國小二年級學童數與量分年細目概念結構圖之模糊取向分析

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(1)國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文. 指導教授：林原宏. 博士. 國小二年級學童數與量分年細目概念結構圖之模糊取向分析. 研究生：許惠芳. 撰. 中華民國九十七年五月.

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(3) 摘要本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小二年級學童的數與量分年細目概念結構圖。此分析法乃結合察覺的模糊邏輯模式與詮釋結構模式，可分析出個人化的概念結構。本研究以中部四個縣市共 979 位國小二年級學童為研究對象，研究者以數與量試題及紙筆測驗後之資料，應用模糊取向的詮釋結構模式軟體，圖繪出國小二年級學童個人化的數與量分年細目概念結構圖，並進行圖形的分析與比較，研究結果臚列如下：一、不同能力值受試者的 ISM 圖有所差異。二、答對題數相同但反應組型不同的受試者，其 ISM 圖不盡相同。三、不同集群受試者的 ISM 圖差異甚大。四、不同集群與能力值受試者間的 ISM 圖之相似性係數皆有顯著差異。五、不同集群與能力值受試者和專家的 ISM 圖之相似性係數皆有顯著差異。本研究的結果與發現，有助於教師了解學童在學習數與量分年細目概念時的認知連結情形，研究結果可提供教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。最後，研究者根據研究心得與發現，提出對於未來研究的相關建議。. 關鍵字：數與量、分年細目、模糊理論、詮釋結構模式. I.

(4) Abstract The purpose of this study is to use fuzzy approach interpretive structural model (FAISM) in analyzing concept structure of mathematics indicators on number and quantity for second graders. This method integrates algorithm of fuzzy logic model of perception (FLMP) and interpretive structural model (ISM). The combined algorithm of this integrated model could analyze the individualized concept structure based on the comparisons with expert. There are totally 979 second graders in this study. The paper-pencil test on number and quantity is designed by the researcher. By using the FAISM software, we can get the diagram of individualized concept structure. The results of this study are as follows. 1. Examinees with different ability own varied ISM diagrams. 2. Examinees with the same total score but different response patterns own varied ISM diagrams. 3. Examinees of different clusters own varied ISM diagrams. 4. The similarity coefficients of ISM diagrams are both significantly different among examinees of different clusters and different ability. 5. Based on the comparisons with expert, examinees of different clusters and different ability have significantly different similarity coefficients. The results of this study can be provided as the references for cognition diagnosis, remedial teaching and courses design. At last, based on the findings and results, some suggestions and recommendations for future research are provided.. Keywords: fuzzy theory, interpretive structural model, mathematics indicators, number and quantity.. II.

(5) 目錄第一章緒論...................................................................................................................1 第一節研究動機...................................................................................................1 第二節研究目的...................................................................................................3 第三節名詞解釋...................................................................................................3 第二章文獻探討...........................................................................................................7 第一節數與量.......................................................................................................7 第二節試題反應理論.........................................................................................18 第三節模糊理論.................................................................................................22 第四節模糊集群分析.........................................................................................26 第五節模糊取向的詮釋結構模式.....................................................................36 第三章研究方法.........................................................................................................47 第一節研究架構.................................................................................................47 第二節研究對象.................................................................................................48 第三節研究工具.................................................................................................48 第四節研究流程.................................................................................................55 第五節資料處理.................................................................................................56 第四章研究結果.........................................................................................................59 第一節不同能力值受試者的 ISM 圖比較.........................................................59 第二節答對題數相同但反應組型不同的受試者之 ISM 圖比較.....................65 第三節不同集群受試者的 ISM 圖比較.............................................................75 第四節不同集群與能力值受試者間和專家的 ISM 圖比較.............................80. III.

(6) 第五章結論與建議.....................................................................................................85 第一節結論.........................................................................................................85 第二節研究限制.................................................................................................87 第三節建議.........................................................................................................88 參考文獻.......................................................................................................................91 壹、中文部分............................................................................................................91 貳、日文部分........................................................................................................96 參、英文部分........................................................................................................96 附錄一二年級數與量分年細目概念測驗試卷.......................................................105 附錄二試題反應理論之模式適合度檢定表...........................................................107 附錄三不同能力值受試者代表的模糊關係矩陣...................................................108 附錄四不同集群受試者代表的模糊關係矩陣.......................................................110 附錄五計算個人化 ISM 圖相似性係數的 SAS/IML 原始碼..................................111. IV.

(7) 表目錄表 2-3-1 模糊理論與機率理論的比較......................................................................23 表 3-2-1 施測樣本資料一覽表..................................................................................48 表 3-3-1 國小二年級數與量分年細目概念的編號及內容......................................49 表 3-3-2 國小二年級數與量分年細目試題的概念屬性矩陣..................................50 表 3-3-3 正式施測工具的難度分析表......................................................................51 表 3-3-4 正式施測工具的鑑別度分析表..................................................................53 表 4-1-1 不同能力值受試者代表的答題情形..........................................................59 表 4-1-2 A、B、C 三位受試者的模糊關係截矩陣.....................................................60 表 4-1-3 不同能力值受試者在每一個概念的平均通過率......................................64 表 4-2-1 答對題數相同但反應組型不同之受試者的答題情形..............................65 表 4-2-2 答對題數相同但反應組型不同之受試者的模糊關係截矩陣..................66 表 4-3-1 不同集群受試者代表的答題情形..............................................................75 表 4-3-2 J、K 兩位受試者的模糊關係截矩陣...........................................................76 表 4-3-3 不同集群受試者在每一個概念的精熟程度..............................................79 表 4-4-1 不同集群與能力值受試者的人數分配表..................................................80 表 4-4-2 不同集群與能力值受試者的相似性係數平均數......................................80 表 4-4-3 不同集群受試者的相似性係數變異數分析摘要表..................................81 表 4-4-4 不同集群受試者的相似性係數事後比較摘要表......................................81 表 4-4-5 不同能力值受試者的相似性係數變異數分析摘要表..............................81 表 4-4-6 不同能力值受試者的相似性係數事後比較摘要表..................................82 表 4-4-7 不同集群受試者和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定摘要表...............82 表 4-4-8 不同能力值受試者和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定摘要表...........82. V.

(8) 圖目錄圖 2-4-1. α 截矩陣分群樹狀圖......................................................................................31. 圖 2-5-1 ISM 圖的繪製..............................................................................................38 圖 3-1-1 研究架構圖..................................................................................................47 圖 3-4-1 研究流程圖..................................................................................................55 圖 4-1-1 A 受試者的 ISM 圖......................................................................................63 圖 4-1-2 B 受試者的 ISM 圖.......................................................................................63 圖 4-1-3 C 受試者的 ISM 圖.......................................................................................64 圖 4-2-1 高能力值組受試者的 ISM 圖......................................................................72 圖 4-2-2 中能力值組受試者的 ISM 圖......................................................................73 圖 4-2-3 低能力值組受試者的 ISM 圖......................................................................74 圖 4-3-1 J 受試者的 ISM 圖........................................................................................78 圖 4-3-2 K 受試者的 ISM 圖......................................................................................78. VI.

(9) 第一章緒論數學的學習注重循序累進的邏輯結構，以保證數學教育的穩定性 (教育部， 2003)；數學的學習亦是一種概念的學習，而概念的形成有其結構性與關聯性，是一種以含有語意的網絡或架構所形成 (Kintsch, 1988; Skemp, 1989; Wessells, 1982)。許多研究認為，教師對於學童數學認知知識的了解，是教學知識中非常重要的一環 (Fennema & Franke, 1992; Shulman, 1987)，因此，教師若能掌握學童學習數學概念時的認知連結情形，將有助於教師了解學童的思考歷程及可能遇到的困難癥結點，有效且快速的幫助學童釐清觀念並產生完整的知識結構，不但可以提升教師的教學成效，亦可提高學童的學習意願，達到有意義的教學與學習。本研究欲探討國小二年級學童數與量分年細目概念的認知結構，以提供教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。本章旨在闡述本研究之研究動機、研究目的，並對本研究所提及之相關名詞作說明與解釋。. 第一節研究動機國民中小學九年一貫課程綱要將數學學習領域的內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率和連結等五大主題，其中「數與量」具有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段 (教育部，2003)，因此可知「數與量」在國小數學學習中的重要性。綜觀國內外研究文獻，對於學童在數學學習上的研究，幾乎只偏重數與量中的某一子題做探討，如：整數、量與實測、有理數和估算等，較少針對年級整體之數與量分年細目概念做全面性探究；在研究方法上，大多以傳統紙筆測驗、問卷調查和個別晤談等敘述性分析為主，以了解學童的迷思概念、解題策略或概念發展的情形，這樣的方法有其研究貢獻，但往往需要耗費大量的時間、人力及物力，且對於學童整體性的概念結構探究較顯不足。. 1.

(10) 概念結構的分析不但能評量出學童學習概念時的認知連結情形，也能提供教師訊息，以診斷學童學習時的缺失。有關學童在習得知識後的概念結構分析，已漸漸受到重視。在心理計量領域中，概念結構的分析方法很多，且各有其特色和限制 (江淑卿，1997；林原宏，1996)，常見的有：概念構圖 (concept mapping)、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱 IRS)、詮釋結構模式 (interpretive structural model, 簡稱 ISM)、多向度量尺 (multidimentional scaling, 簡稱 MDS)、次序理論 (ordering theory, 簡稱 OT)、徑路搜尋 (pathfinder) 和規則空間 (rule space) 等。其中，詮釋結構模式是一個相當重要又有效的方法 (林原宏，2005a； Lin, Hung, & Yu, 2007)。然而元素為二元關係的詮釋結構模式分析法對於多元關係的資料有其應用上的限制，尤其是在心理計量研究上所獲得的概念或解題能力，非單用二元關係即能描述。阮亨中和吳柏林 (2000) 認為在人文與社會科學的測度裡，模糊相關性日受重視，這是複雜的人文社會科學無法以傳統二元邏輯數值充分合理解釋之自然發展的結果。因此，林原宏 (2005a) 結合察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, 簡稱 FLMP) 與詮釋結構模式，提出模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural model, 簡稱 FAISM)，即可推廣傳統的詮釋結構模式分析法之應用。除了了解學童的概念結構以外，在教學過程中，教師若能依據學童的學習結果予以分群，將有利於教師進行補救教學，而模糊集群分析 (fuzzy cluster analysis) 正是以受試者的學習特性作為分群的依據 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)。基於上述，本研究以國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中的二年級數與量分年細目概念為主題，應用模糊取向的詮釋結構模式分析法，並結合模糊集群分析將學童進行分群，以期了解國小二年級學童在數與量分年細目概念的認知結構，進而提供教師進行認知診斷、補救教學與課程設計之參考。. 2.

(11) 第二節研究目的本研究之研究目的臚列如下：一、分析不同能力值受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖之特徵與異同。二、分析答對題數相同但反應組型不同的受試者，在數與量分年細目概念 ISM 圖之特徵與異同。三、分析不同集群受試者的數與量分年細目概念 ISM 圖之特徵與異同。四、比較不同集群與能力值受試者間，其數與量分年細目概念 ISM 圖之相似性係數的差異性。五、比較不同集群與能力值受試者，和專家的數與量分年細目概念 ISM 圖之相似性係數的差異性。. 第三節名詞解釋壹、試題反應理論試題反應理論 (item response theory, 簡稱 IRT) 又稱為潛在特質理論 (latent trait theory)，自 Lord (1980) 提出後，試題反應理論因此正式正名。它是以機率的概念來解釋受試者 (examinee) 能力 (ability) 和試題反應組型 (item response pattern) 間的關係，亦即將受試者在試題上的作答反應機率和其潛在特質 (latent trait)，以數學函數來描述。. 貳、模糊理論模糊理論 (fuzzy theory) 是由 L. A. Zadeh 於 1965 年所提出，改進古典數學的二元邏輯 (即 0 或 1) 集合論，將元素和集合之間的關係以隸屬度 (membership) 的觀點來描述，其值介於[0,1]之間。. 3.

(12) 參、模糊集群分析模糊集群分析 (fuzzy cluster analysis) 是將集群分析和模糊理論兩者的概念結合起來。主要目的是找出集群內的元素具有高同質性，而集群間的元素具有高異質性的最佳集群數。本研究以分割係數 (partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 這兩個指標為判定的標準，當其分割係數越大且分割亂度越小時，為較佳的集群數。. 肆、詮釋結構模式詮釋結構模式 (interpretive structural model, 簡稱 ISM) 是由 Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩陣，提出一種將元素階層化表示的方法，適用於二元資料的分析，其理論基礎為離散數學和圖形理論。詮釋結構理論主要的功能，是透過已知兩兩元素之間的上下位關係，統合所有元素間的整體關係，亦即建立整體元素之間的指向關係結構。. 伍、模糊取向的詮釋結構模式模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural model, 簡稱 FAISM) 是由林原宏 (2005a) 根據心理學之察覺的模糊邏輯模式，計算受試者概念間從屬關係 (subordinate relation) 的模糊關係矩陣，並以截矩陣 ( α -cut) 方法獲得資料矩陣，據以進行模糊取向的詮釋結構模式分析。此分析方法乃結合察覺的模糊邏輯模式與詮釋結構模式所發展而來的，其優點是能改進傳統詮釋結構模式只限於二元資料的分析，同時亦可圖繪出個人化的概念結構圖。. 4.

(13) 陸、數與量分年細目概念本研究所指的數與量分年細目概念，是以教育部 (2003) 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，所提到的二年級數與量分年細目概念為依據。在國小二年級的部分共有 17 個數與量分年細目概念。. 柒、高、中、低三組不同的能力值組別本研究以試題反應理論軟體 BILOG-MG 分析出全體受試者的能力值，再以能力值平均數上下一個標準差為臨界點，將全體受試者依其能力值區分為高、中、低三組不同的能力值組別。. 捌、專家參照本研究以答對全部試題的受試者為專家，並以其 ISM 圖作為專家參照圖。. 5.

(14) 6.

(15) 第二章文獻探討本章係依據本研究所涉及之相關理論進行探討，共分成五節。第一節為數與量；第二節為試題反應理論；第三節為模糊理論；第四節為模糊集群分析；第五節為模糊取向的詮釋結構模式。有關各節之內容分述如下：. 第一節數與量壹、數與量的子題教育部 (2003) 指出，我國國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學學習領域的內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五個主題。數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。國小數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題。有關數與量各子題的相關內容，研究者根據教育部 (2003) 的說明，整理如下：一、整數在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。整數教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前，已有的各種計數與解題能力，在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後 (國、高中) 學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。國小整數教學的課程目標在於：（一）從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後能掌. 7.

(16) 握大數。（二）在二年級下學期，理解算術的樞紐—九九乘法，作為日後所有計算的基礎。（三）到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。（四）五年級時熟悉整數四則混合計算。（五）在六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數字感。二、量與實測除了日常生活的重要應用外，量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分數與小數教學的自然入口，同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何在數線上做比較與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的基礎。量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何 (視覺) 量，處理上可以依賴學生的幾何經驗，比較容易。重量的認識，除了依靠身體的感覺，相當依賴測量工具，教學上要注意處理。另外，時間在日常生活十分重要，在學習上卻完全仰賴計時的約定，與其他六種量極為不同，故通常另外處理。時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段：初步概念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。三、有理數有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式—分數與小數；它的應用課題很廣—平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學生較缺乏有理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面整. 8.

(17) 數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤；甚至，有理數的概念理解與形式程序的學習，有時會互相干擾，然而有理數數感的建立，卻又依賴兩者在反覆應用練習中，彼此增強。什麼是穩當的有理數教學，並無定論。但是基本的共識是，學生需要較長的時間，來學習掌握有理數的概念；不論是先形式程序，或者先概念理解，兩者都必須不斷互相支持；在有理數教學中，必須將材料作適當的安排，先從較容易的平分或測量入手，而將其他的應用課題，作為錘鍊有理數數感的課題；運用數線作為模型，將自然數、分數與小數結合在一起，匯聚成「數」的觀念。小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵，最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵—「除的意涵」：（一）平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。（二）測量的意涵：長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。（三）比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。（四）部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概念較為抽象，而且真分數的暗示過深 (全體為 1)，可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突。四、估算估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好的學生，. 9.

(18) 通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。而經由估算課題的教學，也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結，有更深入的理解。估算在國民教育中可粗分為離散量的估算 (自然數四則運算的估算) 與連續量的估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行。而後者的教學，應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。最後，結合兩者，養成掌握誤差、施行估算的能力。估算的教學，可以先在計算與驗算中強調，讓學生能對不合理的答案，透過估算剔除；然後是，能判斷應用問題對答案精確度的要求，並藉由過去的解題經驗，發展正確的估算策略；或者是，能針對問題與解答，發展估算策略，驗算解答的合理性。要注意的是，估算屬於較高層次的數學能力，學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當的理解，才能恰當地估算，進而能正確判斷估算的時機與精確度的要求。國小的估算教學，要特別注意評量的問題。切忌因為強求估算，禁止學生使用正常計算。教師應在評量的問題上下功夫，讓問題本身暗示估算的好處。. 貳、數與量的相關研究數字存在於日常生活中，與日常生活息息相關。Ekenstam (1977) 指出：當對於數字的意義缺乏了解時，學習數學必然會產生無法克服的障礙。因此數常識被認為是一項值得擁有與培養的特質 (Hope, 1989)。Reys (1994) 認為數常識是學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的連結。楊德清 (2000，2002) 認為數常識指的是個人對數字及運算一般性的了解，以及能以彈性的方式運用所理解的數學知識進行數學判斷並發展有用的策略以處理所面對的數字情境的一種能力。許清陽 (2001) 針對高年級學童有關數常識的研究中，發現高年級學童在「辨認數字大小的能力」上的表現最好，其次是「以多重方式表徵數字的能力」，接著是「了解運算對數字的意義和影響的能力」，表現最差的則是「了解數字的. 10.

(19) 意義和關係的能力」及「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」。李威進、李茂能和楊德清 (2005) 針對完成國小第一階段學習之四年級學童進行施測，以探討學童數常識之表現情形，研究結果發現：(一)四年級學童在數常識所有成分的表現都差，但統計分析結果顯示在「基本意義」、「多重表徵」及「比較大小」上之表現比「數字的分解與合成」與「運算結果之合理性判斷」相對較好。(二)學童在合理性的判斷思考上表現不佳。此結果與許清陽 (2001) 的研究結果均顯示，不管是四年級或是五、六年級的學童，在數常識的五項組成成份中，表現最不理想的皆是對答案或結果進行「合理性的判斷」這個組成成份。 Dougherty and Crites (1989) 指出：具備良好數常識的解題者在解題過程中，會根據題意來預設合理答案的可能類型，亦能根據答案來拒絕不合理的答案，因此顯示國內學童在這方面的能力較弱，需要再加強。學童在學習數學時的運思發展順序可分為：序列性合成運思 (sequential integration operation)、累進性合成運思 (progressive integration operation)、部分－全體運思 (part-whole operation) 以及測量運思 (measurement operation) 等四個階段；在這四個階段之下，兒童的「數概念」 (the concept of number) 又可分為：數的前置概念、起始數概念、內嵌數、合成巢狀數以及測量單位數等五種類型 (甯自強，1992，1993；張淑怡，1995)。學童對數概念的應用，其外在表徵就是解題策略，而每個階段的數概念都有不同的解題策略，教師若能知曉，將可了解學童在下個階段可能發展出來的運思方式與數概念。李貞慧和葉啟村 (2003) 指出，從「一年級的基本加減法」、「兩步驟的加減問題」、「二位數的加減問題」，甚至到「進退位與位值的認識」、「二位數以上的加減法問題」之學習，均脫離不了加減法的學習內容，由此可見，數學加減問題學習的重要性，而國小一、二年級加、減法的學習更是所有數學加減法性質學習的基礎。「語意結構」是影響加減法文字題難度差異的主要因素 (Nesher, 1982)，因此李貞慧和葉啟村根據語意結構的分類，作為加減文字題佈題時的參考，針對. 11.

(20) 累進性合成運思期的學童進行教學研究，在實驗教學設計中，藉由「數的分解紀錄」 (a＝b＋c) 的引入，協助學童了解加減問題背後的「部分—全體」基模，引導學童形成加減互逆概念。研究結果發現：(一)「數的分解紀錄」引入教學，對加減互逆概念的保留性達到實質的成效。(二)二年級下學期學童的解題策略已達累進性合成運思，但在加減互逆概念的形成，高、中、低分組的學童存有差異。蔣治邦和鍾思嘉 (1991) 以應用題與計算題為內容，同時採用團體施測與個別訪問的方式，來描述一至三年級學童在加減概念上的發展。結果發現：學童們逐漸能解決更多類型的應用問題，而且逐步地能正確地解釋算式所代表的意義；在策略方面，一年級的學童傾向於模擬問題情境，利用數物的方式來計算答案，逐漸地，學童能利用加減事實來解決問題。在學童開始利用加減事實以後，資料顯示部分學童可能開始盲目地使用運算，而忽略題目本來的要求。許美華和劉曼麗 (2001) 探討國小二年級學童正整數乘法問題的解題策略，結果發現：(一)學童正整數乘法解題策略有 10 種：經過文獻資料與筆試資料的分析後，發現國小二年級學童正確的解題策略有學童正整數乘法解題策略有圖畫式直接表徵、節奏式點數、連加法、兩兩相加法、重複相加法、分堆相加法、直接乘法、先乘再加法、接續乘法表之序列乘法和二堆乘法等 10 種。(二)並非所有的學童都能在教學後轉而使用乘法來解題：從多位研究者 (林慧麗，1991；Anghileri, 1989; Kouba, 1989; Mulligan & Mitchelmore, 1997) 的研究結果中，可以發現學童所使用的乘法解題策略會隨著年齡與學習而由具體到抽象，由加法到乘法，但是較難肯定學童何時能從具體轉而抽象，從加法轉而乘法 (Clark & Kamii, 1996)。 (三)問題類型和數字大小會影響學童解題策略的選用：不同的問題類型因為學童對題意的了解與否，而對學童選用何種解題策略造成了影響，也就是學童在面對三種不同類型的問題時，所使用的解題紀錄不同，例如學童使用兩兩相加法和連加法來解決「等組型問題」的次數較多；學童常以直接乘法來解決「直積型問題」；對於「比較型問題」則較常使用圖畫來輔助解題。數字大小對於學童解決乘法問. 12.

(21) 題的影響是解題策略的改變，當學童需要計算很多次的時候 (例如「一位數¯二位數」的問題)，學童開始嘗試縮減計算行為的次數，因而產生不同的解題策略。量與實測的教材，按照量的特性可以分成二類：感官量和工具量 (鍾靜， 1994)。鍾靜 (2001) 即以這兩個部分加以討論，提出學童對長度、重量、容量、角度、面積、體積等存在於實體的感官量，其概念的認知發展形成都要經歷下列五個階段才算完整 (教育部，2000)：(一)量的初步概念；(二)量的間接比較；(三) 個別單位的描述；(四)公制單位系統內的認識與換算 (化聚)；(五)量的公式概念 (只有面積和體積有此階段)。工具量的代表，在小學階段就是時間教材。時間對學童而言，是一種看不見、摸不到的量，它必須透過工具—時鐘的測量，才能掌握日、時、分、秒，再配合日曆或月曆才能指出年、月、日。因為時間不是在實體上存在的量，因此時間的教材脈絡就不宜從量感的掌握入手，而是從工具 (如：時鐘、月曆) 的報讀開始，再配合生活事件，和鐘面現象、時刻記錄產生關聯，來建立量感。當分別有了時、分、秒的量感後，才藉同一事件，不同單位的計數活動，讓相鄰的二個單位量間建立等量關係。學童具備時間 (量)、時刻概念後，才有能力處理時間 (量) 的運算，以及時刻和時間 (量) 的問題。量與實測教材的教學應該培養學童量感，真正理解普遍單位的意義，以及測量工具和量感間的關聯。而且，感官量和工具量特性不同，其教材架構和發展脈絡自然不同，教師宜有深度的了解，才能進行適當的教學活動。有關學童在時間概念上的發展，Piaget (1969) 認為兒童在前運思期採用直觀方式，對於順序的問題不能逆轉，在七或八歲後才可對事件順序重新建構。 Thornton and Vukelich (1988) 指出兒童的時鐘概念發展，係從大單位到小單位，如從時到分到秒；日曆時間概念則是先能辨識較小單位。鍾靜、鄧玉芬和鄭淑珍 (2003) 的研究指出：幼稚園學童無法預知某事件下次的發生時間，尚無日、月的順序概念；一年級已能概括說出某事件下次發生的時間點；二年級能依照事件發生的先後順序完整描述一天的生活經驗；三年級能以某一事件發生先後表達另一. 13.

(22) 事件的時刻；四年級對生活細節與事件發生時間，皆能依序加以詳細描述；五年級對事件描述的豐富性增加；六年級已更能靈活的運用時間語言。簡瑞萍和鍾靜 (2006) 以國小三年級學童為對象，對時間順序與週期概念進行研究，發現學童的時間順序與週期概念深受生活經驗所影響。譚寧君 (1999) 透過筆測、面談，了解兒童測量概念與其可能的錯誤類型，再透過教師對數學問題的難易分析及理由的陳述，了解教師對兒童測量概念知識的了解情形。結果發現：(一)國小教師對兒童測量概念的了解，長度最佳，面積次之，體積顯然不足。(二)國小教師對個別單位量計數的認知較為有限，從長度的刻度報讀到面積的單位覆蓋與體積的單位堆積，均一再呈現單位量掌握與轉換過程，但似乎均未被教師察覺，仍以實作、點數與列式計算為主要教學思考。(三)國小教師的教學信念很明顯的呈現於問題的分析上，多數教師均以直覺或經驗來判斷。如：數字小、格數少、教材中曾呈現者較易，反之則較難；視覺點數較易，需透過運算符號取得的則較難；加減法運算較易，乘除法運算較難；普遍忽略了其他暗隱因素的影響。(四)國小教師非常重視教材在課程中出現的順序與地位，較不易掌握螺旋式課程設計的精神與兒童認知發展的過程，如往往以教材出現的次序為難易的標準，且以為只要在教材中呈現的概念即應達到完備的程度，忽略課程概念間相互依隨的關係，即從嘗試錯誤的經驗中，察覺與重組概念的重要。(五)國小教師對公式的教學認知上有明顯差異，尤其在面積與體積部分最為明顯，有的教師認為可以套用公式的問題比較容易，有的則認為公式的意義建立頗為困難，故必須套用公式者比較難。(六)國小教師對學童解題策略的類型仍不能有效掌握，從學童的解題策略與教師的填答理由發現差異頗大，學童最普遍的方式是以視覺解題，教師往往以數字大小及運算符號的類別為判斷標準。莊維展 (2001) 以高高屏三縣市 12 個國小五年級學童為樣本進行研究，探討兒童於面積、長度、容量、重量此四個面相的估量能力，發現兒童估量表現上，面積估量表現劣於容量、重量及長度；容量估量表現顯著優於重量與長度；此外，. 14.

(23) 重量與長度沒有差異存在。根據晤談歸納出國小五年級兒童，在估量上所使用估量策略，包括：不知道、猜測 (憑經驗與憑感覺)、普遍單位直接比較、個別單位直接比較、分解與重組以及數學公式策略。王念慈 (1998) 採用實驗研究法，探討國小一、二、三年級學童液體量、重量守恆概念的發展情形，研究結果發現：(一)學童液體量與重量守恆概念的發展順序大致與皮亞傑的研究一致。液體量守恆概念約在三年級左右發展完成，重量守恆概念發展在液體量守恆概念之後。(二)液體量與重量守恆概念推理能力的發展，國小一、二、三年級學童男女間在統計上沒有顯著差異。(三)接受守恆概念教學的實驗組，前後測達到守恆概念的人數經過統計上的卡方考驗，達到統計上的顯著差異。由此可以看出，透過教學實驗活動確實能對實驗組學童的守恆概念，產生了積極正向的影響。(四)教學活動對性別的學習成效上，在統計上並沒有顯著差異。 (五)經過教學後，學童思考型態漸趨多元化，推理能力也更加進步。守恆概念的教學對實驗組學童認知結構的發展，造成正向的影響。張淑怡 (2004) 採用調查研究法，藉由紙筆測驗、實作及訪談活動蒐集研究資料，探討國小五年級學童對於容量概念的了解情形及所呈現之迷思概念的研究發現：(一)在容量的初步概念部分，國小五年級學童已具備直觀比較之能力，且能了解容器的容量及容器中所盛液量兩者的定義及差異，但對於容器的概念，尚有約八成的學童概念並不清楚。(二)在容量的保留概念部分，國小五年級尚有 25﹪的學童不具備穩固的容量保留概念，缺乏相互性的邏輯運思能力。(三)在容量的測量概念部分，國小五年級學童已能掌握普遍單位間的大小關係，且具備經由點數及合成求得容量大小的能力，但缺乏單位換算的能力。(四)在容量的估測概念部分，國小五年級尚有約 35﹪的學童量感不足，而估測策略除憑藉量感外，多以「單位」作為判斷標準。(五)在容量的估測及實測實作表現部分，國小五年級學童普遍量感不足且缺乏靈活有效的估量策略，而固體物品的估測表現亦比液體差。在實測活動中，學童不能警覺量杯單位與答題單位之間的差異。. 15.

(24) 在日常生活中，可以發現分數是很常使用的重要概念，無論國內外的研究報告都指出兒童在分數的學習上是困難的 (林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；Hunting, 1983)。陳明宏和呂玉琴 (2005) 指出分數概念含有眾多的子概念，如：等分概念、單位量概念等，而這些子概念又牽涉「連續量」與「離散量」的不同情境。學童在學習分數時，雖然花了很長的時間來學習，學習效果卻不好，部分學童在處理分數問題時，存在著許多迷思概念，如判斷是不是平分、內容物和單位量的單位辭混淆等問題。因此其研究採用教學實驗法，將實驗組採用診斷教學，控制組採用小組討論式教學，對國小四年級學童進行分數概念教學，以探討分數概念診斷教學的成效。研究結果發現：診斷教學法能製造學童的認知衝突，進而達到概念澄清與糾正的效果，有效改善學童的分數迷思概念。小數的概念起源於測量和分數的部分全體關係，其計數系統又是從整數的十進位制擴充而來。由於小數的概念既抽象又複雜，導致學童在學習小數概念時的表現並不理想，且極易產生迷思概念。在我國的數學學習教材中，小數的學習是在整數和分數之後，其相關內容分布在三至六年級，小數與整數和分數間既有相同之點，又有相異之處 (劉曼麗，2005；Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989)。Resnick et al. (1989) 指出小數與整數以及小數與分數的不同處，正是干擾學童建構小數概念的原因，如果學童的理解不夠，就極易產生整數法則的迷思概念。為促進學童小數概念的學習，Hiebert and Wearne (1988) 提出小數學習的四個階段：連結、發展、精緻與熟練、抽象，並指出唯有透過每個階段的完全發展，才是真正的小數概念學習。Bell (1993) 指出教師在教學時，若能針對學童出現的迷思概念，提供診斷教學策略，設計能引起認知衝突的活動，使學童察覺、承認自己的錯誤，進而調整其原有的認知，將有效地根除學童的迷思概念。因此劉曼麗 (2005) 以林福來 (1999) 所提出的診斷教學三步驟，即「診斷迷思概念」、「製造認知衝突」及「調整認知」為主軸，融入正規的小數教學：「教師布題—學童解題—溝通討論—質疑辯證—形成共識—再布題檢驗」中，探討小數診斷教學. 16.

(25) 的實施情形與學童在迷思概念的改變情形。支毅君 (1996) 以三年時間進行國小學童估算概念及態度之收集、估算教學之實驗，探討我國國小學童的估算概念之發展及估算教學。根據所得之資料，發現國小及國中生幾乎都沒有使用「大約」值的經驗，少數的經驗是驗算作業；考試時是「再算一遍」來驗算；使用電子計算機時，是「再按一遍」或「反著算」來驗算，均不是使用估算。受訪學童均知道「大概」、「大約」的意義，同時也能舉出同義字「差不多」、「接近」、「可能」、「近似」、「或許」等。唯一困擾的名詞是「合理」；許多國小學童認為「合理」就是「正確答案」，這種想法低年級尤多。研究中亦發現即使沒有時間的壓力，估算仍然可能發生，而使用估算的意願，似乎與習慣有關，受訪者的估算方法隨著題型改變。估算能力似乎可以分成下列層次：了解「估算」的意義及名詞、知道何時可以使用估算來解題、能夠得到合理的估算值、使用適當的估算方法、能夠視數值的特色使用不同的估算方法以及能判斷何者是最好的估算方法。有關數與量的相關研究，一直是國內外學者的研究重點，以上所述僅為數與量相關研究中的ㄧ小部分，然而這些研究主題幾乎只偏重數與量中的某一子題做探討，較少針對年級整體之數與量分年細目概念做全面性探究；在研究方法上，大多以傳統紙筆測驗、問卷調查和個別晤談等敘述性分析為主，以了解學童的迷思概念、解題策略或概念發展的情形，這樣的方法有其研究貢獻，但往往需要耗費大量的時間、人力及物力，且對於學童整體性的概念結構探究較顯不足。因此，本研究以國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域之二年級數與量分年細目概念為主題，應用模糊取向的詮釋結構模式分析法，幫助教師快速且完整的了解國小二年級學童在數與量分年細目概念的認知結構，以即時修正教學的方法和重點，協助學童解決學習上的困境，進而提供教師進行認知診斷、補救教學與課程設計之參考。. 17.

(26) 第二節試題反應理論測驗理論 (test theory) 是一種解釋測驗資料間實證關係 (empirical relationships) 之有系統的理論。測驗理論學者通常將之劃分成二大學派：一為古典測驗理論 (classical test theory, 簡稱 CTT) —主要是以真實分數模式 (true score model) 為骨幹；另一為當代測驗理論 (modern test theory) —主要是以試題反應理論 (item response theory, 簡稱 IRT) 為架構 (余民寧，1991)。古典測驗理論依據弱勢假設 (weak assumption) 而來，採用的計算公式淺顯易懂，適用於大部分的教育與心理測驗資料，以及社會科學資料的分析。然而，古典測驗理論具有諸項先天上的缺失 (王寶墉，1995；Guion & Ironson, 1983; Hambleton & Swaminathan, 1985)，如：抽樣變動大、能力難比較、複本 (parallel forms) 難實施、缺乏預測力、等測量標準誤 (standard error of measurement)、忽略受試者的試題反應組型 (item response pattern) 等。為了克服古典測驗理論的缺失，因此才有試題反應理論的誕生。試題反應理論係依據強勢假設 (strong assumption) 而來，是一立論與假設均屬合理且嚴謹的學說。有關試題反應理論的重點，茲說明如下：. 壹、基本概念試題反應理論建立在兩個基本概念上 (余民寧，1992a)：一、考生 (examinee) 在某一測驗試題上的表現情形，可由一組因素來加以預測或解釋，這組因素叫作潛在特質 (latent trait) 或能力 (ability)。二、考生的表現情形與這組潛在特質間的關係，可透過一條連續性遞增的函數來加以詮釋，這個函數叫作試題特徵曲線 (item characteristic curve, 簡稱 ICC)。試題特徵曲線即是某種潛在特質的程度與其在某一試題上正確反應的機率，兩者之間的關係。這種潛在特質的程度越高，即代表考生在某一試題上的正確反應機率也越大。. 18.

(27) 貳、基本假設試題反應理論具有下列幾項基本假設，只有在這些假設都成立的前提下，試題反應模式才能用來分析所有的測驗資料 (余民寧，1992a；Embretson & Reise, 2000; Hambleton & Swaminathan, 1985)：一、單向度 (unidimensionality) 所謂單向度的假設是指測驗中的各個試題都測量到同一種共同的能力或潛在特質，然而實際的測驗情境裡，考生在測驗上的表現情形也會被其他因素如：成就動機、答題技巧、人格特質等影響。因此，試題反應理論中對測驗必須具有單向度因素的基本看法，認為只要該測驗具有能夠影響測驗結果的一個「主要成分或因素」 (dominant component or factor)，即符合單向度假設的基本要求。二、局部獨立性 (local independence) 當影響測驗表現的能力被固定不變時，考生在任何一道試題上的反應，以統計學而言是獨立的；換言之，在考慮考生的能力因素後，考生在不同試題上的反應間沒有任何關係存在。三、非速度測驗 (non-speeded test) 測驗的實施不是在速度限制的情況下完成的；換言之，考生的答題表現，是由於自身能力所決定，而不是由於時間因素所造成。四、知道—正確假設 (know-correct assumption) 若考生知道某一試題的正確答案，他必然會答對該試題；換言之，考生不會發生知道某一試題的答案，卻故意答錯或不作答的情況。. 參、基本的試題反應模式試題特徵曲線是用來描述測驗所欲測量的潛在特質，與其在試題上正確反應之機率間的一種數學關係，因此，每一種關係就有其相對應的一條試題特徵曲線. 19.

(28) 存在，亦即每一種試題反應模式都是用來描述特質與正確反應機率間的關係。常用的試題反應模式有三種，每一種模式都依其所採用的試題參數之數目多寡來命名，都僅適用於二元化 (即正確反應者登錄為 1，錯誤反應者登錄為 0 的資料) 的反應模式 (余民寧，1992b)。三種常用的試題反應模式如下：一、單參數對數模式 (one-parameter logistic model, 簡稱 1-PL) Pi (θ ) =. 1 1 + e −(θ −bi ). i = 1,2,3, L , n. (公式 2-2-1). 在公式 2-2-1 中， Pi (θ ) 表示能力值為 θ 的考生答對試題 i 的機率； bi 表示試題 i 的難度參數； e 表示以 2.718 為底的指數； n 表示測驗的試題總數。在單參數對數模式中，只有一個試題參數，即難度參數 bi 。當考生的能力值大於試題 i 的難度參數時 (即 θ − bi > 0 )，答對機率 Pi (θ ) 大於.5；當考生的能力值與試題 i 的難度參數相等時 (即 θ − bi = 0 )，答對機率 Pi (θ ) 等於.5；當考生的能力值小於試題 i 的難度參數時 (即 θ − bi < 0 )，答對機率 Pi (θ ) 小於.5。換言之，想要答對越困難的試題時，考生所須具備的能力值也要越高。理論上，b 值的大小介於 ± ∞ 之間，但實際應用上，通常只取 ± 2 之間的範圍。 b 值越大表示試題越困難； b 值越小表示試題越簡單。. 二、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model, 簡稱 2-PL) Pi (θ ) =. 1. 1+ e. − ai (θ −bi ). i = 1,2,3, L , n. (公式 2-2-2). 在公式 2-2-2 中，各符號的定義與公式 2-2-1 相同，唯多了一個參數：試題鑑別度 (item discrimination) ai ， ai 表示試題 i 的鑑別度參數。在雙參數對數模式中，有二個試題參數，即鑑別度參數 ai 和難度參數 bi 。理論上， a 值的大小介於 ± ∞ 之間，但實際應用上，通常只取 0 到 + 2 之間的範圍。 a 值越大表示試題越能區辨出考生能力值的高低；反之則否。. 20.

(29) 三、三參數對數模式 (three-parameter logistic model, 簡稱 3-PL) Pi (θ ) = ci + (1 − ci ). 1. 1+ e. i = 1,2,3, L , n. − a i (θ − bi ). (公式 2-2-3). 在公式 2-2-3 中，各符號的定義與公式 2-2-2 相同，唯多了一個參數：猜測度 ci， ci 表示試題 i 的猜測度參數。此參數代表能力值很低的考生答對某試題的機率。在. 理想的情況下，試題的猜測度 c 值應該為 0，但往往因為測驗的題型所致，無法完全杜絕考生產生猜測的行為，因此，三參數對數模式較雙參數對數模式多了一個參數 ci ，即把低能力值考生的表現好壞因素也考慮到模式裡。應用試題反應理論的方法來分析測驗資料的首要步驟，是估計我們所選用的試題反應模式之參數。有了滿意的模式參數估計方法，整個試題反應理論的應用，才不致有濫用與誤用的情況產生 (余民寧，1992c)。隨著近年來人類在電腦科技發展上的突飛猛進，各種適用於試題反應理論的電腦軟體程式相繼誕生，其中最常用的程式是 BILOG 和 LOGIST 等 (余民寧，1991)。因此，本研究即應用試題反應理論軟體 BILOG-MG，根據受試者的原始作答反應資料，進行模式適合度 (model-data fit) 檢定，期能找出最適合用以說明本測驗的試題反應模式。. 21.

(30) 第三節模糊理論壹、模糊理論之意涵「模糊」一詞，有「不分明」、「不明確」、「界限不清」之意 (九章出版社編輯部，1989)。Zimmermann (1991) 認為事物的模糊性可分為本質上的模糊和資訊上的模糊兩種，前者常隨著情境的不同而有所差異，後者則因資訊的不足或內容的模糊所造成。自從 Zadeh (1965) 提出模糊理論 (fuzzy theory) 以來，打破了古典集合 (classical set) 以二元邏輯 (binary logic) —0 和 1 兩種選擇的方式描述現象，而改用其值介於[0,1]之間的隸屬度 (membership) 觀點來描述元素和集合之間的關係。此思維可以解釋許多實務現象，有越來越多的研究證實了模糊理論在實務應用上的價值 (林原宏，2001)。隸屬度函數 (membership function) 是模糊理論最基本的概念，它不僅可以描述模糊集合的性質，更可以對模糊集合進行量化，並且利用精確的數學方法，來分析處理人類模糊的資訊。隸屬度函數可分為離散型 (discrete type) 與連續型 (continuous type) 兩種。離散型的隸屬度函數是直接給予有限模糊集合內每個元素的隸屬度，並以向量的形式表現出來；連續型的隸屬度函數則有幾種常用的函數形式 (S-函數、Z-函數、π-函數、三角形函數、梯形函數、高斯函數) 來描述模糊集合 (吳柏林，2005)。有關模糊隸屬度函數和 α 截集 ( α -cut) 的定義如下 (林原宏，2001)：【定義一】令 U 為一論域 (universal set)， u 為一對應到[0,1]之間的實數函數，即 u : U → [0,1] ，則 U 之模糊子集 A 的隸屬度函數記為 uA( x ) ，表示元素 x. 隸屬於模糊集合 A 的程度。（一）在離散 (discrete) 的情形下，模糊集合 A 可表示為： A=. uA( x1) uA( x 2 ) uA( xn ) + + ... + x1 x2 xn. 22.

(31) （二）在連續 (continuous) 的情形下，模糊集合 A 可表示為： uA( x) x∈U x. A=∫. 【定義二】 α 截集是把模糊集合 (fuzzy set) 轉換為明確集合 (crisp set)，模糊集合 A 的 α 截集定義為： Aα = {x uA( x ) ≥ α }. , 0 ≤α ≤ 1. A 的 α 截集的隸屬度函數 uAα (x ) 為： ⎧1 , uA( x ) ≥ α uAα ( x ) = ⎨ ⎩0 , uA( x ) < α. 本質上，模糊理論和機率理論都是研究不確定性的問題 (Zimmermann, 1991)。然而模糊理論與機率理論二者之間仍存在著某些相同和相異之處，若將模糊理論與機率理論加以比較，可綜合如表 2-3-1 所示 (林原宏，2001)：表 2-3-1 模糊理論與機率理論的比較項目模糊理論理論基礎可能性 (possibility) 以可能性 (possibility) 來表示目的發生後的不確定性，可以經由模糊測度函數表示具事後觀點，模糊是指發生後仍性質有不確定性數值 [0,1]之間的隸屬度值聯集運算取最大值交集運算取最小值. 23. 機率理論機率性 (probability) 以機率性 (probability) 來表示發生前的不確定性，可以經由機率測度函數表示具事前觀點，機率是指發生前不確定性，但發生後即確定 [0,1]之間的機率值採用加法採用乘法.

(32) 模糊理論的觀點與方法，經過四十多年來各學術領域的擴展與應用，儼然成為工程、人工智慧、統計等領域重要的方法論基礎。近年來更廣受社會科學、教育與心理學等領域的重視和應用，這是複雜的人文社會現象無法以傳統數值模型解釋的一種發展結果 (吳柏林，1996)。相對於傳統明確數值的運算，模糊理論的數值運算被稱為軟運算 (soft computing)，軟運算的擴張仍是當前模糊理論的探討問題。. 貳、模糊關係矩陣與模糊關係截矩陣一、模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 的定義兩個集合元素之間的相似程度，可用模糊關係矩陣來表示。假設集合 X 有 m 個元素，集合 Y 有 n 個元素，則兩個集合的關係，可以由 X 至 Y 的模糊關係矩陣 R 定義為： ⎡ r11 L r1n ⎤ R = ⎢ M L M ⎥ = ( rij ) m × n ，其中 0 ≤ rij ≤ 1 且 rij = uR ( x, y ) : X × Y → [0,1] ⎢ ⎥ ⎢⎣ rm1 L rmn ⎥⎦. 二、模糊關係截矩陣在給定 α 值的情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算。亦即：. R α = ( rijα ) m × n. ⎧1 , rij ≥ α ⎪⎪ 且 rijα = ⎨ ⎪ ⎪⎩0 , rij < α. 24. ，. 其中. 0 ≤α ≤1.

(33) 參、察覺的模糊邏輯模式察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, 簡稱 FLMP) 係描述心理運作過程中，在某些向度因子組合下，判斷各刺激 (stimulus) 的特徵之組合，其與典型 (prototype) T 之間的符合機率程度 (Massaro & Cohen, 1993)。假設在二因子向度 C 與 O 的組合下，其中 C 有 I 個水準且 O 有 J 個水準，並以 C = {C1 , C 2 , L , C I } 及 O = {O1 , O2 ,L , O J } 表示。 Ci 與 O j 所對應的模糊真實值 (fuzzy. truth value) 分別為 ci 與 o j ，且 0 ≤ ci , o j ≤ 1 。所謂模糊真實值 ci 與 o j ，係分別表示 Ci 與 O j 支持典型 T 的程度。根據 Luce (1959) 的選擇規則 (choice rule) 觀點及根. 據相對適合度準則 (relative goodness rule，簡稱 RGR)， (Ci , O j ) 被歸為典型 T 的機率為 (Massaro & Friedman, 1990)：. p (c i , o j ) =. ci o j ci o j + (1 − ci )(1 − o j ). 察覺的模糊邏輯模式常被應用於人類訊息處理領域，甚至被拿來和其他模式做比較。一般而言，察覺的模糊邏輯模式在心理運作或資料分析的過程包含特徵評鑑 (feature evaluation)、特徵整合 (feature integration) 和組型分類 (pattern classification) 三個訊息處理階段。有關察覺的模糊邏輯模式在心理學的實證應用為數不少，例如：Massaro (1987) 視覺與聽覺刺激的口語研究，以及 Oden (1979) 和 Massaro and Hary (1986) 的字母辨識研究等方面，Crowther, Batchelder, and Hu (1995) 從數學的性質導出察覺的模糊邏輯模式與心理測驗的 Rasch 模式是等價的，亦即兩種模式是相通的，但仍各具特色 (Fisher, 1995)。. 25.

(34) 第四節模糊集群分析壹、集群分析之意涵集群分析 (cluster analysis) 又稱聚類分析，是一種數值分析方法，有別於傳統以事先決定的準則為分類方法，集群分析是按照自然類別 (nature grouping)，將分布於某一計量空間的點予以分類 (黃俊英，2000)。其主要目的是根據元素之間的類似或相似程度加以分類，相似程度高的元素會被歸類為同一個集群；也就是希望集群內的元素具有高度的同質性 (homogeneity)，而集群間的元素具有高度的異質性 (heterogeneity) (林邦傑，1981；林清山，1985)。傳統的集群分析常以「距離」 (distance) 來表示元素之間的相似度 (similarity)，而距離的定義方式頗多，如歐氏距離 (Euclidean distance)、明可夫斯基距離 (Minkowski distance)、馬氏距離 (Mahalanobis distance) 等。而依其目的之不同，又可區分為階層集群分析 (hierarchical clustering method) 和非階層集群分析 (non-hierarchical clustering method) 兩大類 (林原宏，1996；張健邦，1993； Everitt, 1993; Johnson & Wichenn, 1992)。常見的做法，是先進行階層集群分析以決定群數，而後再進行非階層集群分析以進行分類。階層集群分析基本上可分為分裂法 (division method) 和凝聚法 (agglomerative method)，一般較常見的是凝聚法；而非階層集群分析則是以 k 平均法 (k-means) 較為常見 (Everitt, 1993)。結合集群分析和模糊理論的概念，即為模糊集群分析 (藎壚，1991；Kaufman & Rousseeuw, 1990)。. 貳、模糊集群分析 Dunn 和 Bezdek 在 1974 年時，首先提出將模糊理論應用於集群分析上。而模糊集群分析 (fuzzy cluster analysis) 即是把模糊理論的隸屬度觀點融入集群分析 (Fu, 1998; Yang & Wu, 2006)。在模糊集群分析中，元素與集合的隸屬度被用來決定. 26.

(35) 距離的計算 (Yang & Shih, 2001)。由於模糊集群分析考慮隸屬度，所以統計學上的集群分析常被稱之為硬分類 (hard classification)，而模糊集群分析則被稱之為軟分類 (soft classification) (林原宏，2007)。根據模糊理論所進行的集群分析方法很多，常見的有目標函數法 (objective function)、 α 截矩陣法 ( α -cut) 以及最大樹法 (maximum tree method) 三種，其方法、特性與計算方式分別說明如下：一、目標函數法 (objective function) 目標函數法是應用性很廣的方法，適用於大樣本資料，可描述每位個體的隸屬度，但它不具階層性的特質 (Bezdek, 1973, 1974, 1981; Dunn, 1974)。目標函數是非線性最佳化 (non-linear optimality) 的數學規劃方法，Bezdek (1981) 是提出此分析方法的重要人物。其後，致力於此領域的研究者已導出多種不同的目標函數 (Kamimura & Kurano, 2001)，但基本的原理原則是不變的。目標函數的分析過程簡述如下 (林原宏，2005b)：【步驟一】假設欲分析之個體有 N 位，以 n = 1,2,3,L, N 表示，每位個體有 M 個變項，以 m = 1,2,3,L, M 表示，則已知的資料矩陣表示如下： ⎡ x11 x12 L x1M ⎤ ⎢ ⎥ x 21 x 22 L x 2 M ⎥ ⎢ X = = ( xnm )N × M M M M ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ ⎣ x N 1 x N 2 L x NM ⎦. 【步驟二】在 C 個類別 ( C ≥ 2 ) 下，令個體 n 隸屬於集群 c 的隸屬度為 ucn ，則未知的隸屬度矩陣為： ⎡ u11 u12 L u1N ⎤ ⎢ ⎥ u21 u22 L u2 N ⎥ ⎢ U= = (ucn )C × N M M M ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ ⎣uC1 uC 2 L uCN ⎦. 27.

(36) 【步驟三】未知的各集群中心矩陣為： ⎡ v11 v12 L v1M ⎤ ⎢ ⎥ v 21 v 22 L v 2 M ⎥ ⎢ V = = (vcm )C × M ⎢ M M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣v C1 v C 2 L v CM ⎦. 【步驟四】定義一個目標函數，根據此目標函數求其極小值。在目標函數法中，有數種定義方式，不同的目標函數定義，會衍生出不同演算的模糊集群分析。目前使用最廣，且相當基本的方式定義如下 (Bezdek, 1981)： N. C. M. Jq (U ,V ) = ∑∑ (u cn) q d 2 (c, n) ，其中 d 2 (c, n) = ∑ ( x nm − v cm) 2 n =1 c =1. m =1. q 值為大於或等於 1 的實數，表示資料的模糊度。 q 值影響隸屬度的. 值，當 q 值愈大，則分割越模糊；q 值愈小，則分割越明確 (Zimmermann, 1991)。 q 值在經驗上取 [1.25, 5] 較佳。Bezdek 取 q = 2 ，並且從研究中證實 (Pal & Bezdek, 1995)。以最小平方法 (least square method) 之準則，使用 Lagrange’s multipliers 方法，求 J q (U ,V ) 之極小值，結果如下： u cn =. 1 C. d 2 ( c, n ). ∑( d l =1. 2. (l , n ). N. v cm =. ∑ (u. cn. ). 1 q −1. (公式 2-4-1). q ) ( x nm ). n =1. (公式 2-4-2). N. ∑ (u. cn. ). q. n =1. 【步驟五】利用公式 2-4-1 和公式 2-4-2 進行迭代運算，設 ε 為收斂的標準，當第 t 次和第 t + 1 次循環運算的結果同時滿足下列兩個不等式時，則 ucn、vcn. 已達收斂，可得最後運算結果。. 28.

(37) ( t +1) (t ) ucn − ucn < ε. ， ∀n = 1,2,3, L , N. ,. c = 1,2,3, L , C. ( t +1) (t ) v cm − v cm < ε. ， ∀m = 1,2,3,L, M. ,. c = 1,2,3,L, C. 【步驟六】以上步驟是在集群數為 C 的情形下，計算 ucn 、 vcn 的數值。至於集群數多少為佳，可依指標決定。使用較廣的指標有兩個 (Bezdek, 1981)，其說明如下：（一）分割係數 (partition coefficient)： F (U ; C ) =. 1 N C 2 (u cn) ∑∑ N n =1 c =1. 在實際應用中，當其較大值時，為較佳的集群數。（二）分割亂度 (partition entropy)： H (U ; C ) =. −1 N C ∑∑ ucnln(ucn) ， ∀ucn ≠ 0 N n =1 c =1. 在實際應用中，當其較小值時，為較佳的集群數。以上演算結果，在 U 矩陣中可獲得每個個體隸屬於每個集群的隸屬度 ucn ，在 V 矩陣中可獲得每個集群中心的變數值 vcn 。實際應用上，可依研究目的進行樣本. 歸類處理以及解釋集群中心的意義 (Roberts, 1997)。. 二、 α 截矩陣法 ( α -cut) α 截矩陣法適用於小樣本資料，雖無法表示出個體的隸屬度，但它具有階層. 性的優點。 α 截矩陣法的分析過程簡述如下 (林原宏，2007)：【步驟一】針對模糊集群內的 n 個元素，其模糊關係矩陣為： ⎡ r11 r12 L r1n ⎤ ⎥ ⎢ r 21 r 22 L r 2 n ⎥ ⎢ R= = (rij )m × n M M M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎣ r m1 r m 2 L r mn ⎦. 29.

(38) 【步驟二】欲進行 α 截矩陣法和最大樹法的模糊關係矩陣，必須滿足：（一） R 為模糊等價矩陣 (fuzzy equivalent matrix)，也就是 R 具備三個性質： 1. R 具有反身性 (reflectivity)，亦即 rij = 1 ， ∀i = 1,2,3, L , n ； 2. R 具有對稱性 (symmetry)，亦即 rij = rji ， ∀i ≠ j ； 3. R 具有傳遞性 (transitivity)，亦即 R o R ⊆ R 。（二）若 R 不為模糊等價矩陣，但僅具備反身性與對稱性 (一般的模糊關係矩陣)，則必須以傳遞閉包 (transitive closure) R* 進行 α 截矩陣法分析，此 R* 定義為 R1 ⊆ R 2 ⊆ R 3 ⊆ L = R * 。 R* 稱為相似矩陣 (similarity matrix)。. 【舉例說明】假設 A = ( x1, x 2, x3, x 4, x5) 的模糊關係矩陣為 (九章出版社編輯部，1989)： x1 ⎡ 1 x 2 ⎢0.4 ⎢ R = x 3 ⎢0.8 ⎢ x 4 ⎢0.5 x 5 ⎢⎣0.5. 0.4 1 0.4 0.4 0.4. 0.8 0.4 1 0.5 0.5. 0.5 0.4 0.5 1 0.6. 0.5⎤ 0.4⎥ ⎥ 0.5⎥ = ( rij )5 × 5 ⎥ 0.6⎥ 1 ⎥⎦. 這個模糊關係矩陣，可表示概念 (試題) x1, x 2, x3, x 4, x5 之間的相似程度。若取 α = 1 ，則凡是 rij = 1 者，其值改為 1，否則為 0。 x 1 ⎡1 x 2 ⎢0 ⎢ R1 = x 3 ⎢0 ⎢ x 4 ⎢0 x 5 ⎢⎣0. 0 1 0 0 0. 0 0 1 0 0. 0 0 0 1 0. 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ，分群結果為 {x1} 、 {x 2} 、 {x 3} 、 {x 4} 、 {x5} 。 ⎥ 0⎥ 1⎥⎦. 30.

(39) 取 α = 0.8 時，若 rij ≥ 0.8 ，則其值為 1，反之則為 0。 x 1 ⎡1 x 2 ⎢0 ⎢ R 0.8 = x 3 ⎢1 ⎢ x 4 ⎢0 x 5 ⎢⎣0. 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ，分群結果為 {x1, x 3} 、 {x 2} 、 {x 4} 、 {x5} 。 ⎥ 0⎥ 1⎥⎦. 0 1 0 0 0. 1 0 1 0 0. 0 0 0 1 0. 1 0 1 0 0. 0 0 0 1 1. x1 ⎡1 0⎤ ⎥ x 2 ⎢⎢0 0⎥ 0⎥ ， R0.5 = x3 ⎢1 ⎥ ⎢ x 4 ⎢1 1⎥ 1⎥⎦ x5 ⎢⎣1. 同理： x1 ⎡1 x 2 ⎢⎢0 R0.6 = x3 ⎢1 ⎢ x 4 ⎢0 x5 ⎢⎣0. 0 1 0 0 0. 0 1 0 0 0. 1 0 1 1 1. 1 0 1 1 1. x1 ⎡1 1⎤ ⎥ x 2 ⎢⎢1 0⎥ 1⎥ ， R 0.4 = x 3 ⎢1 ⎥ ⎢ x 4 ⎢1 1⎥ 1⎥⎦ x 5 ⎢⎣1. 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1. 1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥⎦. 當 α 值由 0 逐漸增至 1 時，其分群愈細。可將上述分群過程以圖繪方法表示，如圖 2-4-1 所示，則此時構成一個階層集群分析。. α值. x1. x3. x4. x5. x2. 集群數. 1. 5. 0.8. 4. 0.6. 3. 0.5. 2. 0.4. 1. 0. 1. 圖 2-4-1. α 截矩陣分群樹狀圖. 31.

(40) 三、最大樹法 (maximum tree method) 最大樹法適用於小樣本資料，可觀察出個體間的距離關係。 α 截矩陣法，是將元素逐步歸併，集群數逐漸變少，最後會形成一個大的集群。但有時，我們在進行分析之前，即希望分為固定個集群。此時，最大樹法便相當適用。最大樹法的資料分析可根據欲選取的群數，選擇 α 值以圖示分群結果。其分析過程舉例說明如下：【舉例說明】欲進行最大樹法的模糊關係矩陣，也須滿足前述 α 截矩陣的矩陣限制，同前例，假設： x1 ⎡ 1 x 2 ⎢⎢0.4 R = x3 ⎢0.8 ⎢ x 4 ⎢0.5 x5 ⎢⎣0.5. 0.4 1 0.4 0.4 0.4. 0.8 0.4 1 0.5 0.5. 0.5 0.4 0.5 1 0.6. 0.5⎤ 0.4⎥⎥ 0.5⎥ = (rij )5 × 5 ⎥ 0.6⎥ 1 ⎥⎦. 若我們希望將 A = ( x1, x 2, x3, x 4, x5) 分為 3 個集群。則可分析如下： x 1 ⎡1 x 2 ⎢0 ⎢ R 0.8 = x 3 ⎢1 ⎢ x 4 ⎢0 x 5 ⎢⎣0. 0 1 0 0 0. 1 0 1 0 0. 0 0 0 1 0. 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥⎦. 此時可得到 4 個樹如下，其中連結線段之數值，表示 α 值。. 0.8 x1. x3. x4. x5. 由於我們希望分為 3 個集群，因此可將 α 值變小。. 32. x2.

(41) x1 ⎡1 x 2 ⎢⎢0 R 0.6 = x 3 ⎢1 ⎢ x 4 ⎢0 x 5 ⎢⎣0. 0 1 0 0 0. 1 0 1 0 0. 0 0 0 1 1. 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥⎦. 此時，可得到 3 個樹如下，如此便達到我們的目的。. 0.8 x1. 0.6 x3. x4. x5. x2. 以上三種模糊集群分析方法，近幾年來廣泛的應用於社會科學方面的研究，研究者可依據研究目的與資料特性，選擇適合的方法使用。. 參、模糊集群分析的相關研究在理論方面，柯政秀 (1994) 將模糊集群應用於模糊迴歸分析中，以克服模糊迴歸模型中異質變異性的問題。楊敏生 (1994) 針對模糊集群，分析最大概似估算的 EM 演算、模糊集群演算及刑罰形模糊集群演算這三種演算法之優劣，提供了基本演算法的準則。黃國亮 (1995) 說明模糊理論應用於集群分析之理論架構及判斷法則。劉大緯和王小璠 (1998) 提供了一個在 h-切割下之區間來進行聚類的方法，結果發現此方法不僅可提供模糊資料最均質之聚類情形，也可以了解在其他 h 值下的各種聚類情形。黃孝雲 (1999) 以電腦程式針對呈二維混合常態分配的資料進行電腦模擬示例，比較 IPFCM 法、PFCM 法、FCM 法及 FCM-EM 法在多種情況下參數估計精確度及分群正確率上的優劣，提供研究者在處理有限混合分配問題時，選擇適當集群分析法的依據。 Gath and Geva (1989) 結合模糊集群理論和最大概似估計法，提出了模糊最大概似估計 (fuzzy maximum likelihood estimation) 之二階段演算法，第一階段為一般之模糊集群分析，第二階段是根據第一階段的結果，作為最大概似估計法的. 33.

(42) 起點。此外，其研究中亦提出各種衡量適當分割數目的指標。Law (1996, 1997) 和 Yen (1996) 利用模糊隸屬度函數的定義關係，建立數學教育指標系統。Perdikaris (1996) 鑑於 van Hiele 幾何認知發展模式層次的分類相當粗略，利用模糊集合隸屬度函數理論建立出 van Hiele 幾何認知發展模式。Wang and Bell (1996) 以高中及大學生為研究對象，利用模糊集群進行多因子評鑑 (multifactorical evaluation)，探討有關解決物理問題所需的想像力之研究，結果發現效果良好。在實務應用方面，張鈿富和孫慶珉 (1993) 就模糊理論及其測度運算、模糊集合概念、隸屬度函數之估計以及模糊集合與模糊測度運算之概念，來討論學習成就模糊分析之可能性。研究中比較目前國中生學習評量與模糊的學習評量效果之不同，並列舉模糊綜合學習評量、單科模糊學習評量及其逆問題，以供決策者訂定評量模式之參考。薛道隆 (1993) 利用 FCM 演算法及兩階段集群分析法 (傳統互斥集群分析)，分別對高雄市大專學生電子字典之消費市場進行市場區隔，研究結果發現在市場區隔的實證中，模糊集群分析不但能完成互斥分群的工作，且經由隸屬度提供了一些傳統互斥集群分析所無法傳達的訊息。吳光耀 (1993) 指出在分類過程中，族群的界定常具有不確定的特性，而聚類分析法正是解決此領域問題時，主要的一種科學方法。因此，其研究分為兩部分，第一部分是建立一個雙目標數學規劃的模式，即 FCM 與 FMLP，以符合聚類分析法的需要；第二部是建立一套有系統的整合流程，範圍從抽樣到鑑識分類，來完成聚類分析法，以台灣靈芝樣本作實際上的測試，驗證了雙目標分類模式確實符合研究擬改善的目標。溫坤禮 (1994) 利用模糊集群分析對汽車做自動識別及監控，其研究中根據定義之特徵值，對汽車影像以集群分析中之貼近度法加以分類，達到自動分類之要求。其次，利用 C 語言將所提出之模糊數學模式加以程式化，以驅動系統之所有行為，因此在使用上可達成系統柔軟性及具有系統參數的易更改性。李名昌 (1994) 利用模糊聚類分析方法進行記點點數配置，期能找出適合我. 34.

(43) 國國情之記點制度，以研擬處罰措施。結果發現模糊集群分析，可以反應實際交通危害狀況，且符合法規處罰之公平性與合理性，足供我國未來修正交通違規記點制度之參考。林志聰 (1997) 針對台灣地區上市、上櫃的商業銀行及中小企業銀行的經營績效為例進行分類，以尋求最佳投資銀行。樓邦儒和賈立人 (2000) 以台灣 26 個測站 30 年的氣候基本資料，應用模糊集群分析考量六項變因：最低氣候、最高氣候、相對溼度、年平均雨日數、年平均溫度與平均降雨量，建立模糊氣候分類模式，並比較台灣柯本 (Köppen, W) 氣候分類與模糊氣候分類之間的差異及適用性。朱國明 (2001) 以新的模糊集群分析法建構市場區隔，再利用模糊產品區隔與建商資源整合觀念，發展產品分類評估模式，透過線上分析系統，以提供建商能快速的回應市場的變動，作為建設公司推案產品之規劃及評估之依據。其模糊集群演算法乃建構在 Bezdek (1981) 所提出的 FCM 演算法，以所對應的距離來衡量資料點彼此間的相關性，再結合 Fukuyama and Sugeno (1989) 提出選擇最適集群半徑的集群性能指標函數，以作為分群數目的決定與分群有效性的衡量。透過模式可分析不同產品組群之差異及結構狀況，此外亦可呈現市場規模大小的動態性，提供業者針對其目標市場，擬定動態產品區隔差異化的行銷策略。劉仲原、方國定和施雅月 (2003) 在競爭性市場結構分析的研究中，納入消費者從事購買行動電話前的刪除和歸類行為現象，藉由消費者所認知的各個產品或品牌間的相似性，採用模糊集群方法中的 Fuzzy C-Means 演算法，建立競爭性市場結構，並且計算消費者對於產品轉換的忠誠度，作為研擬行銷策略之參考。上述研究為模糊集群分析應用於各領域之可行性提供了具體的例證。在教學過程中，教師若能依據學童的學習結果予以分群，將有利於教師進行補救教學。因此，本研究使用 Bezdek (1981) 的目標函數法，選取收斂標準為 10 -5 、 q = 2 ，應用模糊集群分析軟體 fcut (林原宏，2003) 將學童分群，期能找出較佳的集群數，以作為教師進行補救教學的參考依據。. 35.