筆者當初會選擇《精蘊本》作為論文的主題，初衷乃是因為其內容貼近現行 的國中教材。而康熙帝之所以選擇將《批校本》的內容放入《數理精蘊》上編「立 綱明體」中，即表示此書為幾何學的基本理論。故《精蘊本》與國中幾何教材之 間自有其關聯性存在。
在教育部印製的《國民中小學九年一貫課程綱要---數學學習領域》(2003 年 11 月) 對於幾何的學習有如下敘述：
圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論 述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設 幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類是 先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一定 的先後關係。歐式幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次 才是作為知識典範的演繹系統。……推理能力的培養是國中數學教育的重點 之一。國中階段的學習仍舊以學生已有的幾何直覺經驗為前導，但強調主體 或觀念的明確定義，及幾何量的代數運算。因此，學習的內容是由非形式化 的推理逐漸提昇至形式化的推理。
《精蘊本》內容較偏向知覺性的了解及構圖性的了解，如同小學教材，避 開了歐氏幾何訓練的干擾，不重視演繹系統，偏向認識幾何要素與性質，而不像 國中教材強調主體或觀念的明確定義，及幾何量的代數運算。現行國中幾何教材 大都是透過操作、實驗等活動來察覺圖形的性質，再學習說理或做簡單的推理，
以強化對幾何概念的認識與掌握。而《精蘊本》題題皆附有圖形說明，讓讀者容 易學習，內容重視直觀化，較不重視推理的嚴謹度，故會有一些敘述遺漏重要關 鍵詞句，例如平行四邊形只講四邊形，或許編者認為把圖形畫的精確，讀者自然 就會明瞭。
《精蘊本》內容雖然貼近國中幾何教材，但呈現的手法卻有所不同，本節 此部分將《精蘊本》與國中教材有關聯之處，列舉一些作說明。
(1) 卷二第十四：三角形任意兩邊的和大於第三邊。
國中教材是利用兩點間直線距離最短的原理來說明，《精蘊本》的證明用到 三角形大角對大邊，證明方式用現代符號翻譯如下：
【已知】△ABC
【求證】
AB
+AC
>BC
【證明】 (i) 延長 AB ，在直線 AB 取 D，使得 AD =
AC
，連接CD，則 ACD△ 為等腰三角形，所以∠D= DCA∠ ，且 BD =AB
+AC
(ii) ∵ DCB> DCA∠ ∠ 又∠D= DCA ∠ ∴∠DCB> D∠
(iii) DCB△ 中 ∵ DCB> D ∠ ∠ ∴ BD >
BC
，即AB
+AC
>BC
得證(2) 卷三第十五：欲知衆邊形各邊角之度，將邊數加一倍，得數減四，其所餘之 數，即為各邊角度。
《精蘊本》的多邊形內角和公式：多邊形內角和=(邊數×2－4)×90 國中教材的多邊形內角和公式：多邊形內角和=(邊數－2)×180
國中教材解題注重一題多解，有些老師會提供類似《精蘊本》的圖形而導出：
多邊形內角和=邊數×180－360
(3) 國中教材有弦切角的性質與圓內接四邊形對角互補，《巴蒂本》卷四有介紹，
但《批校本》未有此內容，表示張誠等傳教士在翻譯時刪掉此部分，所以，《精 蘊本》以《批校本》為底本依據，亦未收入此內容。
(4) 國中教材介紹柱體體積公式=底面積乘以高，其中圓柱體體積公式的說明，
採用將圓柱體極細密的切割後，再拼湊後接近長方體。這與《精蘊本》卷五 第二十四：「圓柱體外周面積與長方體底面積相等，圓柱體底面半徑與長方體 高度相等，則圓柱體體積為長方體體積的一半。」的證明方式很接近。卷五 對於柱體體積公式並未提及，相關觀念全都是建立在兩個立體圖形之對應底 面積和對應高度的比較下作論述，如第二十二的內容為「平行柱體底面積相 等，高度相等，體積亦相等。尖體形底面積相等，高度相等，體積亦相等。」
國中教材有介紹柱體、錐體的展開圖形及表面積求法，這是《精蘊本》
未觸及的概念。除此之外，《精蘊本》卷五的其餘內容都未納入現行國中教科 書內容。國中教材在體積公式的探討上，皆環繞在長方柱體、三角柱體、圓 柱體等在小學時期即已學習過的柱體體積公式，卻不見錐體體積公式的操作 證明。回顧歷史，從《精蘊本》的卷五第二十一「 凡各種體形，難以圖顯，
葢以圖止一面故也，必用木石製之，始能相肖。况此各種形體，又或有外實 而内空者，必按其形以求其理，始可發明其精藴矣。」 即是各種立體形，很 難以平面圖形顯示，需作成模型，較容易理解。各種立體形有實心或空心，
需有實際形體，才能發現其中原理。卷五第二十三對於上下面平行之柱體與 尖體形同底同高者，尖體形的體積為柱體的三分之一的性質亦未證明，僅以
「昭然可見」說明之，故對於錐體體積公式除了本身較難以理解外，並無適
當的文獻可協助。
筆者認為正多面體在生活中常見，其實應納入國中教材，但僅止於認識 與了解即可，不必論及相關性質與計算。至於其他空間中直線與平面、平面 與平面的關係仍應放在高中階段學習較合適，畢竟空間概念須有實物模型較 易入門，否則是很難理解的單元。
(5) 卷九第四：直角三角形，其直角相對界所作方形之積，必與兩傍界所作兩方 形之積相等。此題即是指勾股定理，證明方式用現代符號略述如下：
直角三角形ACJ 相似於直角三角形 ACB，所以
BC
AC AC
CJ : :
，故AC2 CJBC亦即正方形ACGF 的面積=長方形 CJKI 的面積，
同理
正方形ABDE 的面積=長方形 JKHB 的面積。
故得
正方形ACGF 的面積+正方形 ABDE 的面積=正方形 BCIH 的面積。
國中教材有提到《周髀算經》的「弦圖」，並提到其 證明方式有數百種，以下為其中一種：
設直角三角形ABC 兩股長分別為 a 與 b (a>– b)，斜邊長為 c。
(i) 將四個與圖一相同的直角三角形三角形 ABC，與一個邊長為
（a－b）的正方形甲拼成四邊形 DEFG (如圖二所示)。
故此四邊形DEFG 的面積為 4 ×1
2 ab＋(a－b）2。
I K
J
H G
F
E
D
C B
A
圖一 圖二 圖三
(ii) 在三角形 ABC 中，因為三角形內角和為 180 度，∠1+∠2+90 度=180 度
∴∠1+∠2=90 度，故∠EDG＝90 度，
同理，四邊形DEFG 的四個角都是 90 度，
又 ED 為三角形 ABC 的斜邊，長度為 c， EF 、 FG 、 DG 也等於 c，
所以 ED ＝ EF ＝ FG ＝ DG ＝c，即四邊形 DEFG 四邊等長，
因此四邊形DEFG 為一正方形，面積為 c2。 (iii) 由 (i) 與 (ii)，我們知道
c2＝4 ×1
2 ab＋( a－b )2=2ab＋a2－2ab＋b2=a2＋b2
也就是說，任一直角三角形中，兩股平方和等於斜邊的平方。
(6) 卷九第十之內分比性質，《精蘊本》的證明方式用現代符號略述如下：
E
D C
B
A
(i) 作 DE 平行
AC
，則三角形ABC 相似於三角形 EBD故
AB : AC BE : ED
，又EDEA (∵∠EDA= CAD= EAD∠ ∠ ，∴三角形AED 為等腰三角形) 所以
AB : AC BE : EA
(ii) 又∵ DE 平行AC
，∴BD : DC BE : EA
(iii) 由(i)(ii)可知，
AB : AC BD : DC
國中課本習作並未提及內分比性質，但多數老師會補充此性質，或許是因 為考試的需求，現今的幾何內容，有相當多的計算應用，內分比性質對於 強調解題技巧策略的台灣教育環境，有其重要性存在。
(7) 卷十一第十六：有圜外一點，將此點至圜界作切線法。
【已知】B 為圓 A 外一點
【求作】過B 作圓 A 之切線
【作法】(i) 以 A 為圓心， AB 為半徑作一大圓
(ii) 連接 AB 直線且與小圓 A 交於 C，過 C 作 AB 直線的垂線交 大圓於 D
(iii) 連接 AD 直線與小圓交於 E，連接 BE (iv) 直線 BE 即為所求。
【證明】△AEB與△ACD中，因為AE AC,AA,AB AD，
∴
AEB ACD
(SAS)， ACD= AEB=90∠ ∠ 度(∵AB CD
) 故BE 直線為小圓之切線。國中教材之作法：
【已知】B 為圓 A 外一點
【求作】過B 作圓 A 之切線
【作法】(i)連接 AB，以 AB 為直徑作圓 E (ii)設圓 E 與圓 A 交於 C、D (iii)連接 BC、BD
(iv)直線 BC、BD 即為所求。
【證明】圓E 中，因為 AB 為直徑，所以 BCA= BDA=90∠ ∠ 度 (直徑所對圓周角為直角)，故直線 BC、BD 為圓 A 之切線
國中教材對於尺規作圖的定義：只利用直尺和圓規來畫圖，而且直尺只用 來畫直線，不利用上面的刻度來丈量。由於教科書只針對「尺規作圖」的名詞作 解釋，而未從「尺規作圖」的歷史意義來說明，使得學生對此部分的學習未能有 較多的體認與感覺，而不知「尺規作圖」的功用何在。故筆者建議教科書的編者，
可在此單元加入相關的數學史知識。
(8) 卷十二第十三：作已知多邊形的相似形
圖一 圖二
《精蘊本》作法為：以中心壬處與各頂點連線，「取甲乙。乙丙。丙丁。丁戊。
戊己。己庚。庚辛。辛甲各界度之一半。與各界平行。置於對角各線之間。
為癸子。子丑。丑寅。寅卯。卯辰。辰巳。巳午。午癸之八線。即成癸子丑 寅卯辰巳午之形為原形每界減半之同式形也。」(見圖一)，此作法缺乏可行 性，如何取甲乙線段的一半又與甲乙平行？國中教材則利用相似三角形原 理，取三角形兩邊中點的連線段，即為第三邊長的一半且平行第三邊，如圖 一中，取壬甲中點癸、壬乙中點子，則癸子即為甲乙線段的一半且互相平行，
其餘線段依此類推，圖二則改以由甲與各頂點連線，後續作法與前述雷同。28 數學從外界的感性認識提升到內在邏輯的理性認知，在數學史上這是很 漫長的一頁。現行國中教材對於一些演繹推理或定理的陳述，應有歷史發展 的想法，或符合學生認知的發展。例如國中第四冊2-4 對於圓柱體體積公式 的說明即是將圓柱體極細密切割後，再拼湊會接近長方體，此概念的介紹，
與《精蘊本》卷五第二十四相同，即是有歷史發展的想法。而對全等、相似 形等概念的介紹則較符合學生認知的發展。
在研讀《精蘊本》時，即覺得較貼近國中幾何教材，兩者都避開歐氏幾何訓 練的嚴格要求，發展出各自的系統。《精蘊本》選擇「最必需最有用的定理」，不 追求邏輯上嚴謹的證明，只注重發展實用的方法。國中教材有一定的邏輯順序，
但選擇淺顯易懂的幾何知識，避開難以理解的立體幾何知識及尺規作圖。
但選擇淺顯易懂的幾何知識，避開難以理解的立體幾何知識及尺規作圖。