第四章 研究結果與討論
第三節 補救教學後的實施結果與分析
圖4-29 理解周長的意義與封閉性概念答對率比較
從圖4-29 長條圖來看，S1 在教學前後都是維持 100％答對率，S4 在教學前後 都是維持50％答對率，S2、S3、S5 三位學生在接受教學後答對率提升至 100％，
顯示經過數學奠基活動的補救教學後釐清S2、S3、S5 三位學生在周長的意義與封 閉性的概念上的迷思，提升學習成效。說明如下：
S4 前測答題 S4 練習單 1 答題 圖4-30 S4 前測與練習單 1 答題
S4 在圖 4-30 前測(左圖)中，認為圖形除了要像圖形 B 和圖形 C 這樣封閉外，
也要是直線才會有周長。在進行四連塊和五連塊的補救教學活動後，S4 雖然知道 封閉圖形有周長，但無法將封閉性的概念類推到其他非直線的圖形上，所以在練 習單中(右圖)只選擇了跟四連塊、五連塊類似，周界線段是直的圖形，忽略了最重 要的封閉性。最後透過教師的引導和說明，以及找周長和面積心臟病活動，釐清 S4 的迷思概念。
S4：E 和 D 沒有直直的線。
教師：所以你覺得有周長的圖形都要有直直的線？
S4：嗯。
教師：接下來呢？
S4：C 只是一條直線，F 的線沒有全部包起來，I 的形狀不像左 邊那些圖形一樣。
教師：左邊那些圖形怎麼了？
S4：直直的。
教師：所以你覺得圖形要包起來而且周界要是直線才會有周 長，那你為什麼覺得圖形 A、B、J 有周長？
S4：它們邊邊的線都可以把圖形全部包起來。
教師：還記得這個邊邊的線把圖形都包起來的叫什麼圖形？
S4：封閉圖形。
教師：只要是封閉圖形是不是就有周長和面積？
S4：是。
教師：所以你再看看練習單右邊的圖形，哪些圖形邊邊的線可 以把圖形包起來？你可以再描一次試試看？
S4：(用手描圖形的邊框)……圖形 E、D、I 邊邊的線可以打圖形 包起來。
教師：那它們是封閉圖形嗎？
S4：是。
教師：所以它們有周長和面積嗎？
S4：有。
教師：所以有周長的圖形，它邊邊的線一定是直的嗎？
S4：不一定，這個就彎彎的(手指圖 E 和 D)。
教師：是不是只要圖形可以被線條包起來，是封閉圖形就有周 長和面積？
S4：是。
【1100503 S4 晤】
S2 前測答題 S2 練習單 1 答題 圖4-31 S2 前測與練習單 1 答題
S2 在圖 4-31 前測(左圖)中不覺得圖形 C 有周長，在周長的意義和封閉性概念 不完整，經過補救教學後能知道封閉圖形具有周長，在練習單(右圖)上的答對率為 100％，顯示透過數學奠基活動的補救教學能釐清 S2 周長意義及封閉性概念上的 迷思概念。
教師：說說看你怎麼知道練習單上這些圖形有沒有周長？
S2：線沒有斷掉的圖形就有周長，斷掉的就沒有周長。
教師：上一節課我們說這種線沒有斷的圖形是什麼圖形？你還 記得嗎？
S2：線沒有斷掉的圖形……是封閉圖形。
教師：所以圖形只要是封閉的，是不是就有周長？
S2：對啊！對啊！封閉圖形有周長，像這個線(指著圖形 A，沿 著周界畫一次)沒有斷掉就有周長。
【1100503 S2 晤】
S3 前測答題 S3 練習單 1 答題 圖4-32 S3 前測與練習單 1 答題
S3 在圖 4-32 前測(左圖)中不覺得圖形 H 具有周長，在周長的意義和封閉性概 念不完整，經過補救教學後能知道封閉圖形具有周長，在練習單(右圖)上的答對率 為100％，顯示透過數學奠基活動的補救教學能釐清 S3 在周長意義及封閉性概念 上的迷思概念。
教師：說說看你怎麼知道練習單上這些圖形有沒有周長？
S3：這個線有連起來才有周長(用手指畫出圖形 J 的周界)，這邊 都可以連起來(指著練習單左邊六個圖形)，這邊都不行連起來 (指著練習單右邊四個圖形)。
教師：上一節課我們說這種線有連起來的圖形是什麼圖形？你 還記得嗎？
S3：封閉的圖形。
教師：所以是不是只要圖形是封閉的，就會有周長？
S3：沒錯！
【1100503 S3 晤】
S5 前測答題 S5 練習單 1 答題 圖4-33 S5 前測與練習單 1 答題
S5 在圖 4-33 前測(左圖)中不覺得圖形 H 具有周長，在周長的意義和封閉性概 念不完整，經過補救教學後能知道封閉圖形具有周長，在練習單(右圖)上的答對率 為100％，顯示透過數學奠基活動的補救教學能釐清 S5 在周長意義及封閉性概念 上的迷思概念。
教師：說說看你怎麼知道練習單上這些圖形有沒有周長？
S5：它們有包起來。
教師：把什麼包起來，可以再解釋清楚一點嗎？
S5：就是這樣(有指著圖形 A 的周界繞一圈)包起來就有周長，這 些也有包起來(指著其他有周長的圖形)，這個沒有包起來(指著 圖形 F 的缺口)，沒有周長，這個只有一條線的(指著圖形 C 和 H)也沒有周長。
教師：你還記得這種有包起來的圖形，我們叫它什麼圖形嗎？
S5：……忘了。
教師：這種有包起來的圖形叫封閉圖形。
S5：對，有印象了，封閉圖形。
教師：你看一下這個圖形(教師在紙上畫出愛心的圖形)，你覺得 它有周長嗎？為什麼？
S5：……(思考了一下，接著手指著愛心的周界畫一圈)。有，因
教師：所以你現在知道圖形只要是封閉的，就有周長？
S5：對，我知道了。
【1100503 S5 晤】
綜合上述資料，在實施數學奠基活動的補救教學後，五位受試學生中有一位 學生維持答對率為100％；一位學生無法在教學後將封閉性的概念類推到其他非直 線的圖形上，但透過教師的引導和說明以及最後找周長和面積心臟病活動，釐清 迷思概念；另外三位學生練習單的答對率為100％，因此可知數學奠基活動在釐清 學生在周長意義和封閉性上的迷思概念上是有效的。
圖4- 34 理解面積的意義與封閉性概念答對率
從圖4-34 的長條圖來看，在經過數學奠基活動的補救教學後，學生的答對率 來皆為100％，所有學生在面積的意義與封閉性的概念上都能獲得釐清，顯示透過 此教學活動能夠提升學生學習成效。說明如下：
S1 前測答題 S1 練習單 1 答題 圖4-35 S1 前測與練習單 1 答題
S1 在圖 4-35 前測(左圖)中不認為圖形 G 具有面積，經過補救教學後，同樣的 圖形在練習單(右圖)上，S1 能將其歸類在具有面積的圖形中，顯示數學奠基活動(活 動一)的補救教學能解決 S1 在面積的意義以及封閉性的迷思。
教師：說說看你怎麼知道練習單上這些圖形有沒有面積？
S1：這個線可以把圖形包起來(指著圖形 B 的周界)，然後它是封 閉的，這六個都一樣(指著練習單上左邊六個圖形)，所以他們有 面積。右邊這兩個(指著圖形 C 和圖形 H)是線條，沒有面積，這 兩個有開口(指著圖形 F 和圖形 G)，沒有包起來，就不會有面積。
教師：所以你已經知道封閉圖形，會有面積。
S1：我知道。
【1100503 S1 晤】
S2 前測答題 S2 練習單 1 答題 圖4-36 S2 前測與練習單 1 答題
從S2 在圖 4-36 前測的答題中(左圖)可知，S2 沒有面積封閉性的概念以致於在 前測中選擇了圖形E 和圖形 F。在經過補救教學後，在練習單(右圖)中能正確的找 出封閉性的圖形並確認封閉性的圖形具有面積，顯示數學奠基活動(活動一)的補救 教學能有效解決S2 在面積的意義以及封閉性的迷思。
教師：說說看你怎麼知道練習單上這些圖形有沒有面積？
S2：這個和找有沒有周長的圖形一樣，圖形的線沒有斷掉，是 封閉的圖形才會有面積！
教師：那你再看看練習單上面，有周長和面積的圖形有一樣嗎？
S2：有耶！他們都是封閉圖形，線都沒有斷掉。
教師：所以你發現他們都是封閉圖形，我們可以說封閉圖形會 有……
S2：有周長，也會有面積。
【1100503 S2 晤】
S3 前測答題 S3 練習單 1 答題 圖4-37 S3 前測與練習單 1 答題
S3 在圖 4-37 前測(左圖)中，面積封閉性的概念是不完整的。S3 知道線段、角 度等開放圖形不具有面積，但認為封閉圖形的線段一定要是直的才會有面積，因 此在前測答題上才會選擇圖形B 和圖形 C，忽略圖形 D、圖形 G 和圖形 H 的線段 雖然是不是直的，但他們都是封閉圖形。經過補救教學後，S3 在練習單(右圖)中 能正確的找出封閉性的圖形並理解只要是封閉圖形就有面積，無關圖形周界的線 段是曲線或直線。從S3 在練習單上的答題正確率 100％來看，顯示數學奠基活動(活 動一)的補救教學能有效解決 S3 在面積封閉性概念上的迷思。
教師：你怎麼分辨練習單上面的圖形有沒有面積？
S3：我看它有封閉啊！就是那個線有連起來，沒有開口，所以 這些(圈著練習單左邊六個圖形)都有面積啊！
教師：那你看一下老師畫的這個圖形(教師在紙上畫出愛心圖 形)，它有面積嗎？
S3：有啊！有面積，線有連起來啊！
教師：所以是不是只要圖形是封閉的，就會有面積？跟這個線(指 著愛心上面的弧線)是直的或彎曲的有關嗎？
S3：沒有關係，只要線有連起來就可以有面積了。
【1100503 S3 晤】
S4 前測答題 S4 練習單 1 答題 圖4-38 S4 前測與練習單 1 答題
S4 在前測(左圖)中，面積封閉性的概念是不完整的。S4 知道線段、角度等開 放圖形是不具有面積，卻認為封閉圖形的線段一定要像前測圖 B 這樣直直的，前 測圖C 這種閃電狀的就不具有面積；認為前測圖形 D 和圖形 B 有塗顏色就有面積，
而前測圖形G 沒有塗色就沒有面積，由上可知 S4 在面積具有封閉性的概念上非常 不完整。經過補救教學後，S4 在練習單(右圖)中能正確的找出封閉性的圖形並理 解只要是封閉圖形就有面積，無關圖形的線段是曲線、直線或是有無塗色。從 S4 在練習單上的答題正確率100％來看，顯示數學奠基活動(活動一)的補救教學能有 效解決S4 在面積封閉性概念上的迷思。
教師：說說看練習單上這些圖形有沒有面積？
S4：這條線可以把圖形包圍起來，是封閉的，如果在線裡面會 出不去，在線外面會進不來。這樣子的圖形就會有面積。
教師：那你看一下老師畫的這個圖形(教師在紙上畫出兩個菱 形，一個塗滿顏色，另一個空白)，它們有面積嗎？
S4：這個線(手指沿著塗色的菱形周界畫一圈)有包起來，這個線 也有包起來(手指沿著空白的菱形周界畫一圈)，有喔！兩個都會 有面積。
教師：圖形有沒有面積是看它有沒有塗顏色嗎？
S4：不是耶！
S4：像這個樣子有把這個包起來(手指兩個菱形周界)，封閉的，
就有面積了。
【1100503 S4 晤】
S5 前測答題 S5 練習單 1 答題 圖4-39 S5 前測與練習單 1 答題
S5 在圖 4-39 前測(左圖)的答題中，認為圖形內部必須要塗滿顏色才會有面積，
另外，從S5 選擇了圖形 A 和圖形 E 非封閉圖形來說，都顯示著 S5 在面積封閉性 的概念上是不完整的。經過補救教學後，S5 能理解封閉的意義，知道只要是封閉 圖形就有面積，與圖形內部是否塗滿顏色無關。從 S5 在練習單(右圖)上的答題正
另外，從S5 選擇了圖形 A 和圖形 E 非封閉圖形來說，都顯示著 S5 在面積封閉性 的概念上是不完整的。經過補救教學後，S5 能理解封閉的意義，知道只要是封閉 圖形就有面積，與圖形內部是否塗滿顏色無關。從 S5 在練習單(右圖)上的答題正