《批校本》卷一之敘：「幾何原本者，數源之謂，度算萬物度數之大本，天 文地理等學根源也。凡習諸道必先始於易而至於難，不越次第而循序龟勉自入深 微矣。是以幾何原本將一易之形著於前，雜之形著於後，其題中兩相彷彿，易學 者居先，難者繼之列為次第，以應學者循序漸進，更由次第而發，圖形之情理名 目，使不求講解而著詳論於首也。」12此敘言已將康熙編寫此文本的精神完全表 達出來。《精蘊本》整體的內容與架構亦是因循著《批校本》的精神而來的。《精 蘊本》內容的編排順序由淺入深，題題都附有圖形，透過圖形，讓讀者更容易理 解，透過圖形，許多證明更以直觀訴求。康熙的數學知識，在其批閱《批校本》
的手稿上即已體現出部分功力，素養涵蓋了基礎且實用的幾何學知識。只是中國 的傳統數學，是以算學為中心，雖然也有邏輯證明，但卻沒有形成一個嚴密的演 繹體系，或許康熙亦受此傳統所影響，因此，我們在研讀《精蘊本》時，感受到 康熙似乎並未體會出《原本》中那種邏輯推理的說服力和科學結構的嚴謹性，僅 偏向於實用的、基礎性的幾何學。整理出以下幾點說明：
(一)、康熙帝很重視數學應用於實際
張誠在1690 年 3 月 24 日的日記上亦寫道：「為皇上講解了四條歐幾里 得定律。皇上認為他已經完全理解，並殷切表示要在儘可能快的時間內知道
12 原文之敘並無標點符號，但為求閱讀方便，筆者自行加入符號。
幾何原理的最必要的部份，以求弄懂實用幾何學。我們向他指明，如果他願 意的話，我們將只講最必需最有用的定理，而不依照漢文譯本中的示例方 法。這樣我們就能把課程縮短，並提供更正確的示例。陛下同意這一建議。
我們決計改用巴蒂氏的實用和理論幾何學，因為它的圖例比較易懂。」
歐幾里得的《原本》在中國最早的漢譯本是 1607 年 (明萬曆 35 年丁 未)，利瑪竇和徐光啟合譯出版的，13但只完成了前六卷，此前六卷為完整的 平面幾何部分，可以自成體系，各卷又細分界說、求作、公論與命題。康熙 帝在學習幾何學時，應已參考此漢文譯本，但在《精蘊本》中，體例上不作 細分，且亦刪除了不少內容，如《徐利本》卷二的內容主要為用幾何方式來 表達代數恆等式，或許對康熙而言並非是必需的、有用的定理，故未納入《精 蘊本》中。
又如關於「求作一個等腰三角形，使它的底角的每一個角都是頂角的兩 倍」之命題，《精蘊本》的做法為「於甲乙線之兩頭各作一七十二度之角將 兩邊線俱引長相交於丙即成一甲乙丙三角形為所求之形也」，利用有刻度之 圓，作出兩底角72 度，頂角 36 度之等腰三角形。《徐利本》卷四第十題：「求 作兩邊等三角形，而底上兩角各倍大於腰間角。」此命題《徐利本》依循歐 幾里得《原本》之證明，《原本》IV-10 的作法及證
法，簡述如下：14
(1)任意取定一線段 AB，依 II-11 所述之法，取點 C，
使得AB、BC 構成之矩形等於 CA 上的正方形。15 (2)以 A 為圓心，AB 為距離，16作圓BDE，在圓上 取D，使得 BD 等於 AC，連接 AD、CD，並作三 角形ACD 的外接圓。
(3)因為 AB、BC 構成之矩形等於 CA 上的正方形，
又BD 等於 AC，所以 AB、BC 構成之矩形等於 BD 上的正方形，故 BD 與 圓ACD 相切 (III-37)，所以角 BDC 等於角 DAC (III-32) ，兩者同加角 CDA，
可得角BDA 等於三角形 ACD 之外角 BCD。
(4)因為 AB 等於 AD，所以角 ABD 等於角 BDA，故角 ABD、角 BDA、角 BCD 彼此相等，所以 BD 等於 DC。
(5)又 AC 等於 BD，BD 等於 DC，故 AC 等於 DC，所以角 CDA 等於角 CAD，
亦即角BCD 等於角 CAD 的兩倍。
(6)由(4)、(5)可知，角 ABD 與角 BDA 相等，皆為角 CAD 的兩倍，故三角 形ABD 即為所求之等腰三角形。
13 利瑪竇和徐光啟合譯之漢譯本，在本論文以「徐利本」簡稱。
14 參閱《歐幾里得 幾何原本》藍紀正、朱恩寬 譯，九章出版社。「IV-10」表示第四卷命題 10。
15 《原本》II-11：分已知線段，使它和一條小線段所構成的矩形等於另一小段上的正方形。
16 歐幾里得的《原本》並沒有為「半徑」下定義，故亦未使用「半徑」這一個名稱。
上述命題的證明用到「弦切角」與「圓之切割性質」，都是《批校本》
刻意刪除《巴蒂本》的命題內容。從此一相同命題，比較兩者之說明，可知 康熙「不依照漢文譯本中的示例方法」，而只是「儘可能快的時間內知道幾 何原理的最必要的部份，以求弄懂實用幾何學」。其實類似的例子很多，如 關於「等腰三角形兩底角相等」之命題，《精蘊本》的證明方式亦比《徐利 本》容易明白，且對於三角形全等的性質，除了SAS 與《徐利本》相同外，
對於SSS 及 ASA 皆只有說明未證明，不似《徐利本》因循《原本》的嚴謹 推論，限於篇幅，不再贅述。
康熙帝在學習數學天文學時，非常重視形數結合方法，白晉說：「皇上 認真聽講，反覆練習，親手繪圖。」學習立體幾何時，又「將同樣之圓筒形、
圓錐形、楔形之比例或容積，反覆實驗之。」這種學習方法行之有效，進步 很快，以至於「看到某個定理的幾何圖形，就能立即想到這個定理及其證明。」
17《精蘊本》卷五第二十一節:「凡各種體形，難以圖顯，葢以圖止一面故也，
必用木石製之，始能相肖。况此各種形體，又或有外實而内空者，必按其形 以求其理，始可發明其精藴矣。」 意思是說各種立體形，很難以平面圖形 顯示，需作成模型，較容易理解。各種立體形有實心或空心，須有實際形體，
才能發現其中原理。
又白晉在其著作中提到：「我們將這些定律用滿語翻譯出來寫成文稿，
並在其中補充了歐幾里得和阿基米得著作中的必要而有價值的定律和圖 形。除了上述的課程以外，康熙皇帝還掌握了比例規的的全部操作法、主要 數學儀器的用法和一些幾何學及算術的應用方法。」又說：「每當學習到幾 何學中最有價值的知識時，皇帝總是抱持著濃厚的興趣，要把它們應用於實 際，也會練習數學儀器的操作。……皇上在外帶著這些儀器，有時用來測量 某座山的高度，有時測量兩地之間的距離。」18
《精蘊本》中的卷十二第十九~第二十二節，利用比例尺等分已知線段、
測量已知角、求作正方形、求作正方體。從這四個命題可知康熙皇帝的確掌 握了比例規的的全部操作法。卷十二第十六節「作分數比例測量儀器法」， 此儀器可用以測髙深廣逺，可知其各角各界之度。第十七節，「倣各種地形 畫圖法」，選兩地各立前節之儀器，再利用相似三角形原理繪製地形圖。第 十八節「畫地理圖，欲約為小圖或欲廣為大圖法」，利用格子圖，畫出已知 地形圖之放大縮小圖。從上述這幾節的內容，亦可知道康熙帝重視實際的應 用，重視利用數學理論來解決實際問題。
(二)、未具備嚴密演繹證明能力之素養
17 白晉著，趙晨譯：《康熙皇帝》，哈爾濱：黑龍江人民出版社，1981,34。
18 徐志敏、路洋譯，《老老外眼中的康熙皇帝》，人民日報出版社，2008 年 9 月，頁 30-32。
所謂證明，就是借助一些公理或真實性業經確定的命題來論證某一命 題的真實性。由前節所述，《精蘊本》有許多命題皆只有說明未證明，或是 引用未經證明的命題，或是以直觀法論之，不夠嚴謹；亦有邏輯推理順序 完全錯誤的命題。19
歐幾里得很喜歡將一個命題和他的逆定理放在一起，如《原本》I-5：
「等腰三角形中兩底角彼此相等」，I-6：「如果一個三角形中，有兩角彼此 相等，則等角所對的邊也彼此相等。」I-18：「在任何三角形中，大邊對大 角。」I-19：「在任何三角形中，大角對大邊。」I-24：「有兩個三角形，兩 組對應應邊相等，則夾角大者，其所對應之邊亦較大。」 I-25：「有兩個三 角形，兩組對應應邊相等，則第三邊大者，其所對應之角亦較大。」……，
20但在《精蘊本》中皆捨棄了逆定理的敘述，如卷二第十一節：「凡三角形 内，長界所對之角必大，短界所對之角必小」。 是指三角形中若有兩邊不 相等，則大邊對大角，小邊對小角。並無逆定理的敘述與證明，卻在卷二 的第十四節有此應用。又如《精蘊本》卷一第二十一～二十三只有提及若 有兩直線平行，則有許多角會兩兩相等，但對於此性質的逆命題並未說明，
卻在卷一第二十四的證明即直接引用此逆命題之性質。或許康熙帝認為逆 定理是理所當然的成立，無需再特別提出，此種思維模式與很多初學幾何 推理的國中生相同，對他們而言，大邊對大角若是成立，則大角對大邊亦 成立。
筆者並非在此批評這些邏輯上的瑕疵，因為有很多的問題必須搬到當時 的時空場景中去評斷，《九章算術》成書於公元一世紀，近兩千年來中國數 學家大體上都遵循《九章算術》的體例來研究問題和撰寫著作，它在傳統 數學中的地位就像《原本》在古代西方數學中的地位一樣。像《原本》這 樣一部抽象的、演繹式的邏輯體系，對在中國傳統文化薰陶教育下的許多 知識份子而言，是很難接受的。康熙皇帝自然很難例外。公理的選擇、定 義的給出、內容的編排、命題的嚴格證明、方法的運用，都需要高度的智 慧與邏輯訓練。故康熙帝未能具備此嚴密思想，亦是可以理解的。
(三)、對尺規作圖不感興趣
尺規作圖的難處，是作圖只許用無刻度的直尺和圓規。此作圖的限制 最先是由依諾皮迪斯 (Oenopedes，O΄ινοπ΄ιδης，約公元前 465 年) 提出的，
21後來《原本》用公設的形式規定下來，22希臘人的興趣並不在於圖形的實 際作出，而是在尺規的限制下，從理論上去解決這些問題。《精蘊本》及《批 校本》在作法上捨棄了嚴謹的尺規作圖，而是允許採用有刻度的圓畫出對
21後來《原本》用公設的形式規定下來，22希臘人的興趣並不在於圖形的實 際作出，而是在尺規的限制下，從理論上去解決這些問題。《精蘊本》及《批 校本》在作法上捨棄了嚴謹的尺規作圖，而是允許採用有刻度的圓畫出對