國小視覺型與觸覺型兒童三角形概念瞭解探究~從Duval及vanHiele理論的觀點

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(1)目錄附表目次 .................................................... IV 附圖目次 ..................................................... V 第一章、緒論 ................................................. 1 第一節、研究背景與動機.............................................. 1 第二節、研究目的、研究問題與名詞釋義................................ 4 第三節、論文組織.................................................... 6. 第二章文獻探討 .............................................. 9 第一節. 羅恩菲爾關於兒童兩種創造類型的發展.......................... 9. 第二節. 兒童幾何概念發展之相關理論探究............................. 10. 第三節. 兒童幾何概念發展之相關研究................................. 16. 第三章、研究方法與實施過程 .................................. 21 第一節. 研究架構................................................... 21. 第二節. 研究對象................................................... 22. 第三節. 研究工具................................................... 26. 第四節研究流程.................................................... 31. 第四章. 結果與討論 .......................................... 33. 第一節. 視覺型兒童小靜在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果......... 33. 第二節視覺型兒童德育在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果.......... 63 第三節觸覺型兒童小茂在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果.......... 99 第四節觸覺型兒童小明在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果......... 124 第五節視覺型、觸覺型兒童訪談結果之比較........................... 153 第六節視覺型、觸覺型兒童在紙筆測驗結果部分的比較................. 166 第七節視覺型、觸覺型兒童在知覺性、操弄性、構圖性、論述性瞭解的比較173. 第五章結論與建議 .......................................... 189 I.

(2) 第一節結論....................................................... 189 第二節反省與建議................................................. 199. 參考書目 ................................................... 205 一、中文部份：.................................................... 205 二、英文部份...................................................... 209. 附. 錄..................................................... 211 附錄 1：視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表 .............................. 212 附錄 2：視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表 .......................... 213 附錄 3-1 三角形圖形繪製測驗訪談大綱................................ 214 附錄 3-2-1 三角形視覺辨識測驗. 訪談大綱............................ 215. 附錄 3-2-2 三角形視覺辨識測驗圖形紙................................ 215 附錄 3-3 三角形分類測驗訪談大綱.................................... 216 附錄 3-4-1 三角形觸覺感知測驗. 訪談大綱............................ 217. 附錄 3-4-2 三角形觸覺感知測驗圖形提示單............................ 217 附錄 4-1：小靜的藝術表現 .......................................... 218 附錄 4-2：德育的藝術表現 .......................................... 219 附錄 4-3：小茂的藝術表現 .......................................... 219 附錄 4-3：小明的藝術表現 .......................................... 220 附錄 5：觸覺感知測驗的操作工具 .................................... 220. 附錄 6-1. 幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄單 ...................... 221. 附錄 6-2. 觀察員回饋記錄單 ........................................ 223. 附錄 6-3. 「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次測驗」簽署使用同意書 ......... 224. 附錄 6-4. 「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類測驗與訪談大綱」簽署使用同意書. .................................................................. 225 附錄 7-1. 六年級視覺型兒童小靜的訪談原案 .......................... 227. 附錄 7-2. 六年級觸覺型兒童小茂的訪談原案 .......................... 251 II.

(3) 附錄 7-3. 五年級視覺型兒童德育的訪談原案 .......................... 277. 附錄 7-4. 四年級觸覺型兒童小明的訪談原案 .......................... 306. III.

(4) 附表目次表 3-1. 小靜在五、六年級數學領域定期考查成績表 ..................... 24. 表 3-2. 德育在四、五年級數學領域定期考查成績表 ..................... 25. 表 3-3. 小茂在五、六年級數學領域定期考查成績表 ..................... 25. 表 3-4. 小明在三、四年級數學領域定期考查成績表 ..................... 26. 表 3-5. 視覺型、觸覺型兒童紙筆測驗與訪談活動實施日程表 ............. 31. 表 4-1 小靜幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ...................... 49 表 4-2. 小靜在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」通過率統計表 58. 表 4-3. 德育幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ..................... 82. 表 4-4. 德育在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」通過率統計表 95. 表 4-5 小茂幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ..................... 113 表 4-6. 小茂在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」通過率統計表121. 表 4-7 小明幾何圖形觸覺感知測驗晤談觀察記錄表 ..................... 139 表 4-8. 小明在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」通過率統計表149. 表 4-9. 視覺型、觸覺型兒童在三角形繪製活動類型比較表 .............. 156. 表 4-10. 視覺型、觸覺型兒童在三角形辨識活動類型比較表 ............. 158. 表 4-11. 視覺型、觸覺型兒童在三角形分類活動類型比較表 ............. 161. 表 4-12. 視覺型、觸覺型兒童在三角形觸覺感知活動類型比較表 ......... 165. 表 4-13 視覺型、觸覺型兒童在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」通過率統計表........................................................ 167 表 4-14. 視覺型、觸覺型兒童在三角形知覺性瞭解比較表 ............... 175. 表 4-15. 視覺型、觸覺型兒童在三角形操弄性瞭解比較表 ............... 180. 表 4-16. 視覺型、觸覺型兒童在三角形構圖性瞭解比較表 ............... 183. 表 4-17. 視覺型、觸覺型兒童在三角形論述性瞭解比較表 ............... 186. IV.

(5) 附圖目次圖 4-1 小靜所畫的三角形 ............................................ 34 圖 4-2. 小靜複製 1 號三角形的圖形 ................................... 35. 圖 4-3. 小靜辨識三角形記錄單 ....................................... 38. 圖 4-4 小靜認為不是三角形的圖形..................................... 42 圖 4-5. 小靜的分類~直角三角形 ...................................... 44. 圖 4-6 小靜的分類~ 鈍角三角形 ...................................... 45 圖 4-7. 小靜主張是對稱的三角形 ..................................... 46. 圖 4-8. 小靜主張是正三角形 ......................................... 47. 圖 4-9. 小靜主張都是銳角的三角形 ................................... 48. 圖 4-10. 小靜觸覺感知活動判定是三角形的圖形板 ...................... 52. 圖 4-11. 小靜判定不是三角形的圖形板 ................................ 53. 圖 4-12. 小靜觸覺判斷錯誤但視覺判斷正確的圖形板 .................... 58. 圖 4-13. 德育所畫的三角形 .......................................... 64. 圖 4-14. 德育複製 1 號三角形後旋轉 .................................. 66. 圖 4-15. 德育三角形辨識記錄單 ...................................... 72. 圖 4-16. 分類活動~德育認為非三角形的圖形板 ......................... 75. 圖 4-17 德育的分類活動~直角三角形 .................................. 76 圖 4-18 德育的分類活動~等腰三角形................................... 77 圖 4-19 德育的分類活動~正三角形 .................................... 77 圖 4-20 德育的分類活動~三邊不等長三角形 ............................ 78 圖 4-21 德育的分類活動~鈍角三角形 .................................. 79 圖 4-22 德育的分類活動~都是銳角的三角形 ............................ 80 圖 4-23 德育的分類活動~二銳角一鈍角的三角形 ........................ 81 圖 4-24. 觸覺感知活動~德育判定是三角形的圖形板 ..................... 85. 圖 4-25. 觸覺感知活動~德育認為不是三角形的圖形板 ................... 87. 圖 4-26. 觸覺感知活動德育判定是三角形的圖形 ........................ 92. V.

(6) 圖 4-27. 觸覺感知活動 12、15 號圖形板 ............................... 94. 圖 4-28. 小茂所畫的三角形 ......................................... 100. 圖 4-29 小茂複製的三角形........................................... 101 圖 4-30 小茂辨識三角形的記錄單 .................................... 103 圖 4-31. 分類活動小茂認為不是三角形的圖形 ......................... 107. 圖 4-32 小茂第一次的分類情形 ...................................... 109 圖 4-33 小茂第二次的分類情形....................................... 111 圖 4-34. 小茂第三次的分類情形 ..................................... 112. 圖 4-35 觸覺感知活動~被小茂判定為三角形的圖形板 ................... 116 圖 4-36. 觸覺感知活動~小茂認為不是三角形的圖形板 .................. 116. 圖 4-37. 觸覺感知活動 16、17 號圖形板 .............................. 117. 圖 4-38. 編號 3 號圖形板 ........................................... 118. 圖 4-39 編號 12、15 號圖形板 ....................................... 120 圖 4-40. 小茂觸覺猜圖形猜錯的圖形 ................................. 120. 圖 4-41. 小茂視覺確認活動判斷錯誤的圖形 ........................... 120. 圖 4-42. 小明所畫的三角形 ......................................... 126. 圖 4-43. 小明所複製的 1 號三角形 ................................... 128. 圖 4-44 小明三角形辨識活動記錄單................................... 130 圖 4-45 小明認為不是三角形的圖形 .................................. 133 圖 4-46. 小明三角形的分類~細細長長的三角形 ........................ 134. 圖 4-47 小明三角形的分類~比較短沒那麼細、粗一點的三角形............ 135 圖 4-48 小明三角形的分類~比較正常的三角形 ......................... 135 圖 4-49 小明三角形的分類~巨型的三角形 ............................. 136 圖 4-50 小明第三次三角形的分類活動結果 ............................ 138 圖 4-51 小明經觸覺感知活動判定是三角形的圖形板 .................... 142 圖 4-52. 小明觸覺感知活動判定不是三角形的圖形板 ................... 143. 圖 4-53 觸覺感知活動 12 號、15 號圖形板............................. 146. VI.

(7) 圖 4-54 觸覺感知活動 13、14 號圖形板 ............................... 147 圖 4-55 觸覺感知活動 8 號圖形板..................................... 148 圖 4-56 觸覺感知活動~小明觸覺判斷錯誤但視覺判斷正確的圖形板 ....... 149. VII.

(8) 第一章、緒論本章分為三節，首先論述本研究的背景與動機，以及本研究的重要性；其次說明本研究的目的與相關名詞釋義；最後說明本研究論文寫作的組織架構。. 第一節、研究背景與動機自古以來幾何領域的知識學習，一直是人類不可或缺的課題，幾何知識的累積與發展，更見證記錄了人類如何與大自然、與天地共存的方式；從遠古時代起始所發展出的文明與建築：如中國半穴居時期的圓形基座、埃及金字塔的三角錐體建築，以及日常生活器具的圖案中對幾何圖形的掌握與應用：如中國的黑陶、彩陶文化，可以看到不同民族所發展出各具特色的幾何知識（洪萬生，1985）。不僅如此，伴隨人類越來越高度社會化（群集聚落化）的文明發展歷程，而發展出度量衡的知識，讓人類可以更精準的掌握幾何圖形，從而更進一步的應用在日常生活中。檢視我國的數學課程發展，在民國六十四年以前的數學課程，以數、計算、與實測三部份為主要的教學內容，而關於幾何部份則分散在計算與實測的教學內容裏，並沒有規劃獨立的教學單元；民國六十四年改版的數學課程，修訂教材內容，劃分為數、量、形三部份，幾何領域的教學才開始受到正視。民國八十二年修訂改版的數學課程，則更將幾何領域的教學以「圖形與空間」規畫獨立為一個主題，並將教材進一步分為平面幾何、立體幾何兩個部份來進行教學；而近期從民國九十四年公佈的九年一貫課程綱要中，數學的學習領域正式以「幾何」名稱成為一個完整的教學主題；由我國歷年數學課程與教材的沿革發展，可以看出幾何獨特的課程與教材，在整體的數學課程中，佔有一席重要的地位（教育部， 1968、1975、1993、2003）。自民國八十二年教育部公佈實施國民小學數學課程起，一直到現階段我國實施中的九年一貫課程，有關於數學領域的幾何主題教材，主要依據 van Hiele 夫 1.

(9) 婦所發展的幾何思考模式與層次理論來編寫（Wu, 1994；朱建正，1996；吳德邦、謝翠玲，1998）；依據這個理論，第一階段（小學一年級到三年級）幾何概念的學習，著重在對於幾何形體的探索、認識與具體操作；第二階段（小學四年級到五年級），重點則在於掌握幾何形體構成的要素，進行形體的分類、認識不同平面圖形的性質，以及全等、對稱的關係等，另外與數、量相關的幾何量（包括角度、邊長、面積），則逐步成為另一個教學重點；而到第三階段（小學六年級到國中一年級）的學習，則以透過形體的分割、拼合、截補等變換操作，更進一步了解形體的性質及非形式化的推理（教育部，2003）；在每個階段的學習歷程，因為學童的幾何認知發展狀況不同，而造成學童個別不同的知識架構，一般研究經常以「另有架構」或者是「迷思概念」稱之，關於此一部份的研究，歷來多以陳述不同類型的「迷思概念」為主，並已有相當詳盡的資料（沈佩芳，2002；高耀琮，2002；郭育宓，2003），然而檢視大部份的研究資料均顯示：研究偏重在以成人（教師）的角度思考，而非以兒童本位的立場看待兒童本身的認知發展，對於兒童在學習幾何知識的認知發展的演化歷程更鮮少被論及；是否因為兒童與生具來的認知發展影響（或造成）兒童學習時的「迷思概念」，以及如何幫助不同認知發展類型的兒童學習幾何教材，還尚待更進一步的釐清與研究。依據我國九年一貫課程綱要對五大主題幾何部份的說明指出（教育部， 2003）：圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論述性的了解；所以小學階段的幾何教學應可參考幾何歷史發展的軌跡，從應用、操作、實踐中認識各種幾何要素與性質，同時考量兒童認知發展階段，拓展兒童的幾何直覺，讓兒童由具備充足的操弄經驗，以認識各種幾何形體與性質，再加入簡單的推理性質與各種形體間的關係，以銜接國中幾何課程的教學。九年一貫課程綱要所提到的對圖形與空間的四個了解，主要依據 Duval 對幾何圖形了解的認知理論；Duval（1995）提出四個了解的幾何圖形認知理論，是以 123 位 14 歲的學童（約為我國國中二年級學生）為研究對象測試所得結果，而國內以 Duval 理論所進行的研究，目前所見文獻也多以國高中、大專階段的學生為研究 2.

(10) 對象（Wu, 1994；左台益，2003；陳創義，2003），以國小學童為研究對象尚不多見。依據 Lowenfeld 以及 Brittain（1987）所提出兒童階段性的造型發展理論，即必須經過一個階段才能再進入下一個階段的發展特徵，對照於 van Hiele 的幾何思考層次實有不謀而合之處；Dale Harris 則指出：「兒童畫任何物體，都顯示出他對該物體所作歸類的概念。兒童的概念，特別是對他所常接觸的事物會漸趨複雜，而成為一種可以顯示他發展狀況的參考指標」（引自 Lowenfeld, 1957）。意即兒童所表現出的造型能力，與掌握幾何主題圖形與空間的能力是一致的。 Lowenfeld 以及 Brittain 以兒童本位所提出的造型階段論中論及：兒童造型能力的發展依其作品特徵可清楚分辨為視覺型與觸覺型兩類，大約總數一半的兒童屬於視覺型，觸覺型兒童僅約占四分之一不到，在教學現場須要仔細蒐集學生完整的資料，再經縝密的專家評估，才能確切判定其為何種創造類型；視覺型的兒童較容易察覺客觀現象的存在，所以作品較傾向具象的繪畫特質。而觸覺型的兒童則較能以自己親身參與，體會經驗感受的方式以主觀去畫出他經歷的感覺，而非視覺對象的再現；對於這二種截然不同的兒童造型創造類型是否影響兒童幾何概念的認知發展，又這二種不同類型的兒童其在幾何的認知發展呈現出如何不同的狀況，以及引用不同領域且與兒童圖形與空間相關性甚高的文獻，做為兒童幾何認知思考發展的探究點，歷來尚缺乏相關研究資料。張英傑（2001）的研究以台北市、台北縣、宜蘭縣、新竹縣鄉鎮地區以及台北縣烏來山區，晤談包括幼稚園至國小三年級學程中上程度兒童，共計 40 位研究對象。採活動實作方式包含：操弄實物、辨認圖形和構造圖形活動。研究結果顯示這個階段的兒童在說明幾何圖形性質時，大部分以整理性的知覺思考，以舉例方式說明圖形，僅有少數兒童能說出圖形的部分特徵，而對於所有幾何基本圖形，無論以視覺或觸覺察看，或進行分類活動時，對圖形的特徵，都無法說出必要充分的相關屬性。另外研究結果顯示：這些兒童在進行三角形的繪製活動，所畫之「三角形」，大部分都畫出「水平」的底線，圖形都是封閉，在視覺上也 3.

(11) 接近正三角形。在觸覺辨認圖形能力的結果指出：兒童在觸覺辨認圖形的能力，比視覺辨認圖形的構造，更為清楚而豐富。一些圖形的特徵，在視覺上察看時無法予以說明描述的，在觸覺辨識時反而能感受得知。這個研究結果對照 Lowenfeld 的理論，是否可以解釋視覺型、觸覺型兒童在學習幾何圖形的概念瞭解情形，值得進一步深入的探究。吳德邦、馬秀蘭（2005）以「吳-薛氏幾何測驗」採量化的研究法，研究台灣地區國小一至六年級學童在 van Hiele 幾何思考層次中層次一的幾何概念，從 23 個縣市隨機取樣 5581 位學童，研究結果指出：1、由於直線與曲線的明顯區別，所以對學生的辨識來說是容易的。2、學生對圖形旋轉的方向與位置的概念在判斷時感到困難。3、對學生而言辨識圓形最容易，其次是三角形、不等邊的四邊形最困難。這個研究結果顯示的是依照大樣本的量化數據所得到的結果，對於不同類型或未通過的兒童並未進一步細究其成因，究竟不同認知風格類型的兒童在層次一的幾何概念是否也呈現同樣的表現情形，尚待進一步檢證。國內學者吳文如、呂玉琴（2002）研究十七位學齡前幼兒對空間概念與幾何形體的認知發展的結果指出：幼兒在辨識指認圖形的優先順序為三角形、圓形、長方形；而回溯人類幾何知識的發展歷程，由最早期發展出的畢氏定理、勾股弦定理等莫不是以三角形的性質發現來做為一個開端（洪萬生，1985），乃興起以不同創造類型的兒童，探究其三角形的認知發展做為本研究主題。. 第二節、研究目的、研究問題與名詞釋義壹、依據上述研究背景與動機，本文的研究目的有：（一）探究並比較國小視覺型、觸覺型兒童在三角形圖形繪製活動的表現。（二）探究並比較國小視覺型、觸覺型兒童在三角形圖形辨識活動的表現。（三）探究並比較國小視覺型、觸覺型兒童在三角形圖形分類活動的表現。（四）探究並比較國小視覺型、觸覺型兒童在三角形圖形觸覺感知活動的表現。 4.

(12) （五）探究並比較國小視覺型、觸覺型兒童在 van Hiele 幾何思考層次發展測驗的表現。（六）依據 Duval 理論及四個個案的訪談、紙筆測驗記錄，探究並比較視覺型、觸覺型兒童在知覺性、操弄性、構圖性、論述性瞭解的發展狀況。. 貳、研究問題基於上述研究目的，本研究須先探索之研究問題如下：一、國小六年級視覺型兒童小靜在三角形繪製、辨識、分類、觸覺感知四段訪談活動、以及在 van Hiele 幾何思考層次發展的紙筆測驗中的表現為何？小靜的三角形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、構圖性、論述性的概念又呈現出怎樣的瞭解情形？二、國小五年級視覺型兒童德育在三角形繪製、辨識、分類、觸覺感知四段訪談活動、以及在 van Hiele 幾何思考層次發展的紙筆測驗中的表現為何？德育的三角形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、構圖性、論述性的概念又呈現出怎樣的瞭解情形？三、國小六年級觸覺型兒童小茂在三角形繪製、辨識、分類、觸覺感知四段訪談活動、以及在 van Hiele 幾何思考層次發展的紙筆測驗中的表現為何？小茂的三角形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、構圖性、論述性的概念又呈現出怎樣的瞭解情形？四、國小四年級觸覺型兒童小明在三角形繪製、辨識、分類、觸覺感知四段訪談活動、以及在 van Hiele 幾何思考層次發展的紙筆測驗中的表現為何？小明的三角形概念在 Duval 理論中知覺性、操弄性、構圖性、論述性的概念又呈現出怎樣的瞭解情形？五、視覺型、觸覺型兒童在三角形繪製、辨識、分類、觸覺感知四段訪談活動的表現是否有異同之處？有何差異？六、視覺型、觸覺型兒童在 van Hiele 幾何思考層次發展的紙筆測驗中的表 5.

(13) 現為何？有何異同？七、視覺型、觸覺型兒童在 Duval 理論中知覺性、操弄性、構圖性、論述性的概念呈現出怎樣的瞭解情形？有何異同？參、名詞解釋（一）視覺型、觸覺型：依照兒童創作完成的藝術作品及處理經驗的態度，可以區分為兩種截然不同的創造類型：視覺型與觸覺型。視覺型兒童主要具有觀察的性向，能以理性客觀的態度接受外來的刺激，從事物的整體輪廓開始認識，同時注意到細節，而能對事物產生一個整體的印象，並較能成功地將觸覺或運動感轉化為視覺經驗；觸覺型兒童依據其主觀反應~即身體感覺、運動感、感情、價值觀來體驗事物，而非視覺的客觀經驗，對所接觸事物所得的印象是片斷的、非整體的；可從作品中人物、空間、色彩等的表現特徵顯現。（二）三角形概念：概念一詞就數學學習的意義而言，指的是兒童經由「經驗」、「察覺」、「瞭解」後，所形成內蘊化的解題活動類型（甯自強， 1996）；在此處則指兒童透過三角形圖形的繪製、分類、辨識、觸覺活動、紙筆測驗這些不同的具體解題活動，所表徵出對三角形概念，包括圖形輪廓的組成、對圖形輪廓的描述、圖形的判定、圖形的分類區別、及從觸覺、視覺綜合感知判斷，這些解題活動所產生的類型。（三）Duval 理論：Duval（1995）發現，個體透過認知圖形的組織、心像轉換、圖形的操弄、語言文字的陳述推理，可以達到知覺性、操弄性、構圖性、論述性等四個瞭解，藉以啟發個體對圖形的認知及幫助解決原先不易解決的幾何問題。. 第三節、論文組織本研究之寫作以五部份組織而成，第一章緒論，說明本研究的研究背景與動 6.

(14) 機，及在學術研究上的價值與目的；第二章文獻探討包括：依據 Lowenfeld 及 Brittain 理論深入探究本研究所提視覺型觸覺型兒童發展類型、討論兒童幾何概念發展之相關理論探究；以及討論兒童幾何概念發展之相關研究；第三章研究方法與實施過程，說明本研究的研究架構、研究對象的篩選與背景、研究工具的編製、以及研究的流程，並說明資料的處理與分析；第四章結果與討論，以訪談與施測的結果，分析四位個案：視覺型兒童小靜、德育，觸覺型兒童小茂、小明在訪談與紙筆測驗過程中所表現的行為與結果，呈現他們在三角形概念的瞭解情形；第五章結論與建議，整理提出研究結果的摘要，並回顧反思整個研究過程，依據研究結果提出對課程與教學及未來後續研究的建議。. 7.

(15) 8.

(16) 第二章文獻探討本章分成三節，第一節依據 Lowenfeld 以及 Brittain 的理論，說明本研究所探討之視覺型與觸覺型兒童兩種創造類型的發展與特徵；第二部分討論兒童幾何概念發展之相關理論探究；第三部分討論兒童幾何概念發展之相關研究。茲分述如下：. 第一節. 羅恩菲爾關於兒童兩種創造類型的發展. Lowenfeld 以及 Brittain（1987）認為藉著兒童所完成的作品以及在處理（創作）經驗的態度可以清楚地分辨出兩種不同的發展類型：視覺型與觸覺型；這兩種孑然不同類型的兒童以相當不同的方式經驗他們所存在的世界，視覺型兒童能以理性客觀的觀察者角度接受外在的訊息，並且能將這樣的視覺經驗轉化表現在他的作品上，而表現出理性正確的空間與透視感；觸覺型兒童經驗外在世界的方式主要透過敏銳易感的心靈，以肌肉感應、運動經驗、接觸的體驗、自我與外在世界的價值關係體驗，以感性的方式接受，並採取主觀的方式表達，而容易忽略理性客觀的存在；透過羅恩菲爾為調查視覺或觸覺性向而特別設計的測驗結果顯示：有 47﹪的人是明顯屬於視覺型，觸覺型僅占約 23﹪，而另有 30﹪則無法清楚辨定。兩種類型經研究者篩選與幾何造型能力相關之特徵分列如下：壹、視覺型的特徵包括： 1、主要媒介依賴眼睛、且具有觀察性向的心理素質。 2、屬於客觀的創作類型。 3、主要從事物的外貌來獲取經驗。 4、能看到事物的整體，不忽略細節，並且能將整體印象分析為細節及部份印象。 5、從物體的外輪廓開始表現，然後才以細節充實形體。 6、視覺分析可以穿透物體的本質：包括（1）形狀和結構特徵的分析。（2）由光線、陰影、色彩、空氣及距離所造成的形狀或結構的改變。 9.

(17) 7、具有將運動感及觸覺經驗轉化為視覺經驗的傾向。. 貳、觸覺型的特徵： 1、主要媒介是身體本身肌肉感應、運動經驗、接觸的體驗、自我與外在世界的價值關係體驗。 2、作品屬於自我投射的結果，將身體的、感情的、接觸的瞭解，表現成為事物形狀的特徵。 3、屬於高度主觀的創作類型。 4、不會把運動感或觸覺經驗轉化為視覺經驗，而滿足在觸覺經驗或運動感本身。 5、比例採價值的比例而非視覺的比例。 6、通常對事物的經驗是片斷的，除非對事物本身有興趣，才會將事物片斷的經驗加以綜合，不會建立綜合印象。依據上述 Lowenfeld 以及 Brittain（1987）理論對視覺型、觸覺型兒童特徵的分析，可以發現這兩種類型的兒童是以非常不同的方式在經驗他們所存在的世界；Thomas L. Good ＆ Jere Brophy（1995）指出：依人們處理訊息及使用策略來回應任務的方式，可以表現出他們特有的認知風格（cognitive style），經由研究（Sigel ＆ Coop, 1974），已經可以確認認知風格的幾個向度，包括：（1）注意整體特色 vs.注意刺激的末節；（2）把刺激分為大類別 vs.小類別；（3）分類方式：可觀察的特徵 vs.抽象的屬性；（4）解決問題的類型：快速、衝動 vs.緩慢、考慮周延；（5）思考方式：直覺、歸納 vs.邏輯、演繹；（6）傾向依主觀組織知覺 vs.客觀接受外來的訊息組織知覺。因此視覺型與觸覺型兒童的分類方式在本研究的意義，即在探究這兩種不同創造類型、不同認知風格的兒童，在學習幾何領域三角形的概念時，他們的概念瞭解會呈現出如何不同的發展情形，以及這兩種類型的兒童是如何來經驗幾何概念，將是本研究所要深入探究的目的與重點。. 第二節. 兒童幾何概念發展之相關理論探究 10.

(18) 壹、van Hiele 的幾何思考層次理論（thought levels of geometry）荷蘭數學教育家 P. M. van Hiele 及 Dina van Hiele-Geldof 夫婦，依據完形心理學（Gestalt psychology）的結構論及皮亞傑（J. Piaget）的認知理論，提出以物件導向的幾何思考模式理論（Hoffer, 1983; Moline, 1990），這個理論包含三個重點：1、兒童在學習幾何的階層是有次序的；2、兒童在學習幾何時所表現出的洞察力；3、五階段的幾何學習理論與相關適切的教學安排（Hoffer, 1983；Moline, 1990）。茲分述 van Hiele 理論的重點與特性如下：（一）洞察力 Van Hieles 對找出發展學生在幾何學習時的洞察力很有興趣，他們定義洞察力的特質如下（Hoffer, 1983）：1、能夠在不熟悉的情況下完成某件事。2、在任何情況下表現適當（正確而且勝任的）行為。3、在解決問題時，表現是審慎的、能察覺的。所以具有洞察力特質的學生，能瞭解到現在正在做什麼(what)，為什麼要這樣做(why)，及何時做(when)。學生可以應用他們的知識去解決問題。（二）思考層次兒童在學習幾何特定主題的思考層次，其表現的行為可歸納如下：（a）當兒童的思考層次尚停留在較低層次時，學習某些特定的物件（object），這些物件（object）的部份關聯能被兒童明確的陳述，但是另外尚未能被兒童瞭解而有用的關聯，兒童就無法明確的陳述出來。（b）當兒童的思考提升到較高層次時，這個層次的物件是由原先較低層次的物件延伸所組成的（Hoffer, 1983）。因此兒童在幾何的學習時，必須在較低層次的發展成熟時，才能進入到下一個層次的發展。由此可以瞭解兒童幾何思考尚在較低層次時，如果遇到一個需要字彙、基本概念或需要較高一個層次才能思考的問題，他們就不能在這問題上有所進展，而會產生學習挫折的情形。（三）van Hiele 提出學生的幾何思考可分為五個層次（van Hiele, 1986; Hoffer, 1983; Moline, 1990）：. 11.

(19) 層次一：視覺的（visual）層次學生能依據圖形的整體外貌來辨認圖形，他們能說出三角形、正方形、立方體等等，但他們不能瞭解其真正的定義。層次二：描述的（descriptive）層次學生能分析圖形的性質，例如：“矩形有相等的對角線”和“菱形的四個邊相等”，但他們不能解釋這些圖形特徵之間有何關係存在。層次三：理論的（throretical）層次學生能把先前發現的性質作邏輯的聯結：“正三角形是等腰三角形的一種”，但他們無法做有系統的證明。層次四：形式邏輯的（formal logic）層次學生可以在一個公設系統內建立幾何理論，例如：如何利用平行公理證明三角形內角和為 180 度。然而，他們無法瞭解嚴密性的需要，亦不瞭解演繹系統間的關係。層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次學生能以較嚴密的程度分析不同公設系統的特性，包括在不同的公設系統中建立定理並分析或比較（包括非歐幾何）不同公設系統；能夠瞭解抽象的幾何概念；瞭解公設系統的性質是一致性、獨立性，及完全性。. （三）Van Hiele 模式的特性(Crowley,1987) 1、序列性(sequential) 兒童幾何層次的發展是循序漸進的，任何一個特定層次如果要能成功發展，他必須先具備前一層次的概念和思維策略。 2、進展性(advancement) 兒童的幾何思考層次從一個層次到另一層次的提升主要是仰賴教學，並非因兒童年齡的增加而有所發展，但也沒有任何一種教學法能讓學生跳過某一層次，而直接達到下一層次。 12.

(20) 3、內蘊與外顯(intrinsic and extrinsic) 兒童在某一層次的原有物件變成下一層次研究的對象。外顯是兒童所使用描述的語言文字之類的表面差異，內蘊是兒童透過分析歸納後對這個概念的理解。 4、語言專屬性(linguistiscs) 兒童在每一層次的發展，都具有兒童自己獨特的語言符號和這些符號的關係系統，所以即使兒童使用和數學性質相同的名詞，但其代表的概念可能不同。 5、不配合性(mismatch) 教師在幾何課程的教學必須配合兒童的層次發展，否則教師所期望兒童的學習歷程或教學效果就無法產生。. （四）Fuys（1985）提出 van Hiele 層次各層次學生所表現的特質： Fuys 依據 van Hiele 幾何思考層次理論為基礎，更進一步深入探究在每一個層次中，學生所能達到的水準，而提出對應 van Hiele 幾何思考每個層次發展，學生所能表現或達到的具體行為能力：層次一：視覺層次(visualization) 1、能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。 2、能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。 3、依據標準或非標準的形式。 4、能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述幾何圖形。層次二︰描述層次(descriptive) 1、能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。 2、能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。 3、能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。 4、能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的已 13.

(21) 知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。層次三︰理論的層次(theoretical) 1、能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。 2、形成並使用某類圖形之定義。 3、能提出非形式化的論證。 4、能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。 5、不了解定義及基本假設的需要。 6、尚未建立定理網路間的內在關係。層次四︰形式邏輯的層次(formal logic) 1、能辨識出正式定義的特性和等價的定義。 2、在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。 3、學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯證明。層次五︰邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws） 1、學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些系統。 2、找出解決一組問題的一般性方法。 3、比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。. 貳、Duval 理論：（知覺性、操弄性、構圖性、論述性瞭解）為了解開幾何圖形潛藏的認知複雜度及分析圖形對啟發幾何學習過程的作用，Duval（1995）提出四個關於幾何認知的「瞭解」，包括：知覺性瞭解、構圖性瞭解、論述性瞭解、操弄性瞭解。 1、知覺性瞭解(perceptual apprehension) 14.

(22) 對兒童而言，知覺性瞭解指的是兒童經由感官，特別是從視覺、觸覺對幾何圖形的直接體驗，由圖形的提示（感官的直接體驗）察覺圖形，如以兒童本身的想法來形容，這是一個三角形、圓形---這是點、線、等。 2、操弄性瞭解(operative apprehension) 當我們觀察一個圖形時，我們可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，而在以不同的方式更改圖形之後得到解釋，獲得操弄性的瞭解，而變更圖形的方式則大致分為下列幾種(1)分解組合 (2)放大縮小 (3) 平移旋轉等，這三種方式可在心靈中操作，也可實際地去變動它，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。例如在進行三角形的分類活動時，兒童在一堆圖形當中要分出哪些圖形是一類的，他可以透過實際操弄這些圖形的動作，如旋轉，也可以在心中進行操弄的動作，藉以和心中的一個「典型」進行比對，經由實際操弄或心靈的比對的結果，所得到的就是操弄性瞭解；兒童再以這個操弄性瞭解，完成三角形的分類活動。 3、構圖性瞭解(sequential apprehension) 由兒童構成幾何圖形的造圖活動及描述造圖活動的歷程（包括語言和文字）即可顯示兒童的構圖性瞭解，在這個構圖性瞭解中強調幾個重點：（1）循序性：在造圖及陳述造圖歷程中，構成圖形的單位元素會在明確的順序中呈現。（2）兒童的構圖性瞭解並非依賴感官的知覺性瞭解，而是依賴它所運用的科技或工具及圖形本身具有的數學性質。（3）構圖性瞭解在兒童採用手繪的方式時，如果沒有考慮到圖形本身的數學性質及與工具的關係，就無法達到構圖性的瞭解，而挑起兒童反思知覺性瞭解的矛盾。例如要瞭解兒童對三角形的構圖性瞭解，可以觀察並記錄兒童造圖的歷程，並請兒童描述是如何造出這個圖形的，請他把過程描述出來，由此可以發現學生在構成圖形時，圖形的元素是依序一一呈現的。而當兒童採用手繪的方式時，如果沒有應用工具或還不能注意到圖形的數學性質，就可能畫出和直接體驗（知覺性瞭解）矛盾的圖形。 15.

(23) 4、論述性瞭解(discursive apprehension) 幾何概念必須起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解，並不能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。在所有的幾何表徵中，對於其幾何性質的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。論述性瞭解包括兒童對圖形命名、定義及推論的活動，例如兒童如何定義正三角形、直角三角形、鈍角三角形這些不同的圖形，以及兒童對這些圖形的歸類、兒童應用這些不同圖形的數學性質所進行的推論活動，都能表現出兒童的論述性瞭解。. 而在學生學習幾何知識來說，Duval(1998)則認為應有三種認知過程，分別是： 1、視覺化(visualization)過程：對於圖形空間的表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 2、作圖(construction)：根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程有助於學生去發現圖形中的幾何意義。 3、推理(reasoning)：進行論說的過程，例如說明、證明等。在幾何認知的教學方面，Duval 則主張 (1)視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。 (2)不同視覺過程的區分及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。 (3)三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？ Duval(2002)認為：在一般的幾何教學，學生有充分操弄圖形的經驗，才有可能發展出圖形論證能力。. 第三節. 兒童幾何概念發展之相關研究 16.

(24) 吳德邦（2000a）針對台灣中部地區十二所小學抽樣 1480 位國小一、三、五年級學童，依據 van Hiele 理論設計之筆試測驗結果顯示：國小學童的幾何發展大都屬於第一至第二層次，少部分能發展至第三層次。吳德邦（2000b）依據 van Hiele 的幾何思考層次理論，藉由晤談了解國小學生 van Hiele 幾何思考層次的發展情形。隨機抽樣台灣中部地區十二所學校，針對一、三、五年級共 41 位學童進行晤談，結果發現：1、教育對學童的幾何概念發展有極大的作用。2、學生都已達到層次一，大部分三年級學生都已達到層次二，但五年級學生則分布的相當分歧，各在一、二、三層次。3、民國八十二年教育部頒之「國民小學數學課程標準」教材綱要中，有關三角形的安排，讓學生先學習三角形，而後再安排正三角形、等腰三角形…的教材，如此先一般化，再特殊化，日後兒童較易接受「正三角形是等腰三角形的一種」之概念，而較易達到層次三。吳德邦（2002）融和 Duval(1995)和 van Hiele(1986)的理論，發展國小學童平面幾何圖形概念測量工具。針對中部地區四縣市共抽樣 2651 名學童，以調查研究法施測接受九年一貫制課程國小一至六年級學生，其幾何思考層次之分布情形，並對學生在幾何圖形的知覺性、操弄性、構圖性、論說性了解間互動情形加以探究。結果發現：1、在基本幾何圖形概念上，接受九年一貫數學課程或民國八十二年版課程學生，大部分一至六年級均可以分派至某一 van Hiele 幾何思考層次。2、三角形概念，可以分派至某一 van Hiele 幾何思考層次的學生人數，其分布情形，就「年級」、「城鄉」因素作卡方考驗，顯示在三角形概念，其 van Hiele 幾何思考層次分布都有顯著（p<.05）的差異；而「性別」因素則無明顯差異。5、接受九年一貫數學課程或民國八十二年版課程學生，其 van Hiele 幾何思考層次分布之差異情形，與接受民國六十四年版課程的學生，其 van Hiele 幾何思考層次分布之差異情形一致。左台益、梁勇能（2001）研究大台北地區 222 位國二學生，檢驗國二學生空間能力與 van Hiele 幾何思考層次的交互影響性、及國二生解決空間問題之策略，採相關研究法的實驗設計，研究結果發現學生空間能力與 van Hiele 幾何思 17.

(25) 考層次以及解決空間幾何問題均呈現正相關；因此幾何教學應適當地融入空間視覺與操作活動以增進學生幾何學習效果。謝貞秀、張英傑（2003）研究國小三四年級兒童平面幾何圖形的概念，兼採紙筆測驗和個別晤談的研究方法。以台北縣、市各一所小學的三、四年級，各抽取兩班共 266 名兒童（三年級 129 名，四年級 137 名）進行「紙筆測驗」，再從每年級筆試成績高、低分組的學生中各選出 4 名（男女生各 2 名），共計 16 名進行個別晤談。結果顯示：兒童在描述正三角形、等腰三角形時，大都是描述「邊的性質」；中年級兒童辨識圖形受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念。對於圖形「邊」的性質之了解多於「角」的性質。三、四年級的兒童在紙筆測驗之表現沒有達到顯著差異。不同性別的兒童在紙筆測驗部分，三年級無顯著差異，四年級則達到顯著差異（t = -3.151, P =.002），女生的平均分數高於男生。不同性別、不同年級的學童其造圖的能力差異不顯著。左台益（2003）依據 Vinner 和 Hershkowitz 所提之抽象概念之認知結構理論、Duval 的幾何圖形的認知瞭解，以及 Van Hiele 的幾何思考層次理論，設計問卷試題及診斷工具，兼採個案訪談的質性分析與問卷測驗統計調查的研究方法，針對台灣大台北地區九所學校的 343 位國中學生線對稱概念的認知結構與發展情形進行研究，結果發現：學生在解題時主要是以典範例的概念心像處理而非概念定義。陳創義（2003）調查臺灣青少年幾何形狀概念發展情況，並研擬我國學生幾何形狀學習的學習路徑臆測。採全國抽樣問卷調查法，計抽樣國一 1178 人、國二 1148 人、國三 1122 人。結果顯示：(1)三角形的辨識認知發展，在國三時嚴密性的要求及非原形例明顯增加。(2)圖形分類受到語意、原形例、互斥思維、空間思維等因素的影響。(3)國中生對有關幾何形狀的敘述中的邏輯語詞以及性質的描述，到了三年級能夠瞭解清楚不到 1/5。(4)學生相似概念受到語意的影響，其另有的概念有『全等、同類、近似』等。(5)圖形拼合操弄受到平分概念的影響。 18.

(26) 薛建成（2003）以 van Hiele 理論為依據所發展的測驗工具，研究台灣中部地區，隨機抽樣的 722 名兒童的 van Hiele 思考層次，結果發現：1、兒童對圖形直線與曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖形的判別是有困難的；2、兒童的幾何層次表現是經由「學習的過程」；3、男、女生在 van Hiele 幾何層次的表現沒有顯著差異。吳德邦（2003）以質性研究方式深入探討一位國小學生在圖形與空間的概念瞭解情形，並以 Duval 理論的四個瞭解加以詮釋；另外吳德邦、藍同利（2004）以及吳德邦、馬秀蘭、藍同利（2005）的兩篇研究，針對觸覺型兒童的三角形概念瞭解，以質性研究方式進行訪談並依據 Duval 理論的四個瞭解提出初步的研究成果，這兩篇研究結果呈現了觸覺型兒童三角形概念的瞭解情形。而視覺型兒童的三角形概念瞭解情形為何？以及這兩種不同認知風格類型的兒童所呈現的差異為何？值得更進一步探究。. 小結：依據上列文獻探究結果可知，關於兒童幾何概念瞭解或認知發展研究，一般多以量的研究為主，而質性研究部份採 Duval 理論進行研究分析者，目前則以國高中生為主，少有針對國小學童進行研究；而檢視眾多研究文獻後發現，幾乎沒有從兒童不同的創作類型或不同的認知風格，進行該類兒童幾何概念的認知瞭解研究；而僅有少數幾篇文獻，針對觸覺型兒童的三角形概念瞭解，以質性研究方式進行訪談提出初步的研究結果。而從 Lowenfeld 的理論中也發現，視覺型、觸覺型這兩種不同創作類型的兒童，因其不同認知風格的特質，在學習時，確實會有不同的發展；但究竟這兩種類型兒童在學習數學幾何概念時，會產生如何不同的概念瞭解？尚待進一步以質性研究方式，做一深入探究與檢證。. 19.

(27) 20.

(28) 第三章、研究方法與實施過程本章主要依據本研究的背景與動機、研究目的及相關文獻資料，探究本研究採取的研究方法與實施方式，共分四節：第一部份說明本研究的架構，其次第二部份探究研究對象的背景與學習表現；第三部份說明本研究所發展與編製的研究工具，包括篩選與訪談工具；最後說明本研究的流程，包括資料處理與分析的過程。由於筆者本身擔任吳德邦所主持之國家科學委員會專案研究計畫之助理研究員多年，本研究乃是吳德邦所主持（2003）國家科學委員會專案計畫（計畫名稱：國小學生在形概念知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解之後續研究。編號： NSC92-2521-S-142-004-）中的部分成果。. 第一節. 研究架構. 本研究之架構，首先在確立研究對象視覺型、觸覺型兒童之特質，由研究者參考 Lowenfeld（1987）理論及康軒版（郭榮瑞等，2000）、翰林版（謝政權等， 2000）國民小學美勞教學指引，並向專家學者請益修正後編訂「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」（詳見附錄 1），並以此工具篩選符合視覺型、觸覺型特徵的兒童，經進一步蒐集資料及作品後，商請三位專家以「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表」（詳見附錄 2）協助判定確認研究對象；其次再以研究者所編訂之四段半結構性訪談工具，包括三角形圖形的繪製、辨識、分類、及觸覺感知等四段實物操作及半結構性訪談的研究歷程，探索研究對象其三角形概念的認知發展情形，並兼採「吳-薛氏 van Hiele 幾何認知發展測驗」之紙筆測驗做為對照資料。最後以訪談及測驗所得結果資料加以轉譯編碼整理，並依據 van Hiele 及 Duval 理論的觀點，據以寫作本篇研究結果，以提出視覺型、觸覺型兒童在三角形概念的瞭解情形。本研究架構之特徵分述如下：一、本研究之研究對象視覺型、觸覺型兒童均以相同的工具採嚴格認定標準篩選出來，並以相同的訪談大綱內容及相同的訪談工具進行相同的 21.

(29) 研究歷程。二、四位兒童所接受的四段半結構性訪談均單獨受訪，每次約為半小時至四十分鐘，每次訪談結束到下次訪談時間間隔約為一週，全程並予以錄音錄影記錄。三、本研究之結果，依據訪談內容及 van Hiele、Duval 理論的觀點分析詮釋後提出。四、為使研究過程能更加客觀，以排除研究者過度主觀詮釋所造成之偏差，每次訪談均邀請觀察員及研究助理協助訪談的進行。. 擔任本研究之觀察員為曾任台中縣國教輔導團數學科輔導員多年之資深教師，對於教學現場視導、及教學研究經驗豐富，在訪談中主要協助觀察記錄的工作，並對研究者所做成的記錄與詮釋提供修正意見；另邀請與研究者同為數學教學碩士班研究生擔任助理，協助全程錄影及文件資料整理，包括實物操作的教具製作，以及提供訪談觀察記錄回饋。. 第二節. 研究對象. 在確定整個研究計劃之後，研究者開始著手尋找適當的研究對象；先透過研究者任教及鄰近的學校，邀請擔任藝術與人文課程的教師協助尋找本研究之研究樣本，以筆者參考康軒版國民小學藝術與人文課本及教師手冊所編定之「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵表」，推薦符合視覺型、觸覺型特徵之兒童，並蒐集其創作作品，共收錄到八名學童；依據 Lownfeld（1987）理論，視覺型與觸覺型兒童的特徵傾向在寫實前期開始會逐漸清晰，對照兒童的年齡發展，約為國小四年級開始，因此被推薦的八位學童以四到六年級為主。除了蒐集八位學童一年內近期美勞作品之外，同時經由家長、導師同意協助，提供學童學業成績及平常學習情形資料予以建檔；再商請具美勞教育專業背景且曾任教國小美術資優班教. 22.

(30) 師、美勞教育研究所在職研究生、及具備美勞教育研究所學歷且持續創作資歷相當的專業畫家共三位專家學者協助，由專家學者依據學童作品特徵做進一步判定，視覺型、觸覺型兒童的特徵在其作品中所表現出來的特質主要從下列幾點加以評斷：（1）人物造形：視覺型兒童能依客觀的視覺經驗作畫，能注意到比例與姿態，並掌握細節的描繪，較接近寫實的表現風格；觸覺型兒童則依主觀的經驗及情緒作畫，常有誇張、變形的表現，不太注意比例的關係，對有興趣的部分特別強調，餘則以簡略的方式表現，較接近表現主義的風格。（2）空間表現：視覺型兒童能注意到明暗、陰影、地平線的現象，畫面的景物呈現較符合透視原理近大遠小的比例，以旁觀者的角度觀察與描繪主題；觸覺型兒童則常以圖式期基底線表現空間的概念，除非主題需要表現空間，否則會忽略空間的深度。（3）色彩表現：視覺型兒童使用的色彩較接近自然的色彩，同時會注意到色彩在不同環境與光線下的變化；觸覺型兒童則使用主觀感情的色彩，不太注意自然界中色彩與光線的變化。（4）設計工藝的表現：視覺型兒童較注意視覺與美的效果；觸覺型兒童則較注意材料與使用的效果。除了依據上述對視覺型、觸覺型兒童在美勞創作作品的特質分析之外，再確認最後的研究對象時另外從下列幾個向度進行考量：（1）本研究旨在探究視覺型、觸覺型兩種不同認知風格兒童在三角形概念的瞭解與表現，因此篩選研究對象時採嚴格認定的方式，最後符合特徵的兒童：六年級視覺型、觸覺型各一位，五年級只通過視覺型一位，觸覺型兒童未通過；另外四年級找到觸覺型兒童一位。（2）依 Burger（1986）的研究顯示：年齡不是判斷學生如何思考幾何的主要標準，經驗對學生來說才是重要的因素，且我國九十年開始實施的九年一貫課程（教育部，2003）中將四、五年級列為同一階段；因此將四年級觸覺型兒童也列為本研究的樣本。（3）決定研究對象為四、五、六年級各至少有一位樣本，可以探究這三個年級的兒童在三角形概念的瞭解所呈現出的發展情形；以上述理由，決定本研究的研究對象，計「視覺型」兒童五、六年級各一位、「觸覺型」兒童四、六年級各一位。 23.

(31) 本研究之研究對象視覺型兒童小靜、德育，觸覺型兒童小茂、小明，其作品的特質在人物造形、空間表現、色彩表現、設計工藝表現四個部份均分別呈現出符合視覺型、觸覺型兒童的表現特徵，經進一步請專家評量結果，確認符合視覺型、觸覺型兒童的特質。四位兒童為筆者任教於台中縣海線某國民小學四到六年級的學童，小靜和小茂是六年級分屬不同班級學生，德育就讀五年級，而小明是四年級學生；根據資料蒐集結果分述四位學童的學習背景：. 一、視覺型兒童小靜小靜在各領域的學習成績表現優異且穩定，數學領域的學習成績詳如表 3-1 所列，五、六年級定期成績考查均保持全班前三名，語文表達能力佳，口齒清晰；每週固定參加校外補習課程二次；她的美勞作品呈現理性而安靜的特質，能準確的表現物體的比例透視，用色則未脫離「固有色」的概念（如附錄 4-1）。依教師以視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表的判斷結果，小靜的美勞作品在人物造形、空間表現、色彩表現、設計表現四個部分均符合視覺型兒童的特徵。而在視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表部分，經三位專家交叉判定的結果顯示：小靜符合視覺型兒童的特徵。表 3-1. 小靜在五、六年級數學領域定期考查成績表學期別. 五上. 五下. 六上. 六下. 第一次成績考查. 98. 100. 98. 96. 第二次成績考查. 100. 95. 97. 99. 期末成績. 98. 97. 97. 98. 成績別. 二、視覺型兒童德育德育在班上的學習成績屬中上的程度，口齒表達清晰，受試意願高，數學領域的學習成績詳如表 3-2 所列，他的美勞作品具有高度的描寫能力，能依透視比例呈現，繪製作品的過程從外形輪廓開始，再進行 24.

(32) 內部細節描繪；作品曾獲得台中縣學生美展入選、佳作獎、世界兒童畫展優選獎（如附錄 4-2）。依教師以視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表的判斷結果，德育的美勞作品在人物造形、空間表現、色彩表現、設計表現四個部分均符合視覺型兒童的特徵。而在視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表部分，經三位專家交叉判定的結果顯示：德育也符合視覺型兒童的特徵。表 3-2. 德育在四、五年級數學領域定期考查成績表學期別. 四上. 四下. 五上. 五下. 第一次成績考查. 100. 98. 95. 95. 第二次成績考查. 95. 100. 98. 87. 期末成績. 98. 98. 97. 91. 成績別. 三、觸覺型兒童小茂：小茂在數學領域的學習，表現的成績不盡理想（如表 3-3），在其他領域的學習也都差強人意，惟獨在繪畫方面卻常有出人意料的表現，筆觸豐富、用色主觀，畫面能充份展現觸覺型兒童的造型特質（如附錄 4-3）。依教師以視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表的判斷結果，小茂的美勞作品在人物造形、空間表現、色彩表現、設計表現四個部分均符合觸覺型兒童的特徵。而在視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表部分，經三位專家交叉判定的結果顯示：小茂符合觸覺型兒童的特徵。表 3-3. 小茂在五、六年級數學領域定期考查成績表學期別. 五上. 五下. 六上. 六下. 成績別第一次成績考查. 65. 88. 49. 58. 第二次成績考查. 77. 76. 40. 54. 期末成績. 71. 76. 65.2. 63.5. 四、觸覺型兒童小明. 25.

(33) 小明在數學領域的學習成績都維持在甲等（如表 3-4），在口語表達能力部份的程度也甚佳，而在繪畫方面的表現也常有出人意料的作品；曾參加台中縣學生美展拿到中年級組第三名的成績，依據專家的判定，小明的作品特色在於能以感性的筆觸，抒發自己的看法與情感，表現豐富、用色大膽，畫面能充份展現該生的造型特質（如附錄 4-4）。依教師以視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表的判斷結果，小明的美勞作品在人物造形、空間表現、色彩表現、設計表現四個部分均符合視覺型兒童的特徵。而在視覺型、觸覺型兒童特徵專家評量表部分，經三位專家交叉判定的結果顯示：小明符合觸覺型兒童的特質。. 表 3-4. 小明在三、四年級數學領域定期考查成績表學期別. 三上. 三下. 四上. 四下. 第一次成績考查. 98. 99. 94. 96. 第二次成績考查. 95. 100. 96. 99. 期末成績. 97. 98. 96. 98. 成績別. 第三節. 研究工具. 本研究採取質性研究的立場，因觸及的研究對象與性質就目前所知文獻尚不多見，所以部份應用的工具必須自行發展編製；在研究前期為了篩選研究對象，發展編製了「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」（詳見附錄 1）、「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵」專家評量表（詳見附錄 2）；而為了瞭解個案對三角形形狀的繪製、命名、辨識、對形狀輪廓的描述、以及如何進行分類，研究者使用台中師院數學教育系吳德邦教授（1998c）所發展「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類測驗與訪談大綱」三角形部分的工具（附錄 3-1、3-2-1、3-2-2、3-3），另外再以 Burger 及 Shaughnessy（1986）發展的訪談工具為基礎，再參考其他文獻編製成「吳-藍氏三角形圖形觸覺感知測驗與訪談大綱」（附錄 3-4-1、3-4-2）； 26.

(34) 另外為了增添本研究的信度與效度，在徵求原編製者（吳德邦、薛建成，2004）同意下，使用「吳-薛氏 van Hiele 幾何認知發展測驗」做為本研究三角校正，比對檢證訪談結果的依據。茲將本研究所應用工具分列如下：一、「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」：由研究者依據康軒版國民小學藝術與人文課本、教師手冊，及參照 Viktor Lowenfeld 理論（1987）及參考專家意見後修改編訂出「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」（詳見附錄 1）；主要從兒童創作作品中的人物造形、空間表現、色彩表現、及設計工藝表現四個部份來加以評判，每個部分依據文獻分析的結果分列出視覺型、觸覺型的特徵，由評分者依據兒童作品的特徵加以評斷，最後並對研究樣本作一個綜合評斷，以篩選出符合本研究的研究對象。. 二、「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵」專家評量表：為了增加本研究在篩檢研究對象時之信度與效度，研究者在徵詢專家學者後編製出「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵」專家評量表（詳見附錄 2），本工具係採五等第評判「完全符合、符合、部份符合、不甚符合、不符合」，由三位專家學者依據推薦者所填寫之篩檢表，檢核比對學生作品資料，再予以勾選判斷，並簽註意見。協助本研究篩檢研究對象的專家學者包括：具美勞教育背景，並曾修讀特殊教育學程，曾任教台中縣美術資賦優異班級的美勞科教師一位；從事美術創作二十餘年，獲獎無數，目前擔任全省性美術團體祕書長職務，指導兒童畫獲獎多次之專業畫家一位；另一位為目前就讀於國立新竹師範學院美勞教育研究所的在職研究生，長期從事繪畫創作，並曾擔任地區性美術協會會長的教師。三位專家學者除了協助篩檢工作，並在研究者編製「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」時給予修正意見。. 三、「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類測驗與訪談大綱」、「吳-藍氏三角形圖形觸覺感知測驗與訪談大綱」： 27.

(35) 由於本研究所探討的主題還屬於較少被研究論及的範疇，因此需要編選一套訪談施測工具，以符合本研究需求；「吳氏幾何圖形繪製、辨識、分類測驗與訪談大綱」這個工具裡有關三角形圖形繪製、辨識及分類三個部份（附錄3-1、3-2-1、 3-2-2、3-3）主要是依據Burger及Shaughnessy（1986）所發展的訪談工具，及參閱相關幾何文獻（國立編譯館，2000；吳德邦，1995，1998a，1998b，2001；何森豪，1998；葛曉冬，2000；盧銘法，1996；黃盈君，2001；Usiskin，1982； Fuys,Geddes & Tischler, 1988 ），再予以增修編製而成（詳見附錄3-1，3-2， 3-3）：（一）三角形的繪製部份：這個部份的訪談主要透過兒童造圖的歷程，觀察並記錄兒童如何造出三角形的形狀，研究者在受訪兒童繪製三角形的桌邊，事先放置直尺、圓規、量角器等工具，記錄兒童是否以尺規作圖或採取徒手來繪製；另外探索兒童如何造出不同的三角形、以及如何區別、分析這些不同三角形之間的構成元素與元素間推理關係的分析。與Burger發展的訪談工具之不同點在於訪談內容的問題次序：本研究會請兒童先畫出一個三角形，然後請兒童畫出與前一個不同的三角形，在兒童畫出第二個不同的三角形後，就先問他：「第二個與第一個三角形之間有哪裏不同？」，然後在兒童每次畫完不同的三角形後分別依序問他：「這個三角形和前面的三角形有何不同？」，在最後兒童表示再也無法畫出不同的三角形時，再請兒童就他所畫出的不同的三角形，分別指出這些三角形彼此間的差異。這樣的提問次序不等兒童全部畫好再問，主要是考慮到兒童在造完圖之後，如果立即做二個圖形間元素的區別分析活動，兒童可以更清楚的釐清兩個圖形間元素的異同；而受訪兒童表示已經畫不出不同的三角形時，這時請兒童再做一次全部圖形的回顧反思，可以觀察並記錄兒童如何指出個別圖形間的差異；在造圖活動結束後，研究者請受訪兒童拿一旁的描圖紙，將第一個畫出來的圖形，做個複製旋轉圖形的活動，來確認兒童是否具有同一圖形經過再製旋轉後的保留概念。. 28.

(36) （二）三角形的辨識部份辨識活動主要是請兒童在研究者設計好的圖形紙上，先判定哪幾個圖形是三角形，並做上記號，這張圖形紙除了依據Burger及Shaughnessy（1986）所發展設計的訪談工具外，另外又加入了幾個近似三角形的圖形；兒童在作答紙上的判別活動結束後，研究者再依據兒童的作答情形，以個別的圖形一一詢問兒童，對兒童作上三角形記號部分的圖形逐一問他：「為什麼它是三角形？」而兒童沒有作上三角形記號的圖形則問他：「為什麼它不是三角形？」以兒童回答的訪談資料分析受訪兒童對三角形形狀的命名、定義，以及對輪廓要素組成的概念瞭解情形。. （三）三角形的分類部份研究者以白色厚紙板製作了一套共十九塊圖形板，其中四塊為接近三角形的圖形，其餘分別是不同大小的正三角形、直角三角形、等腰三角形、鈍角三角形及銳角三角形，每個圖形板均予以編號；這個部份的訪談首先請受訪兒童將不是三角形的圖形挑出來予以排除，再開始進行分類，被排除的圖形研究者一一詢問兒童：「為什麼它不是三角形？」所得結果可以和辨識活動做一比對檢證。依據國立編譯館數學教學指引第八冊（2000）提出：「將三角形按照邊和角的大小及其關係加以分類、命名，然後正式定義，便可以條列其性質，並對每個性質的充份與否加以討論或證明。因此三角形的分類是平面幾何學的初步活動之一。」同時指出，有效的分類活動有三種：1、依據邊長的相等條件分類。2、依據角的相等條件分類。3、依據最大角的性質條件，如直角、鈍角、銳角等條件分類。本研究在三角形的分類活動部份，即在探索受訪兒童是以什麼條件進行分類、是否為有效分類，以及如何考慮圖形與組成要素的性質。（四）三角形的觸覺感知部份在「吳-藍氏三角形圖形觸覺感知測驗與訪談大綱」部份則是在參閱上述文獻後自行設計編訂（詳見附錄3-4-1、3-4-2）；先製作一個僅能容雙手伸入的測 29.

(37) 驗箱及一塊覆蓋在測驗箱上的綠色絨布（詳見附錄5-1），再用珍珠板切割製成共 20塊不同形狀的圖形板（詳見附錄5-2 ），這二十塊圖形板包括：正三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，近似三角形的多邊形等，另外為了測試兒童對其他形狀的命名與辨識，再加入圓形、菱形、正方形；為便於記錄，每塊圖形板均予以編號，加上畫有這20種不同圖形的三角形觸覺感知測驗圖形提示單（附錄3-4-2）為一組施測工具。觸覺感知測驗分為兩個活動：「觸覺猜圖形」與「視覺確認」活動；在施測之前先架好攝影機對準測驗箱口，以便將學生整個觸摸圖形板及回答訪談題目的過程完整記錄下來；訪談時先探索兒童對其所觸摸的圖形板有什麼感覺，對圖形的特徵、輪廓的描述，再請兒童以他自己觸感，猜測圖形的編號；猜圖形時，將圖形提示紙拿給受測兒童判斷；猜圖形的活動部份結束後，施測者再將圖形板拿出測驗箱，將有記號編號的一邊靠近攝影機，另一邊則沒有任何記號，讓受測兒童可以用眼睛看著圖形板進行視覺確認，綜合觸覺猜圖形與視覺確認兩個活動，以確認兒童對三角形形狀概念的建立與瞭解情形。整個活動的歷程除了以錄影記錄之外，協助本研究進行的觀察者另以觀察記錄表（附錄6-1），記錄受訪兒童的表現行為，並在訪談結束後，針對影帶內容與訪談情形，提供研究者反思回饋意見（附錄6-2）。. 四、吳-薛氏van Hiele幾何認知發展測驗：劉好（1993）針對國小的教材分析，說明我國的幾何課程是依van Hiele 幾何思考模式編排：低年級教材屬層次一視覺層次，中年級教材屬層次二描述的層次，高年級教材屬層次三理論的層次；這個測驗工具（Wu. & Ma. 2005；吳德邦， 2002；吳德邦、薛建成，2004）主要是針對國小學童而設計，故試題的編製也只局限在於van Hiele 幾何思考層次的第一層次到第三層次為主。，在題型上問答的方式也都力求精簡、明確，題目的敘述盡量做到口語化，使學生能充分暸解題目真正的意涵。由於本研究主要研究範圍在三角形的認知發展部份，因此在受測 30.

(38) 者全份試題做完後僅抽選出三角形部份的答題情形做進一步分析，並以這個部份的答題情形與其他訪談部份所得結果交互比對驗證。. 第四節研究流程本研究的研究流程可概分為三個階段：訪談前置作業、進行紙筆測驗與半結構性訪談、資料處理及論文撰寫。（一）訪談前置作業：首先參閱相關文獻，同時尋求藝術與人文領域學者專家協助提供意見，編製出「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵篩檢表」及「吳-藍氏視覺型、觸覺型兒童特徵」專家評量表；接著透過研究者任教學校及鄰近學校擔任藝術課程且具備美勞教育養成背景教師，依據其專業素養及本研究所編製之篩選工具，挑選出研究所需求的研究對象~視覺型與觸覺型兒童，並再次以專家評量表做進一步確認；此外第二階段所需訪談大綱及實物操弄的教具，一併在此時先行備齊，由於欠缺適當的訪談工具，因此在請教專家學者意見後修訂了一份三角形圖形繪製、辨識、分類的工具，並發展了觸覺感知部份的自編工具（詳見附錄 3-1~3-4）。. （二）進行紙筆測驗與半結構性訪談：確認出研究對象後，經聯繫取得學生本人、家長同意本研究進行後，依照排定時程分別進行四段半結構性訪談及紙筆測驗（詳如表 3-5），訪談過程並予以錄音、錄影記錄，每段訪談除了研究者外，並邀請一位觀察員及一位研究助理協助研究進行，同時在每次訪談結束提供回饋意見藉以修正。表 3-5. 視覺型、觸覺型兒童紙筆測驗與訪談活動實施日程表. 31.

(39) 訪談別日期. 紙筆測驗. 研究對象. 三角形. 三角形. 三角形. 三角形觸覺. 繪製活動. 辨識活動. 分類活動. 感知活動. 視覺型兒童小靜. 2004.3.9. 2004.3.16. 2004.3.23. 2004.4.2. 2004.4.9. 視覺型兒童德育. 2004.3.7. 2004.3.14. 2004.3.21. 2004.3.28. 2004.4.8. 觸覺型兒童小茂. 2004.4.27. 2004.5.31. 2004.5.31. 2004.6.2. 2004.6.15. 視覺型兒童小明. 2004.3.5. 20074.3.12. 2004.3.19. 2004.3.26. 2004.4.2. 由表 3-5 顯示，視覺型兒童小靜、德育及觸覺型兒童小明大致依照既定日程實施紙筆測驗與訪談活動，每個活動間隔約一週，每次訪談時間約為 40 分鐘；觸覺型兒童小茂因在校園中與同學下課遊戲時受傷，導致左手臂骨折，在考量小茂身體復原的因素下，將小茂在研究訪談活動的日程延後，俟小茂能以雙手觸摸圖形板後進行訪談，以避免影響觸覺感知活動的準確性。. （三）資料處理與分析：在半結構性訪談結束後依據錄影內容，包括研究者與研究對象之間的訪談對話，以及研究對象在影帶中所進行三角形的造圖、辨識、分類及觸覺感知活動中表現的行為與動作，將這些資料轉譯整理（王文科，2003），並以系統編碼編成 8 碼，前三碼為研究對象代碼：G61 代表六年級視覺型兒童小靜、G62 代表六年級觸覺型兒童小茂、G51 代表五年級視覺型兒童德育、G41 代表四年級觸覺型兒童小明；第 4~5 碼為活動編碼：1T 表示三角形繪製活動、2T 表示三角形辨識活動、3T 表示三角形的分類活動、4T 為三角形的觸覺感知活動；最後末 3 碼則為訪談內容流水號；編碼後將資料整理製作成逐字稿，並在此基礎上結合文獻資料、觀察員觀察回饋記錄、及研究對象在紙筆測驗的結果等文件，依據 Duval 幾何圖形認知領悟的四種方式：知覺性瞭解、構圖性瞭解、操弄性瞭解、及論述性瞭解，分析詮釋研究對象在三角形部份的概念瞭解情形；紙筆測驗所得結果除做為分析的依據，並做為比對校正訪談結果的參考指標。. 32.

(40) 第四章. 結果與討論. 由於筆者本身擔任吳德邦所主持之國家科學委員會專案研究計畫之助理研究員多年，本研究的結論乃是吳德邦所主持（2003）國家科學委員會專案計畫（計畫名稱：國小學生在形概念知覺性、操弄性、作圖性、論說性了解之後續研究。編號：NSC92-2521-S-142-004-）中的部分成果。本研究旨在探討視覺型與觸覺型兒童在三角形概念的瞭解情形，經過篩選步驟所挑選出來的四個個案：視覺型兒童小靜、德育，觸覺型兒童小茂、小明；分別以三角形的繪製、辨識、分類、觸覺感知四個活動，以錄影方式完整記錄研究對象所呈現的對於三角形概念的瞭解情形，再加上「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」的測驗結果，綜合上述資料予以比對、反覆檢證，並分析這四個個案中視覺型與觸覺型兒童對於三角形概念的繪製、辨識、分類、觸覺感知的訪談結果，再對照 Duval 理論關於三角形的知覺性、操弄性、構圖性、論述性的四個瞭解，最後歸納出視覺型兒童與觸覺型兒童在上述概念瞭解的情形，及這兩種類型兒童在三角形概念瞭解的差異。本章第一至四節先分別陳述視覺型兒童、觸覺型兒童在四段半結構性實作訪談的分析結果，及在「吳-薛氏 van Hiele 幾何層次認知發展測驗」的紙筆測驗情形，對照 Duval 理論後，提出這四個個案在三角形的知覺性、操弄性、構圖性、論述性的瞭解。第五、六節則分別論述視覺型兒童與觸覺型兒童在訪談、紙筆測驗表現的比較結果，最後第七節提出兩種類型兒童在三角形知覺性、操弄性、構圖性、論述性瞭解的差異。. 第一節. 視覺型兒童小靜在訪談、紙筆測驗與四個瞭解的分析結果. 一、小靜在三角形的繪製、辨識、分類、觸覺感知、及筆試的測驗訪談結果：（一）三角形圖形的繪製：研究者請小靜先在白色 A4 的紙張上依序畫出三角形，可以使用工具如尺、圓規之類工具來作圖，畫好第一個和第二個三角形後就開始詢問兩個圖形之間有何不同，等小靜依序畫好第三、第四和第五個三角形----一直到小靜表示再也無法 33.