慢慢引起對等號兩側相等以及等量的涵義。 Knuth、Alibali、McNeilN、Weinberg 和 Stephens ( 2005 ) 研究 373 位六至八年級學生對等號概念的了解，發現各年級皆不到一半的學生認 為等號符號有關係意義，並且隨著年級越低，對等號持有關係意義的人 數越少，各年級都大約五成學生認為等號符號是運算意義，但隨著年級 越低，對等號持有運算意義的人數越多， 六與七年級學生中對等號持有 關係概念的人數少於對等號持有運算概念的人數，而八年級學生對等號 符號持有關係與運算意義的人數則是大約相同。 然而，Knuth 等人 ( 2006 ) 利用問題： (一) 算式 3＋4＝7 中的「＝」 符號名稱為何？意義為何？與 (二) 4m＋10＝70，求出 m 之值。研究了 177 名國中生對等號的了解，有不同的發現。六年級學生中，回答「＝」 代表關係的有32％，為運算操作的有 53％；七年級學生中，表示「＝」 具關係意義的有43％，為運算意義的有 36％；而八年級學生中，認為「＝」 表示等價關係的有31％，為運算結果的有 52％。研究結果顯示，六至八 年級學生中，以七年級具有關係意義的等號概念的人數比例最多，六和 八年級學生則是以運算意義的等號概念為主，其中八年級學生具備關係 意義的人數比例最少，而具備運算意義的人數比例為最多。研究並發現 回答等號代表等價關係的八年級學生中，會利用代數方法解方程式者超 過75％，而認為等號為運算結果的學生中，會利用代數方法解方程式者 低於20％。因此，Knuth 等人認為，學生對於等號的認知會影響其代數 學習。

21 Knuth 等人 ( 2008 ) 進一步研究 375 位尚未學習解方程式的六至八 年級學童對等號概念的認知及其在方程式解題上的表現，發現若學生具 備關係概念，則表現較僅對等號具備結果概念的學生優秀。Knuth 等人因 而認為「等量概念」是成功學習代數的關鍵，建議教學中應加強等量公 理，使學生在代數學習上更為順利。 Alibali 等人 ( 2007 ) 利用問題：(一) 算式 3＋4＝7 中的「＝」符號 名稱為何？意義為何？與 (二) 算式 2×n＋15＝31 與算式 2×n＋15－9＝ 31－9 中，n 的值相同嗎？請解釋你的想法。針對六至八年級學童分別在 六年級初、七年級初、八年級初以及八年級末四個時間點進行縱向研究， 發現對等號持有關係概念的六年級學生有20％，七年級學生有 35％，八 年級學生有45％，而八年級末的學生有將近六成；認為等號具備運算意 義的六年級學生有70％，七年級學生有 55％，八年級學生有三成，而八 年級末的學生亦有三成。顯示中學階段學生對等號概念的理解，也隨著 年級的增長而逐漸趨向關係意義。另外，能正確回答問題 (二) 的六年級 學生有五成，七年級學生有65％，八年級學生約有七成，而八年級末的 學生則有超過75％。因此 Alibali 等人認為，對於等號持有等價關係意義 的學生，在代數問題上的表現較對等號持有運算意義的學生優異。 楊喻惟 ( 2009 ) 以問卷調查研究 285 位國中學生對等號意義的認知 情形及其與一元一次方程式解題表現之差異情形、解題歷程的關係，發 現各年級均有超過半數的學生對等號意義採「關係定義」之解釋，屬於 「關係定義」等號概念者在一元一次方程式的解題表現較屬於「運算定 義」等號概念者優異，且有較高的機率採用代數解題策略，採用代數解 題策略者均有較高的答對率。 綜合上述，我們可以知道大部分國小階段學童對等號持有「運算結果」

22 的概念，對於等號的「等價關係」之概念尚難以掌握，本研究參考謝闓如 ( 2010 ) 問卷的內容，製作一份8題的「數字計算問卷」，其內容為□＝12 ＋27、□＝48－20、13＋37＝□+25、76－34＝20+□、54＝31+23、36＝ 48－12、28＝28以及14＋11＝38－13，並且根據「數字計算問卷」的算式 發展具體文字情境，製作一份亦為8題的「文字情境問卷」，在研究國內桃 園縣國小三年級學童對等號概念的了解情況之餘，並探討對於等號持有不 同概念的學童，在數學解題表現上是否存在差異。

第三節 文字題概念

文字題 ( word problem ) ，又稱為應用問題，此類問題是藉由文字敘 述的方式來呈現題目的意義，通常是以日常生活的情境為主，讓學生運用 數學知識及各種運算方式，解決題目中所闡述的問題，以實際運用到日常 生活情境當中 ( 尤彥喬，2004 ) ，因此，文字題同時也被稱為情境題。 在一般人的想法中，往往將數學能力與計算能力劃上等號，以為數 學即代表了符號運算，或者是截然劃分了數學與閱讀的能力，然而，文 字題在文字與數學間搭起了橋樑，從文字到數字，從意象到抽象，若要 成功地解答文字題，則需要結合各項不同的技能，例如：閱讀文字、理 解情境描述、撰寫相關數學式子以及計算能力……等等，並非具備運算 能力即可，此也凸顯了整合兩個能力的困難性。文字題在數學學習與符 號表徵中皆具有十分重要的地位，所以文字題從小學開始便普遍出現在 數學課程中 ( 陳立倫，1999 ) 。 文字題的問題句型主要包含三部分：第一、陳述句 ( assignment ) ， 說明人、事、物與數量間的直接關係；第二、關係句 ( relation ) ，說明兩 人、事、物間在數量上的對應、互動或比較之關係，第三、問題句

23 ( question ) ，表示問題中所要求的目標。舉例來說：「水果店裡有20 顆 木瓜，媽媽買了5 顆後，水果店剩下幾顆木瓜？」此例題中，第一句陳述 水果店與木瓜數量的直接關係，第二句表示媽媽與水果店的買賣關係，第 三句則提出本題目的解題目標 ( 林淑玲，1998 ) 。 由於本研究有針對數字計算題與文字情境題進行比較，因此接下來探 討文字題之相關研究。

第四節 文字題相關研究

一、不同未知數題型之比較 應用問題的難度與未知數的性質有密切的關係，相同的數量運算式並 不代表問題難度相同 ( 古明峰，1998 ) 。 Riley 在研究中發現，未知數所在位置愈在前面則難度愈高。於是， 改變類問題中，「起始量未知」的題目比「結果未知」的題目困難；在 合併類的題目中，「子集合未知」比「共有量未知」困難；在比較類的 題目中，「參照量未知」比「差異量未知」或「被比較量未知」困難。 而Kintsch 與 Greeno 研究卻發現，有少數情境雖然未知數位置在前面， 但卻較為容易，例如：改變類的「起始量未知」比「改變量未知」容易， 合併類的「子集合未知」又較前二者都困難，最困難的是比較類問題 ( 引 自楊淑芬，2001 ) 。 翁嘉英 ( 1987 ) 利用簡單加減應用問題，探討國小二、三年級學童 對「比較」應用問題的解題行為。題目依「未知數性質」分為三種題型： 「差異量未知」題型 ( 例如：小明有 5 元，小英有 3 元，問小明比小英

24 多幾元？ ) ，「被比較量未知」題型 ( 例如：小明有 5 元，小英比小明 多3 元，問小英有幾元？ ) 與「參照量未知」題型 ( 例如：小明有 5 元， 小明比小英多3 元，問小英有幾元？ ) 。每一題型又依語意分為「比多」 和「比少」兩類。研究結果顯示，國小二、三年級學童認為最困難的是 「參照量未知」的題型，最容易的是「差異量未知」的題型。另外，在 「被比較量未知」的題型裡，「比多」比「比少」的問題造成較多的錯誤； 在「參照量未知」的題型裡，「比少」比「比多」的問題造成較多的錯誤。 葉雪梅 ( 1989 ) 以實驗法檢驗Nesher等人對於能夠正確解答「被比較 量未知」題，而無法正確解答「參照量未知」題的情形，所提出的「逆轉 推論」之假設，以及增加「逆轉問句」等方式來改寫題目，探討其對兒童 解答「參照量未知」題的影響。研究結果發現，「非逆轉組」 ( 在題目中 增加非逆轉問句 ) 學童回答「增加問句」的正確率，顯著高於「逆轉組」 ( 在題目中增加逆轉問句 ) ，而「逆轉組」與「綜合組」 ( 在題目中增 加非逆轉問句及逆轉問句 ) 學童能夠正確回答「逆轉問句」之比例，分別 為74％與94％，表示Nesher等人雖提出有關「逆轉推論」之假設，但並未 能充分解釋為何第三層次兒童無法正確解答「參照量未知」題。此外，「實 驗組」學童回答原「參照量未知」題的正確率，顯著高於「控制組」 ( 未 改寫題目 ) ，表示以增加「逆轉問句」等方式來改寫題目，確實能幫助學 童正確解答「參照量未知」題。 蔣治邦與鍾思嘉 ( 1991 ) 研究一到三年級學童在加減法概念上的發 展，研究結果顯示，添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變 量未知、拿走型改變量未知以及合併型全體量未知是學童最早能掌握的類 型，較多型差異量未知和較少型差異量未知次之，而較多型比較量未知、 較少型比較量未知及合併型部分量未知是較困難的題目。蔣治邦 ( 1993 )

25 進一步針對318位國小三、四年級學童，探索學童解決兩步驟改變類型加 減問題的能力，發現改變量未知的兩步驟問題較結果量未知的兩步驟問題 困難。 呂玉琴 ( 1997 ) 研究國小一、二年級學童解簡單的加減法文字題的表 現，研究結果發現答對率分別在58％和72％以上，其中以比較類參考量未 知的問題最難。此外，學生選擇運算符號策略包括：了解題意、比對記憶 的相似題及其解法、找關鍵字等。用來算出答案的策略包括：具體物策略、 數數策略、合成或分解策略、混合策略等。產生解題錯誤的原因包括：錯 用關鍵字、計算錯誤、看錯題目等。 林淑玲 ( 1998 ) 以 25 名國小三、四年級數學學障學生為對象，探討 其在解差異量未知、被比較量未知與參照量未知等三種比較類加減應用 題的解題表徵正確率，發現學生首次的解題表徵正確率，由高而低為被 比較量未知題型、差異量未知題型與參照量未知題型，但若排除解題表 徵正確，但解題表徵歷程說明有誤，或無法說明解題表徵歷程者，則解 題表徵的正確率以差異量未知題型最高。 二、文字題解題錯誤類型 林清山、張景媛 ( 1994 ) 將學生在解決代數應用問題的錯誤，歸納成 四種類型：第一、問題轉換的錯誤：包括學生對於關鍵詞的詞意無法充分 了解、學生對於問題中哪些是無用的條件辨識不清。第二、問題整合的錯 誤：包括缺乏基本的數學概念、學生無法知覺到所計算出的答案是否合 理、學生不會假設、學生套用固定的模式而不知隨問題的變化而加以改 變。第三、解題計畫及監控的錯誤概念：學生未能了解已知條件與未知條 件之間的關係，以致假設與式子不符、無法針對不同的問題採用不同的解

26 題策略、學生以為一個題目只有一個解法、學生會受到前後題的影響而採 用不當的解題策略。第四、解題執行的錯誤概念：在解方程式時會產生移 項之錯誤，移項錯誤多半是學生缺乏等號兩邊等值之概念、學生不習慣使 用代入消去法解聯立方程式、學生在使用消去法時，容易產生正負號混淆 的情形。 張景媛 ( 1994 ) 又提出認為國中生對數學文字題的錯誤概念可分成 四部分討論：一是語言知識的部分、二是基模知識的部分、三是策略知識 的部分、四是程序性知識的部分。綜合上述可以看出學生的錯誤概念來自 於教師的教學以及學生的練習兩方面。教師的教學是以講述式的教法，教 師以一對三十五的學生，教師一成不變的教學方式，為了讓學生多做練習 及在趕進度的情況下，反應較慢的學生最後以自己的生活中的經驗解讀而 產生錯誤概念。學生的練習指的是學生於課餘時間的練習不足，無法建立 自己的思考模式，多半在練習有著不求甚解的態度，以為自己了解了，沒 有耐心仔細看題目，做完題目又不能細心檢查，而造成錯誤的概念。 本研究依照所蒐集之文獻，區分為呆板對應策略、無法理解題意、多 餘資訊以及會造成錯誤產生的題目情境分別敘述如下。 (一) 呆板對應策略 翁嘉英 ( 1987 ) 利用簡單加減應用問題，探討國小二、三年級學童 對「比較」應用問題的解題行為，發現以上之錯誤組型是由於兒童使用 了兩種錯誤的解題策略。一種為「呆板對應策略」，面對「比多」的題目 就用加法；面對「比少」的題目就用減法。另一種策略為「減法」策略， 有「比」字描述兩量之間關係的問題，皆以「減法」運算。第一種策略 的使用所造成的錯誤不因年級的增加而改變，第二種策略的使用則隨年

27 陳立 級的增加而減少。研究亦發現，「呆板對應策略」的使用是由於兒童難以 形成問題的表微，只能利用問題的局部線索解題所致，此現象尤其在「參 照量未知」題裡特別顯著。 謝毅興 ( 1990 ) 探討國小二、三年級學童解「比較」類應用題時慣 用的錯誤策略以及如何破除這些策略。實驗所使用的「比較」類應用題， 依「未知數性質」，可分成「差異量未知」、「被比較量未知」以及「參照 量未知」三種題型，每一題型又可按語意分為「比多」和「比少」兩類。 結果發現，國小二、三年級學童大約有三分之一在使用這些錯誤的呆板 對應策略。並且，大多數使用錯誤策略的學童也未能理解以視覺 ( 文字 ) 呈現的「比較」語句。但如果以視覺和聽覺 ( 語音 ) 的形式同時呈現， 則有促進理解「比較」語句的效果。最後，針對錯誤策略進行補救教學， 並比較「圖示教學」和「語文教學」的效果之研究結果發現，圖示教學 雖然能夠有效地使兒童放棄使用錯誤策略，但圖示解題系統本身具有相 當程度的難度，以致於增進解題能力的效果不彰。相反的，語文教學藉 著講解「比較」語句的結構，直接幫助兒童理解「比較」的語句，效果 良好。 (二)無法理解題意 唐淑華 ( 1988 ) 以 74 位自願之國中一年級學生為對象，研究了數學 「理解」能力與「解答應用問題能力」之關係。研究結果顯示，數學理 解能力與應用題解題各項能力之相關係數達.05 的顯著水準，表示學生對 數學的「理解」程度確實會影響學生在應用問題上的表現。 倫 ( 1999 ) 以實驗研究法探討國小二年級學生解答數學文字題的認 知歷程。發現第一、孩童解題時主要以觸接部份整體基模和策略的使用

28 為主，而未必完全瞭解過去研究所提的問題基模的部份。第二、孩童有 忽視理解題意與偏重使用策略的現象。第三、不同類型題目間其順向關 係的效果有所差異，因此孩童在解題表現上亦會不同。第四、由於文字 題在題目語句結構上的固定性，也使得孩童可藉由部份訊息而提取策略 並進而解題。這樣的過程可減少理解題意所需的時間而增快解題的速 度。但是這整個過程的學習卻逐漸造成孩童對於理解題意的忽略，甚而 對於發展理解題意能力的漠視。 陳淑琳 ( 2001 ) 以國小二年級263位學童為對象，探討其乘法文字題 的解題歷程。研究結果顯示，國小二年級學童閱讀題目只是閱讀表面的字 詞，沒有注意語句的數學意義，僅依題目中的文字敘述形式來選擇解題目 標。另外，二年級學童在解乘法文字題上最大的關鍵在問題轉譯上，建議 教師在數學解題教學時，應重視題意的了解，先充分討論題意，解題目標， 檢核學生均了解題意後，再繼續進行解題。並且，對低年級兒童所佈的問 題，文字不能過於簡潔，盡量使用兒童的語言，對題意的了解有很大的幫 助。讓學童使用算式紀錄解題活動時，將算式與問題情境、解題活動相連 結，如此的算式紀錄對學童而言才是有意義的。 邱志賢與毛國楠 ( 2001 ) 針對12位國小六年級的學生，研究學生解數 學未知數文字題時，在解題歷程中產生的另類概念。研究結果發現，學生 閱讀時無法掌握重點，會看錯或是忽略一些重要的關鍵字，以至於無法掌 握整個題目情境。 林淑玲 ( 1998 ) 表示國小三、四年級數學學障學生在比較類加減應 用題的解題表徵類型，以使用「書寫符號」的類型為最多，佔94％以上， 而在解題表徵提示的效果上，必須將數學學障學生的解題經驗從文字題 的形式，帶入親身經驗與角色扮演的表徵方式中，方能更正錯誤的解題

29 表徵形式。此外，數學學障學生在比較類加減應用題中，出現解題表徵 困難最多的是在「理解」階段，其中尤其以「關鍵字解題」的表徵困難 類型居多。 王瑋樺 ( 2000 ) 針對4名 ( 3名男生，1名女生 ) 國小三年級數學學習 障礙學生，以錄音錄影訪談，進行加法文字題解題歷程與補救教學之研 究。發現數學學習障礙學生之語文知識不足，嚴重影響數學學習，對語意 知識的題目組織能力極需加強，其基模知識大都缺乏基本和正確概念，策 略性知識無法在解題時前後連貫，程序性知識多是以畫圈數全部的方式。 另外，適當的補救教學可以增進數學學習障礙學生之解題答對率和解題品 質，改善其數學解題的特質。 張馨尹 ( 2001 ) 利用紙筆測驗、晤談與觀察，探討 4 名國小輕度智 障學生於加減應用題題意理解、解題策略、解題執行與驗證這四方面的 解題表現。根據分析結果發現，第一、國小輕度智障學生在加減應用題 之整體理解表現，會因題目的敘述用詞與不同題型之關係句意涵而不 同。對不同題型的理解，以改變類的「結果量未知」和合併類的「總數 未知」表現最好，而以比較類的「子集合未知」題目最難理解。第二、 國小輕度智障學生在加減應用題解題時，以圖示法 ( 畫圈 ) 為主要的解 題方法，很少運用數學列式。第三、多數國小輕度智障學生能依解題策 略正確的執行解題過程。對於數字的計算以相接計數為主，如果題意不 容易理解，也會影響數字的推算方式，並且可以正確的解釋解題結果的 意義。第四、學童並不會主動作驗證的工作，檢查的方式以數手指和畫 圈為主，並無使用不同的程序求取答案，而檢查範圍偏重於計算部分的 正確性，未能思考解答之合理性。第五、其解題錯誤的相關因素有：個 人語言能力對題目敘述用詞的理解、無法正確的將文字轉為圖示或具體

30 物表徵、計算錯誤以及句子太長，以上都會影響對解題結果解釋的正確 性。 唐淑華 ( 1988 ) 、陳立倫 ( 1999 ) 、陳淑琳 ( 2001 ) 以及邱志賢與 毛國楠 ( 2001 ) 皆表示，學生在文字題的表現差強人意，ㄧ個很重要的 原因是學生無法了解題意，忽略或錯認關鍵字，以致於無法擬定有有效 的解題計畫。而林淑玲 ( 1998 ) 、王瑋樺 ( 2000 ) 與張馨尹 ( 2001 ) 分 別針對數學學習障礙及輕度智能障礙學生進行文字題解題研究，發現數 學學習障礙及輕度智能障礙學生在文字題解題過程中，最困難的部份是 無法理解題意，此結果與其他學者研究一般生並無差異。 (三)多餘資訊 Muth的研究指出，學生對於數學文字題的解題能力會因文字題中無關 訊息的干擾而無法解決問題。多數學生認為文字題中的所有訊息都應被使 用，因而造成學生問題整合上的困難 ( 引自陳昭蘭，2007 ) 。 Davis-Dorsey、Ross與Morrison亦指出學生在解數學文字題時，應將問題的 字句重述，將問題轉變成為自己所熟悉的程序來解題。這種程序可能會與 原先的文字題上的順序不同，但卻有助於個人的解題策略。因此，問題個 人化的方式較能引起學生的學習動機，喚起舊有的基模知識來產生策略並 解決問題 ( 引自陳昭蘭，2007 ) 。 蔣治邦 ( 1993 ) 針對 314 位國小三、四年級學童，研究多餘資訊對 學童的影響，發現小三、四年級學童在解題時，皆會受到多餘資訊的干 擾，多餘資訊問題的錯誤，大多與多餘的數字資訊有關，唯有學童真正 理解題意時，方能釐清哪些資訊是有用的，並順利選取適當的數字資訊 加以運算，否則，多餘的數字資訊將會造成學童數字選擇上的困擾。

31 陳立 。 倫 ( 1999 ) 表示，學童在面對含有多餘資訊之文字題時，正確率有 明顯降低的情形。學生在被比較量未知的一般問題上，解題正確率為65.70 ％，但在被比較量未知的數字多餘資訊題上，其解題正確率僅有31.98％， 差異高達33.72％。而在參照量未知的一般問題上，解題正確率為 35.76 ％，但在參照量未知的數字多餘資訊題上，其解題正確率僅有16.28％， 差異高達19.48％。 以上學者 ( Muth, 1991；引自陳昭蘭，2007；蔣治邦，1993；陳立倫 ，1999 ) 均表示，學生在不了解題意的情況下，容易受到多餘資訊的干 擾，無法有效組織有用的訊息，認為題目中所出現的數字都要使用，此 為學生在面臨含有多餘資訊之文字題時，正確率有明顯降低情形的原因 (四)題目情境 Kintsh與Greeno認為解題者在閱讀題目時，第一次讀題在於回憶過去 解題的經驗，第二次讀題則在瀏覽資料，蒐集與解答有關的訊息。而就訊 息處理理論來說，解題者在解題時須先經過一道轉換的過程，將數學問題 的相關內容轉換成可以理解的訊息，這些訊息會喚起解題者長期記憶中的 相關訊息，而長期記憶的訊息經解碼之後，將和數學問題的訊息重新組 合，再經解題者計算的階段，完成解題的工作 ( 引自陳立倫，1999 ) 。 林美惠 ( 1997 ) 則根據其實驗結果提出，學生在解一道數學問題時， 第一步驟是讀題，必須從過去已經解過的問題經驗中，喚起問題情境的相 似性，若相似性很高，則適當的問題解題基模就被選出，以期能在短期記 憶中有效的運作。 古明峰 ( 1998 ) 以 282 位國小二年級學童為對象，分析加、減法應

32 Jord ，二、 、 用題中的語文知識對問題難度之影響。研究結果發現：語文知識裡的語 意結構、語意經驗、語意陳述三個因素都會影響問題的難度，且三個因 素之間有交互作用。表示，問題的難度除了受到語意結構的影響之外， 也會受到問題的語意經驗影響。其將語意經驗分為可數具體述詞 ( 例 如：蘋果 ) 、不可數具體述詞 ( 例如：蜂蜜 ) 及抽象述詞 ( 例如：溫 度 ) ，並發現問題的困難度並非完全由述詞經驗中的可數與否或是抽象 等所決定，反而可能與兒童對於問題中述詞經驗熟悉程度有關。 Mayer也提到，如果問題的內容是以兒童日常生活中所常接觸的人、 事、物、名詞等經驗相關的述詞為主，則這類問題較能吸引兒童的注意， 有助於兒童將儲存在長期記憶的有關先備知識抓取到工作記憶區，使得問 題的內容能與個人原有的基模建立外在的連結，便於新的訊息同化 ( 引自 陳立倫，1999 ) 。 由以上研究結果可以看出，若文字情境題所提供的內容是學童日常 生活中經常接觸到的情境或事物，那麼藉由學童的經驗或原有的基模， 能夠有效提升學童在文字情境題的回答正確率。 三、數字計算題與文字情境題之比較 an等人 ( 2003 ) 以二至三年級學童為對象，將其分為四組：一、數學 與閱讀無困難學生 ( normal achievement in math and reading, NA )

只有閱讀困難學生 ( reading difficulties but normal math, RD-only ) ，三 只有數學困難學生 ( math difficulties but normal reading, MD-only ) ，四、 數學與閱讀皆有困難學生 (math and reading difficulties, MD-RD ) 。研究 結果發現，NA與RD-only兩組學生在文字題上表現皆優於MD-RD學生； MD-only的學生在單純數字計算方面與MD-RD學生無顯著差異，但在解

33 文字題部分優於MD-RD學生；MD-only與RD-only兩組學生在解文字題的 部分無顯著差異。其中，RD-only學生雖有較好的算術能力，但其缺乏耐 心去閱讀長篇文字敘述，無法組織題目中有用的訊息，導致得分嚴重下 降。MD-only學生則反之，其讀題慢，一再重讀，花很多時間在判斷資訊 的有用性，雖然可能可以計畫解題方法，但其較弱的數學運算能力，使 他們無法完整的解決故事文字題。 葉家綺 ( 2005 ) 以 203 位國中二年級學生為對象，亦將其分為「數 學計算與語文理解皆未發生困難的學生」、「語文理解困難學生」、「數學 計算困難學生」以及「數學計算與語文理解同時發生困難的學生」四組， 利用傳統文字問題與故事文字問題，探究其個人與合作解題之得分、解 題歷程與錯誤類型。研究結果顯示，傳統文字題與數學算術測驗結果相 同，表示此類常見的學校數學文字問題，其簡短的敘述已去情境化，強 調的是計算能力。而各組學生在故事文字題的得分皆較差。在解題歷程 方面，除第四組學生之外，其餘三組學生在傳統文字題中大多能達到高 階段，但在故事文字題中，除了第一組學生之外，其餘學生大多停滯在 低階段。而大部份學生沒有進行「判斷」的習慣，其憑直覺或歷程順利 與否來決定是否驗證答案。本研究也指出，大部份的學生對有故事背景 的文字題感到極為困擾，也表現得較差，尤其可以看到第二、三、四組 學生，他們在「一片空白」的題數遠遠地超過傳統文字題。此結果與Jordan 等人 ( 2003 ) 的研究結果互相呼應。 王秀惠 ( 2004 ) 自編一份估算概念試題，藉由日本學者竹谷誠的試 題關聯結構分析法 ( Item relational structure analysis，IRS ) 對施測結果進 行分析，呈現班級學童之概念結構圖，以探討國小高年級學童的估算能 力。由試題關聯結構圖可以看出，學童在文字情境題與數字計算題的表

34 Jord 現差異不大。 吳心馨 ( 2007 ) 以雲嘉地區國中二年級學生共198名為對象，利用兩 份自編問卷進行施測，先施測情境題測驗卷，間隔二星期，再測驗純數字 題測驗卷，發現學生於純數字問題之平均總分為23.5分，答對率為45％； 在情境問題之平均總分為32.5分，答對率為33％；兩者答對率相差12％， 平均分數相差9分，p值為0.00＜0.05，顯示學生於純數字題之表現優於情 境題。吳心馨表示，試題的編制 ( 以文字情境或純數字題呈現 ) 、學生 解題切入的角度，以及解題時是否經過將文字敘述轉譯成數學算式的步 驟，是影響學生解題策略使用的關鍵。由於純數字題已列好算式，只有數 字的呈現，學生不必經過表徵的轉譯即可直接運算解題；反之，解情境問 題時，必須同時兼顧閱讀題意之瞭解，以及解題的能力，在情境題學生需 要先列出算式才能解題，推論此為本研究之受測者於純數字題的表現較情 境題優異的原因。然而本研究結果與王秀惠（2004）針對國小高年級學童 編製估算概念試題的研究發現「學童在情境題與計算題的表現差異不大」 不同，推論，可能是因為研究對象年齡差異所致。 an等人 ( 2003 ) 與葉家綺 ( 2005 ) ，皆將學生依照數學與閱讀能力 分為四類，探討不同分類之學生在「數字計算題」與「文字情境題」的 表現。而王秀惠 ( 2004 ) 與吳心馨 ( 2007 ) 則是針對學生的估算概念， 進行「數字計算題」與「文字情境題」之研究。但比較「數字計算題」 與「文字情境題」的文獻偏少，無論在將學生分類或者是數學概念上， 尚未有確切的結論，因此本研究將針對學生對等號概念的了解，將其分 為「等價關係」與「運算結果」兩類，探討這兩類學童在「數字計算題」 與「文字情境題」上的表現情形，以增加此類實證資料。