第四章 研究結果
第三節 不同集群受試者的 ISM 圖比較
為了解不同集群受試者在數與量分年細目概念的認知結構，本研究以全體受 試者在各概念的精熟程度為分群依據，應用模糊集群分析軟體 fcut (林原宏，
2003)，選取收斂標準為10-5、q=2進行分群，結果顯示在類別數為兩群時，分割 係數最大且分割亂度最小 (此時的分割係數為.61、分割亂度為.58)，因此將全體 受試者分為兩群。由表 4-3-3 可知，第一群受試者在每一個概念的精熟程度皆低 於第二群受試者。各自抽取兩群受試者中，隸屬度最大值之一位受試者當代表，
即 J、K 兩位受試者，此兩位受試者的答題情形如表 4-3-1 所示。本研究以此兩位 受試者為代表，比較不同集群受試者在數與量分年細目概念 ISM 圖之異同。根據 SAS/IML 的運算結果，可獲得 J、K 兩位受試者的模糊關係矩陣，如附錄四所示，
再將此兩位受試者的模糊關係矩陣以α =.60進行截矩陣，可獲得其個別的模糊關 係截矩陣如表 4-3-2 所示。
表 4-3-1 不同集群受試者代表的答題情形
類 別 受試者代號 隸屬度 能力值 相似性係數 答對題數 第一群 J .7836 -1.0369 .3178 18
第二群 K .8883 .5040 .6306 28
表 4-3-2 J、K 兩位受試者的模糊關係截矩陣
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 J 4 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 受 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
試 10 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
者 13 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
14 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0
17 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 K 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 6 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 受 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 8 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 9 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
試 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
者 13 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
14 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
15 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
根據表 4-3-2 J、K 兩位受試者的模糊關係截矩陣，應用 AISM 軟體，可繪出 此兩位受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖，進ㄧ步去除概念與概念間直接指向 的路徑，並保留間接指向的路徑，可將 ISM 圖簡化，如圖 4-3-1 和圖 4-3-2 所示。
由這兩個圖形的結構與特徵，可歸納整理出以下幾個重點：
一、兩位受試者的 ISM 圖各具特色，且差異甚大。
二、J 受試者的 ISM 圖分為五個階層，而 K 受試者的 ISM 圖分為六個階層。
三、概念 1 (能認識 1000 以內的數及「百位」的位名，並作位值單位換算) 和概 念 15 (能認識容量，並作直接比較) 在 J、K 兩位受試者的 ISM 圖中，皆位 於第一階層，即為最下位概念，顯示此兩個概念對 J、K 兩位受試者來說最 容易達到精熟。
四、概念 2 (能認識錢幣的幣值有 100 元、500 元等，並作 10 元與 100 元錢幣的 換算) 在 J、K 兩位受試者的 ISM 圖中，為最上位概念，顯示此概念對 J、K 兩位受試者來說最難達到精熟。
五、由 J、K 兩位受試者的 ISM 圖可知，兩位受試者各概念的階層數量與內容不 盡相同，除了概念 1、概念 2 和概念 15 以外，其餘各概念所在的階層位置差 異甚大，因此在數與量分年細目概念間的指向關係迥異。
六、由表 4-3-3 可知，在每一個數與量分年細目概念上，第二群受試者的概念精 熟度 (即平均通過率) 高於第一群受試者。因此對於不同集群的受試者而 言，同一概念所在的階層位置不能互相比較。舉例來說，概念 16 位於第一 群受試者代表 J 的第二階層；位於第二群受試者代表 K 的第五階層，此現象 並不代表概念 16 對於第一群的受試者來說較容易達到精熟，而對於第二群 的受試者來說較難達到精熟。
七、整體來說，第一群受試者在數與量分年細目概念上的精熟程度偏低。研究者 以概念精熟度.80 為臨界點，找出各集群中精熟度低於.80 的概念，作為補救
精熟度
表 4-3-3 不同集群受試者在每一個概念的精熟程度 概念
編號 試題編號 全 體 概念精熟度
第 一 群 概念精熟度
第 二 群 概念精熟度
1 1-3,1-4 .874 .741 .948
2 1-5,1-6 .535 .317 .654
3 1-7,1-8,1-9,1-12 .745 .612 .818
4 1-7,1-15,3-1,3-2 .729 .550 .827
5 1-10,3-3,3-4,3-5,3-6 .692 .376 .865
6 1-10,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8 .716 .389 .895
7 3-4,3-5 .668 .223 .911
8 1-1,1-2,3-4,3-5 .726 .411 .898
9 1-16,3-7,3-8 .763 .476 .921
10 1-11,1-12,2-3 .628 .427 .738
11 1-13,1-19 .739 .546 .844
12 1-14,1-15,1-16 .655 .360 .818
13 2-1,2-2,2-3 .726 .547 .824
14 1-17,3-9 .753 .523 .880
15 1-18 .890 .784 .948
16 1-9,1-20 .717 .627 .766
17 1-21 .689 .568 .756
第四節 不同集群與能力值受試者間和專家的 ISM 圖 比較
本研究的目的，除了針對不同集群與能力值受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖進行質性的分析與比較以外，亦針對不同集群與能力值受試者的數與量分 年細目概念 ISM 圖進行量化的分析與統計上的檢定，以提出明確的數據說明並驗 證質性研究的分析結果。
經由第一節的能力值分組結果與第三節的模糊集群分類結果，整理出不同集 群與能力值受試者的人數分配表，如表 4-4-1 所示。
表 4-4-1 不同集群與能力值受試者的人數分配表
高能力值組 中能力值組 低能力值組 總 和
第一群 0 197 150 347
第二群 129 503 0 632
總 和 129 700 150 979
由表 4-4-1 可知，高能力值組的受試者均屬於第二群，而低力值組的受試者 均屬於第一群。因此可知模糊集群的分類結果，可明確區隔出受試者的能力值高 低。
本研究以專家的數與量分年細目概念 ISM 圖為參照標準 (相似性係數為 1)，
應用 SAS/IML 計算出全體受試者的相似性係數。不同集群與能力值受試者的相 似性係數敘述性統計如表 4-4-2 所示。
表 4-4-2 不同集群與能力值受試者的相似性係數平均數
高能力值組 中能力值組 低能力值組 平 均
第一群 -- .3658 .2863 .3315
第二群 .9104 .6090 -- .6706
平 均 .9104 .5406 .2863 .5504
壹、不同集群受試者間的 ISM 圖之差異比較
以集群為自變項，相似性係數為依變項，進行單因子變異數分析，比較不同 集群受試者的 ISM 圖是否有所差異。結果如表 4-4-3 和表 4-4-4 所示。
表 4-4-3 不同集群受試者的相似性係數變異數分析摘要表
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
集群間 25.758 1 25.758 1297.496***
集群內 19.395 977 .020
總和 45.153 978
***p<.001
表 4-4-4 不同集群受試者的相似性係數事後比較摘要表
類別 第一群 第二群
第一群 (X =.3315) --
第二群 (X =.6706) .3391*** --
***p<.001
由表 4-4-3 可知，不同集群受試者的相似性係數有顯著差異，因此進行事後 比較。由表 4-4-4 可知，第二群受試者的相似性係數高於第一群受試者。亦即不 同集群受試者的 ISM 圖有所差異，且第二群受試者的數與量分年細目概念優於第 一群受試者。
貳、不同能力值受試者間的 ISM 圖之差異比較
以組別為自變項，相似性係數為依變項，進行單因子變異數分析，比較不同 能力值受試者的 ISM 圖是否有所差異。結果如表 4-4-5 和表 4-4-6 所示。
表 4-4-5 不同能力值受試者的相似性係數變異數分析摘要表
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
組間 27.244 2 13.622 742.352***
組內 17.909 976 .018
總和 45.153 978
表 4-4-6 不同能力值受試者的相似性係數事後比較摘要表
組別 高能力值組 中能力值組 低能力值組
高能力值組 (X=.9104) --
中能力值組 (X=.5406) -.3698*** --
低能力值組 (X=.2863) -.6241*** -.2543*** --
***p<.001
由表 4-4-5 可知，不同能力值受試者的相似性係數有顯著差異，因此進行事 後比較。由表 4-4-6 可知，高能力值組受試者的相似性係數高於中能力值組；中 能力值組受試者的相似性係數高於低能力值組。亦即不同能力值受試者的 ISM 圖 有所差異，且高能力值組受試者的數與量分年細目概念優於中能力值組；中能力 值組受試者的數與量分年細目概念優於低能力值組。
參、不同集群與能力值受試者和專家的 ISM 圖之差異比較
分別將不同集群與能力值受試者的相似性係數和專家 (相似性係數為 1) 進 行單一樣本 t 檢定，比較不同集群與能力值受試者和專家的 ISM 圖是否有所差 異。結果如表 4-4-7 和表 4-4-8 所示。
表 4-4-7 不同集群受試者和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定摘要表
類別 平均數 t 值 自由度 平均差異
第一群 .3315 -231.051*** 346 -.6685 第二群 .6706 -48.513*** 631 -.3294
***p<.001
表 4-4-8 不同能力值受試者和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定摘要表
組別 平均數 t 值 自由度 平均差異
高能力值組 .9104 -23.177*** 128 -.0896 中能力值組 .5406 -76.555*** 699 -.4594 低能力值組 .2863 -522.279*** 149 -.7137
***p<.001
由表 4-4-7 可知，不同集群受試者和專家的相似性係數有顯著差異。亦即不 同集群受試者和專家的 ISM 圖有所差異。由表 4-4-8 可知，不同能力值受試者和 專家的相似性係數有顯著差異。亦即不同能力值受試者和專家的 ISM 圖有所差 異。
綜合上述可知，不同集群與能力值受試者間的 ISM 圖皆有顯著差異，顯示在 數與量分年細目概念的教學上，可以針對不同集群或不同能力值的受試者進行分 群或分組教學。而不同集群與能力值受試者和專家的 ISM 圖亦皆有顯著差異，顯 示和專家相比，不同集群與能力值受試者在數與量分年細目概念上，皆未達精 熟，教師可以針對不同集群或不同能力值的受試者進行補救教學。