附錄一 - 《數理精蘊》中的《幾何原本》

《數理精蘊》中的《幾何原本》部分原文

幾何原本一第二十一

凡平行二線。或縱或斜。畫一直線。交加於上。則平行線上所成之二角。必俱相等。如甲乙。丙丁。二平行線上。畫一庚辛斜線。其甲乙線之庚戊乙角。丙丁線之戊己丁角。皆相等。假使庚戊乙角。大於戊己丁角。則戊乙線。必離於庚戊線而向丙丁線。甲乙。丙丁。二線不平行矣。若甲乙。丙丁。二線。毫無偏斜。又得庚辛直線。相交成二角。則此二角必然相等矣。

幾何原本一第二十二

凡平行二線上。畫一斜線。則成八角。此八角度有相等者。必是對角。或内外角。

如庚戊乙。甲戊己二角。其度相等。因其兩尖相對。謂之對角。庚戊乙。戊己丁。

二角。其度亦相等。因其在平行二線之内外。故謂之内外角。甲戊己。戊己丁。

二角。其度亦相等。因其俱在平行二線之内。而立斜線之左右。故又謂之相對錯角。又如甲戊庚。庚戊乙。二角其度不等。因其立一線之界。謂之並角。庚戊甲。

丁己辛。二角其度亦相等。因其俱在平行二線之外。故謂之外角。乙戊己。丙己戊。二角。其度亦相等。因其又俱在平行二線之内。故又謂之内角。總之二平行線上。交以斜線所成八角。必兩兩相等也。

幾何原本一第二十三

平行線上一邊之二内角。或一邊之二外角。與二直角相等。如丁己戊角。與丙己戊角為並角。則此二並角。與二直角等。前第十四節云。凡一直線交於他直線所成二角。必與二直角相等。則此二角同出於一直線。為並角。故亦與二直角等矣。

又如甲戊庚。庚戊乙。雖為外角。而亦為並角。此二並角。亦與二直角等也。他如甲戊己。乙戊己。二並角。丙己辛。丁己辛。二並角。亦與二直角等也。

幾何原本一第二十四

壬辛

乙

戊

庚

己甲

丙丁

有平行二線。復與一線相平行者。此三線互相為平行線也。如甲乙。丙丁。二線之間。有戊己線與之平行。則甲乙。丙丁。戊己。三線互相為平行線也。照前第二十一節。在此三線上畫一庚辛壬斜線。則所成之庚辛二角必相等。而辛壬二角亦必等也。三線之與斜線相交所成之角。既各相等。則三線互為平行可知矣。

幾何原本二第八

凡三角形之三角度相併。必與二直角度等。如甲乙丙三角形。自乙角與甲丙線平行畫一乙丁線。則成丙乙丁角。與丙角為二尖交錯之二角。其度必相等。見首卷第二十二節。而甲角與甲乙丁角。為甲丙。乙丁。二平行線内一邊之二内角。與二直角等。見首卷第二十三節。¹今於甲乙丁直角内。減丙乙丁角。所餘為甲乙丙角。

1 內文中的「見首卷第二十二節」是指幾何原本一第二十二，「見二卷第四節」是指幾何原本二第四，……，依此類推。

丙乙丁角。既與丙角度等。則甲乙丙。丙乙丁。合成之一直角。與甲角之一直角。

非二直角之度耶。² 幾何原本二第十一

凡三角形内。長界所對之角必大。短界所對之角必小。如甲乙丙三角形之乙丙界。

長於甲丙界。故其相對之甲角。大於乙角。而甲乙界。短於甲丙界。故其所對之丙角。小於乙角也。試依甲丙界度。截乙丙於丁。復自甲至丁。作甲丁線。即成甲丙丁兩界相等之三角形。夫甲丙。丁丙。兩界度既相等。則甲丁丙。丁甲丙。

兩角亦相等。今甲丁丙角相等之丁甲丙角。原自乙甲丙角所分。則乙甲丙角。必大於甲丁丙角矣。然此甲丁丙角。為甲乙丁小三角形之外角。與小三角形内之甲乙二角相併之度等。見本卷第五節。既與甲乙二角之度等。則大於乙角可知矣。夫甲丁丙角。既大於乙角。則乙甲丙角。必更大於乙角矣。丙角之小於乙角。其理亦同。

幾何原本二第十四

凡三角形。將二界線相併。必長於所餘之一界線。如甲乙丙三角形。將甲乙。甲丙。二界線併之。則長於所餘之乙丙界線也。試以丙甲線引之至丁。作丁甲線。

與甲乙等。則丁丙線。為甲丙。甲乙。二界線之共度矣。復自丁至乙。作丁乙線。

成乙甲丁兩界相等之三角形。其丁乙甲角與丁角等。見本卷第九節。則丁乙丙角必大於丁角。夫丁乙丙角既大於丁角。則其所對之丁丙線。必長於丁角相對之乙丙線可知矣。見本卷第十一節。

幾何原本三第三

2幾何原本二第四節最後一句的「非」應是筆誤。

凡平行四邊形。自一角至相對之角。作一對角線。必平分四邊形為兩三角形。如甲丙乙丁四邊形。作甲乙對角線。即成丙甲乙。丁甲乙。兩相等三角形。葢此四邊形之丙丁二角為對角。其度必等。見本卷第二節。而對角線所分之丙甲乙。丁乙甲。二角。丙乙甲。丁甲乙。二角。俱為二尖交錯之角。其度又兩兩相等。見首卷第二十二節。夫此兩三角形。原自一四邊形而分。各角又俱相等。則其所函之分必等。而四邊形平分為兩平分無疑矣。

幾何原本三第七

凡四邊形。於對角線。不拘何處。復作相交二平行線。即成四四邊形。設如甲丙乙丁四邊形。於對角線之戊處。復作一壬戊己。一辛戊庚。相交之二平行線。即成甲戊。戊乙。丙戊。戊丁。四四邊形。此四形中之甲戊。戊乙。二形。為對角線上所成之形。丙戊。戊丁。二形。為對角線旁所成之形。此對角線旁所成兩形。

必俱相等。如丙壬戊庚。戊辛丁己。兩形之分是己。葢甲丙乙丁之全形。因甲乙對角線。平分為兩平分。所成之甲丙乙。甲丁乙。兩大三角形之分必等。其對角線上所成之一小方形。復為甲戊對角線。平分為兩平分。成甲庚戊。甲己戊。兩小三角形。此兩小三角形之分亦必等。而對角線上所成之一大方形。又為戊乙對角線。平分為兩平分。成戊壬乙。戊辛乙。兩中三角形。此兩中三角形之分亦必等。今將甲丙乙。甲丁乙。兩大三角形内。減去甲庚戊。甲己戊之兩相等小三角形。再減去戊壬乙。戊辛乙之兩相等中三角形。所餘對角線旁所成之丙壬戊庚。

戊辛丁己。兩四邊形。此兩四邊形。自然相等矣。

幾何原本三第八

凡兩平行線内同底所成之四邊形。其面積必等。如甲己。乙辛。兩平行線内。於乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形。戊乙丙己一斜方四邉形。此兩形雖不同。而所

容之分必相等。何也。試以兩三角形考之。如甲乙戊一三角形。丁丙己一三角形。

此兩三角形之甲乙。丁丙。二線等。甲戊。丁己。二線亦等。甲丁。戊己。二線。

俱與乙丙平行。而度分相等。若於甲丁。戊己。二線。各加一丁戊線。即成甲戊。丁己線。

其度自然相等。而戊甲乙。己丁丙。二角。為甲乙。丁丙。平行線一邊之内外角。

其度又等。則此兩三角形。自然相等可知矣。今於兩三角形内。各減去丁戊庚。

則所餘之甲乙庚丁。戊庚丙己。二形之分必等。復於此二形内。毎加一庚乙丙形。

則成甲乙丙丁。戊乙丙己之兩四邊形。其面積必然相等也。

幾何原本三第十

凡兩平行線内同底所成之各種三角形。其面積俱等。如甲乙。丙丁。兩平行線内。

於丙丁底。作甲丙丁一三角形。己丙丁一三角形。此兩三角形之面積必等。何也。

自丁至戊。作一直線。與甲丙平行。再自丁至乙。作一直線。與己丙平行。即成甲丙丁戊。己丙丁乙。兩四邊形。此二形既同出於丙丁底。其面積相等。而甲丙丁。己丙丁。兩三角形。為平分兩四邊形之一半。其面積亦必相等矣。

幾何原本三第十二

凡有幾三角形。其底。若俱在一直線。而各底相對之角。又共遇於一處。則其衆三角形。必在二平行線之間。如甲乙丙。甲丙丁。甲丁戊。甲戊己。四三角形。

其乙丙。丙丁。丁戊。戊己。各底。俱在一庚辛直線上。而各底相對之角。又皆遇於甲處。則此四三角形。俱同在庚辛。壬癸。二平行線之間矣。

幾何原本三第十五

欲知衆邊形各邊角之度。將邊數加一倍。得數減四。其所餘之數。即為各邊角度也。如辛七邉形。以七邊數加一倍。共為十四。十四内減四。所餘之十。即為十

直角數。為此七邊形之各邊角之總度也。何也。假如辛形自心至七角作七線。成七三角形。凡三角形之三角。與二直角等。見二卷第四節。則此七三角形之各三角度共與十四直角等。其七三角形之辛心所有之七角。又與四直角等。見首卷第十五節。若將十四直角内。減四直角。乃餘十直角。則此十直角。與衆邊形之各邊角之總度相等可知矣。

幾何原本四第六

戊

丁丙乙

甲

圜弦線上。自圜心作一垂線。則將弦線為兩平分。如乙丙弦。自圜心甲至弦線丁。

作一垂線。必將乙丙弦為兩平分。成乙丁。丁丙。二段。若自甲心至弦線乙丙二末。作二輻線。成一甲乙丙三角形。此三角形之甲乙。甲丙。二線。為一圜之輻線。其度必等。此二輻線既等。則甲乙丙三角形内。甲丁垂線所分之乙丁。丁丙。

二段。亦必等矣。若將垂線引長至弧界戊作線。則又將乙丙弧界為兩平分矣。

幾何原本四第七

丁丙乙

甲

凡自圜外一處。至圜界兩邊。作二切線。此二線之度必等。如自圜外甲至圜界乙丙兩邊。作甲乙。甲丙。二切線。此二線之度相等。今於圜心丁至圜界乙丙二切線之末。作二輻線。則此二輻線。為甲乙甲丙之垂線矣。如本卷第五節云。因其為垂線。則甲乙丁。甲丙丁之二角。必同為直角。見首卷第十節。再自丙至乙。作一弦線。即成丁乙丙。甲乙丙。兩三角形。丁乙丙三角形之丁乙。丁丙。二線。同為圜之輻線。其度必等。因其相等。故丁乙丙。丁丙乙。二角。亦必等。夫甲乙丁。甲丙丁。二角。原相等。此二角内減去丁乙丙。丁丙乙。二角則所餘之甲乙丙。甲丙乙。二角。亦自相等。此二角既俱相等。則甲乙。甲丙。二切線。為等

在文檔中《數理精蘊》中的《幾何原本》 (頁 185-200)