第四章 研究結果
第一節 不同能力值受試者的 ISM 圖比較
為了解不同能力值受試者在數與量分年細目概念的認知結構，本研究以全體 受試者的平均能力值為依據，以平均數上下ㄧ個標準差為臨界點，區分出高、中、
低三組不同的能力值受試者組別。在三組受試者中，各自抽取能力值最接近該組 別平均數的ㄧ位受試者當代表，即 A、B、C 三位受試者，此三位受試者的答題 情形如表 4-1-1 所示。本研究以此三位受試者為代表，比較不同能力值受試者在 數與量分年細目概念 ISM 圖之異同。根據 SAS/IML 的運算結果，可獲得 A、B、
C 三位受試者的模糊關係矩陣，如附錄三所示，再將此三位受試者的模糊關係矩 陣以α =.60進行截矩陣，可獲得其個別的模糊關係截矩陣如表 4-1-2 所示。
表 4-1-1 不同能力值受試者代表的答題情形
組 別 受試者代號 能 力 值 相似性係數 答對題數
高能力值 A 1.3282 .8969 31
中能力值 B .1380 .5032 26
低能力值 C -1.8078 .2737 11
(θ =−1.9×10−8 ,Sθ =1.0005111)
表 4-1-2 A、B、C 三位受試者的模糊關係截矩陣
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 6 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 受 7 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 8 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 9 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
試 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
11 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
12 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
者 13 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
14 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 B 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 受 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 9 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
試 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
14 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
17 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-1-2 A、B、C 三位受試者的模糊關係截矩陣 (續)
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 C 4 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 受 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
試 10 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
16 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
17 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
根據表 4-1-2 A、B、C 三位受試者的模糊關係截矩陣，應用 AISM 軟體，可 繪出此三位受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖，進ㄧ步去除概念與概念間直接 指向的路徑，並保留間接指向的路徑，可將 ISM 圖簡化，如圖 4-1-1 至圖 4-1-3 所示。由這三個圖形的結構與特徵，可歸納整理出以下幾個重點：
一、三位受試者的 ISM 圖各具特色且差異甚大。
二、A 受試者的 ISM 圖分為六個階層，而 B、C 兩位受試者的 ISM 圖皆分為五個 階層。
三、概念 15 (能認識容量，並作直接比較) 在 A、B、C 三位受試者的 ISM 圖中，
皆位於第一階層，即為最下位概念，顯示此概念對 A、B、C 三位受試者來 說最容易達到精熟。
四、概念 2 (能認識錢幣的幣值有 100 元、500 元等，並作 10 元與 100 元錢幣的
對 A、B、C 三位受試者來說最難達到精熟。
五、概念 9 (能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含併式) ) 位於 A 受試者 ISM 圖的第一階層、B 受試者 ISM 圖的第二階層，即對於 A、B 兩 位受試者而言，概念 9 皆為較下位概念；相較於 C 受試者而言，概念 9 位於 其 ISM 圖的第五階層。顯示概念 9 對 A、B 兩位受試者而言，是屬於較容易 理解的概念；但對於 C 受試者而言，是屬於較難理解的概念。
六、概念 16 (能認識重量，並作直接比較) 和概念 17 (能認識面積，並作直接比 較) 位於 A 受試者 ISM 圖的第六階層、B 受試者 ISM 圖的第四階層，即對 於 A、B 兩位受試者而言，概念 16 和概念 17 皆為較上位概念；相較於 C 受 試者而言，概念 16 和概念 17 位於其 ISM 圖的第二階層。顯示概念 16 和概 念 17 對 A、B 兩位受試者而言，是屬於較難理解的概念；但對於 C 受試者 而言，是屬於較容易理解的概念。
七、概念 7 (能在具體情境中，進行分裝與平分的活動) 位於 B 受試者 ISM 圖的 第四階層、C 受試者 ISM 圖的第五階層，即對於 B、C 兩位受試者而言，概 念 7 皆為較上位概念；相較於 A 受試者而言，概念 7 位於其 ISM 圖的第二 階層。顯示概念 7 對 B、C 兩位受試者而言，是屬於較難理解的概念；但對 於 A 受試者而言，是屬於較容易理解的概念。
八、由 A、B、C 三位受試者的 ISM 圖可知，三位受試者各階層的概念數量與內 容不盡相同，因此在數與量分年細目概念間的指向關係差異甚大，但大體來 說，A、B 兩位受試者的概念指向關係相較於 C 受試者而言，是較為相近的。
九、由表 4-1-3 可知，在每一個數與量分年細目概念上，高能力值組受試者的平 均通過率高於中能力值組；而中能力值組受試者的平均通過率又高於低能力 值組。因此對於不同能力值的受試者而言，同一概念所在的階層位置不能互 相比較。舉例來說，概念 16 位於高能力值組 A 受試者的第六階層；位於中 能力值組 B 受試者的第四階層；位於低能力值組 C 受試者的第二階層，此現
通過率 .559 ~ .632
.703 ~ .764 .768 ~ .817 .847 .924 ~ .933 簡化
4 5 7 12 13
2 10
16
1 9
15 17
3 6 8 11 14
簡化
3 10
4 5 11 12 13
2 16 17
6 8 14
7
1 9 15
通過率 .798 ~.849 .886 ~ .969 .934 ~ .969
.965 ~ .981 .988 .981 ~ .984 象並不代表概念 16 對於高能力值組的受試者來說較難達到精熟，而對於低 能力值組的受試者來說較容易達到精熟。
綜合上述可知，隨著能力值組別的不同，A、B、C 三位受試者在數與量分年 細目概念 ISM 圖中的總階層數不盡相同，而且各概念間的指向關係亦有所差異。
此外，ISM 圖的概念階層數和各概念間的指向關係與受試者在各概念上的通過率 有關，因此在比較不同能力值受試者對同一概念的理解或精熟程度時，除了根據 個人化 ISM 圖以外，還需參照其能力值組別中各概念的平均通過率。此研究結果 可作為教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。
圖 4-1-1 A 受試者的 ISM 圖 (θ =1.3282,α =.60)
通過率