評析《精蘊本》中的幾何命題

本節將分成二部份來討論。第一部份先歸納出《精蘊本》內容所呈現的幾個 問題，列舉其中代表性的命題。第二部份整理一些較難理解或較特殊的命題，可 提供國中資優班學生思考的教材。

一、《精蘊本》之內容特色

《精蘊本》所整理出的命題，對張誠等傳教士而言，認為那是「最必需最有 用的定理」， ¹每一節次都附有圖形，讓讀者通過圖形即能很快理解書的本意。《精 蘊本》的內容涵蓋三角形、四邊形、圓及內接外切多邊形、立體幾何、比例、相 似形、勾股定理、圓錐体及球與橢圓體的表面積和體積、幾何作圖法等基本幾何 知識，除了圓錐體及球與橢圓體的表面積和體積等立體單元較難理解外，其餘單 元的內容頗淺顯易讀，較重視知識的實用層面，而忽視邏輯概念。筆者將其內容 結構整理出以下幾個特質：

(一)、許多定理的逆命題未證明即引用

(1) 卷一第二十一~二十三只提及若有兩直線平行，則有許多角會兩兩相 等，但對於此性質的逆命題並未說明。編者似乎認為此為理所當然，所 以，第二十四的證明即直接引用此逆性質。

(2) 卷二第十一：三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角，小邊對小角。

1 張誠著，陳霞飛譯，《張誠日記》。

丁 丙 乙

甲

【已知】 ABC△ ，

BC

> AB 【求證】 A> C∠ ∠

【證明】

(i)在

BC

上取D，使得 BD = AB ，連接 AD，則 ABD△ 為等腰三角形，

所以∠BAD= BDA∠

(ii) ∵ BDA∠ 為△ACD之外角，∴∠BDA= C+ CAD∠ ∠ (三角形外角定理)，∴ BDA> C∠ ∠

(iii)∵ BAC> BAD∠ ∠ ，∠BDA> C∠ ，又∠BAD= BDA∠ ， ∴ BAC> C∠ ∠ 得證

原文可參見附錄一，由上之證明可知僅有證出大邊對大角，並無大 角對大邊的證明，但在卷二第十四的證明中，用到大角對大邊時，卻註明

「見本卷第十一節」

(3) 卷四第七：圓外一點作兩切線，其切線長必相等。其証明過程 說：「今於圜心丁至圜界乙丙二切線之末。作二輻線。則 此二輻線。為甲乙甲丙之垂線矣。如本卷第五節云。」但 第五節的內容是：「過半徑端點之垂直線必相切於圓」， 二者邏輯順序不同。又此命題的證明是利用等腰三角形兩

底角相等，兩底角相等必為等腰三角形的性質，但卷二第九節只有證 明，三角形兩邊相等，則所對的兩角必相等的性質，並無此性質之逆定 理的證明。卻在卷四第七的證明中引用之。

(二)、證明方式不夠嚴謹

(1) 卷三第三：平行四邊形的對角線把此平行四邊形分成兩個全等三角形。

凡平行四邊形。自一角至相對之角。作一對角線。必平分四邊形為兩三角 形。如甲丙乙丁四邊形。作甲乙對角線。即成丙甲乙。丁甲乙。兩相等 三角形。葢此四邊形之丙丁二角為對角。其度必等。見本卷第二節。而對

角線所分之丙甲乙。丁乙甲。二角。丙乙甲。丁甲乙。二角。俱為二尖 交錯之角。其度又兩兩相等。見首卷第二十二節。夫此兩三角形。原自一四 邊形而分。各角又俱相等。則其所函之分必等。而四邊形平分為兩平分 無疑矣。

第三節的證明未善用 ASA 全等性質，陳述時不夠嚴謹，但《巴蒂 本》卻是使用ASA 全等性質證出，《批校本》其實完全照原著翻譯，²只 是《精蘊本》卻捨其較完整的證明，改以不甚嚴謹的敘述代替。

(2) 卷四第六：過圓心且垂直於弦的直線必平分此弦和弧。利用等腰三角形 過頂點之垂線必平分底邊的性質說明，但之前並無證明此性質卻引用 之，卷二第十之內容為：等腰三角形的中線為頂角之角平分線，亦為底 邊之垂線。此兩者性質不同。

(3) 卷八第三：兩三角形若有三組對應角相等，則對應邊長成比例

壬

辛 庚

己 戊

丁

丙 乙

甲

若於大形内。與乙丙平行作庚辛線。與甲乙平行作辛壬線。則成甲庚辛。

辛壬丙。兩小三角形。此兩小形之相當角度。與大形之相當角度。亦必 俱等。故皆謂之同式形也。凡同式之形。其容積雖不一。而其各界互相 為比。皆為相當比例之四率。是故以大三角形之甲乙全線。與所截甲庚 一叚之比。即如大三角形之甲乙一邊。與小三角形之相當丁戊一邊之比 也。大三角形之甲丙全線。與所截甲辛一叚之比。即如大三角形之甲丙 一邊。與小三角形之相當丁巳一邊之比也。大三角形之乙丙底線。與所 截庚辛底線之比。即如大三角形之乙丙底線。與小三角形之戊已底線之 比也。至於甲乙丙大三角形。與所截辛壬丙小三角形相當各界之比。亦 如甲乙丙大三角形。與丁戊已小三角形相當各界之比也。由此推之。凡 同式之形。其相當各界。互相為比。皆為相當比例之率可知矣。

《精蘊本》未提及全等概念，做完兩條平行線後，即說明甲庚辛、

辛壬丙兩小三角形與甲乙丙大三角形相似，故邊長成比例，說明過程中

2 參考本論文第四章第二節。

毫無證明推理性。再看看《巴蒂本》與《批校本》的證明方式用現代的 符號翻譯如下：

F

E D

C

A B

【已知】ABC,DEF中AD,BE,CF

【求證】

AB : DE  BC : EF  AC : DF

【證明】(i) 作

FG  AC

，

FI  BC

，連接GI，

又∵∠C=∠F，

∴

 ABC   GIF

(SAS)，

故 ∠FGI=∠A，

AB  GI

(ii) ∵∠FGI=∠A，且∠A=∠D ∴∠FGI=∠D ∴

GI

平行 DE ， (iii) 因為

GI

平行 DE ，∴

GI : DE  FI : EF  FG : DF

，又

AB  GI

，

BC  FI

，

FG  AC

(∵

 ABC   GIF

)，故得

AB : DE  BC : EF  AC : DF

《批校本》為張誠等人翻譯《巴蒂本》的底本，《精蘊本》以此為 底本卻未將此證法納入，可見編者不重視證明的嚴謹性。這種情況在《精 蘊本》中出現不少類似問題。以下卷八第八即是另一個錯誤推理證明的 例子。

(4) 卷八第八：兩個大小不同的相似多邊形，分成許多三角形，其對應之三 角形為相似三角形。

癸

壬 辛

丁 丙

甲

庚 戊 己

乙

G I

F

D E C

A B

凡大小同式多邊形。分為衆三角形。其相當三角形之式俱相同也。如甲 乙丙丁戊。己庚辛壬癸。兩同式五邊形。自大形甲角至丙丁二角。自小 形己角至辛壬二角。各作二線。則大形分為甲乙丙。甲丙丁。甲丁戊。

三三角形。小形分為己庚辛。己辛壬。己壬癸。三三角形。而甲乙丙之 形。與相當己庚辛之形同式。甲丙丁之形。與相當己辛壬之形同式。甲 丁戊之形。與相當己壬癸之形同式。因其所分各三角形俱為同式。故相 當各角度必等。相當各角度既等。則其相當各界之比例。亦必俱同。自 五邊形所分之各三角形。之相當界互相為比之比例既同。則五邊形之相 當各界互相為比之比例亦必同。相當各界之比例相同。則兩形之式相同 可知矣。

《精蘊本》在此性質之說明中，卻是因為各對應之三角形相似，

所以對應角相等，對應邊長成比例，故而得知原先之五邊形各對應角 相等，對應邊長成比例，所以為相似多邊形。邏輯推理順序完全錯誤。

此命題對應於《巴蒂本》VI-51，《批校本》放在卷六第五十二節，兩 者的證明方式相同，並無《精蘊本》所犯的錯誤，證明方式用現代的 符號翻譯如下：

【已知】ABCDE 與 abcde 為相似五邊形

【求證】EABeab,EBC ebc,ECDecd

【證明】(i)∵ABCDE 與 abcde 為相似五邊形，∴∠A=∠a，

EA : ea  AB : ab

，∴

 EAB   eab

， ∴∠EBA=∠eba，

EA : ea  AB : ab  EB : eb

(ii) ∵ABCDE 與 abcde 為相似五邊形，∴∠ABC=∠abc，又 ∵∠EBA=∠eba ∴∠EBC=∠ebc

(iii) 由(i) (ii)可知，

EA : ea  AB : ab  EB : eb

=

BC : bc

， 且∠EBC=∠ebc ∴

 EBC   ebc

同理可證

 ECD   ecd

(5) 卷十一第十三：依給定的弧作全圓

作法如下：如有甲乙一叚弧，繼此弧欲作一全 圜。則在此弧界任意指三處如甲、丙、乙。自甲、

乙二處至丙。作甲丙、丙乙二線。照前節作平分 甲丙、丙乙兩弦之丁己、戊己二線，引長則相交 於己。乃以己為心，繼甲乙弧界作一全圜，即成 甲乙弧之全圜也。葢丁己、戊己二線。既平分甲 丙、丙乙二弦，則必平分甲丙、丙乙二弧。見四 卷第六 節。既平分甲丙、丙乙二弧。則其相交之處必為圜心。故己為繼 甲丙乙弧界所作全圜之圜心也。

正確做法應是作甲丙、丙乙的中垂線交於己，以己為圓心，甲己為 半徑即可畫出全圓。此卷第三節為平分線段之作圖，第四節為線上一點 作垂線之作圖，文中「照前節作平分甲丙、丙乙兩弦之丁己、戊己二線」， 其實是指第三節與第四節，才能作出既垂直又平分的直線。但從上文中 可看出，《精蘊本》只言平分而非垂直平分，只能顯示內容陳述不夠嚴 密。但在第十四中給定任意三點，求作一圓通過此三點之作法，第十五 中給定一圓，作出其圓心。第十八為作已知三角形之外接圓，卻又未犯 前述之疏失，皆有明確指出作「平分」且「垂直」之直線。³

(三)、避開較難理解之命題或證明

張誠曾在日記中提到，因為皇上「表示要在儘可能快的時間內知道幾 何原理的最必要的部份」，於是，他們「決計改用巴蒂氏的實用和理論幾 何學，因為它的圖例比較易懂。」歐幾里得《原本》中的卷一，為幾何基 礎篇，《精蘊本》內容與此卷相似度較高，《原本》餘下的內容，有部分地 方是相當深奧的，筆者發現《原本》中較深奧的內容在《精蘊本》中大都 未出現，甚至會改寫成較淺顯易懂的命題，如卷五第六節：「等邊三面所 合成之厚角，其三面内之兩面角之和必大於 90 度」，對應於《巴蒂本》的 V-24：「如果三個平面角構成一個立體角，那麼任何兩個平面角之和大於 第三個。」兩者敘述都正確，《巴蒂本》與歐幾里得《原本》XI 命題 20 相同，但巴蒂未證明 (歐幾里得的證明參考本論文第四章第二節)，或許 是因為康熙帝不能理解此概念，所以，《精蘊本》對於此題的內容更改成 在等邊三面所成厚角，自然是比較容易理解。⁴

3 原文見附錄一。

4 巴蒂的這部九卷版的Elémens de géométrie 是適合初學幾何者的入門書，以一種簡單迅捷的方式 學習幾何學，故已經刪除不少《原本》中較難的命題或不容易理解的證明方式，《精蘊本》翻 譯此書，自然也未納入這些命題。

(四)、捨棄嚴謹的尺規作圖

《精蘊本》的尺規作圖，不僅可以丈量刻度，甚至可以使用有刻度的 圓作出各種相對應的角度。因為《精蘊本》並不重視源自於希臘學術風潮

《精蘊本》的尺規作圖，不僅可以丈量刻度，甚至可以使用有刻度的 圓作出各種相對應的角度。因為《精蘊本》並不重視源自於希臘學術風潮

在文檔中 《數理精蘊》中的《幾何原本》 (頁 145-167)