國立臺東大學教育學系 課程與教學碩士在職專班
碩士論文
指導教授：鄭承昌 博士
數學奠基活動融入周長與面積單元 補救教學之研究
研究生：蔡佩芳 撰
中華民國一一○年八月
國立臺東大學教育學系 課程與教學碩士在職專班
碩士論文
數學奠基活動融入周長與面積單元 補救教學之研究
研究生：蔡佩芳 撰 指導教授：鄭承昌 博士
中華民國一一○年八月
致謝辭
「勇氣，是帶著害怕前進」 ，兩年前帶著期待又忐忑的心情來到臺 東大學，如今能順利畢業，喜悅的心情真是難以言喻。
感謝我的指導教授鄭承昌老師，與老師的緣分源於 105 年的輔導 學分班，當時就希望有朝一日能到臺東大學就讀，成為老師的學生。
在每月一次的指導中，老師總能適時給予我建議和思考的方向，我也 才能一步步將論文完成。另外，也謝謝王朱福教授以及賀俊智教授在 口考時給予我寶貴的建議，讓我的論文能更為完整。
謝謝英男校長的支持，讓我鼓起勇氣報考研究所，以及就學期間 在行政事務上的包容和幫助；謝謝小組夥伴們 -宛儒、佳諭和蔚嬿，我 們能夠一起熬過這段辛苦的旅程，真的是太棒了；可愛的 A311 室友們 -玉菁、蓉芝、珮瑄以及陪著我一起完成在東大看日出心願的淑玲，謝 謝妳們的陪伴、不斷的加油打氣，讓我能夠有信心持續朝著目標邁進，
很幸運能夠遇到你們，讓我的碩班生活既充實又歡樂；謝謝教學經驗 豐富的孟洙老師、郁容老師和好友惠瑜在教學和課程設計上給予我許 多寶貴的意見；謝謝孟穎展現了英文強項；感謝我的芳鄰們 -柏吟、
子晴、實麟，太陽班真是個真誠溫暖且富人情味的地方；謝謝貼心和 窩心的靜蓉這一年來大力的幫忙、支持和陪伴，有妳真好！
感謝永遠支持我的蔡家人 -阿堂伯、小嬿、崇政哥、婉怡和雨潔，
無論是在成為正式教師這條漫長的路上、碩班就學階段或是工作上，
你們總是陪伴在我身邊，無怨無悔的付出，是我最堅強的後盾，我也 深深的感受到你們滿滿的愛，身為蔡家人真的是件很幸運和幸福的 事！還有每晚陪著我一起挑燈夜戰寫論文的蔡家狗仔們，愛你們喔！
最後，謝謝我自己的堅持、努力和不放棄，挺過了這段人生中最 為煎熬的時期，相信未來的日子會更加美好！
蔡佩芳謹誌
110.08.25
數學奠基活動融入周長與面積單元 補救教學之研究
作 者 ： 蔡 佩 芳
國 立 臺 東 大 學 教 育 學 系
摘 要
本研究旨在探究以「數學奠基活動」進行四年級周長與面積補 救教學歷程中，學生的數學學習表現以及教學者面臨的困難、解決策 略為何。本研究為行動研究法，研究對象為五年級參與補救教學 5 位 學生，以四年級周長與面積單元為教材，進行為期三周，每周 2 節課，
每節 40 分鐘，共 200 分鐘之數學補救課程。
研究結果發現：以數學奠基活動進行補救教學，能提升低成就 學生學習成效，分析原因為：每一節課以一個數學概念進行教學活 動，能降低學習負荷；繪製四連塊、五連塊圖形有助於周長與面積的 意義及封閉性概念理解；扣條圍正方形，有助於正方形公式意義理 解；實物操作搭配學習單，有助於避免教學流於遊戲；反覆操作次數 多，有助於概念加深；教學活動後進行歸納、討論，有助於概念釐清；
練習單答對率顯示數學奠基活動能提升學生學習成效。
關 鍵 詞 ： 周 長 、 面 積 、 數 學 奠 基 活 動 、 補 救 教 學
An Action Research on the Integration of Mathematics-Grounding Activities into
Perimeter and Area Unit in Remedial Instruction TSAI PEI FANG
Abstract
This research aims to explore the mathematics learning performance of students as well as the difficulties faced by teachers and the solutions in the course of remedial instruction of perimeter and area in the fourth grade through mathematics-grounding activities. This research adopted an action research method. The object of the study was 5 students who participated in s remedial instruction in the fifth grade. The perimeter and area units of the fourth grade were used as the teaching material. The course had lasted for three weeks, with 2 lessons per week, 40 minutes each lesson, and the mathematics remedial course was 200 minutes in total.
The results of the study found that remedial instruction with mathematics-grounding activities could improve the learning effectiveness of low-achieving students. The reason for the analysis was that: (1) Teaching activities with a mathematical concept in each lesson could reduce the loading of learning; (2) Drawing four-block and five-block graphics could contribute to the understanding of the closed concept of the meaning of perimeter and area; (3) Using the buckled square could help understand the meaning of the square formula; (4) The hands-on operation with the learning sheet could help to prevent the teaching from turning into game-playing; (5) With more repeated operations, it would be more helpful to deepen the concept; (6) The summary and discussion after the teaching activities could help to clarify the concepts; (7) the correct rate of the exercises has shown that the Mathematics-Grounding Activities could improve the effectiveness of students' learning.
Keywords: Perimeter, Area, Mathematics-Grounding Activities,
目 次
摘 要... i
Abstract ... ii
目 次... iii
表 次... v
圖 次... vi
第一章 緒論 ... 1
第一節 研究背景與動機 ... 1
第二節 研究目的與研究問題 ... 4
第三節 名詞釋義 ... 5
第四節 研究範圍與限制 ... 6
第二章 文獻探討 ... 9
第一節 周長與面積概念探討及迷思概念相關研究 ... 9
第二節 周長與面積教材分析 ... 14
第三節 數學補救教學 ... 16
第四節 數學奠基活動及相關研究 ... 20
第三章 研究設計 ... 27
第一節 研究設計 ... 27
第二節 研究對象 ... 29
第三節 研究工具 ... 30
第四節 教學規劃與教學流程 ... 34
第五節 研究流程 ... 40
第六節 研究倫理 ... 42
第四章 研究結果與討論 ... 43
第一節 補救教學前的前測結果與分析 ... 43
第二節 以數學奠基活動進行補救教學的實施歷程 ... 59
第三節 補救教學後的實施結果與分析 ... 77
第五章 結論與建議 ... 99
第一節 結論 ... 99
第二節 建議 ... 101
參考文獻... 105
壹、中文部分... 105
貳、外文部分... 107
附錄 ... 109
附錄一 周長與面積單元專家審題 ... 109
附錄二 前測初稿專家建議修正表... 123
附錄三 周長與面積單元_前測試題... 129
附錄四 教師觀察紀錄表... 134
附錄五 周長與面積補救教學教案... 135
附錄六 周長與面積補救教學學習單... 153
附錄七 周長與面積補救教學練習單... 167
附錄八 周長與面積補救教學活動附件... 171
附錄九 參與學童家長同意書... 185
表 次
表2-1 學生在周長迷思概念一覽表 ... 11
表2-2 學生在面積迷思概念一覽表 ... 12
表2-3 數學奠基活動相關研究 ... 23
表3-1 參與學生學習情況表 ... 29
表3-2 研究工具及使用時機 ... 30
表3-3 翰林版周長與面積單元學習目標與過去研究者發現的學生迷思概念 ... 30
表3-4 專家效度名單 ... 32
表3-5 周長與面積在過去研究中的迷思概念與前測初稿題目對應表 ... 32
表3-6 編碼說明表 ... 34
表3-7 教學規劃摘要表 ... 34
表3-8 數學奠基教學活動一說明 ... 36
表3-9 活動一中增修的教學活動及說明 ... 37
表4-1 學生前測答題表現及相關迷思概念對應表 ... 43
表4-2 學生迷思概念、錯誤解法相關之教學活動一覽表 ... 58
表4-3 學生迷思概念或錯誤解題方式與相關之研究 ... 58
表4-4 教學活動一改變學生的迷思關鍵 ... 61
表4-5 學生在教學活動一練習單的答題表現 ... 63
表4-6 教學活動二改變學生的迷思關鍵 ... 66
表4-7 學生在教學活動二練習單的答題表現 ... 71
表4-8 參與學生教學前後周長與面積概念答對率 ... 77
圖 次
圖3-1 研究架構圖 ... 28
圖3-2 教學流程圖 ... 39
圖3-3 研究流程圖 ... 41
圖4-1 S4 認為圖形要是直線才會有周長，圖形要塗色或是直線才有面積 ... 46
圖4-2 S3 認為圖形的邊要是直的面積，邊彎彎的，沒有面積 ... 46
圖4-3 S5 認為圖形沒有塗滿顏色就沒有面積 ... 47
圖4-4 S2 對於面積的定義完全不了解 ... 47
圖4-5 S4 將長方形面積計算成三角形面積 ... 48
圖4-6 S4 用三角形面積公式計算長方形面積 ... 48
圖4-7 S4 直接用三角形面積公式求長方形的寬 ... 49
圖4-8 S1、S3 把周長當作邊長求面積 ... 49
圖4-9 S5 把周長當作邊長，用周長公式求面積 ... 50
圖4-10 S1、S2、S3 用周長×寬求長方形面積... 51
圖4-11 S4 用三角形面積公式求長方形面積 ... 51
圖4-12 S5 用周長＋寬求長方形面積 ... 51
圖4-13 S2、S3、S4、S5 以長度單位回答面積問題 ... 52
圖4-14 S5 以體積單位回答面積問題 ... 53
圖4-15 S2 計算複合圖形面積時，直接將圖形上所有數字相乘 ... 54
圖4-16 S4 計算複合圖形面積時，從圖上隨意找三個數字相乘 ... 55
圖4-17 S5 計算複合圖形面積時，將切割後長方形上出現的數字當作是長和寬 56 圖4-18 S1 認為 1 平方公尺＝1000 平方公分或 100 平方公分 ... 57
圖4-19 S2 面積單位換算認知錯誤，認為 1 平方公尺＝1 平方公分 ... 57
圖4-20 S4 面積單位換算認知錯誤，認為 1 平方公尺＝100 平方公分 ... 57
4-21 S4 找周長時錯誤解法 ... 63
圖4-22 S4 誤將周長當邊長計算面積，將圖畫出，標示計算後的周長和面積減少
看錯情況發生... 72
圖4-23 S5 誤將周長當邊長計算面積，標示計算後的周長和面積，減少看 錯情 況發生... 72
圖4-24 S1 誤將周長看成邊長，透過圈關鍵字減少錯誤發生 ... 73
圖4-25 S2 誤將周長看成邊長，透過畫圖以及在算式中標示邊長減少錯誤發生 ... 73
圖4-26 S4 因計算錯而解題錯誤 ... 73
圖4-27 S2、S4 將周長看成邊長 ... 74
圖4-28 S2 將周長看成邊長 ... 74
圖4-29 理解周長的意義與封閉性概念答對率比較 ... 78
圖4-30 S4 前測與練習單 1 答題 ... 78
圖4-31 S2 前測與練習單 1 答題 ... 80
圖4-32 S3 前測與練習單 1 答題 ... 81
圖4-33 S5 前測與練習單 1 答題 ... 82
圖4-34 理解面積的意義與封閉性概念答對率 ... 83
圖4-35 S1 前測與練習單 1 答題 ... 84
圖4-36 S2 前測與練習單 1 答題 ... 85
圖4-37 S3 前測與練習單 1 答題 ... 86
圖4-38 S4 前測與練習單 1 答題 ... 87
圖4-39 S5 前測與練習單 1 答題 ... 88
圖4-40 能理解正方形公式意義並解決應用問題的答對率 ... 89
圖4-41 S1 前測答題 ... 89
圖4-42 S1 練習單答題 ... 90
圖4-43 S2 前測答題 ... 91
圖4-44 S2 練習單答題 ... 91
圖4-46 S3 練習單答題 ... 94
圖4-47 S4 前測答題 ... 95
圖4-48 S4 練習單答題 ... 95
圖4-49 S5 前測答題 ... 96
圖4-50 S5 練習單答題 ... 97
第一章 緒論
本研究主要探討運用數學奠基活動進行四年級周長與面積單元補救教學的實 施歷程與實施成效。本章節共分為四小節，第一節為研究背景與動機，第二節為 研究目的與研究問題，第三節為名詞釋義，第四節為研究範圍與限制，以下針對 其內容做詳細說明，分述如下。
第一節 研究背景與動機
TIMSS2015 調查研究報告分析 (TIMSS 為 Trends in International Mathematics and Science Study 的簡稱)，在連續四次近十六年的研究指出，我國國小四年級數 學領域中「幾何圖形與測量」的表現比其他主題差，雖然在2015 年的表現上有所 進步，但在東亞五個國家中表現仍是最差的(林碧珍，2019)。在教育部九年一貫數 學領域課程綱要中，周長和面積的學習重點橫跨了「數與量」及「幾何」兩個主 題類別，同時兼具測量以及幾何的概念，也經常應用於日常生活中(教育部，2009)。
周長屬於一維長度的概念，和生活息息相關，面積屬於二維的概念，在數學知識 系統上具有承先啟後的功用，矩形面積是多邊形、圓形面積的學習基礎，面積的 概念可作為解釋乘法關係的基礎，常用來解說其他數學概念，如：除法、小數、
分數等，概念之間存在媒介應用及互相連結的關係(陳嘉皇，2002)，因此，周長和 面積概念在學生學習的數學課程中是相當重要的。
研究者曾擔任中高年級的導師及補救教學教師，在教學實務現場中經常發現 部分學生學習周長和面積的過程中，因為未能正確了解其概念和定義而產生混淆 或是僅侷限於公式的背誦記憶，因此在解題時，學生時常將周長和面積的公式誤 用，例如計算長方形周長時會用長×寬、計算正方形面積時會用邊長×4；知道 1 公 尺＝100 公分，卻誤以為 1 平方公尺＝100 平方公分；以為面積單位由來是 1 公分
×1 公分＝1 平方公分。在過去的研究也指出學生在學完周長和面積相關概念後會 產生混淆(戴政吉，2001；王選發，2002；許嵐婷，2003)，其原因有：對於周長定
義的不了解，學生無法理解封閉區域的周界就是周長(譚寧君，1998、戴政吉，2001、
曾千純，2002、許嵐婷，2003)；認為周長和面積之間一定存有必然關係，例如：
周長相等的圖形，面積就會相等、周長愈長的圖形，面積也就愈大(譚寧君，1995、
王選發，2002、許嵐婷，2003、黃英哲，2006)；學習完面積後，會以面積的公式 來解周長的問題，或是以周長的公式來解決面積問題(戴政吉，2001、曾千純，2002、
王選發，2002、許嵐婷，2003、黃英哲，2006)；對於面積公式的意義不了解，以 死記公式來解題，或對題意不了解，僅憑直覺解題，以致公式的誤用與混淆(譚寧 君，1998、王選發，2002、許嵐婷，2003)。陳嘉皇(2005)指出不少中、低年級的 學生在周長與面積的概念、公式與被測量屬性以及測量單位間關係的理解上是有 難度的。學生會產生迷思概念，一部分原因在於教師在進行教學時忽略了這個時 期的學生需要透過具體的實物操作，也就是學生需要透過實際的觀察、比較、測 量和組裝等行為來理解幾何圖形的概念，建構幾何圖形組合要素、幾何性質和面 積公式的完整性及系統性(陳嘉皇，2015)。譚寧君(1994)、陳鉪逸(1996)研究指出 教師在面積的教學上，多以講述法進行教學，偏重規則性面積公式記憶，較少讓 學生透過實物操作理解概念形成，學生忽略了面積公式所代表的意義，也忽略了 不同面積公式之間的關聯性，以致於在面積概念停留在公式的套用上，影響日後 的學習。
然而，在數學概念中，越基礎的概念，學生越需要透過實際操作來理解(譚寧 君、黃琡懿，2009)，數學概念的建構不能僅是符號的說明，需藉由具體實物操作，
與抽象的概念進行連結，是一種操弄順序的說明(陳嘉皇，2004)。在 Piaget 的認知 發展論中，國小階段的學生處於具體運思時期，處於此時期的學生雖然能用邏輯 思考，但解決問題時仍需要依據具體經驗來處理，無法處理假設性或抽象的問題，
需要透過操作具體物來協助思考(張春興，1991)。根據研究顯示，透過「數學奠基 活動」融入教學，學生不但能建立數學概念(林子雯，2017)，亦能提升學生運算解 題能力，對概念理解具延宕效果(林家卉，2017)，不同學習程度的學童，透過奠基 活動裡動手操作的過程中，能發展數學概念(何典蓁，2018)。另有研究指出，若教 材未將二維空間幾何概念和面積概念結合，教師在教學過程中未落實實際操作與
討論教學活動，可能影響兒童對周長和面積概念的建構(黃幸美、張汶后，2009)。
在「數學奠基活動」設計的數學課程中，不但能讓學生透過實際動手做數學、玩 數學，在解決問題任務的過程中，教師引導學生進行腦力激盪、互相合作，討論 解題的方式和策略，將抽象的數學概念具體化，與課本內的數學單元連結，形成 具象且有感的學習，進而轉化成內在思考脈絡。
TIMSS2015 調查報告分析，臺灣國小四年級學生在數學成就表現上雖然名列 前茅，但在數學的興趣程度以及學習的自信心卻是敬陪末座，擁有較高學習興趣 及自信心的學生，其數學成就會有較佳的表現(林碧珍，2019)。TIMSS2003 年的報 告顯示，我國國小四年級到國中八年級的學生在數學成就的表現上差距愈來愈大 (林碧珍，2009)，教育部自 2006 年開始辦理「攜手計畫-課後扶助方案」以及 2012 年推出「國民小學及國民中學補救教學實施方案」，均是為了降低學生的學習落 差，協助弱勢與學業表現落後的學生提高學習力，落實教育機會均等的理想(教育 部，2016)。王金國(2016)指出學生在學習上並非能力不足，而是因為學習動機薄 弱，導致學習表現低落。研究者擔任的學校因實施補救教學時間在放學後，學生 經過一天在學校的學習後，往往疲憊不堪，若補救教學時教師仍採行講述法，除 了無法引起學生的學習動機，更會讓學生想從課室中逃離。假如教師在設計課程 活動時，能讓學生透過遊戲方式學習數學概念，這樣一來學生還會從學習中逃離 嗎？研究者從2015 年開始陸續參加過幾次臺師大數學教育中心辦理的「數學好好 玩」培訓研習工作坊，講師帶領者大家實際進行數學奠基活動教學，活動內容皆 是將數學學習概念結合有趣的數學遊戲，在實際動手操作以及討論解題策略中，
奠基數學概念。研究者也曾在校內辦理「數學好好玩營」暑期營隊，參與營隊的 學生，雖然年級及數學程度不一，但大多對奠基活動的數學遊戲感到新鮮有興趣，
活動任務包含個人解題以及小組討論，學生願意持續投入活動，也透過動手操作 的方式學習數學概念。根據研究顯示，數學學習低成就的學童經由動手操作教具 會對數學更有興趣(林子雯，2017)，能熱衷參與解題活動(許鳳紋，2019)。數學奠 基模組進行時，透過動手做與玩數學的過程中能有效提升學生學習興趣(林家卉，
2017、許鳳紋，2019)、學習動機及專注力(黃芷庭，2019、劉琳婷，2019)，增進
對數學的學習自信心，讓學生熱衷參與課程活動(許鳳紋，2019、劉琳婷，2019)，
降低數學學習時的焦慮感，增進追求成功的學習態度(林家卉，2017)。數學奠基活 動會讓學生越玩越有興趣學習數學，也更加地喜歡數學(許鳳紋，2019)。也因此讓 研究者想將數學奠基活動動手做、玩遊戲的教學方式融入四年級周長與面積單元 的補救教學中。
第二節 研究目的與研究問題
根據上述研究背景及動機，提出具體研究目的及研究問題如下：
一、研究目的
（一）探究運用「數學奠基活動」於四年級周長與面積補救教學之教學歷程。
（二）探究運用「數學奠基活動」進行四年級周長與面積補救教學前後，數學 低成就學生的數學表現。
（三）探究以「數學奠基活動」於四年級周長與面積補救教學過程中，教學者 面臨的問題。
二、研究問題
（一）透過「數學奠基活動」於四年級周長與面積補救教學之教學歷程為何？
（二）透過「數學奠基活動」進行四年級周長與面積補救教學前後，數學低成 就學生的數學表現為何？
（三）透過「數學奠基活動」於四年級周長與面積補救教學過程中，教學者可 能面臨的問題及解決策略為何？
第三節 名詞釋義
將本研究所涉及的重要名詞，分別說明如下：
一、周長 (Perimeter)
本研究所稱的周長指平面圖形的外圍，沿著封閉圖形的輪廓線所測量的長度 總和，是一維長度量，一個平面圖形的周長就是圍成圖形所有線段的總和。本研 究所探討的周長，僅限於長方形、正方形及不規則圖形。
二、面積 (Area)
本研究所稱的面積是指線段構成周界所圍成封閉區域內的大小，用單位面積 覆蓋或計算來估算其大小，是一種二維的度量概念。本研究所探討的面積，僅限 於長方形、正方形及不規則圖形。
三、 數學奠基活動
「數學奠基活動」是奠基學生在進入教室前的數學先備能力，教師透過活潑 趣味的教學活動，引發學生在學習時的興趣和動機，透過數學奠基活動除了能進 行具象有感的學習，亦能讓學生了解、體會學習內容和數學單元之間連結的關鍵 點，進而引起學生探究問題的好奇心(林福來，2015)。臺師大數學教育中心在 103 至 106 年度期間，開發「數學奠基模組」，鼓勵受培訓的教師於課外時間透過辦 理「數學好好玩」營隊，奠基學生數學學習。後來希望讓更多學生受惠，從 107 年度起將90 分鐘的奠基模組轉化為應用於教師課堂上使用的「數學奠基進教室模 組」，透過課程設計五原則為引動思考、營造數感、共建數學、診斷介入以及單 元設計滲透原則，將桌遊融入模組教學內。本研究中，將透過數學奠基活動的精 神及依據學生在周長與面積的迷思概念設計補救教學課程，期望在實施課程後學 生能達到應有的學習目標。
四、 補救教學
學生在學習上發生學習困難或是有迷思、錯誤觀念時，教師應進行適當的診 斷，依據診斷結果，了解學生的困難所在，對此設計一套適合學生的教學活動，
並協助學生解決在學習過程中遇到的困境，進而達到此階段的教學目標，補救教 學後仍須持續追蹤學生學習情況，以確定補教教學是否達到持續的效果。
第四節 研究範圍與限制
本研究主要探討運用數學奠基活動進行四年級周長與面積單元補救教學的實 施歷程與實施成效，教師實施教學過程面臨的問題因研究範圍的限制，導致研究 結果推論也有所限制，分述如下。
一、研究範圍 (一)研究對象
本研究對象為臺南市某國小，是研究者服務學校中參與數學補救教學的五位 學生，其中女生2 人，男生 3 人，其學習表現及能力有其特殊性和個別性，因此，
本研究教學歷程及研究發現之描述，僅止於本教學課室現場，不宜過度推論到其 他樣本。
(二)研究方法
本研究採行動研究法，以解決教學實務現場，學生在周長與面積單元上的迷 思概念，教學過程中依照學生學習情況隨時進行修正。
(二)教學內容
本研究教學內容以四年級長方形及正方形周長與面積概念學習為主，並未涵 蓋國小整個周長與面積概念。
二、研究限制 (一)教學時間
本研究實施教學時間原本預計從110 年 4 月 29 日至 6 月 3 日實施 11 節課共
實施課程，實際實施教學時間為110 年 4 月 29 日至 5 月 14 日，進行至教學活動 二，共實施 5 節課 200 分鐘，因此，本研究針對教學活動一和教學活動二的實施 歷程及結果進行分析。
(二)研究工具
本研究原本預計使用的研究工具有前測試題、後測試題、學習單、練習單、
教師觀察紀錄表及學生訪談，因疫情停課關係未能進行後測試題，因此，以學生 在課堂上的練習單作為檢驗學習成效的研究工具，練習單上的題目為前測試題的 平行試題。
(三)人力時間
因人力及時間因素，僅依據五位學生在前測平均答對率未滿 70％的迷思概念 進行課程設計實施補救教學。
第二章 文獻探討
本研究以數學奠基活動進行四年級周長與面積單元之補救教學，對實施歷程 及學生學習成效進行探討。本章節以周長與面積及學生迷思概念探討、周長與面 積教材內容、補救教學及數學奠基活動四方面進行相關文獻探討。第一節為周長 與面積概念探討及迷思概念相關研究，分析學生在學習此單元的過程中產生的迷 思概念，作為前測試題編制依據；第二節針對國小周長與面積教材進行分析，以 了解其在國小階段的課程地位；第三節為補救教學之相關研究；第四節為數學奠 基活動發展及相關研究，作為補救教學課程設計相關依據。以下針對其內容進行 說明，敘述如下。
第一節 周長與面積概念探討及迷思概念相關研究
本節探討周長與面積的概念以及學生常見迷思概念。周長為一維長度概念，
面積為二維概念，分別說明如下。
一、周長的意義
平面圖形中的輪廓線是周界，而周界的長度就是周長(教育部，2009)，指平面 圖形的外圍，沿著封閉圖形的輪廓線所測量的長度總和，是一維長度量，一個平 面圖形的周長就是圍成圖形所有線段的總和。周長為一維概念，是長度量的延伸 學習，因此，在學習周長前，學生必須有長度的基礎概念、測量概念以及估測念 的學習基礎。
長度為空間中，點從一位置移動到另一位置，此路徑可以加以量化(國立教育 研究院籌備處，2006)，指兩端點間的距離。在九年一貫數學領域課程中，長度在 一年級的教學目標認識長度，透過直接、間接或個別單位實測來比較物品長短；
二至四年級認識不同的長度單位，理解各單位間的關係，並做同單位計算以及實 測和估測，二年級認識公分與公尺；三年級進而認識毫米、公分、公尺；四年級
認識公里，以複名數解決長度問題；高年級透過比例計算出實際長度(教育部，
2009)。長度的概念分為基礎、測量以及估測三個部分：
(一)基礎概念：長度的基礎概念中，分為長度保留概念及長度計數概念。
1. 長度保留概念：指物體即便位置移動、重新組合或形變，其長度也會 維持不變的想法，Piaget 認為學童具有長度保留概念是在六至九歲。
2. 長度計數概念：指學生在進行點數時，須從直尺上的刻度 0 開始計數，
並非從1 開始計數。
(二)測量概念：長度的測量方式有兩種，一為直接比較，二為間接比較。直接 比較是指將線段長度拉直後，能看出較長的線段；間接比較是指比較兩物 品長度時，透過測量工具，例如：尺規等進行測量。
(三)估測概念：長度的估測概念可視為重要量感培養過程，學童需了解毫米、
公分、公尺及公里四種長度的換算及實際長度，才能進行估測及實測。其 實，國小學生尚未具備使用長度估測解題能力，僅能透過經驗或是在估測 活動中培養掌握長度量的基本事實(國立教育研究院籌備處，2006)
二、面積的意義
面積是指一個封閉的區域內平面的大小(譚寧君，1998) ，能被數個單位面積 覆蓋的程度。面積屬於二維的度量概念架構，學生從國小二年級開始接觸面積的 概念，在學習面積概念前，會先學習乘法概念。面積在二年級的教學目標為透過 數格子的過程認識面積；三年級認識平方公分；四年級認識平方公尺、正方形以 及長方形面積；五年級認識平方公里、公畝、公頃，梯形及平行四邊形面積；六 年級認識圓面積、扇形面積等複合面積的計算(教育部，2009)。面積的概念分為基 礎、測量以及估測三個部分：
(一)基礎概念：面積的基礎概念有二種，一為面積保留概念，二為面積計數概 念。
1. 面積保留概念：有兩個不同層次，其一為基本面積保留概念，指面積 的大小不會在切割後、轉動後以及位置移動後變大或變小。其二為互
而完成一個完整的圖形(譚寧君，1995)。
2. 面積計數概念：指點數計算圖形或斜線面積，若圖形為整數格，則直 接進行點數，若非整數格，則利用面積補償關係進行計算。
(二)測量概念：面積測量概念分為三階段(譚寧君，1998)
1. 第一階段為基本面積概念。點數方形格子，對不完整的格子面積，建 立互補策略來計算。
2. 第二階段為單位面積概念。面積測量透過不同方式拚湊，用相同的面 積排成不同形狀(等積異形)。
3. 第三階段為直線測量面積概念。探討面積公式由來，透過具體學習經 驗來驗證，如三角形面積為正方形、長方形或平行四邊形面積的一半。
(三)估測概念：學童可以透過估測活動發展量感，例如公布欄需要幾張圖畫紙 才能蓋滿？可先估測，再進行實測，引起學生學習興趣(譚寧君，1997)。
學童需要先藉由估算活動後再進行測量活動，以此方式進行面積量感的培 養後才能具體了解面積量感的意義(王選發，2002)。
三、學生常見的周長迷思概念
從過去研究中可知學生在周長上常見的迷思概念有對定義的不了解、計數方 式的混淆、關係的混淆及公式混淆等，詳細說明如表2-1。
表2-1
學生在周長迷思概念一覽表
周長迷思概念 研究者
定義的不了解 不了解周長的定義，不了解平面圖形周界 (輪廓線)的長度就是周長。
譚寧君(1998)、戴政吉(2001) 曾千純(2002)、許嵐婷(2003) 計數方式混淆 計 算 由 單 位 方 格 組 合 而 成 的 圖 形 周 長
時，以單位方格數量作答。
黃英哲(2006)
陸昱任、譚克平(2009)
關係混淆
1.認為兩平面圖形周長相等時，面積就會 相等。
2.認為周長越長的平面圖形，面積就越大
譚寧君(1995)、王選發(2002) 許嵐婷(2003)、陳志遠(2010) (續下頁)
周長迷思概念 研究者
公式混淆
誤用周長面積公式
1. 正方形面積＝周長×周長 2. 長方形周長＝長×寬
戴政吉(2001)、曾千純(2002) 黃英哲(2006)
資料來源：研究者整理
四、學生常見的面積迷思概念
從過去研究中可知學生在面積的基本概念、保留概念及測量概念上都有迷 思，詳細說明如表2-2。
表2-2
學生在面積迷思概念一覽表
面積迷思概念 研究者
基本概念
1.誤解定義
(1)物體不能被計算就沒有面積 楊美惠(2002) 陳志遠(2010) (2)圖形要擺正才有面積 許嵐婷(2003)
陳志遠(2010) (3)圖形內部必須實心才有面積 楊美惠(2002) (4)誤認為圖形要有規則(如圓形、正方形、長
方形)才有面積
楊美惠(2002) 陳志遠(2010) 2.封閉性概念 (1)誤認為開放圖形或線段也有面積 楊美惠(2002) (2)認為圖形只有角度或只有長度就有面積 譚寧君(1997)
3.受公式制約
(1)認為自己算的出來的圖形就有面積 王選發(2002) 楊美惠(2002) (2)有角度、有長度的圖形才有面積 許嵐婷(2003)
蘇琬淳(2004)
保留概念
1.依據視覺錯 誤判斷
(1)從視覺上進行判斷，直接從圖形的長寬胖 瘦來判斷面積大小，或無法比較
許嵐婷(2003) 蘇琬淳(2004) (2)其複合圖形剩餘面積時，受視覺影響，缺
乏等量減法的概念
許嵐婷(2003) 蘇琬淳(2004) (3)在進行等積異形圖形的比較中，容易被視
覺主觀所影響，而有錯誤判斷 王選發(2002) 2.圖形變形、
移轉
(1)受圖形切割或變形後，受邊長或排列的位 置不同所干擾，而影響面積保留性的判斷
譚寧君(1998) 王選發(2002) 李國禎(2011)
面積迷思概念 研究者
保留概念
2.圖形變形、
移轉 (2)受圖形旋轉影響面積保留概念 李國禎(2011)
3.直觀法則 (1)會以高度或寬度大的為面積大的圖形 戴政吉(2001) 楊美惠(2002) (2)認為圖形外形不同則面積不同 楊美惠(2002)
測量概念
1.單位量的點 數
(1)點數面積時，將未滿一格的圖形皆視為半 格來計算
譚寧君(1998) 王選發(2002) (2)點數面積時，會將未滿一格的圖形當作一
格，或忽略不計
戴政吉(2001) 許嵐婷(2003) (3)單位面積非 1 平方公分時，易忽略單位量 王選發(2002)
許嵐婷(2003)
2.單位面積概 念
(1)計算單位方格組成的圖形面積，將單位方
格數乘以單位方格邊長 許嵐婷(2003)
(2)認為 1 平方公尺等於 100 平方公分
王選發(2002) 許嵐婷(2003) 陳志遠(2010)
3.與周長概念 混淆
(1)與周長概念混淆，而以周長公式解面積問 題
戴政吉(2001) 王選發(2002) 許嵐婷(2003) (2)認為邊長為原來的兩倍時，面積也會變為
原來的兩倍
楊美惠(2002) 蘇琬淳(2004) 陳雯貞(2005) (3)誤認為面積較大的平面圖行，周長也會比
較大
陳雯貞(2005) 黃英哲(2006) (4)誤認為面積相等的圖形，周長一定會一樣
長
王選發(2002) 陳雯貞(2005) 黃英哲(2006)
4.公式應用的 迷思
(1)以死記公式來解題，對題意不求甚解，造 成公式的誤用及混淆
譚寧君(1998) 王選發(2002) 許嵐婷(2003) (2)在求周長和面積時會胡亂湊數字或是依圖
形上出現的數字來算出答案
戴政吉(2001) 許嵐婷(2003) 蘇琬淳(2004) 測量概念 4.公式應用的
迷思 (3)不會透過移補的方式來計算複合圖形 許嵐婷(2003) 資料來源：研究者整理
第二節 周長與面積教材分析
本節將探討九年一貫數學領域課程綱要中，國小周長與面積教材分析。
一、周長與面積教材內容分析
本研究對象為五年級學生，教科書內容為教育部九年一貫課程綱要數學領 域，周長和面積的學習重點涵蓋了「數與量」及「幾何」兩個主題類別。周長為 一維概念，是長度量的延伸；面積屬於二維概念，是一種幾何封閉圖形區域內的 量(陳人豪，2011)。周長和面積的學習歷程不但兼具測量以及幾何的概念，也經常 應用在日常生活中(教育部，2009)。「數與量」在國中小課程中具有舉足輕重的地 位，國小階段奠基其概念及培養演算能力。「數與量」在國小的範圍涵蓋了整數、
量與測量、有理數及估算等，其中量與測量分為長度、面積、體積、容量、重量、
角度和時間(教育部，2009)。
Piaget，Inhelder，Szeminska(1960)歸納學童在長度、面積、容量和重量的測量 概念如下：
第一階段：四至四歲半的學童僅會透過視覺直觀做直接比較。
第二階段：四歲半至七歲的學童測量時能透過移動物體、手輔助視覺測量、
使用簡單物品(鉛筆、手的長度)輔助測量。
第三階段：七至八歲的學童使用共同物品進行測量，是間接測量的概念。
Piaget 上述階段論，為循序漸進的發展過程，上一個階段發展完成後，才會往 下一個發展階段，兒童在七歲之後才會具備實際測量的基礎和能力。
在九年一貫數學領域中有四個學習階段，國小一、二年級是第一階段，國小 三、四年級是第二階段，國小五、六年級是第三階段，國中七至九年級是第四階 段。
在九年一貫數學領域課程綱要中，數與量、幾何兩大主題，學生在學習過程 中都應該經歷以下四個學習階段：第一階段為初步概念與直接比較；第二階段為 間接比較與個別單位；第三階段為常用單位的約定；第四階段為常用單位的換算(教
育部，2003)。
周長與面積在「數與量」裡的能力指標可知學童會先透過感官觀察以及實際 操作的過程中去體會認識周長和面積的概念和意義，利用繪製活動進行直接比 較、間接比較，認識周長及面積個別單位，進行估測、實測活動，理解個別單位 間的關係進行單位量化聚與計算比較，理解和運用正方形、長方形周長及面積公 式，形成高年級三角形、平行四邊形、梯形學習概念的基礎。
從周長與面積在「幾何」主題中相關能力指標可知，國小階段從二年級開始 認識面積；三年級的課程教學開始進行周長及面積的概念教學、認識周長及面積 測量單位(平方公分)，進行實測與計算，透過實際操作奠基面積保留概念；四年級 透過平方公分版的操作，帶入正方形及長方形面積公式，進而解決複合圖形問題，
進行單位量(平方公分、平方公尺)換算和比較；五年級在三角形、梯形及平行四邊 形的面積公式上，會實際操作經過切割、進行重組後來理解面積公式的意義，也 會進行長方體和正方體表面積的計算；六年級則進一步認識平面圖形在放大、縮 小後對長度與面積有何影響、理解圓的周長和面積公式、計算扇形面積以及解決 複合圖形問題。
因此，學童在三年級進行周長及面積概念學習時，若教材未將二維空間幾何 概念和面積概念結合，實際操作與討論教學活動的落實，可能影響兒童對周長和 面積概念的建構(黃幸美、張汶后，2009)。本研究透過數學奠基活動，以遊戲方式 讓學生實際動手操作後，再透過提問方式讓學生進行討論，藉此解決學生的迷思 概念，奠基周長和面積的基本概念，以利爾後的學習。
此外，本校四年級採用翰林版本的數學，從翰林版的教師手冊上可知國小階 段周長與面積的概念從三年級開始，先認識圖形周界、周長和面積的意義以及測 量單位(平方公分)，此外也會透過點數計算圖形面積，乘法算式計算正方形、長方 形面積為銜接四年級公式的基礎；到了四年級會認識測量單位(平方公尺)，了解平 方公尺與平方公分間的關係、學會透過公式計算出正方形及長方形面積，也要能 處理知道長方形面積和寬(或長)，可以反推求長(或寬)，甚至直接求周長，或是知 道正方形周長後，求面積的問題，公式中的各項計算關係都要加強理解；到五、
六年級，將梯形、圓形、三角形以及平行四邊形透過切割重組成長方形，以理解 其面積公式的計算方式，因此在四年級需奠定長方形面積基礎，以利銜接。在複 合圖形方面，從三年級學習透過切割拼湊方式計算複合圖形；到四年級正方形、
長方形複合圖形計算；五年級著重在平行四邊形、三角形、梯形及正方形、長方 形表面積的複合圖形計算；到六年級計算角柱及圓柱的表面積與體積、複合圖形 體積。由此可知中年級長方形和正方形的周長與面積為奠定往後高年級平面幾何 及立體幾何的基礎。
第三節 數學補救教學
補救教學是針對在課程上程度落後或是有學習困難的學生，實施個別且適合 學生學習能力的教學，以確保學生達到此學習階段應具備的基本能力(教育部，
2013)。教師在教學過程中對於無法達到教學目標的學生，採取有效的教學策略或 活動，使學生達到應有的學習水準(陳惠萍，2009)。
本研究探討學生在學習周長與面積單元時的迷思概念和錯誤的類型，分析學 生的迷思概念，期待透過補救教學，釐清學生在此單元的錯誤觀念，讓其在往後 相關概念銜接學習中能增進學習的自信心、提升學習興趣並建立正向的學習態 度。以下依補救教學實施對象及特徵、課程設計原則、實施歷程及教學策略，分 加以探討。
一、補救教學實施對象及特徵
低成就學生是補教教學中主要的對象。低成就的定義為學生實際的學業成績 明顯比班級平均低或是明顯低於自己的能力水準；學業成績不及格，學業表現名 顯落後其他學生亦稱為低成就(張新仁，2001)。研究指出低成就學生在學業和日常 行為表現上會有類似的特徵(張新仁，1999)，在學業表現上的特徵包含：在答題時，
呈現較低的基本作答技巧；學業成績低落；數學或閱讀能力較一般學生落後；在 學業上有挫敗感或被留級；會抄襲同學的作業或是常有不交作業的理由。在日常 行為表現的特徵為：需要家長或教師的特別留意，依賴心較重；對於喜愛的課程，
能有較好的理解力和記憶力；不容易專心；缺乏學習動機；較不容易適應自我或 社會性的控制；需要更多時間在學習上；不喜歡學校指派的作業；出席率較低和 習慣性遲緩；家庭支持較為薄弱。
由上可知，接受補教教學的學生在學習的過程中都遇到一定程度的學習困 難，也經歷了相當程度的挫敗，時常淪為課堂中的「客人」，漸漸的喪失學習興 趣與自信心。因此，教師在進行補救教學時，要提升學生在學習上的動機，給予 耐心的指導以及正向的回饋都是相當重要的。
二、補救教學課程設計原則
為了建立學習低成就學生的學習動機和自信心，補救教學課程設計原則，大 致需從簡單到困難、從學過的到未學過的；在學生學習活動上，學生的程度及接 受度、學習動機都是教師在補救教學上需要加以考量的因素(許美香，2016)。補救 教學課程可歸納以下五個步驟(杜正治，1993)：
(一)分析受試者基本能力
學生若基本能力不足，會造成學習上的困難，亦不易達到學習目標，因此學 生須具備一定的心智能力(觀察、記憶、想像、知覺、理解、注意及想像力)，因此，
教師在進行補救教學課程內容設計時，必然需要優先了解和分析學生的能力，再 選擇適合學生的教材與教學方法，才能收補救教學之成效。
(二)評量受試者學科能力
補救教學的課程設計是依據課前評量學生在此學習領域上的學習能力，此評 量方式多為成就評量。
(三)評量受試者學習動機
學生的學習成效會受學習動機的強弱影響，因此，教師在實施補救教學課程 之前，有先了解學生學習動機強弱的必要性。除了提供適當的增強給學習動機低 落的學生，也可以優先將學習動機強，但學業上低成就的學生列為先補救的對象。
(四)擬定課程目標
教師的教學方法以及教學成效會受課程目標研擬所影響，因此，進行課程目
標包含學習的內容、對象、教學方法、行為標準以及評量方式。
(五)選擇適合學生能力的教材
教師要依據學生的學習程度，選擇適合學生的教材內容，才能設計出有效的 補救教學課程，其中包含：參考坊間課程教材進行編選、簡化教材內容符合學生 學習程度、讓學生練習有效的學習方法、教師依學生能力重新設計教材內容。
補救教學需考量學生的特質，課程的安排從容易、簡單、已學的，循序漸進 至困難、繁瑣、未學的，才能建立學生的自信心，對程度在中低的學生而言，應 該將教材簡化，讓學習活動更具變化及趣味性，亦能增強學生的學習動機(張新仁，
2001)。補救教學是一門專業，擔任補救教學的教師在補救教學中具舉足輕重的地 位，而低成就學生學習特徵包含學習動機弱、自信心不足、不容易發現教材概念 的結構或規則、以及缺乏學習策略，需要依照學生的程度、能力以及興趣編制發 展補救教學教材，透過補救教學課程讓學生從課室的客人變成主動的學習者。
三、補救教學實施歷程
補救教學的實施歷程是透過「評量-教學-再評量」不斷循環的過程(張新仁，
2001)。期望學生透過補救教學課程後，能跟得上原班級的教學進度。其歷程分為 三個階段(張新仁、邱上真、李素慧，2001)。
(一)轉介過程
個案篩選、分析診斷、轉介符合資格的學生接受補救教學課程是補救教學首 要工作。透過教師觀察、評量和家長提供的相關資料進行初步診斷，篩選個案後 轉介診斷小組；收集個案各科評量成績、性向及智力測驗結果、學習態度及身心 狀況等相關資料，進行初步的分析與診斷；透過學生總結性評量結果，判斷分析 學生學習困難之處，提出適合學生的補救教學方案。在家長同意的情況下，方可 進行正式評量。
(二)正式評量
透過評量了解學生學生在學習時產生了的迷思概念、學習困難點，對此進行 補救教學。
(三)教學
教師分析學生學習困難及迷思概念的部分，依照學生的需求，進行教材的設 計或研發，依學生的特質，選擇合適的教學方法及應用策略。
四、補救教學策略
在補救教學中，在適當時機運用合適的教學策略，能使低成就學生進行有效 的學習(張新仁，2001)。
(一)直接教學法
在進行記憶事實、學習簡單讀寫、動作技能學習時，可以採用此教學法。
(二)精熟教學法
每位學生的學習狀況及學習速度都不盡相同，教師在教學時將學生需要精熟 的標準列出，讓學生有充分的時間可以練習和精熟學習內容。
(三)個別化教學法
學生依據教材內容進行個別學習，在課程進度上自行決定學習速度的快慢。
(四)合作學習法
精熟學習內容的方式是以小組間合作學習的模式進行，經由異質分組建立組 員間相互依賴關係，過程中重視小組獎勵，以達到學科成績進步，並從中學習與 他人合作的行為與人際間交往的技巧。
本研究透過數學奠基活動進行補救教學，其採用的教學方法有：
(一)發現式教學法
教師提供自由輕鬆的情境讓學生進行學習，從學習活動中觀察後發現事物和 情境之間的關係。Bruner (1966)指出教師教導學生時需啟發學生主動求知和組織知 識，並非把學生當成書櫥不斷灌輸知識。在教師建構的教學情境下，選擇適當的 時機、輕鬆自由的氣氛，在特定的教學情境安排下，讓學生容易發現知識，並提 出特定的問題讓學生討論後發表，鼓勵學生自己探索及解決問題，最後教師可指 導學生解決問題的策略。
(二)遊戲式教學法
在教學的過程中，透過遊戲的形式，讓學生從中進行學習，能提高學生對學
本研究透過數學奠基活動進行周長與面積的補救教學，藉以釐清學生在周長 與面積單元的迷思概念，採用發現式教學法，透過教師安排情境，讓學生從實作 中探索解決問題，建立概念；遊戲式教學法增進學生學習動機；個別化教學模式，
了解學生程度上的差異進行個別指導，增進數學學業成就上的進步
第四節 數學奠基活動及相關研究
「數學奠基活動」是奠基學生在進入教室前數學先備能力，教師透過活潑趣 味的數學活動，引發學生在學習上的興趣，提升學生的學習動機，透過活動除了 能進行具象有感的學習，亦能讓學生體會學習內容與數學單元連結的關鍵點，進 而引學生探究問題的好奇心(林福來，2015)。從 107 年度起將 90 分鐘的奠基模組 轉化為應用於教師課堂上使用的「數學奠基進教室模組」，透過課程設計五原則 為引動思考、營造數感、共建數學、診斷介入以及單元設計滲透原則，將桌遊融 入模組教學內。
一、數學奠基的理論基礎
Bruner 的表徵理論為數學奠基的理論基礎，奠基活動模組設計依據其表徵理 論：操作表徵、圖像表徵以及符號表徵。將數學概念透過適當的圖像表徵，轉化 為具體操作活動後，再轉化成遊戲式教學活動(陳怡潔，2018)。Bruner 將表徵知識 學習分為三階段：
(一)操作階段：學習時需透過具體物進行操作，例如：進行加法時，需要透過 花片的點數完成合成。
(二)圖像階段：學習時透過視覺心像，例如：藉由實際的照片或圖片進行學習。
(三)符號階段：學習時透過特定語言或符號來表示數學概念，不需要透過操作 和圖像學習。
Bruner 主張教師必須提供學生以直接的經驗來進行學習，從經驗的形象表現
（如圖片、影片等）到符號表現（如語言、文字）。Piaget 的認知發展論中，強調 國小階段的學生需透過具體操作來進行認知，將操作的結果在心中形成邏輯系
統，最後加以利用和組織(張春興，2007)。
奠基的「基」是指數學能力、數學思維以及數學概念，數學奠基活動將遊戲 結合數學概念融入教學活動中，主要目的在引起學生對學習的興趣，提高在學生 上的學習動機，若學習目標不明確，會導致整個活動的設計過於偏向遊戲面，因 此，遊戲必須要有明確認知和情意目的，不能喧賓奪主，所以，在教學中使用的 遊戲也要掌握數學學習原則，才能達到教學目的，並非流於遊戲形式。數學遊戲 學習六階段及數學學習四原則 ( Dienes , 1973 )，透過遊戲經過六個階段歷程可達 到數學概念的建立：
(一)數學遊戲學習六階段
1. 自由玩耍 ( free play )：在設定的情境中，學習者接觸到特定的學習結 構，可以自由操弄，操作一段時間後能留意學習結構中的屬性。
2. 有規律遊戲 ( games )：在自由玩耍的過程中，對具數學結構的事物作 出反應和適應，發現其中的規律性。
3. 找尋共同結構 ( searching for communality )：能在學習情境中進行比 較、分類活動，並應用到類似的情境中。
4. 形成結構表徵 ( representation )：學習者透過文字描述、圖表、語言或 具體物來敘述上一階段分類的策略。
5. 符號化 ( symbolization )：使用數學符號或語言表示上一階段的數學結 構，如：15=1×15=3×5。
6. 形式化 ( formalization )：此時數學概念已形成，向學習者引入正式的 數學符號。
學習者透過數學遊戲六階段的順序進行數學概念的建構，在設定的情境和遊 戲規則中不斷嘗試，從操作中比較、觀察發展出數學規律，最後能使用數學符號 表達數學概念，遊戲的過程都能切合設定的教學目標，學習者則透過遊戲經歷數 學概念奠定的過程。
(二)數學學習四原則
1. 動態原則 ( dynamic principle )：學習是主動參與的過程，在與適切的
教材內容互動下形成數學概念，其過程包含遊玩、結構與實作等。
2. 建構原則 ( constructivity principle )：學生透過具體操作活動建構知識 或概念，如：學生建構位值概念須透過各式各樣具體操作活動。
3. 數學變異原則 ( mathematical variability principle )：形成數學概念時，
能提供不同的案例。
4. 知覺變異原則 ( perceptual variability principle )：形成數學概念時，能 提供不同的知覺表徵，如：具體操作物、圖片或影片等。
數學學習四原則由學習者主動參與，透過實際操作建構概念，能從學習教材 中觀察到變異原則，進而推演到其他情境中。
二、數學奠基模組設計原則 (一)根本關鍵原則
1. 活動目標多樣性：分為知識、能力以及學習力三個面向。
2. 活動內容的重要性：以特定的數學內容為授課內容，奠定重要且基本 的素養內涵及數學能力和知識。
(二)序列流暢原則
1. 活動序列符合認知理論：活動順序須符合 Bruner 的表徵理論、Dienes 的數學學習六階段四原則以及Skemp 的智性學習及建築檢驗三模式。
2. 活動序列符合學習者認知特徵：以先備經驗為學習起點，透過探索經 驗進行銜接，最後能轉換為抽象經驗。
(三)激發需求原則
1. 活動方式競賽性：透過猜謎或遊戲進行個人或分組競賽，競賽以正 確、迅速、多樣、特殊為評比標準。
2. 活動方式激發性：引發學生學習動機，讓學習者願意參與活動，並能 投入時間在活動上。
(四)延伸發展原則
1. 活動經驗的核心目標：能確實檢核並清楚敘述學生在認知、情意或技
2. 活動經驗的延伸與發展性：學生的學習表現可做為橫向、縱向延伸發 展學習活動的基礎。
透過以上奠基模組設計原則來確保奠基活動模組的課程內容及教材的品質，
避免教學活動流於遊戲的形式模糊了教學的重點及學生學習的目標。
三、數學奠基活動相關研究
（一）數學奠基活動融入教學相關研究
研究者將目前國內奠基活動融入教學的相關研究整理如表2-3。
表2-3
數學奠基活動相關研究 研究者
(年代) 研究名稱 研究對象 研究結果
廖盈甄 (2019)
奠基活動融入國小三 年級分數單元對學習 成就與態度的影響
國小三年級
1. 學習成就顯著優於接受講述式教學 的學童。
2. 學習態度有明顯提升。
何典蓁 (2018)
以數學奠基模組探究 國小四年級學童扇形 概念學習歷程之研究
國小四年級
1. 不同學習程度的學童，透過奠基模 組中動手操作的過程中，確實能發 展扇形概念，但並非所有錯誤初始 概念都能有機會被澄清。
2. 在敘述扇形概念方面：高分組能使 用數學語言；低分組藉由操作後的 現象來描述。
3. 在作圖表現上：高分組使用尺規作 圖及作出正確扇形比例高於中低分 組；大部分中低分組透過操作中的 暫存心像作圖，不一定能作出正確 的扇形。
(續下頁)
研究者
(年代) 研究名稱 研究對象 研究結果
林子雯 (2017)
國小五年級異分母分 數加減法奠基教學之 個案研究
國小五年級
1. 分數概念的建立對分數加減運算的 理解是有影響的。
2. 多種解題策略對學生並無太大的幫 助。
3. 動手操作讓數學低成就學生對數學 感到興趣。
4. 解題能力上，動手操作比紙筆測驗 佳。
黃芷庭 (2019)
一所偏遠國小五年級 班級以奠基數學活動 融入數學領域之行動 研究
國小五年級
1. 透過動手做與玩數學能有效提升學 生學習興趣、動機及專注力。
2. 透過分享及討論來釐清概念。
3. 學生為參與者，有效提高學生主動 積極的態度。
4. 學習低落學生可藉由教學活動再次 學習。
林家卉 (2017)
桌遊奠基融入教學策 略對國小學生「數感」
及｢比與比值｣學習成 效之影響
國小六年級
1. 能提升運算解題能力，對概念理解 具延宕效果。
2. 能引起學習興趣，增強數感能力，
降低學習焦慮感，增進追求成功的 學習態度。
3. 透過討論，學生有參與感，能投入 課堂學習，於分享過程中能增進表 達能力。
4. 能察覺數學有用性。
蕭新雄 (2017)
以奠基活動進行七年 級一元一次方程式補 教教學之行動研究
國中七年級
1. 能提升低成就學生學習成效。
2. 能提升低成就學生學習興趣。
3. PPT 動畫可補其在解題文字上之不 足。
4. 奠基活動在補救教材設計上有侷限 性。
(續下頁) 研究者
(年代) 研究名稱 研究對象 研究結果
許鳳紋 (2019)
數學奠基活動在課堂 上的運用對國中生數 學學習成效與動機之 影響
國中七年級
1. 實驗組學生在學習成績上無顯著差 異，但可提升學生學習興趣、學習 自信及熱衷參與數學活動。
2. 低分群學生認為數學課的內容更為 豐富有趣，也更熱衷於參與數學解 題活動，顯示奠基活動對於低分群 學生更有幫助。
3. 在實施數學奠基活動後，實驗組低 分群學生在數學信心與數學參與二 個方面上已提升並與高分群學生無 顯著差異。
4. 高低分群學生，情意面向的平均分 數都隨著活動的次數的增加而有越 來越高的趨勢。
劉琳婷 (2019)
以數學奠基教學法提 升學習者工程幾何圖 形認知與學習成效之 行動研究
國中七年級
1. 能增進研究者在課程設計上的能 力、改變研究者的教學觀、增進研 究者與研究對象間的互動。
2. 促進學習者對課程的參與，能提升 學習者的數學學習表現。
3. 奠基教學活動情境鋪成與具體經驗 有助於提升學習動機，增進學習信 心。
4. 學習者呈現正向感受與並給予正面 回饋意見。
盧怡伶 (2017)
透過數學奠基活動減 輕八年級學生數學焦
慮之行動研究
國中八年級
1. 學生整體數學焦慮顯著減輕，男生 低於女生。
2. 學生覺得數學文字符號較具體、更 理解數學公式由來。
3. 學生的思考方式更能從操作及圖像 表徵轉化到符號表徵。
4. 能提升學生主動探究的態度及學習 興趣。
由以上研究得知，無論在國小或國中透過數學奠基活動融入教學中，能使學 習的動機提升、增進學生學習的興趣。課堂中融入數學奠基模組教學能建立學生 數學概念(林子雯，2017)、提升運算解題能力，學生對概念的理解具有延宕效果(林 家卉，2017)。能讓數學低成就的學生能對數學產生學習興趣(林子雯，2017)，對 解題活動樂在其中(許鳳紋，2019)，增強其數感能力，減輕學生在學習數學學習時 的焦慮感，增進追求成功的學習態度(林家卉，2017)。此外，對於不同學習程度的 學童，透過奠基模組中動手操作的過程中，能發展數學概念(何典蓁，2018)。課程 中透過分享及討論來釐清概念(黃芷庭，2019)，討論的過程中，讓學生有參與感，
更加投入在課堂學習中，透過分享能學生增進表達能力(林家卉，2017)。此外，研 究指出透過數學奠基模組中動手操作的活動過程，能有效提升學生學習興趣(林家 卉，2017、盧怡伶，2017、許鳳紋，2019)、學習動機及專注力(黃芷庭，2019、劉 琳婷，2019)，增進對數學的學習自信心，讓學生熱衷參與課程活動(許鳳紋，2019、
劉琳婷，2019)。數學奠基活動進行時，在動手做與玩數學的過程中數學奠基活動 會讓學生越玩越有興趣學習數學，也更加地喜歡數學(許鳳紋，2019)。本研究將透 過研究者設計的數學奠基活動進行周長與面積的補救教學，讓學生在動手操作的 過程中增進學習者的學習興趣和學習動機，更期望透過此教學方式釐清周長與面 積的概念以及關聯性。
第三章 研究設計
本研究目的在探討數學奠基活動運用在四年級周長與面積單元補教教學之教 學歷程、教學前後學生的數學表現為何？補救教學學生在學習周長與面積單元中 出現的迷思概念，透過前測試題找出學生在周長和面積的學習迷思概念，分析學 生在試題上的錯誤類型及原因，透過數學奠基活動進行補救教學，建立正確數學 的概念，以澄清學生學生的迷思概念。本章節依研究設計、研究對象、研究工具、
教學規劃與教學流程、研究流程以及研究倫理，共六節進行說明。
第一節 研究設計
本研究屬行動研究法。實施教學時間原本預計從110 年 4 月 29 日至 6 月 3 日，
利用每周四、五中午午休時間進行，每周 2 次，每次 40 分鐘，為期 6 周，共 11 節課，440 分鐘。因疫情停課，實際實施教學時間為 110 年 4 月 29 日至 5 月 14 日，
共5 節課，200 分鐘。課程依據教育部九年一貫數學領域課程綱要三、四年級翰林 版周長與面積單元：三年級上學期學習目標為分辨圖形內、外部以及認識圖形的 周界；能夠理解周長的意義並知道圖形周長的計算；理解周長一樣，形狀不一定 相同的概念。三年級下學期學習目標為計算出正方形及長方形面積，此階段僅需 透過點數或是乘法的方式來達成，還未進入到公式的計算方式；透過切割、拼湊 來進行平面圖形面積的計算；認識「平方公分」。四年級下學期學習目標為計算 出正方形及長方形的面周長和面積，此時會透過公式的方式進行計算；認識「平 方公尺」和「平方公分」間的關係。
研究者從服務學校，五年級參與補救教學且願意參與研究的學生中，透過自 編周長與面積的前測試題，了解學生在這個階段周長與面積單元的迷思概念，找 出在學習上有困難的學生，針對其迷思概念進行補救教學。依據學生在前測試題 中的迷思概念，透過數學奠基活動進行教學，從實際教學後所遇到的問題及教學 省思提出數學奠基活動在補救教學上的建議。
本研究為行動研究法，考量研究者能力與時間限制，因此，教學歷程僅在於 了解學生的迷思概念，透過數學奠基模組進行補救教學，原本欲在教學後透過自 編後測試題，了解學生的概念是否釐清？學習成效是否提升？因疫情停課關係，
改以練習單試題檢驗學生學習成效，練習單試題為前測平行試題。研究架構如下：
發現問題 ↓ 找出研究對象
↓ 補救教學 ↓ 成效與省思 圖3-1 研究架構圖 以下針對圖3-1 研究架構圖進行說明：
(一)發現問題
研究者在教學現場上發現，四年級的學生在進行長方形和正方形周長及面積 計算時，常會有周長、面積公式誤用的迷思概念，歸究其原因為在三年級學習周 長概念時未正確區分一維長度和二維面積概念，或是教師因教學時間緊迫，學生 無法有足夠的時間透過具體的操作建立正確觀念，導致學生僅能靠死記公式來應 付考試。
(二)找出研究對象
本研究從研究者服務學校五年級參與補救教學且願意參與研究的學生中，透 過自編周長與面積的前測試題，了解學生在這個階段周長與面積單元的迷思概 念，找出在學習上有困難的學生，再針對其迷思概念進行補救教學。
(三)補救教學
本研究的補救教學是針對前測測驗有迷思概念的學生，透過數學奠基活動進 行補救教學，期待藉此釐清學生在周長與面積上的錯誤觀念，建立正確的概念，
以銜接學生未來在平行四邊形、梯形、三角形、圓形的學習延伸。
(四)成效與省思
教學活動進行時，學生將操作過程記錄在學習單中，並於教學活動結束後進 行練習單測驗，原本預計在實施四個教學活動後進行後測測驗，透過前、後測的 差異比較，檢驗學生的學習成效，但因疫情全國停課關係，本研究僅針對活動一 與活動二進行實施歷程和學生學習成效的分析。
第二節 研究對象
本節介紹研究者的背景以及參與學生的學習態度和家庭背景：
一、研究者背景
研究者畢業於師範學院，實習後以代理教師身分進入教學現場，期間擔任過 科任教師以及中高年級導師，考取正式教師後，目前服務於臺南市某國小，期間 擔任過中低年級導師以及中低年級補救教學教師。
二、參與學生
參與本次補救教學學生為研究者服務學校五年級參與數學補救教學的學生，
透過研究者自編周長與面積前測測驗，找出學生在周長與面積單元的迷思概念進 行補救教學，參與學生學習狀況如表3-1。
表3-1
參與學生學習情況表
學生 性別 學習狀況
S1 男 學習態度尚可，上課雖然認真，但在數學方面沒有信心。
S2 男 學習態度不佳，上課容易分心，數學程度低落，計算與理解能力 不佳，對數學沒有信心。
S3 男 學習態度尚可，上課容易分心，容易計算錯誤，理解能力尚可，
對數學沒有信心。
(續下頁)
