等號相關研究

等號是表示等量關係的符號，但是對於學習者而言，並無法輕易且 快速的理解等號之等量關係概念 ( Kieran, 1981 ) ，本節就不同階段學 生對等號概念的認知及學習情形，依據學齡前學童、小學階段學童以及 中學階段學童分別敘述如下：

一、學齡前學童

Geiman 與 Gallistel ( 1986 ) 發現三到五歲的孩童已經能判斷 A、B 兩個相異集合中物件數量的多寡，當計數結果為「相同的」，則所對應的

「＝」代表「A 的數量＝B 的數量」。另外，此階段的孩童已能合併兩個 相異集合中的物件，並且計數其總數量，此時所對應的「＝」則代表「A 的數量＋B 的數量＝( A B∪ ) 的數量」。

Falkner 等人 ( 1999 ) 研究幼稚園學童的等號概念，發現所有學童都 認為「4＋5＝□＋6」的□應填入 9，在透過實物操作之後，學生明白一 邊放置四個和五個方塊，另一邊放置九個和六個方塊，兩邊方塊的數量

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並不相同，並能指出何者較多，以及說出使兩邊方塊數量變成一致的方 法，此時，學童已具備判斷兩個集合數量關係的能力，但是無法將此能 力連結到數學表徵式，難以藉由等號符號了解相等概念，最後仍認為「4

＋5＝□＋6」的□應填入 9。

Usiskin ( 1997 ) 表示從幼稚園起即可進行代數教學，但對於較少接 觸等號經驗的幼稚園孩童而言，仍然對等號的意義存有迷思概念，Falkner 等人 ( 1999 ) 認為在教學過程中必須經過長時間的努力以建立學生等量 的概念，並建議教師在正式介紹數字運算符號之前，就要注意學童對於 等量概念的瞭解，否則學童對於等號概念的迷思會越來越深。

二、小學階段學童

學生於小學階段正式接觸算術，由於教材中大量使用算術表徵式 ( 4

＋6＝10、67－10－3＝54 )，等號經常出現在運算式的最後，並且等號之 後緊接著一個數字，學童在四則運算強烈的直觀意識下，更強化了等號 的運算意義，認為等號代表執行其左邊的計算，而其右邊為計算的結果。

在此階段的學童可以很快速的寫下「＋」與「＝」等運算符號，但他們 對於這些符號並沒有充分的理解，舉例來說，等式的結構代表等價關係，

必須具備反身性、對稱性以及遞移性，但是小學階段的學童會將「＝」

視為執行運算的符號，並且後面要緊接著答案，而無法將其視為「與……

相等」的關係符號，當學生遇到算式8＋4＝□＋5 時，就容易產生迷思 概念 ( Baroody & Ginsburg, 1982; Behr et al., 1976; Falkner et al., 1999;

Kieran, 1981; Knuth, et al., 2008 )。

Denmark 等 ( 1976 ) 針對國小一年級學童進行教學實驗，在學童尚 未接觸加法符號「＋」與等於符號「＝」之前，先引入等量關係的概念，

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研究結果顯示，學生可以透過操作天平對應到書寫等式的方法，理解較 複雜的等式結構，例如：3＝3、3＋2＝4＋1 和 5＝4＋1，但仍然將等號 視為運算符號，而非關係符號。

Collis 根據學生對數學行為表現的觀察，將學生依照「封閉性接受度 ( acceptance of lack of closure ) 」區分各種不同能力學生，發現六至十歲 的學童看見兩個元素以運算符號連接時，需要藉由操作具體物以確認運 算後的結果，並且算式中要有第三個元素銜接在等號之後，以表示運算 的結果，因此他們無法處理「5＋4＝3＋6」這樣的等式，必須改寫成「5

＋4＝9」的形式，讓學童能夠「看見」一個表示運算結果的數字 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。

Warren ( 2004 ) 針對 87 位三年級學童進行交換律概念的研究，發現 僅有23％的學生能正確辨識算式 31＋16＝16＋31 以及 31－16＝16－31 之對錯，並出說出適當的原因，21％的學生認為減法算式交換之後答案 也會一樣，31％的學生認為等號得右邊應該出現答案，而不該出現算式，

其餘學生的解釋顯示學生對算式存在迷思概念，或是無法解釋。由於直 式算則中等號的下方為計算後的答案，Warren 認為學生可能受到直式算 則的誤導，認為等號的後方 ( 或下方 ) 應該是計算所得的結果，而不該 出現另一個算式。

Falkner 等人 ( 1999 ) 研究國小學童的等號概念，發現學童對於算式

「8＋4＝□＋5」中□應填入何數的反應，會因為對等號持有不同概念而 有所差異。752 位國小一至六年級學童計算「8＋4＝□＋5」中□應填入 的數字，答對率分別為0％、6％、10％、7％、7％以及 0％，所有 145 位六年級學童均答錯，約有六成學生認為□內應填入12，兩成學生認為 答案是17，7％的學童認為□可以填入 12 和 17，由此可之學童對於等號

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的概念十分有限。此外，Falkner 等人針對一、二年級進行為期一年的討 論以釐清學童的等號概念，討論方式有二：先給含未知數的算式求其未 知數，再給不含未知數的式子判斷對錯。首先，利用含未知數的算式8

＋4＝□＋5，討論其未知數□的答案，經過討論之後，學生能提出「等 號兩邊的數量必須一樣」、「無論等號的一邊是多少，另一邊必定與它 相等」與「等號代表著一致、相等，就像是蹺蹺板必須平衡一樣」的等 號意義解釋，接著利用未知數在不同位置的數學算式，例如：□＝9＋5、

7＋8＝□＋10 以及 7＋□＝6＋4，更深一層的討論等號的意義。第二種 討論方式是藉由六個不含未知數的數學算式：4＋5＝9、12－5＝9、7＝3

＋4、8＋2＝10＋4、7＋4＝15－4、8＝8，讓學生辨別對錯以了解學生對 等號意義的理解，部分學生能認同7 個方塊與 3＋4 個方塊的數量是一樣 的，但是仍然覺得7＝3＋4 的書寫方法顛倒了；某些學童認為 8＋2＝10

＋4 是對的，因為 8＋2 等於 10，而 10＋4 表示 14 和 10，並不等於 14，

但充分了解等號意義的學生認為此一算式並不正確，因為8＋2 等於 10，

10＋4 等於 14，但是 10 與 14 並不相等；另外，面對算式 8＝8 有學生表 示「沒錯，8 等於 8，但是不應該這麼寫」。Falkner 等人使用討論的方式 可以釐清學生對等號意義的概念，同時能夠強化其數字運算能力，且隨 著年級的增加，對等量意義的討論即可結合代數算則，替下一階段的代 數學習奠定穩固的基礎。

此外，Carpenter 等人 ( 2003 ) 亦有類似 Falkner 等人 ( 1999 ) 的研 究結果。Carpenter 等人研究學生對等號概念理解的研究，其 145 位六年 級學童中，有84％的學童認為算式 8＋4＝□＋5 中的□應填入 12，14％

的學童認為□的答案應為17，其餘 2％的學童認為□中應填入 12 和 17。

這些六年級學生在經過班級討論後，認為等號代表「執行運算」，顯示 這些學生尚未具備等號代表其兩邊數值存在某種特殊關係。

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Ginsburg 指出，孩童進入學習階段後受到算數課程的影響，對於加、

減運算存有強烈的直觀意識，國小低年級學童會將算式3＋4＝□中的

「＝」解釋為「加起來是……」，但要求其讀出「□＝3＋4」時，會回 答「空格等於三加四」，若進一步要求顛倒順序讀，則會改變為「四加 三等於空格」。由此可得，一但孩童將等號視為執行某項行動時，則無 法不依循運算順序以理解數學算式，更無法了解具備關係性的等式，例 如算式3＝3 ( 引自 Kieran, 1981 ) 。

Behr 等人 ( 1976 ) 研究學童等號概念，發現低年級學生會將 3＝3 這類不需要執行運算的算式改寫成，0＋3＝3、3－3＝0 或 3＋3＝6 的型 式，抑或是將3＝5 改寫成 3＋5＝8 或 3－5＝0 的型式，他們認為等號意 味著執行運算而得到一個答案；三年級的學生會將3＝3 改寫成 3＋0＝3，

他們認為3＝3 可能是一些加法或減法問題的結束；而六年級的學生也出 現將3＝3 改寫 6－3＝3 或 7－4＝3 的現象。當學生面對等號兩邊皆為加 法運算的算式2＋3＝3＋2 時，認為必須執行某項行動，因此在算式 2＋3

＝3＋2 的最後加上等號 2＋3＝3＋2＝以表示答案，他們無法將此算式視 為代表數字相等關係的表達式。甚至學生更常回答「在「＝」後面應該 要寫出答案，它表示結束，而不是另一個問題的開始」，並將原式改變 成4＋5＝9 和 3＋6＝9 兩個式子，再比較其結果。此研究顯示，學生並 沒有隨著學習到高年級階段而對等號的想法改變，實際上，小學六年級 的學生仍然認為等號的概念是「執行某項行動的符號」。

Behr、Erlwanger 和 Nichols ( 1980 ) 進一步針對六至八歲學童的等號 概念進行訪談，發現大部份六歲學童看到算式□＝4＋5 時，會將題目改 成5＋4＝□或□＋4＝5，另外，當學童聽見「5 等於 2 加 3」時，會寫下 2＋3＝5 或認為 3 應該改成 7；看見算式 8＝3＋5 會將其改寫成 8＋3＝5，

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然後判斷此算式不正確。六至八歲學童看到算式3＝3，會將其改寫成 3

＋3＝6、3－3＝0 或 0＋3＝3，並且無法接受算式 2＋3＝3＋2。因此，

Behr 等人認為六至八歲學童將等號視為由左而右運算所得的結果，而不 是兩數量間的關係。

在國內方面，陳嘉皇 ( 2008 ) 研究 342 位國小六年級學童的等號意 義和其解題表現，發現大約七成的學生對等號持有運算概念，僅14％的 學生對等號持有關係概念；在判斷算式□＋35＝51 與算式□＋35＋6＝51

＋6 中，□內的數值是否相等時，將近八成的學生會將兩算式□中的數值 算出，再判斷是否相等，只有一成的學生採用等量公理判斷之。

莊松潔 (2005) 分別訪談國小二年級、國小五年級以及國中一年級各 一位學生發現，該名國小二年級學童認為等號是將左邊的算式計算出答案 的行動指標，因此經常寫出不對稱的等式；國小五年級學童已能列出等號 兩邊均有未知數的等式，其對等號的意義正從「算出答案」過渡到「代表 相等的同類量」；而該名國中一年級學生不但能列出等號兩邊均有未知數 的等式，對於等號更具備了「代表相等的同類量」的概念，顯示學童對於 等號意義的了解，會隨著年級升高而逐漸成熟。此結果與Behr等人 ( 1976 ) 的研究結果產生衝突。

謝闓如 (2010 ) 利用含有未知數的算式填充題，例如：□＝13＋25、

□＝48－20、12＋37＝□＋25和78－26＝30＋□，以及不含未知數的數學 等式，例如：36＝48－12、40＝10＋30、41＝41和14＋12＝37－11，分析 364位台中市及高雄市國小二、三年級學生對於等號算式的想法及作法，

發現少數學童認為等號必須在算式右方，他們認為算式□＝13＋25、□＝

48－20和78－26＝30＋□有問題，或者不認為題目有問題而將其解讀為□

＋13＝25、□－48＝20和78－26＋30＝□，而且並不覺得□＝13＋25和□

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＋13＝25是兩個不同的算式；部分學童認為等號的一方應為另一方的立即 結果，他們在面對等號兩邊均為算式的問題時，會將等號的任一邊視為另 一邊算式的結果，而忽略算式中的一部份，例如：學童在處理12＋37＝□

＋25時，僅注意12＋37＝□，而忽略後方的「＋25」，或僅考慮37＝□＋

25，而不處理37前方的「12＋」；某些學童認為等號右方應該為算式中所 有數字運算的結果，對於不符合期待的數學式子，則會重組之，例如：將

25，而不處理37前方的「12＋」；某些學童認為等號右方應該為算式中所 有數字運算的結果，對於不符合期待的數學式子，則會重組之，例如：將