本章分成兩節，第一節就本研究所獲得結果，關於視覺型兒童、觸覺型兒童 在半結構性實測訪談、紙筆測驗及三角形概念的瞭解做一綜合歸納與比較，並提 出兩種類型兒童在三角形概念的瞭解情形及其差異；第二節則在反省本研究的歷 程，並依據反省結果提出對研究方法、後續待研究問題的建議。
第一節 結論
本節主要依據第四章的研究結果，綜合提出視覺型、觸覺型兒童在三角形繪 製、辨識、分類、觸覺感知等四段活動與訪談中的具體表現，並比較兩種類型兒 童的差異，歸納後提出四位研究對象在van Hiele 幾何思考層次發展的特質；同 時在Duval 理論的基礎上，提出這四位個案在知覺性、操弄性、構圖性、論述性 的概念瞭解情形，並做兩種類型間的比較，以說明兩種類型兒童在上述概念瞭解 情形的差異。根據第四章的研究結果，提出視覺型、觸覺型兒童的概念活動如下：
壹、視覺型、觸覺型兒童在三角形繪製部分的表現與比較
一、視覺型兒童小靜、德育在三角形圖形繪製部份的概念瞭解情形：
視覺型兒童小靜，已能夠運用直尺作圖，畫出「正三角形」、「直角三角形」、
「等腰三角形」等圖形，並能夠說出「高」的性質為「通過底邊的中心線且垂直 於底邊」；但也發現，複製後的圖形經過旋轉，小靜就認為「不是原來的圖形」，
顯見小靜欠缺圖形的保留概念，而另外在進行三角形繪製的訪談部份，發現小靜 在區別不同的三角形時，主要是從「邊長」、「高」、「對稱」、「直角」等條件進行 比較，而沒有考慮到「角度大小」（鈍角、銳角）的條件。
另一位視覺型兒童德育在三角形圖形繪製部份，採取徒手作圖的方式，一共 畫出了 19 種他認為不同的三角形，這些圖形均具有封閉性、及三個直的邊、三 個尖的頂點的特徵；在繪製的過程中，發現德育採取的策略分別是以改變圖形的
「邊長」、「角度」、「大小」、「朝向」等條件，藉以造出不同的三角形；在德育所
畫出的 19 種圖形中，有六個直角三角形，德育均能清楚的指出直角的位置，並 且說明直角就是垂直九十度的角。為了進一步確認德育在判定不同三角形的條件 時，是否受到「方向性」的影響，所以採取複製再製圖形的策略進行確認，結果 發現：德育對相同的三角形經過再製旋轉後，就會認為是不同的三角形。另外發 現德育也畫出了具有二邊等長特徵的「對稱的三角形」，但德育並沒有用「等腰 三角形」的名稱來稱呼它。
二、觸覺型兒童小茂、小明在三角形圖形繪製部份的概念瞭解情形：
觸覺型兒童小茂在三角形認知發展上有許多概念是以片斷印象造成含糊不 清或是一知半解的情況，小茂一共畫出了五種不同的三角形，五個圖形均具有「封 閉」的特性，小茂畫出的第一個圖形是正三角形，接著小茂以改變頂角角度的策 略造出第二個不同的三角形，小茂認為正三角形必須有「九十度的角」，而第二 個圖形的頂角大約只有六、七十度；小茂採取「改變朝向」的策略畫出第三、第 四個圖形，第五個圖形小茂則是將底邊畫成了內凹的弧線；另外也由圖形再製旋 轉的方式，確認小茂對圖形欠缺保留概念。
另一位觸覺型兒童小明在繪製三角形時，則是以「改變三角形的邊長」的方 式畫出不同種類的三角形，雖然他也畫出了「鈍角」、「銳角」的三角形，卻不是 以「角度」這個因素來思考所畫出的圖形；並且小明還停留在以外形特徵作為命 名的方式：如「細長的三角形」、「扁的三角形」等。
三、視覺型、觸覺型兒童在三角形繪製部分的比較
比較四位兒童的案例，發現在三角形繪製部分的訪談，視覺型、觸覺型兒童 表現的共同點為：（1）所畫出來的圖形均具有「封閉」的特性。（2）四個個案對 於一個圖形經過複製旋轉後，均認為是不同的圖形。（3）四個個案所畫出來的第 一個圖形，均為正三角形，或接近正三角形。
另外視覺型與觸覺型兒童所表現出來的差異點，則在於視覺型兒童較能掌握 圖形內含的幾何性質進行造圖形的活動，例如視覺型兒童小靜（小六）依據「垂
直」、「對稱」等性質，畫出了「直角三角形」、「等腰三角形」、「沒有對稱的三角 形」；德育（小五）依據「邊長」、「直角」、「角度變化」、「朝向」、「大小」等條 件畫出了直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等 19 種圖形；觸覺型兒童則較 依賴圖形外在形貌的特徵：如「外型」、「邊長」、「朝向」等條件進行思考繪製。
對照 Fuys 所提出 van Hiele 幾何思考各層次特質結果：視覺型兒童小靜已接近 層次三理論層次的水準、德育則符合層次二描述層次的特質，朝層次三發展；觸 覺型兒童小茂尚停留在層次一視覺層次的水準、小明則符合層次一視覺層次的特 質，朝層次二描述層次發展。
貳、視覺型、觸覺型兒童在三角形辨識部分的表現與比較
一、視覺型兒童小靜、德育在三角形圖形辨識部份的瞭解情形：
視覺型兒童小靜能夠依據三角形的要件將圖形準確的判定出來，非三角形的 部份也能夠完全的予以排除，並且小靜能夠以幾何的性質分別陳述理由；如小靜 認為三角形的條件必須是「有三個邊」、「三個角」的封閉圖形，「三角形的內角 和是 180 度」；對角的定義則是「由兩條直的邊所組成」，「只要有一邊是彎曲的 就不是角」。而被排除在三角形之外的理由包括：「非封閉圖形」、「四邊以上的多 邊形」、「沒有角（圓角）」、「彎曲、扭曲、外突、內凹、圓弧的邊」。
另一位視覺型兒童德育能夠依據三角形的條件將圖形準確的判定出來，非三 角形的部份也能夠完全的予以排除，並且德育能夠以幾何的性質分別陳述理由；
如德育認為三角形的條件必須是「有三個直的邊」、「三個尖的角」的封閉圖形，
「三角形的內角和是 180 度」、「三個邊不能有缺、不能彎曲」、「要有頂點」；對 角的概念了解則是「由兩條直的邊所組成」，「只要有一邊是彎曲的就不是角」。 德育認為如果圖形是「四個邊、四個角」、「圓角」、「彎曲的邊」、「內凹的邊」、「外 突的邊」、「圓弧的邊」，那這個圖形就不是三角形。
二、觸覺型兒童小茂、小明在三角形圖形辨識部份的瞭解情形：
觸覺型兒童小茂辨識「是三角形」的理由包括：（1）至少有一個 90 度的角，
如果三個角都垂直 90 度就是正三角形。（2）外表看起來像就是三角形；在小茂
判定是三角形的圖形中，編號 15 號圖形的三條邊線均為內彎弧線，但小茂認為 這個圖形像正三角形，所以判定為是三角形。而編號 11 號圖形因為小茂認為它 看起來「太斜了，而且很扁」，所以就將這個圖形判定為非三角形；顯然小茂在 辨識三角形時，會受到「原型例」的影響。
另一位觸覺型兒童小明在辨識三角形的過程，則是依據「是否具封閉性」、「三 個直的邊」、「三個頂點」、「三個尖角」來判定圖形是否為三角形，並且將「沒有 封閉」、「四邊或以上的多邊形」、「圓弧內凹」、「圓弧外凸」、「波浪的邊」、「二個 或以上的圖形其邊黏在一起」的圖形都予以排除。
三、視覺型、觸覺型兒童在三角形辨識部分的比較：
比較視覺型觸覺型兒童在三角形辨識部分的結果發現：兩種類型的共同點 為：（1）判斷是三角形的圖形必須具有「封閉性」的特徵。（2）三角形有三個邊、
三個頂點、三個角。（3）三角形的邊不能是扭曲的。兩種類型的差異在於視覺型 兒童的辨識率達到百分之百，且能從三角形的幾何性質如「內角和是 180 度」、「角 必須由二條直的邊所連接組成」來加以解說，而分析「在 12 號圖形上能找到幾 個三角形？」這個問題時，視覺型兒童均能分析指出五個三角形的位置。觸覺型 兒童在辨識活動時，則易受「原形例」的影響。依 Fuys 對 van Hiele 幾何思考 各層次特質的描述：視覺型兒童符合層次二描述層次的特質；觸覺型兒童小茂尚 停留在層次一視覺層次的水準，小明則接近層次二描述層次的發展。
參、視覺型、觸覺型兒童在三角形分類活動的表現與比較
一、視覺型兒童小靜、德育；觸覺型兒童小茂、小明在三角形圖形的分類活動 部份的概念瞭解情形：
對照視覺型兒童小靜在三角形的分類測驗的訪談後發現，小靜能夠準確的將
「非三角形」的圖形先歸為一類並予以排除；接著小靜將三角形分成了「直角三 角形」、「鈍角三角形」、「對稱三角形」、「正三角形」、「都是銳角三角形」等五種。
本研究進行到此（第三次訪談），發現小靜第一次以「角度」這個條件來思考並
進行分類，並正確的指出「直角」、「鈍角」、「銳角」的位置。另外再訪談中也發 現，小靜已能夠了解「正三角形」是「對稱三角形」的其中一種，掌握了兩者類 包含關係的概念。
另一位視覺型兒童德育在三角形的分類測驗的訪談則發現，德育能夠將「非 三角形」的圖形先歸為一類並予以排除；然後德育分別依據「邊長」、「角度」的 條件將三角形分成了「二邊一樣長的三角形」、「正三角形」、「三邊不一樣長的三 角形」、及「有一個直角的三角形」、「二個銳角一個鈍角的三角形」、「都是銳角 三角形」等種類。過程中發現德育將直角三角形也放在二個銳角一個鈍角的三角 形中，經提問後發現：德育將直角也歸類為鈍角的一種。
二、觸覺型兒童小茂、小明在三角形圖形的分類活動部份的概念瞭解情形：
依據三角形分類部分的測驗訪談結果顯示，兩位觸覺型的兒童表現差異性極
依據三角形分類部分的測驗訪談結果顯示，兩位觸覺型的兒童表現差異性極