第四章 研究結果
第二節 答對題數相同但反應組型不同的受試者之 ISM 圖比較
在傳統的測驗中，受試者的能力是根據其答對題數或總分的多寡而定，亦即 不管受試者的作答反應組型為何，只要答對的題數或總分相同，就將其視為具有 相同的能力值，但事實上各試題的難易程度並不相同，只根據答對題數或總分的 多寡作為能力值判定的標準，是不符合實際情況的。因此本節根據第一節受試者 的能力分組方式，在高、中、低三組不同的能力值受試者中，各自隨機抽取兩位 答對題數相同但反應組型不同的受試者當代表，即 D、E、F、G、H、I 六位受試 者，此六位受試者的答題情形如表 4-2-1 所示。本研究以此六位受試者為代表，
比較不同能力值組別中，答對題數相同但反應組型不同的兩位受試者在數與量分 年細目概念 ISM 圖之異同。根據 SAS/IML 的運算結果，可獲得 D、E、F、G、H、
I 六位受試者的模糊關係矩陣，再將此六位受試者的模糊關係矩陣以α =.60進行 截矩陣，可獲得其個別的模糊關係截矩陣如表 4-2-2 所示。
表 4-2-1 答對題數相同但反應組型不同之受試者的答題情形 組 別 受試者
代 號 能力值 相似性 係 數
答對
題數 反 應 組 型
D 1.7384 .9862 32 111111111111111111110111111111111 高能力值
E 1.3107 .8969 32 111111111111111111111111111011111 F -.0695 .4445 23 101011010111011111110110001110111 中能力值
G -.2398 .4089 23 111100010111011111110111001110011 H -1.8255 .2724 13 110000110010010011011110010000000 低能力值
I -1.5199 .3012 13 101000110001000001111110110000000
表 4-2-2 答對題數相同但反應組型不同之受試者的模糊關係截矩陣
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 高 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 能 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 力 6 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 值 7 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 組 8 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
| 9 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
D 10 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
受 11 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
試 12 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
者 13 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
14 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 高 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 能 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 力 6 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 值 7 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 組 8 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
| 9 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
E 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
受 11 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
試 12 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
者 13 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
14 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-2-2 答對題數相同但反應組型不同之受試者的模糊關係截矩陣 (續)
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 中 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 能 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 力 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 值 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 組 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
| 9 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
F 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
受 11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
試 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
17 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 中 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 能 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 力 6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 值 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 組 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
| 9 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1
G 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
受 11 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
試 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
17 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
表 4-2-2 答對題數相同但反應組型不同之受試者的模糊關係截矩陣 (續)
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 低 4 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 能 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 力 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 值 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 組 8 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
| 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
H 10 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
受 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
試 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
16 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
17 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 低 4 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 能 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 力 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 值 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 組 8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
| 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
I 10 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
受 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
試 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
17 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0
根據表 4-2-2 D、E、F、G、H、I 六位受試者的模糊關係截矩陣，應用 AISM 軟體，可繪出此六位受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖，進ㄧ步去除概念與概 念間直接指向的路徑，並保留間接指向的路徑，可將 ISM 圖簡化，如圖 4-2-1 至 圖 4-2-3 所示。分別比較三個不同能力值組別中，答對題數相同但反應組型不同 的兩位受試者之個人化 ISM 圖，並將其結果歸納整理如下：
壹、高能力值組的受試者 (D、E)
一、由圖 4-2-1 可知，D 受試者和 E 受試者的 ISM 圖皆分為六個階層。
二、概念 1 (能認識 1000 以內的數及「百位」的位名，並作位值單位換算)、概念 9 (能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含併式) ) 和概念 15 (能 認識容量，並作直接比較) 在 D、E 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位於第一階 層，即為最下位概念，顯示此三個概念對 D、E 兩位受試者來說最容易達到 精熟。
三、概念 2 (能認識錢幣的幣值有 100 元、500 元等，並作 10 元與 100 元錢幣的 換算)、概念 16 (能認識重量，並作直接比較) 和概念 17 (能認識面積，並作 直接比較) 在 D、E 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位於第六階層，即為最上位 概念，顯示此三個概念對 D、E 兩位受試者來說最難達到精熟。
四、在 D 受試者和 E 受試者的 ISM 圖中，概念階層位置差異最大的分別為概念 8 (能理解九九乘法)、概念 10 (能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位 分數，並比較不同單位分數的大小) 和概念 13 (能理解用不同個別單位測量 同一長度時，其數值不同，並能說明原因)。概念 8 位於 D 受試者的第二階 層、E 受試者的第三階層；概念 10 位於 D 受試者的第四階層、E 受試者的 第五階層；概念 13 位於 D 受試者的第三階層、E 受試者的第四階層。
五、在 D 受試者和 E 受試者的 ISM 圖中，除了概念 8、概念 10 和概念 13 因階層 位置不同而造成概念間的指向關係差異甚大以外，其餘各概念間的指向關係 雖大致相似，但仍存在些許差異。
貳、中能力值組的受試者 (F、G)
一、由圖 4-2-2 可知，F 受試者和 G 受試者的 ISM 圖皆分為五個階層。
二、概念 1 (能認識 1000 以內的數及「百位」的位名，並作位值單位換算) 和概 念 15 (能認識容量，並作直接比較) 在 F、G 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位 於第一階層，即為最下位概念，顯示此兩個概念對 F、G 兩位受試者來說最 容易達到精熟。
三、概念 2 (能認識錢幣的幣值有 100 元、500 元等，並作 10 元與 100 元錢幣的 換算) 和概念 10 (能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比 較不同單位分數的大小) 在 F、G 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位於第五階層，
即為最上位概念，顯示此兩個概念對 F、G 兩位受試者來說最難達到精熟。
四、在 F 受試者和 G 受試者的 ISM 圖中，概念階層位置差異最大的分別為概念 4 (能熟練二位數加減直式計算) 和概念 16 (能認識重量，並作直接比較)。概念 4 和概念 16 皆位於 F 受試者的第四階層、G 受試者的第三階層。
五、在 F 受試者和 G 受試者的 ISM 圖中，除了概念 4 和概念 16 因階層位置不同 而造成概念間的指向關係差異甚大以外，其餘各概念間的指向關係雖大致相 似，但仍存在些許差異。
參、低能力值組的受試者 (H、I)
一、由圖 4-2-3 可知，H 受試者和 I 受試者的 ISM 圖皆分為五個階層。
二、概念 15 (能認識容量，並作直接比較) 在 H、I 兩位受試者的 ISM 圖中，位 於第一階層，即為最下位概念，顯示此概念對 H、I 兩位受試者來說最容易 達到精熟。
三、概念 2 (能認識錢幣的幣值有 100 元、500 元等，並作 10 元與 100 元錢幣的 換算)、概念 7 (能在具體情境中，進行分裝與平分的活動) 和概念 12 (能認識
「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」) 在 H、I 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位於第五階層，即為最上位概念，顯示此 三個概念對 H、I 兩位受試者來說最難達到精熟。
四、在 H 受試者和 I 受試者的 ISM 圖中，概念階層位置差異最大的分別為概念 6 (能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題)、概念 9 (能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含併式) ) 和概念 17 (能 認識面積，並作直接比較)。概念 6 和概念 9 皆位於 H 受試者的第五階層、I 受試者的第四階層；而概念 17 位於 H 受試者的第二階層、I 受試者的第三階 層。
五、在 H 受試者和 I 受試者的 ISM 圖中，除了概念 6、概念 9 和概念 17 因階層 位置不同而造成概念間的指向關係差異甚大以外，其餘各概念間的指向關係 雖大致相似，但仍存在些許差異。
綜合上述可知，隨著能力值組別的不同，答對題數相同但反應組型不同的受 試者，在數與量分年細目概念 ISM 圖中的總階層數相同，但其能力值有所不同。
三個不同能力值組別中的兩位受試者在少數概念所處的階層位置有所差異，造成 概念間的指向關係差異甚大，其餘概念間的指向關係雖大致相似，但仍存在些許
第六層 第五層 第四層 第三層 第二層 第一層
D 受試者 E 受試者
簡 化
3 10
4 5 11 12 13
2 16 17
6 8 14
7
1 9 15
3
7
4 5 10 11
2 16 17
6 13 14
8
12
1 9 15
D 受試者 E 受試者
圖 4-2-1 高能力值組受試者的 ISM 圖
F 受試者 G 受試者 第五層
第四層
第三層
第二層
第一層
簡 化
2 10
17
1 15
16 13 12 8
7 5 4
11 6
3 14
9
2 10
17 13 12 8
7 5
16 14 11
6 4
3
1 15
9
F 受試者 G 受試者
圖 4-2-2 中能力值組受試者的 ISM 圖
H 受試者 I 受試者 第五層
第四層
第三層
第二層
第一層
簡 化
H 受試者 I 受試者
5
2 12
1
15
14
16
6 9
8 10
17
3 4 11 13
7 2 7 12
5 6 8 9 10 14
3 4 11 13 17
1
15
16
圖 4-2-3 低能力值組受試者的 ISM 圖