數與量

壹、數與量的子題

教育部 (2003) 指出，我國國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學學習領域 的內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五個主題。

數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算 能力的培養均奠基於國小階段。國小數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量 與實測」、「有理數」和「估算」等子題。

有關數與量各子題的相關內容，研究者根據教育部 (2003) 的說明，整理如下：

一、整數

在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。整數 教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前，已有的各種計 數與解題能力，在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算是一 切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種 例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕 馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後 (國、高中) 學習抽象運算及 形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生 活的基本能力之一。

國小整數教學的課程目標在於：

握大數。

（二）在二年級下學期，理解算術的樞紐—九九乘法，作為日後所有計算的基礎。

（三）到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。

（四）五年級時熟悉整數四則混合計算。

（五）在六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，

建立完整的數字感。

二、量與實測

除了日常生活的重要應用外，量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與 有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最 早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分數與小數教學的自然入口，

同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何在數線上做比較 與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的 基礎。量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、

時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、

體積屬於幾何 (視覺) 量，處理上可以依賴學生的幾何經驗，比較容易。重量的認 識，除了依靠身體的感覺，相當依賴測量工具，教學上要注意處理。另外，時間 在日常生活十分重要，在學習上卻完全仰賴計時的約定，與其他六種量極為不同，

故通常另外處理。時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段：初步概 念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。

三、有理數

有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主 題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式—分數與小數；

它的應用課題很廣—平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學生較缺乏有 理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學生首次 碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面整

數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤；甚至，有理數的概念理解與 形式程序的學習，有時會互相干擾，然而有理數數感的建立，卻又依賴兩者在反 覆應用練習中，彼此增強。什麼是穩當的有理數教學，並無定論。但是基本的共 識是，學生需要較長的時間，來學習掌握有理數的概念；不論是先形式程序，或 者先概念理解，兩者都必須不斷互相支持；在有理數教學中，必須將材料作適當 的安排，先從較容易的平分或測量入手，而將其他的應用課題，作為錘鍊有理數 數感的課題；運用數線作為模型，將自然數、分數與小數結合在一起，匯聚成「數」

的觀念。

小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵，最後歸 結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵—「除的意涵」：

（一）平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公平感，

因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數 學習中常見的認知衝突。

（二）測量的意涵：長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度量長 度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與分數兩種 課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝 突中的重要工具。

（三）比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易接受。

即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後 再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。

（四）部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概念 較為抽象，而且真分數的暗示過深 (全體為 1)，可能造成假分數或帶分數 學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突。

四、估算

通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。而經由估算課題的教學，

也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結，有更深入的理解。

估算在國民教育中可粗分為離散量的估算 (自然數四則運算的估算) 與連續量的 估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行。而後者的教學，應透過 測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識小數之細分與精確度的 要求乃是一體的兩面。最後，結合兩者，養成掌握誤差、施行估算的能力。估算 的教學，可以先在計算與驗算中強調，讓學生能對不合理的答案，透過估算剔除；

然後是，能判斷應用問題對答案精確度的要求，並藉由過去的解題經驗，發展正 確的估算策略；或者是，能針對問題與解答，發展估算策略，驗算解答的合理性。

要注意的是，估算屬於較高層次的數學能力，學生必須先對所使用的概念程序與 問題情境有相當的理解，才能恰當地估算，進而能正確判斷估算的時機與精確度 的要求。國小的估算教學，要特別注意評量的問題。切忌因為強求估算，禁止學 生使用正常計算。教師應在評量的問題上下功夫，讓問題本身暗示估算的好處。

貳、數與量的相關研究

數字存在於日常生活中，與日常生活息息相關。Ekenstam (1977) 指出：當對 於數字的意義缺乏了解時，學習數學必然會產生無法克服的障礙。因此數常識被 認為是一項值得擁有與培養的特質 (Hope, 1989)。Reys (1994) 認為數常識是學習 者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的連結。楊德清 (2000，2002) 認 為數常識指的是個人對數字及運算一般性的了解，以及能以彈性的方式運用所理 解的數學知識進行數學判斷並發展有用的策略以處理所面對的數字情境的一種 能力。許清陽 (2001) 針對高年級學童有關數常識的研究中，發現高年級學童在

「辨認數字大小的能力」上的表現最好，其次是「以多重方式表徵數字的能力」，

接著是「了解運算對數字的意義和影響的能力」，表現最差的則是「了解數字的

意義和關係的能力」及「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」。

李威進、李茂能和楊德清 (2005) 針對完成國小第一階段學習之四年級學童 進行施測，以探討學童數常識之表現情形，研究結果發現：(一)四年級學童在數 常識所有成分的表現都差，但統計分析結果顯示在「基本意義」、「多重表徵」及

「比較大小」上之表現比「數字的分解與合成」與「運算結果之合理性判斷」相 對較好。(二)學童在合理性的判斷思考上表現不佳。此結果與許清陽 (2001) 的研 究結果均顯示，不管是四年級或是五、六年級的學童，在數常識的五項組成成份 中，表現最不理想的皆是對答案或結果進行「合理性的判斷」這個組成成份。

Dougherty and Crites (1989) 指出：具備良好數常識的解題者在解題過程中，會根 據題意來預設合理答案的可能類型，亦能根據答案來拒絕不合理的答案，因此顯 示國內學童在這方面的能力較弱，需要再加強。

學童在學習數學時的運思發展順序可分為：序列性合成運思 (sequential integration operation)、累進性合成運思 (progressive integration operation)、部分－

全體運思 (part-whole operation) 以及測量運思 (measurement operation) 等四個 階段；在這四個階段之下，兒童的「數概念」 (the concept of number) 又可分為：

數的前置概念、起始數概念、內嵌數、合成巢狀數以及測量單位數等五種類型 (甯 自強，1992，1993；張淑怡，1995)。學童對數概念的應用，其外在表徵就是解題 策略，而每個階段的數概念都有不同的解題策略，教師若能知曉，將可了解學童 在下個階段可能發展出來的運思方式與數概念。

李貞慧和葉啟村 (2003) 指出，從「一年級的基本加減法」、「兩步驟的加減 問題」、「二位數的加減問題」，甚至到「進退位與位值的認識」、「二位數以上的 加減法問題」之學習，均脫離不了加減法的學習內容，由此可見，數學加減問題 學習的重要性，而國小一、二年級加、減法的學習更是所有數學加減法性質學習 的基礎。「語意結構」是影響加減法文字題難度差異的主要因素 (Nesher, 1982)，

累進性合成運思期的學童進行教學研究，在實驗教學設計中，藉由「數的分解紀 錄」 (a＝b＋c) 的引入，協助學童了解加減問題背後的「部分—全體」基模，引 導學童形成加減互逆概念。研究結果發現：(一)「數的分解紀錄」引入教學，對 加減互逆概念的保留性達到實質的成效。(二)二年級下學期學童的解題策略已達

累進性合成運思期的學童進行教學研究，在實驗教學設計中，藉由「數的分解紀 錄」 (a＝b＋c) 的引入，協助學童了解加減問題背後的「部分—全體」基模，引 導學童形成加減互逆概念。研究結果發現：(一)「數的分解紀錄」引入教學，對 加減互逆概念的保留性達到實質的成效。(二)二年級下學期學童的解題策略已達